【数学】2025年高考真题-全国Ⅰ卷（精校版）

2025年高考全国Ⅰ卷一、单选题1.(1+5i)i的虚部为()A.-1 B.0 C.1 D.6答案C解析因为(1+5i)i=i+5i2=-5+i，所以其虚部为1.2.已知集合U={x|x是小于9的正整数}，A={1，3，5}，则∁UA中元素的个数为()A.0 B.3 C.5 D.8答案C解析因为U={1，2，3，4，5，6，7，8}，A={1，3，5}，所以∁UA={2，4，6，7，8}，故∁UA中元素的个数为5.3.已知双曲线C的虚轴长是实轴长的7倍，则C的离心率为()A.2 B.2 C.7 D.22答案D解析设双曲线的实轴长、虚轴长、焦距分别为2a，2b，2c，由题意知b=7a，于是c2=a2+b2=a2+7a2=8a2，则c=22a，即e=ca=224.已知点(a，0)(a>0)是函数y=2tanx-π3的图象的一个对称中心，则a的最小值为A.π6 B.π3 C.π2答案B解析y=2tanx-π3的对称中心的横坐标满足x-π3=kπ2，k∈Z，即x=π3所以y=2tanx-π3的图象的对称中心是π3+即a=π3+kπ2，k又a>0，则当k=0时，a最小，最小值是π35.已知f(x)是定义在R上且周期为2的偶函数，当2≤x≤3时，f(x)=5-2x，则f-34等于(A.-12 B.-14 C.14答案A解析由题意知f(x)=f(-x)，f(x+2)=f(x)对一切x∈R成立，于是f

-34=f

34=f

114=5-2×6.帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小和方向，测出的结果在航海学中称为视风风速.视风风速对应的向量是真风风速对应的向量与船行风风速对应的向量之和，其中船行风风速对应的向量与船速对应的向量大小相等、方向相反.表格给出了部分风力等级、名称与风速大小的对应关系.已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图所示(线段长度代表速度大小，单位：m/s)，则该时刻的真风为()级数名称风速大小(单位：m/s)2轻风1.6~3.33微风3.4~5.44和风5.5~7.95劲风8.0~10.7A.轻风 B.微风 C.和风 D.劲风答案A解析由题意及题图得，视风风速对应的向量为n=(0，2)-(3，3)=(-3，-1)，视风风速对应的向量是真风风速对应的向量与船行风风速对应的向量之和，船行风风速对应的向量与船速对应的向量大小相等、方向相反，设真风风速对应的向量为n1，船行风风速对应的向量为n2，∴n=n1+n2，n2=-[(3，3)-(2，0)]=(-1，-3)，∴n1=n-n2=(-3，-1)-(-1，-3)=(-2，2)，∴|n1|=(-2)2+22=22由表格可得，该时刻的真风为轻风.7.已知圆x2+(y+2)2=r2(r>0)上到直线y=3x+2的距离为1的点有且仅有两个，则r的取值范围是()A.(0，1) B.(1，3)C.(3，+∞) D.(0，+∞)答案B解析由题意，在圆x2+(y+2)2=r2(r>0)中，圆心为E(0，-2)，半径为r，∵圆心E(0，-2)到直线y=3x+2的距离为d=|0×故由图可知，当r=1时，圆x2+(y+2)2=r2(r>0)上有且仅有1个点(A点)到直线y=3x+2的距离等于1；当r=3时，圆x2+(y+2)2=r2(r>0)上有且仅有3个点(B，C，D点)到直线y=3x+2的距离等于1，则当r的取值范围为(1，3)时，圆x2+(y+2)2=r2(r>0)上有且仅有2个点到直线y=3x+2的距离等于1.8.已知2+log2x=3+log3y=5+log5z，则x，y，z的大小关系不可能为()A.x>y>z B.x>z>yC.y>x>z D.y>z>x答案B解析方法一设2+log2x=3+log3y=5+log5z=m，令m=2，则x=1，y=3-1=13，z=5-3=1125，此时x>y>z，令m=5，则x=8，y=9，z=1，此时y>x>z，C有可能；令m=8，则x=26=64，y=35=243，z=53=125，此时y>z>x，D有可能.方法二设2+log2x=3+log3y=5+log5z=m，所以x=2m-2，y=3m-3，z=5m-5，根据指数函数的单调性，易知各方程有唯一的实数解，作出函数y=2x-2，y=3x-3，y=5x-5的图象，以上方程的解分别是函数y=2x-2，y=3x-3，y=5x-5的图象与直线x=m的交点纵坐标，如图所示.易知，随着m的变化可能出现x>y>z，y>x>z，y>z>x，z>y>x.方法三(数形结合法)2+log2x=3+log3y=5+log5z⇔2+lnxln2=3+ln⇔-1+lnxln2=lny因此只需比较lnx，lny，lnz的大小，将lnx，lny，lnz看作是自变量，作出如图所示的直线，则图中直线y=-1+lnxln2，y=lnxln3，y=2+lnxln5与虚线的交点的横坐标分别为lnx，ln由图可知不可能出现lnx>lnz>lny，即不可能出现x>z>y.二、多选题9.在正三棱柱ABC-A1B1C1中，D为BC的中点，则()A.AD⊥A1CB.B1C1⊥平面AA1DC.AD∥A1B1D.CC1∥平面AA1D答案BD解析方法一如图，设D1为B1C1的中点，由题意得AA1⊥平面ABC，因为AD⊂平面ABC，则AD⊥AA1，假设AD⊥A1C，又AA1∩A1C=A1，AA1，A1C⊂平面AA1C，则AD⊥平面AA1C，因为AC⊂平面AA1C，则AD⊥AC，矛盾，故A错误；由题意知AD⊥BC，AA1⊥BC，又AA1∩AD=A，AA1，AD⊂平面AA1D，则BC⊥平面AA1D，又BC∥B1C1，所以B1C1⊥平面AA1D，故B正确；由题意得AD∥A1D1，假设AD∥A1B1，则A1D1∥A1B1，与A1B1∩A1D1=A1矛盾，则AD∥A1B1不成立，故C错误；由题意得CC1∥AA1，又CC1⊄平面AA1D，AA1⊂平面AA1D，故CC1∥平面AA1D，故D正确.方法二对于A，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，又AD⊂平面ABC，则AA1⊥AD，则A1A·AD因为△ABC是正三角形，D为BC的中点，则AD⊥BC，则DC·AD=0.又A1C=A1A+所以A1C·AD=(A1A+AD+DC)·AD=A1A·AD+AD2+DC则AD⊥A1C不成立，故A错误；对于B，因为在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，则AA1⊥BC，因为△ABC是正三角形，D为BC的中点，则AD⊥BC，又AA1∩AD=A，AA1，AD⊂平面AA1D，所以BC⊥平面AA1D，又BC∥B1C1，所以B1C1⊥平面AA1D，故B正确；对于C，因为在正三棱柱ABC-A1B1C1中，A1B1∥AB，假设AD∥A1B1，则AD∥AB，这与AD∩AB=A矛盾，所以AD∥A1B1不成立，故C错误；对于D，因为在正三棱柱ABC-A1B1C1中，CC1∥AA1，又AA1⊂平面AA1D，CC1⊄平面AA1D，所以CC1∥平面AA1D，故D正确.方法三如图，建立空间直角坐标系，设AB=2，该正三棱柱的高为h，则D(0，0，0)，A(3，0，0)，A1(3，0，h)，C(0，-1，0)，C1(0，-1，h)，B1(0，1，h)，对于A，AD=(-3，0，0)，A1C=(-3，-1，-h则AD·A1C=(-3)×(-3)+0+0=3≠则AD⊥A1C不成立，故A错误；对于B，D，B1C1=(0，-2，0)，CC1=(0，0，h)，AA1=(设平面AA1D的法向量为n=(x，y，z)，则AA1·n=hz=0,AD·n=-3x=0,得x=所以B1C1=(0，-2，0)=-2n，CC则B1C1⊥平面AA1D，CC1∥平面AA1D，故B，D正确；对于C，AD=(-3，0，0)，A1B1=(-3，1，则-3-3≠01，显然AD∥A1B110.已知抛物线C：y2=6x的焦点为F，过F的一条直线交C于A，B两点，过A作直线l：x=-32的垂线，垂足为D，过F且与直线AB垂直的直线交l于点E，则(A.|AD|=|AF|B.|AE|=|AB|C.|AB|≥6D.|AE|·|BE|≥18答案ACD解析方法一对于A，抛物线C：y2=6x，则p=3，其准线为l：x=-32，焦点F3因为点A在抛物线C上，由抛物线的定义可知，|AD|=|AF|，故A正确；对于B，过点B作准线l的垂线，垂足为P，如图，由题意可知AD⊥l，EF⊥AB，则∠ADE=∠AFE=90°，又|AD|=|AF|，|AE|=|AE|，所以△ADE≌△AFE，所以∠AED=∠AEF，同理∠BEP=∠BEF，又∠AED+∠AEF+∠BEP+∠BEF=180°，所以∠AEF+∠BEF=90°，即∠AEB=90°，显然AB为Rt△ABE的斜边，则|AE|<|AB|，故B错误；对于C，易知直线AB的斜率不为0，设直线AB的方程为x=my+32，A(x1，y1)，B(x2，y2)联立x=my+32,y2=6易知Δ>0，则y1+y2=6m，y1y2=-9，又x1=my1+32，x2=my2+3所以|AB|=x1+x2+p=m(y1+y2)+3+3=6m2+6≥6，当且仅当m=0时取等号，故C正确；对于D，在Rt△ABE与Rt△AEF中，∠BAE=∠EAF，所以Rt△ABE∽Rt△AEF，则|AE||AB|=|AF||AE|，即|AE|2=|AF|·|AB同理|BE|2=|BF|·|AB|，又|AF|·|BF|=x1+32x2+32==m2y1y2+3m(y1+y2)+9=-9m2+18m2+9=9(m2+1)，|AB|=6m2+6=6(m2+1)，所以|AE|2·|BE|2=|AF|·|BF|·|AB|2=9(m2+1)×36(m则|AE|·|BE|=3(m2+1)12×6(m2+1)=18(m2+1方法二对于A，抛物线C：y2=6x，则p=3，其准线为l：x=-32，焦点F3则|AD|为抛物线上的点A到准线的距离，|AF|为抛物线上的点A到焦点的距离，由抛物线的定义可知，|AD|=|AF|，故A正确；对于B，过点B作准线l的垂线，垂足为P，由题意可知AD⊥l，EF⊥AB，则∠ADE=∠AFE=90°，又|AD|=|AF|，|AE|=|AE|，所以△ADE≌△AFE，所以∠AED=∠AEF，同理∠BEP=∠BEF，又∠AED+∠AEF+∠BEP+∠BEF=180°，所以∠AEF+∠BEF=90°，即∠AEB=90°，显然AB为Rt△ABE的斜边，则|AE|<|AB|，故B错误；对于C，当直线AB的斜率不存在时，|AB|=2p=6；当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx-32(k≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y联立y=kx-32,y2=6x,消去y，得k2x2-(3易知Δ>0，则x1+x2=3+6k2，x1x2=所以|AB|=1+k2|x1-x2|=1+=1+k2×3+6k综上，|AB|≥6，故C正确；对于D，在Rt△ABE与Rt△AEF中，∠BAE=∠EAF，所以Rt△ABE∽Rt△AEF，则|AE||AB|=|AF||AE|，即|AE|2=|AF|·|AB同理|BE|2=|BF|·|AB|，当直线AB的斜率不存在时，|AB|=6，|AF|=|BF|=12|AB|=3所以|AE|2·|BE|2=|AF|·|BF|·|AB|2=3×3×62，即|AE|·|BE|=18；当直线AB的斜率存在时，|AB|=61+1|AF|·|BF|=x1+32x2+32=x1x2+32(x1+x2)+所以|AE|2·|BE|2=|AF|·|BF|·|AB|2=91+1k2×则|AE|·|BE|=31+1k212×6综上，|AE|·|BE|≥18，故D正确.方法三易知l为抛物线的准线，点A在抛物线C上，由抛物线的定义可知A选项正确；设∠AFx=θ，易证△ADE≌△AFE，则∠DAE=∠EAF=θ2因为|AF|=|AD|=|AF|·cosθ+p，所以|AF|=p1-cosθ，同理|BF|=所以|AE|=|AF|cosθ2则|AB|=|AF|+|BF|=p1-cosθ+p1+cosθ=2psin|AB|=2psin2θ≥2由∠DAE=∠EAF=θ2，则AE为抛物线C的切线，同理BE也为抛物线C由阿基米德三角形可知AE⊥BE，|AE||BE|=|AB|·|EF|=2psin2θ·psinθ=11.已知△ABC的面积为14，cos2A+cos2B+2sinC=2，cosAcosBsinC=14，则(A.sinC=sin2A+sin2BB.AB=2C.sinA+sinB=6D.AC2+BC2=3答案ABC解析cos2A+cos2B+2sinC=2，由二倍角公式，得1-2sin2A+1-2sin2B+2sinC=2，整理可得sinC=sin2A+sin2B，A选项正确；方法一由诱导公式得，sin(A+B)=sin(π-C)=sinC，展开可得sinAcosB+sinBcosA=sin2A+sin2B，即sinA(sinA-cosB)+sinB(sinB-cosA)=0，若A+B=π2，则sinA=cosB，sinB=cosA若A+B<π2，即0<A<π2-由诱导公式和正弦函数的单调性可知，sinA<sinπ2-B=cos同理sinB<cosA，又sinA>0，sinB>0，于是sinA(sinA-cosB)+sinB(sinB-cosA)<0，与条件不符，故A+B<π2若A+B>π2，同理可得sinA(sinA-cosB)+sinB(sinB-cosA)>0，与条件不符，故A+B>π2综上可知，A+B=π2，即C=π则cosAcosBsinC=14=cosAcosB，由A+B=π2，得cosB=sinA，即sinAcosA=则sin2A=12，同理sin2B=12，因为A，B∈0，π2，则2A，2B∈(不妨设A<B，则2A=π6，2B=5π6，即A=π12，B由两角和与差的正弦公式可知sinA+sinB=sinπ12+sin5π12=6-24+6由两角和的正切公式可得，tan5π12=2+3设BC=t(t>0)，AC=(2+3)t，则AB=(2+6)t，由S△ABC=12(2+3)t2=14，则t2=4-234=3-1于是AB=(2+6)t=2，B选项正确；由勾股定理可知，AC2+BC2=AB2=2，D选项错误.方法二sinC=sin2A+sin2B，由C∈(0，π)，则sinC∈(0，1]，于是1×sinC=sin2A+sin2B≥sin2C，设在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，由正弦定理得a2+b2≥c2，由余弦定理可知cosC≥0，则C∈0，若C∈0，π2，则A+B>π2，注意到cosAcosBsinC=14，则cosA于是cosA>0，cosB>0(两者同负会有两个钝角，不成立)，于是A，B∈0，结合A+B>π2⇔A>π2-B，而A，π2-B都是锐角，则sinA>sinπ2-于是sinC=sin2A+sin2B>cos2B+sin2B=1，这和0<sinC≤1矛盾，故C∈0，π2不成立，则C=π方法三cos2A+cos2B+2sinC=2⇒2sinC=1-cos2A+1-cos2B⇒2sinC=2sin2A+2sin2B，所以sinC=sin2A+sin2B，故A正确；设在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，由正弦定理asinA=bsinB=csinC=2R，可得a2+b2=c·2R≥c2，若a2+b2>c2，则cosC>0则A+B>π2⇒A>π2-B，则sinA>sinπ2-B，即sinA>cosB，代入sinC=sin2有sinC=sin2A+sin2B>cos2B+sin2B=1，与C∈0，π2矛盾，故a2+b2=c2，则C即cosC=cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB=0⇒cosAcosB=sinAsinB，又cosAcosBsinC=14，则sinAsinB=1因为S△ABC=12absinC=14⇒ab=所以absinAsinB=(2R)2=2⇒2R=2，所以csinC=2R=2⇒(sinA+sinB)2=sin2A+sin2B+2sinAsinB=sinC+12=32⇒sinA+sinB=62因为C=π2，则AC2+BC2=AB2=c2=2，故D错误三、填空题12.若直线y=2x+5是曲线y=ex+x+a的一条切线，则a=.

答案4解析y=ex+x+a的导数为y'=ex+1，因为直线y=2x+5是曲线y=ex+x+a的一条切线，直线的斜率为2，令y'=ex+1=2，即ex=1，解得x=0，将x=0代入切线方程y=2x+5，可得y=2×0+5=5，所以切点坐标为(0，5)，因为切点(0，5)在曲线y=ex+x+a上，所以5=e0+0+a，即5=1+a，解得a=4.13.若一个等比数列的各项均为正数，且前4项的和等于4，前8项的和等于68，则这个数列的公比等于.

答案2解析方法一设该等比数列为{an}，公比为q(q>0)，Sn是其前n项和，则S4=4，S8=68，当q=1时，S4=4a1=4，即a1=1，则S8=8a1=8≠68，显然不成立，舍去；当q≠1时，则S4=a1(1-q4)1-q=4两式相除得1-q81-q则1+q4=17，解得q=2(舍负)，所以这个数列的公比为2.方法二设该等比数列为{an}，公比为q(q>0)，Sn是其前n项和，则S4=a1+a2+a3+a4=4，S8=a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8=a1+a2+a3+a4+a1q4+a2q4+a3q4+a4q4=(a1+a2+a3+a4)(1+q4)=68，所以4(1+q4)=68，则1+q4=17，解得q=2(舍负)，所以这个数列的公比为2.方法三设该等比数列为{an}，公比为q(q>0)，Sn是其前n项和，则S4=4，S8=68，故S8-S4=a5+a6+a7+a8=(a1+a2+a3+a4)q4=68-4=64，又S4=a1+a2+a3+a4=4，所以4q4=64，解得q=2(舍负)，所以这个数列的公比为2.14.有5个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，从中有放回地随机取3次，每次取1个球.记X为这5个球中至少被取出1次的球的个数，则X的数学期望E(X)=.

答案61解析方法一依题意，X的可能取值为1，2，3，总的抽取方法数为53=125，其中X=1表示3次抽取同一标号的球，选择球的标号有5种方式，故P(X=1)=5125=1X=2表示恰好两种不同标号的球被取出(即一球出现2次，另一球出现1次)，选择出现2次的球有5种方式，选择出现1次的球有4种方式，其中出现1次的球第几次被取出有3种可能，故事件X=2的可能情况有5×4×3=60(种)，故P(X=2)=60125=12X=3表示三种不同标号的球被取出，可能情况有5×4×3=60(种)，故P(X=3)=60125=12所以E(X)=1×125+2×1225+3×1225方法二依题意，假设随机变量Xi，其中i=1，2，3，4，5，其中Xi=1,这3次取球中,i号球至少被取出1易知所有E(Xi)相等，则E(X)=E(5Σi=1Xi)=5Σi=1E(Xi)=5由题意可知，i号球在单次抽取中未被取出的概率为45由于每次抽取相互独立，则3次均未取出i号球的概率为P(Xi=0)=453=因此i号球至少被取出1次的概率为P(Xi=1)=1-64125=61125，故E(Xi)=所以E(X)=5E(Xi)=5×61125=61四、解答题15.为研究某疾病与超声波检查结果的关系，从做过超声波检查的人群中随机调查了1000人，得到如下列联表：超声波检查结果组别正常不正常合计患该疾病20180200未患该疾病78020800合计8002001000(1)记超声波检查结果不正常者患该疾病的概率为p，求p的估计值；(2)根据小概率值α=0.001的独立性检验，分析超声波检查结果是否与患该疾病有关.附：χ2=n(α0.050.0100.001xα3.8416.63510.828解(1)根据表格可知，超声波检查结果不正常的200人中有180人患该疾病，所以p的估计值为180200=9(2)零假设为H0：超声波检查结果与患该疾病无关，根据表中数据可得，χ2=1000×(20×20-180×780)2200×根据小概率值α=0.001的独立性检验，我们推断H0不成立，即认为超声波检查结果与患该疾病有关，此推断犯错误的概率不超过0.001.16.已知数列{an}中，a1=3，an+1n=a(1)证明：数列{nan}为等差数列；(2)给定正整数m，设函数f(x)=a1x+a2x2+…+amxm，求f'(-2).(1)证明在数列{an}中，a1=3，an+1n=ann+1+1∴(n+1)an+1=nan+1，即(n+1)an+1-nan=1，又当n=1时，1×a1=3，∴数列{nan}是以3为首项，1为公差的等差数列.(2)解由(1)可知，nan=3+(n-1)×1=n+2，由题意得f'(x)=a1+2a2x+3a3x2+…+mamxm-1=3+4x+5x2+…+(m+2)xm-1，①又xf'(x)=3x+4x2+5x3+…+(m+1)xm-1+(m+2)xm，②①-②得(1-x)f'(x)=3+x+x2+…+xm-1-(m+2)xm，令x=-2，得3f'(-2)=3+(-2)+(-2)2+…+(-2)m-1-(m+2)(-2)m=3+-2[1-(-2)m-1]1-(-2)-(m+2)(-2)m=7故f'(-2)=79-m3+7917.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，BC∥AD.(1)证明：平面PAB⊥平面PAD；(2)若PA=AB=2，BC=2，AD=1+3，且点P，B，C，D均在球O的球面上.(ⅰ)证明：点O在平面ABCD内；(ⅱ)求直线AC与PO所成角的余弦值.(1)证明在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊂底面ABCD，∴AP⊥AB，∵AB⊥AD，AP，AD⊂平面PAD，AP∩AD=A，∴AB⊥平面PAD，∵AB⊂平面PAB，∴平面PAB⊥平面PAD.(2)(ⅰ)证明方法一以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图1所示，∴B(2，0，0)，C(2，2，0)，D(0，1+3，0)，P(0，0，2)，若P，B，C，D在同一个球面上，则OP=OB=OC=OD，在Axy平面中，如图2所示，A(0，0)，B(2，0)，C(2，2)，D(0，1+3)，作线段CD的垂直平分线，分别交y轴，CD于点E，F，∴线段CD的中点F的坐标为22直线CD的斜率k1=1+3-20-∴线段CD的垂直平分线EF的斜率k2=23-1=∴直线EF的方程为y-3+32=即y=6+22又线段BC的垂直平分线的方程为y=1，则将y=1代入直线EF的方程得，1=6+22x-2∴在Axy平面中，△BCD外接圆的圆心坐标为(0，1)，故可设在上述空间直角坐标系中，O(0，1，z)，则由OP=OB，可得02+12+(z-2)2=(-2)2∴点O在平面ABCD内.方法二同方法一，建立空间直角坐标系，设球心O(x，y，z)，由OB=OC=OD=OP，可得y解得y=1,x=z=0,显然点O(0，1方法三∵P，B，C，D在同一个球面上，∴球心到四个点的距离相等，在△BCD中，到三角形三个顶点距离相等的点是该三角形的外心，作出BC和CD的垂直平分线，如图3所示，设BC的垂直平分线交AD于点O1，由几何知识得，O1E=AB=2，BE=CE=AO1=GO1=12BC=1，O1D=AD-AO1=3BO1=CO1=12+(2∴O1D=BO1=CO1，∴点O1是△BCD的外心，如图4，在Rt△AO1P中，AP⊥AO1，AP=2，AO1=1，由勾股定理得，PO1=AP2+AO∴PO1=BO1=CO1=O1D=3，∴点O1即为球心O，此时点O在线段AD上，AD⊂平面ABCD，∴点O在平面ABCD内.(ⅱ)解方法一建立如图5所示的空间直角坐标系，由(2)(ⅰ)得，AC=(2，2，0)，PO=(0，1，-2)，设直线AC与PO所成的角为θ，∴cosθ=|AC·PO||方法二由(2)(ⅰ)得PO=3，∵AB⊥AD，BC∥AD，∴AB⊥BC，在Rt△ABC中，AB=2，BC=2，由勾股定理得，AC=AB2+BC如图6，过点O作AC的平行线，交BC的延长线于点C1，连接AC1，PC1，则OC1=AC=6，CC1=OA=1，直线AC与PO所成的角即为∠POC1或其补角.∵PA⊥平面ABCD，AC1⊂平面ABCD，∴PA⊥AC1，在Rt△ABC1中，AB=2，BC1=BC+CC1=2+1=3，由勾股定理得，AC1=AB2+BC在Rt△APC1中，PA=2，由勾股定理得，PC1=PA2+AC在△POC1中，由余弦定理得，PC12=PO2+OC12-2PO·OC1cos即(13)2=(3)2+(6)2解得cos∠POC1=-23∴直线AC与PO所成角的余弦值为|cos∠POC1|=2318.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为223，下顶点为A(1)求C的方程；(2)已知动点P不在y轴上，点R在射线AP上，且满足|AP|·|AR|=3.(ⅰ)设P(m，n)，求R的坐标(用m，n表示)；(ⅱ)设O为坐标原点，Q是C上的动点，直线OR的斜率是直线OP的斜率的3倍，求|PQ|的最大值.解(1)由题意可知，A(0，-b)，B(a，0)，所以a2+故C的方程为x29+y2(2)(ⅰ)设R(x0，y0)，易知m≠0，方法一所以kAP=n+1m，kAR=故y0+1x0=n+1因为A(0，-1)，|AP|·|AR|=3，所以m2+(n+1即1+n+1m2x0m=3，解得x0=3mm所以R的坐标为3m方法二设AR=λAP，λ>0，则|AR|=λ|AP|，又AP=(m，n+1)，所以|AP|·|AR|=λ|AP|2=3，即λm2+(n+1)2所以AR=λAP=λ(m，n+1)=3m又A(0，-1)，故R的坐标为3m(ⅱ)因为kOR=n+2-m2-n2m2由kOR=3kOP，可得n+2-m2-n23m=3nm，化简得m2+n2+8n-2=0，即m2+(n所以点P在以N(0，-4)为圆心，32为半径的圆上(除去与y轴的交点)，|PQ|max为点Q到圆心N的距离加上半径，方法一设Q(xQ，yQ)，则xQ29+yQ2=1所以|QN|2=xQ2+(yQ+4)2=9-9yQ2+y=-8yQ-122+27≤27，当且仅当yQ=故|PQ|max=27+32=3(3+2).方法二设Q(3cosθ，sinθ)，所以|QN|2=(3cosθ)2+(sinθ+4)2=9cos2θ+sin2θ+8sinθ+16=9(1-sin2θ)+sin2θ+8sinθ+16=-8sin2θ+8sinθ+25=-8sinθ-12当且仅当sinθ=12，即Q±所以|PQ|max=27+32=3(3+2).19.(1)求函数f(x)=5cosx-cos5x在区间0，(2)给定θ∈(0，π)和a∈R，证明：存在y∈[a-θ，a+θ]使得cosy≤cosθ；(3)设b∈R，若存在φ∈R使得5cosx-cos(5x+φ)≤b对x∈R恒成立，求b的最小值.(1)解方法一f'(x)=5(sin5x-sinx)=5[sin(3x+2x)-sin(3x-2x)]=10cos3xsin2x，令f'(x)=0，因为x∈0，π4，解得x=0或x当x∈0，π6时，f'(x)>0，f(x)单调递增；当x∈π6，π4时，f'(x)故当x=π6时，f(x)取得极大值即最大值，f(x)在0，π4上的最大值为f方法二由和差化积公式f'(x)=-5sinx+5sin5x=10cos3xsin2x，因为当x∈0，π4时，2x∈0，π2，故又当0<x<π6时，3x∈0，π2，则cos3x>0，即f'(当π6<x<π4时，3x∈π2，3π4，则cos3x<0，即故f(x)在0，π6故f(x)在0，π4上的最大值为f

π6=5cosπ6-cos方法三f'(x)=-5sinx+5sin5x，令f'(x)=0，得sin5x=sinx，因为x∈0，所以5x∈0，所以5x=x或5x+x=π，所以x=0或x=π6因为f(0)=4，f

π6=33，f

π4=3所以当x∈0，π4时，f(x)max=f

π(2)证明方法一由余弦函数的性质得cosy≤cosθ的解集为[2kπ+θ，2kπ+2π-θ]，k∈Z，若任意[2kπ+θ，2kπ+2π-θ]，k∈Z与[a-θ，a+θ]的交集为空集，则a-θ>2kπ+2π-θ且a+θ<2kπ+2π+θ，此时a无解，矛盾，故存在k∈Z，使得2kπ+θ，2kπ+2π-θ∩[a-θ即存在y∈[a-θ，a+θ]，使得cosy≤cosθ.方法二由余弦函数的性质知cosy≤cosθ的解集为2kπ+θ，2(k若每个[2kπ+θ，2(k+1)π-θ](k∈Z)与[a-θ，a+θ]的交集都为空集，则对每个k∈Z，必有2(k+1)π-θ<a-θ或2kπ+θ>a+θ之一成立.可得k<a2π-1或k>a