第17章勾股定理练习题2020－2021年黑龙江各地八年级下学期期末数学（人教版）试题（含解析）

答案第=page11页，共=sectionpages22页参考答案：1．D【分析】先求出AC的长，再利用平移的知识即可得出地毯的长度．【详解】在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=3，∴AC＝＝4米，∴可得地毯长度＝AC+BC＝7米，故选D．【点睛】本题考查了勾股定理的应用及平移的知识，利用勾股定理求出AC的长度是解答本题的关键．2．A【分析】设BN=x，则由折叠的性质可得DN=AN=9-x，根据中点的定义可得BD=3，在Rt△BND中，根据勾股定理可得关于x的方程，解方程即可求解．【详解】解：设BN=x，由折叠的性质可得DN=AN=9-x，∵D是BC的中点，∴BD=3，在Rt△NBD中，x2+32=（9-x）2，解得x=4．即BN=4．故选A．【点睛】本题考查了翻折变换（折叠问题），折叠的性质，勾股定理，中点的定义以及方程思想，综合性较强．3．D【详解】试题分析：设一直角边长为x，另一直角边长为y，∵直角三角形的周长为12，斜边长为5，∴x＋y＝7①，由勾股定理得：x2＋y2＝25②，①两边平方得x2＋y2＋2xy＝49，整理得xy＝12，∴面积S＝xy＝×12＝6．故选D．4．A【分析】欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方．【详解】解：A、72+242=252，三边是整数，同时能构成直角三角形，故是勾股数，此选项符合题意；B、，不是正整数，不是勾股数，此选项不合题意；C、1.5，2.5，不是正整数，不是勾股数，此选项不合题意；D、92+162≠252，不是勾股数，不合题意．故选：A．【点睛】此题主要考查了勾股数，解答此题要用到勾股数的定义，及勾股定理的逆定理：已知△ABC的三边满足a2+b2=c2，则△ABC是直角三角形．5．B【分析】根据正方形的面积等于边长的平方和勾股定理求解即可．【详解】解：设中间直角三角形的边长分别为a、b、c，且a2=225，c2=289，由勾股定理得b2=c2﹣a2=289﹣225=64，∴字母A所代表的正方形的面积为b2=64，故选：B．【点睛】本题考查勾股定理的应用、正方形的面积，熟练掌握勾股定理是解答的关键．6．D【分析】本题应分两种情况进行讨论：（1）当△ABC为锐角三角形时，在Rt△ABD和Rt△ACD中，运用勾股定理可将BD和CD的长求出，两者相加即为BC的长，从而可将△ABC的周长求出；（2）当△ABC为钝角三角形时，在Rt△ABD和Rt△ACD中，运用勾股定理可将BD和CD的长求出，两者相减即为BC的长，从而可将△ABC的周长求出．【详解】此题应分两种情况说明：（1）当△ABC为锐角三角形时，在Rt△ABD中，BD===9，在Rt△ACD中，CD===5，∴BC=5+9=14∴△ABC的周长为：15+13+14=42；（2）当△ABC为钝角三角形时，在Rt△ABD中，BD===9，在Rt△ACD中，CD===5，∴BC=9-5=4．∴△ABC的周长为：15+13+4=32∴当△ABC为锐角三角形时，△ABC的周长为42；当△ABC为钝角三角形时，△ABC的周长为32．故选D．【点睛】此题考查了勾股定理及解直角三角形的知识，在解本题时应分两种情况进行讨论，易错点在于漏解，同学们思考问题一定要全面，有一定难度．7．C【详解】由勾股定理得：=5，3+5=8；故选C.8．C【分析】分为两种情况：①斜边是4有一条直角边是3，②3和4都是直角边，根据勾股定理求出即可．【详解】解：如图：分为两种情况：①斜边是4有一条直角边是3，由勾股定理得：第三边长是；②3和4都是直角边，由勾股定理得：第三边长是；即第三边长是5或，故选C．【点睛】本题考查了对勾股定理的应用，注意：在直角三角形中的两条直角边a、b的平方和等于斜边c的平方．9．B【详解】试题分析：由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可：A、42+52=41≠62，不可以构成直角三角形，故本选项错误；B、1.52+22=6.25=2.52，可以构成直角三角形，故本选项正确；C、22+32=13≠42，不可以构成直角三角形，故本选项错误；D、，不可以构成直角三角形，故本选项错误．故选B．考点：勾股定理的逆定理．10．B【分析】根据三角形内角和定理及勾股定理的逆定理进行判断即可．【详解】解：选项A：由三角形内角和定理可知∠A+∠B+∠C=180°，结合已知，得到2∠C=180°，∴∠C=90°，故△ABC为直角三角形，选项A不符合题意；选项B：∵a²+b²≠c²，由勾股定理逆定理可知，△ABC不是直角三角形，选项B符合题意；选项C：对等式左边使用平方差公式得到：b²-c²=a²，再由勾股定理逆定理可知△ABC为直角三角形，不符合题意；选型D：由勾股定理逆定理可知：a²+b²=1+2=3=c²，∴△ABC为直角三角形，不符合题意；故选：B．【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理，熟练掌握各定理是解决本题的关键．11．D【分析】根据勾股定理的逆定理，验证四个选项中数据是否满足“较小两边平方的和等于最大边的平方”，由此即可得出结论．【详解】解：A、因为92=81＝412-402，能构成直角三角形，此选项错误；B、因为52+122＝169=132，能构成直角三角形，此选项错误；C、因为a：b：c＝3：4：5，设，因为，故能构成直角三角形，此选项错误．D、因为112+122≠152，不能构成直角三角形，此选项正确．故选：D．【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．12．A【分析】①利用全等三角形的判定得≌，再利用全等三角形的性质得结论；②利用全等三角形的判定和全等三角形的性质得，再利用勾股定理得结论；③利用等腰三角形的性质得，再利用三角形的面积计算结论；④利用勾股定理和等腰直角三角形的性质计算得结论．【详解】解：如图：对于①，因为，所以，，因此．又因为，所以．又因为，所以．因此≌，所以．故①正确．对于②，由①知≌，所以．又因为，所以，连接FD，因此≌．所以．在中，因为，所以．故②正确．对于③，设EF与AD交于G．因为，所以．因此．故③正确．对于④，因为，又在中，又是以EF为斜边的等腰直角三角形，所以因此，故④正确．故选A．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，全等三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质和三角形的面积．13．B【分析】连接AC，根据勾股定理得出AC，进而利用勾股定理的逆定理可以得出△ACD是直角三角形，根据四边形ABCD的面积为△ABC和△ACD的面积之和可以解题．【详解】解：连接AC，，，在中，，又，，即，，△ACD是直角三角形，，则，故选：B．【点睛】本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，关键是根据勾股定理逆定理判定直角三角形．14．D【详解】①可以求得一个内角为90°，能判定为直角三角形；②设∠A＝x，∠B＝2x，∠C＝3x，可求得∠C＝90°，能判定为直角三角形；③设AC＝a，，AB＝2a(a＞0)，则AC2＋BC2＝4a2＝AB2，可以判定为直角三角形；④AC2＋BC2＝(n2－1)2＋(2n)2＝n4＋2n2＋1＝(n2＋1)2＝AB2，可以判定为直角三角形，故选D．15．5或【详解】试题分析：已知直角三角形两边的长，但没有明确是直角边还是斜边，因此分两种情况讨论：①长为3的边是直角边，长为4的边是斜边时：第三边的长为：；②长为3、4的边都是直角边时：第三边的长为：；∴第三边的长为：或5．考点：1．勾股定理；2．分类思想的应用．16．25【分析】先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答即可．【详解】如图所示．∵三级台阶平面展开图为长方形，长为20，宽为（2+3）×3，∴蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长．设蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程为x，由勾股定理得：x2=202+[（2+3）×3]2=252，解得：x=25．故答案为25．【点睛】本题考查了平面展开﹣最短路径问题，用到台阶的平面展开图，只要根据题意判断出长方形的长和宽即可解答．17．（）n﹣1【详解】解：∵四边形ABCD为正方形，∴AB=BC=1，∠B=90°，∴AC=；同理可求：AE=，HE=，…，∴第n个正方形的边长an=．故答案为．18．7．【详解】在Rt△ABC中，AB=5米，BC=3米，∠ACB=90°，∴AC=∴AC+BC=3+4=7米．故答案是：7．19．3或【详解】分两种情况：（1）顶角是钝角时，如图1所示：在Rt△ACO中，由勾股定理，得AO2=AC2-OC2=52-32=16，∴AO=4，OB=AB+AO=5+4=9，在Rt△BCO中，由勾股定理，得BC2=OB2+OC2=92+32=90，∴BC=3；（2）顶角是锐角时，如图2所示：在Rt△ACD中，由勾股定理，得AD2=AC2-DC2=52-32=16，∴AD=4，DB=AB-AD=5-4=1．在Rt△BCD中，由勾股定理，得BC2=DB2+DC2=12+32=10，∴BC=；综上可知，这个等腰三角形的底的长度为3或．【点睛】本题考查了勾股定理及等腰三角形的性质，难度适中，分情况讨论是解题的关键．20．16【分析】延长AB和DC，两线交于O，求出OB=BC，OD=OA，OA=AD，BC=OC，设BC=OC=x，则BO=x，解直角三角形得出方程，求出x，再分别求出△AOD和△BOC的面积即可．【详解】解：延长AB和DC，两线交于O，∵∠C=90°，∠ABC=135°，∴∠OBC=45°，∠BCO=90°，∴∠O=45°，∵∠A=90°，∴∠D=45°，则OB=BC，OD=OA，OA=AD，BC=OC，设BC=OC=x，则BO=x，∵CD=6，AB=2，∴6+x=（x+2），解得：x=6-2，∴OB=6-4，BC=OC=6-2，OA=AD=2+6-4=6-2，∴S四边形ABCD=S△OAD-S△OBC=OA•AD-BC•OC==16，故答案为16．【点睛】本题考查了勾股定理和三角形的面积，正确添加辅助线构建直角三角形、求出BC的长度是解此题的关键．21．15【分析】根据题意，过A点和B点的平面展开图分三种情况，再根据两点之间线段最短和勾股定理可以分别求得三种情况下的最短路线，然后比较大小，即可得到A点到B点的最短路线，本题得以解决．【详解】解：由题意可得，当展开前面和右面时，最短路线长是：当展开前面和上面时，最短路线长是：当展开左面和上面时，最短路线长是：∴一只蚂蚁从长为7cm、宽为5cm，高是9cm的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所走的最短路线的长是15cm，故答案为：15．【点睛】本题主要考查的就是长方体的展开图和勾股定理的实际应用问题.解决这个问题的关键就是如何将长方体进行展开.在解答这种问题的时候我们需要根据不同的方式来对长方体进行展开，然后根据两点之间线段最短的性质通过勾股定理来求出距离.有的题目是在圆锥中求最短距离，我们也需要将圆锥进行展开得出扇形，然后根据三角形的性质进行求值.22．12【分析】延长AF、BC，交于点H，先证明△ABH为等腰直角三角形，再判定△ABG≌△HAC（ASA），然后在等腰直角三角形△ABH中，由勾股定理得AB与AH的值，设EF=x，则AE=2x，判定△AGE≌△HCF（AAS），从而FH=AE=2x，解得x的值，最后根据AF=AE+EF，可得答案．【详解】延长AF、BC，交于点H，如图：∵AF⊥AB，∠ABC=45°，∴∠BAH=90°，∠AHB=90°-∠ABC=45°，∴△ABH为等腰直角三角形，∴AH=AB．∵∠BAH=90°，∠BAG=45°，∠AHB=45°，∴∠BAG=∠AHB=45°．∵AC⊥BD，∴∠ABG+∠BAC=90°．∵∠BAC+∠HAC=∠BAH=90°，∴∠ABG=∠HAC．在△ABG和△HAC中，，∴△ABG≌△HAC（ASA），∴AG=HC，BH=BC+CH=BC+AG=20．在等腰直角三角形△ABH中，AH=AB，∠BAH=90°，由勾股定理得：AB2+AH2=BH2，∴AB=AH=20．∵AE=2EF，∴设EF=x，则AE=2x．∵DE=DF，∴∠DEF=∠DFE，∴∠AEG=∠HFC．∵∠AHB=∠GAE=45°，∴∠AGE=135°-∠HFC=∠FCH．在△AGE和△HCF中，，∴△AGE≌△HCF（AAS），∴FH=AE=2x，∴AH=AE+EF+FH=5x=20，解得：x=4，∴AF=AE+EF=3x=12．故答案为：12．【点睛】本题考查了勾股定理、全等三角形的判定与性质及等腰三角形的判定与性质等知识点，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．23．84或24【详解】分两种情况考虑：①当△ABC为锐角三角形时，如图1所示，∵AD⊥BC，∴∠ADB=∠ADC=90°，在Rt△ABD中，AB=15，AD=12，根据勾股定理得：BD==9，在Rt△ADC中，AC=13，AD=12，根据勾股定理得：DC==5，∴BC=BD+DC=9+5=14，则S△ABC=BC⋅AD=84；②当△ABC为钝角三角形时，如图2所示，∵AD⊥BC，∴∠ADB=90°，在Rt△ABD中，AB=15，AD=12，根据勾股定理得：BD==9，在Rt△ADC中，AC=13，AD=12，根据勾股定理得：DC==5，∴BC=BD−DC=9−5=4，则S△ABC=BC⋅AD=24.综上，△ABC的面积为24或84.故答案为24或84.点睛：此题考查了勾股定理，利用了分类讨论的数学思想，灵活运用勾股定理是解本题的关键.24．【分析】求出三角形ABC的面积，再根据三角形的面积公式即可求得BC边上的高．【详解】解：由题意知，小四边形分别为小正方形，所以B、C为EF、FD的中点，S△ABC=S正方形AEFD-S△AEB-S△BFC-S△CDA=BC=∴△ABC中BC边上的高是故答案为：25．5或【分析】题中没有明确斜边的长，关键勾股定理的逆定理，分两种情况讨论即可解题．【详解】解：①当3和4是直角边时，第三边为；②当4为斜边时，第三边长为．【点睛】本题考查勾股定理的逆定理，掌握直角三角形三边的数量关系是解题关键．26．.【分析】首先根据勾股定理求出斜边AB的长，再根据三角形的面积为定值即可求出点C到AB的距离．【详解】在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∴AC2+BC2=AB2，∵BC=12，AC=9，∴AB=，∵△ABC的面积=AC•BC=AB•CD，∴CD=，故答案为．【点睛】本题考查了勾股定理、三角形面积的计算方法；熟练掌握勾股定理，通过三角形面积求出CD是解决问题的关键．27．20【分析】将圆柱侧面展开，得到长方形MNQP，作点B关于PQ的对称点B′，构造直角三角形ACB′，根据勾股定理求出AB′=20cm，即是所求．【详解】解：如图，将圆柱侧面展开，得到长方形MNQP，作点B关于PQ的对称点B′点B与点B′关于PQ对称，可得AC=16cm，B′C=12cm，则最短路程为AB′=cm．故答案为：20【点睛】本题考查平面展开-最短路径问题．28．【分析】将长方体从不同侧面展开，分别利用从不同的表面得出其路径长，进而得出答案．【详解】解：如图1，AB=（cm），如图2，AB=（cm），如图3，AB=（cm），故沿长方体的表面爬到对面顶点B处，只有图2最短，其最短路线长为：cm．故答案为：.【点睛】本题主要考查了平面展开图最短路径问题，解决本题的关键要将长方体分情况正确展开并利用勾股定理计算．29．四边形ABCD的面积为36．【分析】连接AC，在直角三角形ABC中，由AB及BC的长，利用勾股定理求出AC的长，再由AD及CD的长，利用勾股定理的逆定理得到三角形ACD为直角三角形，根据四边形ABCD的面积=直角三角形ABC的面积+直角三角形ACD的面积，即可求出四边形的面积．【详解】解：连接AC，如图所示：∵∠B=90°，∴△ABC为直角三角形，又AB=4，BC=3，∴根据勾股定理得：AC==5，又AD=13，CD=12，∴AD2=132=169，CD2+AC2=122+52=144+25=169，∴CD2+AC2=AD2，∴△ACD为直角三角形，∠ACD=90°，则S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD=AB•BC+AC•CD=×3×4+×12×5=36．答：四边形ABCD的面积为36．【点睛】本题考查了勾股定理，以及勾股定理的逆定理，熟练掌握定理及逆定理是解本题的关键．30．（1）△ABC是直角三角形；理由见解析；（2）△ABC中BC边上的高是2．【分析】（1）求出AB2+AC2＝BC2，再根据勾股定理的逆定理求出即可；（2）求出△ABC的三边的长度，再根据三角形的面积公式求出即可．【详解】（1）∵由勾股定理得：AB2＝12+22＝5，AC2＝22+42＝20，BC2＝32+42＝25，∴AB2+AC2＝BC2，∴△ABC是直角三角形；（2）∵AB2＝12+22＝5，AC2＝22+42＝20，BC2＝32+42＝25，∴AB＝，AC＝，BC＝5，设△ABC的边BC上的高为h，则AB×AC＝BC×h，∴，h＝2，即△ABC中BC边上的高是2．【点睛】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，能求出△ABC是直角三角形是解此题的关键．31．（1）见解析；（2）2+【分析】（1）由△ABC是等腰直角三角形，得到AC=BC，∠FCB=∠ECA=90°，由于AC⊥BE，BD⊥AE，根据垂直的定义得到∠CBF+∠CFB=90°，∠DAF+∠AFD=90°，由于∠CFB=∠AFD，于是得到∠CBF=∠CAE，证得△BCF≌△ACE，得出AE=BF，由于BE=BA，BD⊥AE，于是得到AD=ED，即AE=2AD，即可得到结论；（2）由（1）知△BCF≌△ACE，推出CF=CE=，在Rt△CEF中，EF==2，由于BD⊥AE，AD=ED，求得AF=FE=2，于是结论即可．【详解】（1）证明：∵△ABC是等腰直角三角形，∴AC=BC，∴∠FCB=∠ECA=90°，∵AC⊥BE，BD⊥AE，∴∠CBF+∠CFB=90°，∠DAF+∠AFD=90°，∵∠CFB=∠AFD，∴∠CBF=∠CAE，在△BCF与△ACE中，，∴△BCF≌△ACE，∴AE=BF，∵BE=BA，BD⊥AE，∴AD=ED，即AE=2AD，∴BF=2AD；（2）由（1）知△BCF≌△ACE，∴CF=CE=，∴在Rt△CEF中，EF==2，∵BD⊥AE，AD=ED，∴AF=FE=2，∴AC=AF+CF=2+．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键．32．同意豆花的说法．BC＝12m【分析】直接利用等边三角形的判定方法得出△ABD是等边三角形，再利用勾股定理得出答案．【详解】解：同意豆花的说法．理由：连接BD，∵AB＝AD＝5m，∠A＝60°，∴△ABD是等边三角形，∴BD＝5m，∠ABD＝60°，∵∠ABC＝150°，∴∠DBC＝90°，∵DC＝13m，BD＝5m，∴CB＝＝12（m）．答：CB的长度为12m．【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用以及等边三角形的判定，正确得出△ABD是等边三角形是解题关键．33．见解析【分析】连接AC，先依据勾股定理求得AB、AC、BC的长，然后依据勾股定理的逆定理可求得△ABC为直角三角形，然后依据AC=BC可得到三角形ABC为等腰直角三角形，故此可得到∠ABC=45°．【详解】证明：连接AC，则由勾股定理可以得到：AC==，BC==，AB==．∴AC2+BC2=AB2．∴△ABC是直角三角形．又∵AC=BC，∴∠CAB=∠ABC．∴∠ABC=45°．【点睛】本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理的应用，等腰直角三角形的判定，证得△ABC为等腰直角三角形是解题的关键．34．135°．【分析】连接AC，设DA=k，则AB=2k，BC=2k，CD=3k．由∠B=90°，AB：BC=2：2，得到∠BAC=45°，在△DAC中利用勾股定理的逆定理可∠DAC=90°，从而求出∠DAB的度数．【详解】解：连接AC．设DA=k，则AB=2k，BC=2k，CD=3k．∵∠B=90°，AB：BC=2：2，∴∠BAC=45°，=，∵，∴∠DAC=90°，∴∠DAB=∠BAC+∠DAC=135°．35．（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）根据实际上直角边长为2和2的直角三角形的斜边长，即可解答；（2）实际上是直角边长为2和2的直角三角形的斜边长，实际上是直角边长为2和1的直角三角形的斜边长，即可解答．【详解】（1）本题中实际上直角边长为2和2的直角三角形的斜边长，如图①线段即为所求线段；（2）本题中实际上是直角边长为2和2的直角三角形的斜边长，实际上是直角边长为2和1的直角三角形的斜边长，据此可找出如图②中的三角形即为所求．【点睛】本题主要考查了勾股定理，解题的关键是确定直角三角形的直角边长后根据边长画出所求的线段和三角形．36．（1）小时；（2）海里【分析】1）∠CAB＝45°，C的位置就是灯塔B的西北方向，在Rt△ABD中求的AC，再利用速度公式求解即可；（2）在△BDC中含30°角的直角三角形的性