福州市重点中学2025届高三年级下册期摸底考试数学试题试卷

福州市重点中学2025届高三下期摸底考试数学试题试卷

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再

选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知复数4=1+3，，z2=ni¥2if且马之为实数，则（）

2.一个空间几何体的正视图是长为%宽为后的长方形，侧视图是边长为2的等边三角形，俯视图如图所示，则该

几何体的体积为（）

俯视图

A.竽B.4逐C.竽D.26

3.下列命题为真命题的个数是（）（其中乃，。为无理数）

323

®x[e>—i®ln^-<—；③In3〈一.

23e

A.0B.1C.2D.3

o

4.设i为虚数单位，则复数z=E在复平面内对应的点位于（）

1-z

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

5.已知复数z满足>z=3+2j（i是虚数单位），则1=（）

A.2+3;B.2-3/C.-2+3/D.-2-3/

6.某学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽取了一个容量为〃的样本，其频率分布直方图如图所示，其中

支出在[20,40）（单位：元）的同学有34人，则〃的值为（）

C.90I).90

7.设等差数列｛qj的前〃项和为S”，若用=3,S4=10,贝ij&二（）

B.22C.11D.12

(x-2)(x-6,v)+3,(J>in2)

8.已知函数/（1）=,当xe[〃?,+x＞）时，/（；）的取值范围为（—8,e+2],则实数m的

3-2x,(x<in2)

取值范围是（）

B.C.D.[In2,l]

9.已知斜率为A的直线，与抛物线。：/一公交于A,B两点,线段Ab的中点为Al（1,〃?）（〃》0）,则斜率&的取

值范围是（）

A.y,i)B.(-a)J]C.(1,-Ko)I).[l,+00)

10.已知。==log4=log§2，则4,仇C的大小关系为（）

B.a>c>bC.b>a>cD.c>b>a

11.tan570=()

B有C.x/3

3

12.一个四棱锥的三视图如图所示（其中主视图也叫正视图，左视图也叫侧视图），则这个四棱锥中最最长棱的长度是

().

（主视图）（左视图）

（俯视图）

A.2瓜C.26D.2&

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.若x＞0,），＞。，且二十一=1,则x+2.y的最小值是.

14.点尸是△ABC所在平面内一点且P8+PC=AP,在△ABC内任取一点，则此点取自△P8C内的概率是一

15.曲线F=e,，+2）在点（0,2）处的切线方程为.

16.在平面直角坐标系xQy中，双曲线工-）3=1的一条准线与两条渐近线所围成的三角形的面积为.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）已知点P（o,l）,直线y=x+M，＜0）与抛物线V=2x交于不同两点A、B,直线以、相与抛物线

的另一交点分别为两点C、D,连接CD,点尸关于直线CD的对称点为点。，连接A。、BQ.

（1）证明：AD//CD,

（2）若AQA8的面积SN1—/,求/的取值范围.

18.（12分）如图，四棱锥P—A8c7）中，侧面。48为等腰直角三角形，8。，平面

PAB,PA=PB、AB=BC=2,AD=BD=由.

p

（1）求证；R4_L平面25C；

（2）求直线PC与平面BA。所成的角的正弦值.

19.（125*）已知等差数列｛《J满足。3=7,/+为=26.

（1）求等差数列｛%｝的通项公式；

（2）设0=丁＞,〃eN'，求数列｛c”｝的前〃项和

20.（12分）为贯彻十九大报告中“要提供更多优质生态产品以满足人民日益增长的优美生态环境需要”的要求，某生

物小组通过抽样检测植物高度的方法来监测培育的某种植物的生长情况.现分别从A、3、C三块试验田中各随机抽

取7株植物测量高度，数据如下表（单位：厘米）：

A组1()111213141516

8组12131415161718

C组13141516171819

假设所有植株的生长情况相互独立.从A、3、C三组各随机选1株，A组选出的植株记为甲，〃组选出的植株记为

乙，。组选出的植株记为丙.

（1）求丙的高度小于15厘米的概率：

（2）求甲的高度大于乙的高度的概率：

（3）表格中所有数据的平均数记为自）.从A、B、。三块试验田中分别再随机抽取［株该种植物，它们的高度依次

是14、16、15（单位：厘米）.这3个新数据与表格中的所有数据构成的新样本的平均数记为小，试比较外和小的

大小.（结论不要求证明）

21.（12分）选修4・5：不等式选讲

已知函数f（x）=log2（|x+l|+|x-2|-m）.

(1)当m=7时，求函数f(x)的定义域：

(2)若关于x的不等式f(x)>2的解集是R,求m的取值范围.

InV

22.(10分)已知函数f(x)=——・

JC

(I)求函数/(力的极值；

(II)若"?>〃>0,且加,=nm，求证：〃7〃>e2.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、B

【解题分析】

把引=〃?-2，和马=1+3，代入弓・昆再由复数代数形式的乘法运算化简，利用虚部为。求得m值.

【题目详解】

2

因为Z[N=(l+3i)("7-2i)=(〃7+6)+(3〃7-2)i为实数，所以3帆一2=0,解得

【题目点拨】

本题考查复数的概念，考查运算求解能力.

2、B

【解题分析】

由三视图确定原几何体是正三棱柱，由此可求得体积.

【题目详解】

由题意原几何体是正三棱柱，V=1x2x百x4=4石.

2

故选：B.

【题目点拨】

本题考查三视图，考查棱柱的体积.解题关键是由三视图不愿出原几何体.

3、C

【解题分析】

对于①中，根据指数基的运算性质和不等式的性脑，可判定值正确的：对于②中,构造新函数/(Y)=lnx-j,x>0,

利用导数得到函数为单调递增函数，进而得到/(4)>/,),即可判定是错误的；对于③中，构造新函数

〃x)=elnx-x,x>0,利用导数求得函数的最大值为/(e)=0,进而得到〃3)<0,即可判定是正确的.

【题目详解】

由题意，对于①中，由(&)2=e,(；)=3=2.25,可得e>2.25,根据不等式的性质，可得人成立，所以是正

确的；

2I

对于②中，设函数/(x)=lnx—Q,x>0,则/'(工)=二〉0,所以函数为单调递增函数，

JX1

因为乃则/(")>/,)

2212

又由===所以/(万)>0,即访乃>§,所以②不正确：

对于③中，设函数/(x)=elnx-x,x>。，则.(x)=£-l=^-

XX

当工6(0,6)时，/'(工)>0,函数/(X)单调递增，

当xw(e,-oo)时，/'(力<0,函数/(x)单调递减，

所以当x=e时，函数取得最大值，最大值为/(e)=elne-e=O,

所以/(3)=eln3—3v0,即eh)3<3,即In3<。，所以是正确的.

V

故选：C.

【题目点拨】

本题主要考查了不等式的性质，以及导数在函数中的综合应用，其中解答中根据题意，合理构造新函数，利用导数求

得函数的单调性和最值是解答的关键，着重考查了构造思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.

4、A

【解题分析】

利用复数的除法运算化简z,求得二对应的坐标，由此判断对应点所在象限.

【题目详解】

<z=匚]=([_:(二「•对应的点的坐标为°』)，位于第一象限•

故选：A.

【题目点拨】

本小题主要考查复数除法运算，考查复数对应点所在象限，属于基础题.

5、A

【解题分析】

把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案.

【题目详解】

解：由"2=3+2"得z="=(3+2,(T)=2_3i,

i-/■

「♦z=2+3z.

故选A.

【题目点拨】

本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题.

6、A

【解题分析】

利用频率分布直方图得到支出在［20,40)的同学的频率，再结合支出在［20,40)(单位：元)的同学有34人，即得解

【题目详解】

由题意，支出在［20.40)(单位：元)的同学有34人

由频率分布直方图可知，支出在［20,40)的同学的频率为

34

(0.01+0.024)x10=0.34,/.n=—=1CO.

故选：A

【题目点拨】

本题考查了频率分布直方图的应用，考查了学生概念理解，数据处理，数学运算的能力，属于基础题.

7、A

【解题分析】

由题意知邑,5］-S2,§6成等差数列，结合等差中项，列出方程，即可求出§6的值.

【题目详解】

解：由｛6｝为等差数列，可知名，54一邑，56-54也成等差数列，

所以2(S「S2)=S2+S6-S4,即2X(10-3)=3+S6-10,解得$6=21.

故选:A.

【题目点拨】

本题考查了等差数列的性质，考查了等差中项.对于等差数列，一般用首项和公差将已知量表示出来，继而求出首项和

公差.但是这种基本量法计算量相对比较大，如果能结合等差数列性质，可使得计算量大大减少.

8、C

【解题分析】

求导分析函数在xNln2时的单调性、极值，可得xNln2时，满足题意，再在x<ln2时，求解/(x)«e+2的

x的范围，综合可得结果.

【题目详解】

当xNln2时，尸(x)m-2),

令尸(x)>0,JMln2<x<l；/'(x)<0,则尤>1,

，函数在(ln2,1)单调递增，在(l,+o。)单调递减.

・♦.函数/(“在x=l处取得极大值为/(l)=e+2,

xNln2时，/'(X)的取值范围为(—,6+2],

:.ln2<m<1

又当x<ln2时，令/(x)=3-2x<e+2,则工之宁，即宁4x<ln2,

]—e

----<m<ln2

2

]—e

综上所述，，〃的取值范围为—J.

■■

故选C.

【题目点拨】

本题考查了利用导数分析函数值域的方法，考查了分段函数的性质，属于难题.

9、C

【解题分析】

设A(x，y1),B(X2,y2),设直线/的方程为：『匕+b,与抛物线方程联立，由A>0得姑<1,利用韦达定理结

合已知条件得人=一7二，m=-f代入上式即口J求出k的取值范围.

kk

【题目详解】

设直线/的方程为：y=kx+bt4%,yj,仅与，y2),

y-+b

联立方程，，消去y得：公Y+(2姑-4)x+加=0,

J=4x

/.△=(2kb-4)2-4k2b2>0,

kb<\,

4一2必

且X)+x2=

4

X+M=&(%+匕)+26=：，

k

线段A8的中点为(m>0),

4-2处c4c

"+"2=R=2,yt+y2=-=2mt

2-k22

b=-------，rn=—,

kk

rn>0,

：.k>0f

把b=上三代入幼<1,得2T2<i,

k

Ar2>1»

故选：C

【题目点拨】

本题主要考查了直线与抛物线的位置关系，考查了韦达定理的应用，属于中档题.

10、A

【解题分析】

根据指数函数的单调性，可得〃再利用对数函数的单调性，将"C与1.2对比，即可求出结论.

【题目详解】

11

由题知。=55>5°=lJ>/?=log4^>log42=-,

c=logs2<log57H贝!J

故选:A.

【题目点拨】

本题考查利用函数性质比较大小，注意与特殊数的对比，属于基础题..

11、A

【解题分析】

直接利用诱导公式化简求解即可.

【题目详解】

c

S〃570°=S〃(360°+210°)=S〃210°=S〃(180°+30°)=to«30°=—.

3

故选：A.

【题目点拨】

本题考查三角函数的恒等变换及化简求值，主要考查诱导公式的应用，属于基础题.

12、A

【解题分析】

作出其直观图，然后结合数据根据勾股定定理计算每一条棱长即可.

【题目详解】

根据三视图作出该四棱锥的直观图，如图所示，其中底面是直角梯形，且49=A/=2,6c=4,

Q4,平面43C。，且E4=2,

PB=y/22+22=2x/2>PD=S”=2五,CO=2及，PC="#+心=，4+2()=2几，

・••这个四棱锥中最长棱的长度是2#.

故选A.

【题目点拨】

本题考查了四棱锥的三视图的有关计算，正确还原直观图是解题关键，属于基础题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、8

【解题分析】

711

利用1的代换，将1+2)，写成(工+2)，)一+一，然后根据基本不等式求解最小值.

\xy)

【题目详解】

因为x+2y=(x+2)，)[2+l.]=4+些+*8(x=2)，即卜一：取等号)，

lxy)xy[y=2

所以最小值为8・

【题目点拨】

ab

已知一+-=c,求解"〃+〃)’(久b、c、根、〃>())的最小值的处理方法：利用

xy

—+~=>,得到〃。+d=(2+2)(〃。+〃)，)，展开后利用基本不等式求解，注意取等号的条件.

excyexcy

1

14、-

3

【解题分析】

51

设。是3c中点，根据已知条件判断出AP,。三点共线且尸是线段AQ靠近Q的三等分点，由此求得三"二5，

结合几何概型求得点取自三角形P8C的概率.

【题目详解】

设。是8c中点，因为尸8+PC=AP，所以2PO=AP，所以AP、。三点共线且点尸是线段AO靠近D的三等

分点，

SI1

故不P以RC二可，所以此点取自「P8C内的概率是彳.

3.ABCJ3

故答案为：!

3

【题目点拨】

本小题主要考查三点共线的向量表示，考查几何概型概率计算，属于基础题.

15、)，=2工+2

【解题分析】

对函数求导，得出在(0,2)处的一阶导数值，即得出所求切线的斜率，再运用直线的点斜式求出切线的方程.

【题目详解】

令/。)=/(/+2),•./,(x)=er(x2+2x+2),所以/'(0)=2,又•：/(())=2,.・.所求切线方程为y-2=2/,即

y=2x+2.

故答案为：y=2x+2.

【题目点拨】

本题考查运用函数的导函数求函数在切点处的切线方程，关键在于求出在切点处的导函数值就是切线的斜率，属于基

础题.

24

16、——

13

【解题分析】

求出双曲线的渐近线方程，求出准线方程，求出三角形的顶点的坐标，然后求解面积.

【题目详解】

22

解：双曲线C：双曲线三一二=1中a=2,b=3,c=

49

尸V2a24

则双曲线七一=1的一条准线方程为x=—=-=,

49fV13

双曲线的渐近线方程为：尸士京，

可得准线方程与双曲线C的两条渐近线所围成的三角形的顶点的坐标(京，余)，(木,一意)，

I4624

则三角形的面积为彳XX2X:丁

25/13y/13IJ

故答案为：——

13

【题目点拨】

本题考查双曲线方程的应用，双曲线的简单性质的应用，考查计算能力，属于中档题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

(3'

17、(1)见解析；(2)-oo,--.

【解题分析】

（1）设点A,求出直线24、网的方程，与抛物线的方程联立，求出点C、。的坐标，利

用直线A3、CO的斜率相等证明出入B〃CQ；

（2）设点尸到直线A8、CO的距离分别为4、出，求出4,利用相似得出么，可得出△QA8的边A8上的高,

并利用弦长公式计算出|A8|,即可得出S关于，的表达式，结合不等式S21-1可解出实数/的取值范围.

【题目详解】

⑴设点、B与~，）’2，则即a="_

直线处的方程为一二心），-心，

1=）『y__v2v2

由《2（y-l）2（j,-l）,消去x并整理得y2一上），+—=（）

2.>i-iy-i

y=2x

由韦达定理可知，%以=>c>i==七

y-i

4y.

代入直线4P的方程，得入=卷八解得C

2（凹-1）、23-1）23，

同理，可得。

2，

U（y2-I）y2-1

必__yi_

•k-『I_2^-y.^_

,,s-£），：_八_+"_，kAB=仙-灯=…=1，

25-1）225-1）2必-1yT

k_222（y.l）_]

1.y+乃=2,「.必=2_），]代入得2y।yy2+y2y,-2

（2-y,）-1>i-1XT

因此，ABHCD：

\-t

（2）设点P到直线人B、CO的距离分别为4、“2,则4=正'

4=网=画&囹囹

由（1）知AB//CD,

4\PC\\PD\f'd；\PC\\PD\

・•.|PA|=、/I+人心,|PC|=JI+&以.4,二问号=(y

\pB\,「二/丫

同理，得西m,孚心_g_］『E_(y+y2T，

a2

由《.V整理得)？-2)，+2，=0,由韦达定理得y+%=2,弘为=21,

y=2x

得&=0；121)'

设点Q到直线AB的高为〃，则力=|4一2%卜夜;；：z),l2z+1b

|A8|=、百•J(y+)J—4%％=2石.，

・"J叫=人归一,

vr<0,解得，4一口，因此，实数，的取值范围是(一8,一1

212.

【题目点拨】

本题考查直线与直线平行的证明，考查实数的取值范围的求法，考查抛物线、直线方程、韦达定理、弦长公式、直线

的斜率等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是难题.

18、(1)见解析(2)&

9

【解题分析】

(1)根据ACJ■平面QA3,利用线面垂直的定义可得8C_L/〉A,再由F4_LPB,根据线面垂直的判定定理即可证

出.

(2)取的中点。，连接。尸,。。，以。为坐标原点，OP分别为元,yz正半轴建立空间直角坐标系

。一冷2求出平面PAO的一个法向量，利用空间向量法即可求解.

【题目详解】

(1)因为6C_L平面PAB、PAu平面PAB,

所以3C1FA

由AE45为等腰直角三角形,

所以A4J.尸8

又PBcBC=B,故PA_L平面P4&

(2)取的中点。，连接。只。。,

因为PA=PB,AD=BD,

所以PO1A3,OO_LA8

因为8C_L平面PAB,

所以R4B_L平面ABCD,

所以尸。_L平面ABCD,P010D,

如图，以。为坐标原点，。力,。8,。。分别为工,乂2正半轴建立空间直角坐标系。一g2,

则AO=BO=PO=1,DO=ylAD2-AO2=2,

又BC工SB,£）01PA,

所以OD//BC且0。=8C,于是

P（0,0J）,A（0,-1,0）,7）（2,0,0）,C（2,1,0）

PC=（2,1,-l）"=（0』/）,4）=（2』,0）,

设平面尸八。的法向量为〃=(x,y,z),则

n-AP=y+z=0

n-AD=2x+y=0

令工=1得平面PAD的一个法向量〃=(1,-2,2)

设直线产。与平面。人。所成的角为。，

PC・〃2_x/6

则sina=cos（PC,n

PC・n-V6^~~9~

【题目点拨】

本题考查了线面垂直的定义、判定定理以及空间向量法求线面角，属于中档题.

19、（1）^=2/2+1；（2）7；,=—^—.

6〃+9

【解题分析】

试题分析：（1）设等差数列｛q｝满的首项为4,公差为“，代入两等式可解

（2）由（1）%=2〃+1,代入得J二一丁二],所以通过裂项求和可求得7；。

a.+2d=7[a=3

试题解析：（1）设等差数列的公差为d，则由题意可得”，解得J.

[2q+10d=26[d=2

所以=3+2(〃-1)=2〃+1.

11

(2)因为《1=-----=s

《4+1(2〃+1)(2〃+3)

11

所以*=5(2〃+12〃+3

1{111\_(\___a

所以1=5T一+一2132〃+3,

乙1D5572/7+12n+3)6〃+9

，10

20、(1)—；(2)—；(3)40VM.

749

【解题分析】

设事件4,为“甲是A组的第i株植物”，事件用为“乙是3组的第i株植物Z事件G为“丙是C组的第i株植物"，，=1、

2、…、7,可得出p（4）=p（用=P（G）=；.

（1）设事件。为“丙的高度小于15厘米%可得。=«口。2,且G、G互斥，利用互斥事件的概率公式可求得结果;

(2)设事件E为“甲的高度大于乙的高度”，列举出符合题意的基本事件，利用互斥事件的概率加法公式可求得所求

事件的概率：

(3)根据题意直接判断〃。和耳的大小即可.

【题目详解】

设事件A,为“甲是A组的第i株植物”，事件用为“乙是8组的第i株植物”，事件G为“丙是C组的第i株植物"，i=l、

2、…、7.

由题怠可知尸(4)=尸(q)=尸(G)=m，7=1、2、…、7.

(1)设事件。为“丙的高度小于15厘米%由题意知。

2

又a与G互斥，所以事件。的概率P(0=P(。〜G)=P(cJ+P(G)='；

(2)设事件E为“甲的高度大于乙的高度”.

由题意知E=A&B2uD4片u4为=uA7B2u4层uA783kJA7B4.

所以事件E的概率P(E)=P(A4)十A(A4)+P(A4)+P(A74HA(4里)

+尸(4员)+尸(45)+尸(4员)+~4&)+「(4成)

=IOP(AM)=IOP(A)P(4)=M；

⑶〃o<4・

【题目点拨】

本题考查概率的求法，考查互斥事件加法公式、相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是中等

题.

21、(1)3)J(4,-KO),(2)(―8,—1]

【解题分析】

试题分析：用零点分区间讨论法解含绝对值的不等式，根据绝对值