思想方法第1讲函数与方程思想

高考命题中，以知识为载体，以能力立意，以思想方法为灵魂，以核心素养为统领，兼顾试题的基础性、综合性、应用性和创新性，展现数学的科学价值和人文价值.高考试题一是着眼于知识点新颖巧妙的组合，二是着眼于对数学思想方法、数学能力的考查.如果说数学知识是数学的内容，可用文字和符号来记录和描述，那么数学思想方法则是数学的意识，重在领会、运用，属于思维的范畴，用于对数学问题的认识、处理和解决.高考中常用到的数学思想方法主要有函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化与化归思想等.第1讲函数与方程思想思想概述函数的思想是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，是对函数概念的本质认识，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题得以解决.方程的思想就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析问题、转化问题，使问题得以解决.方法一运用函数相关概念的本质解题在理解函数的定义域、值域、性质等本质的基础上，主动、准确地运用它们解答问题.常见问题有求函数的定义域、解析式、最值，研究函数的性质.例1(1)已知函数f(x)=(3a-1)x+4a，x<1，ax，x≥1，满足对任意的实数x1，x2且x1≠x2，都有[f(x1)-f(x2A.17，C.16，思路分析[f(x1)-f(x2)](x1-x2)<0→f(x)为减函数→每一段都单调递减→x=1左侧的函数值不小于右侧的函数值.答案C解析对任意的实数x1，x2且x1≠x2，都有[f(x1)-f(x2)](x1-x2)<0，即f(x可得函数图象上任意两点连线的斜率小于0，即函数f(x)是减函数，可得3解得16≤a<1批注在函数的第一段中，虽然没有x=1，但当x=1时，本段函数有意义，故可求出其对应的“函数值”，且这个值是本段的“最小值”，为了保证函数是减函数，这个“最小值”应不小于第二段的最大值，即f(1)，这是解题的一个易忽视点.(2)对于函数f(x)(x∈D)，若存在常数T(T>0)，使得对任意的x∈D，都有f(x+T)≤f(x)成立，我们称函数f(x)为“T同比不增函数”.若函数f(x)=kx+cosx是“π3同比不增函数”，则实数k的取值范围是(A.3π，C.-3π思路分析f(x)为“π3同比不增函数”→fx+π3≤f(x)答案B解析因为函数f(x)=kx+cosx是“π3同比不增函数”所以fx+π3≤f(即kx+π3+cosx+π3故kπ3≤cosx=cosx-cos=32sinx+12cosx=sin又因为sinx+π因此kπ3≤-1，故k≤-3π，即实数k批注本题关键是理解“T同比不增函数”的含义，对于恒成立问题，一般是分离参数，转化成求函数的最值问题.[规律方法]解决本类题目的关键是理解函数相关概念的本质，也可以结合函数图象加以理解，严格按定义推导即可.方法二利用函数性质解不等式、方程问题函数与方程、不等式相互联系，借助函数的性质可以解决方程的解的个数、参数取值范围以及解不等式问题.例2(1)已知函数f(x+2)=log3(3x+3-x)，若f(a-1)≥f(2a+1)成立，则实数a的取值范围为()A.(-∞，-2]B.-2C.(-∞，-2]∪[0，+∞)D.(-∞，-2]∪4思路分析解不等式问题→比较两个函数值的大小→判断f(x)的单调性.答案B解析设g(x)=f(x+2)=log3(3x+3-x)，则其定义域为R，因为g(-x)=log3(3-x+3x)=g(x)，所以g(x)为偶函数，所以f(x+2)的图象关于直线x=0对称，所以f(x)的图象关于直线x=2对称.设y=3x+3-x，则y'=3xln3-3-xln3=(3x-3-x)ln3，令y'>0，则3x-3-x>0，得x>0，所以y=3x+3-x在(0，+∞)上单调递增，因为函数y=log3x为增函数，所以g(x)在[0，+∞)上单调递增，所以f(x)在[2，+∞)上单调递增，因为f(a-1)≥f(2a+1)，所以|a-1-2|≥|2a+1-2|，所以(a-3)2≥(2a-1)2，化简得(a+2)(3a-4)≤0，解得-2≤a≤43所以实数a的取值范围为-2，批注本题关键是利用函数的奇偶性及单调性脱掉f列出不等式，然后解不等式.(2)设x，y为实数，满足(x-1)3+2025(x-1)=-1，(y-1)3+2025(y-1)=1，则x+y=.

思路分析观察两方程形式特征→借助函数f(t)=t3+2025t的单调性、奇偶性→f(x-1)=f(1-y)→求出x+y.答案2解析令f(t)=t3+2025t，则f(t)为奇函数且在R上是增函数.由f(x-1)=-1=-f(y-1)=f(1-y)，可得x-1=1-y，则x+y=2.批注本题关键是根据函数的特点构造函数，然后利用函数的单调性求解.[规律方法]函数与方程的相互转化：对于方程f(x)=0，可利用函数y=f(x)的图象和性质求解问题.方法三构造函数解决数学问题在一些数学问题的研究中，可以通过建立函数关系式，把要研究的问题转化为函数的性质，达到化繁为简、化难为易的效果.例3已知ε>0，x，y∈-π4，π4，且ex+εsiny=eysinA.cosx≤cosy B.cosx≥cosyC.sinx≤siny D.sinx≥siny思路分析ex+εsiny=eysinx→sinxex+ε=sinyey→由ex+ε>ex放缩等式→sinxex与sinyey的关系→答案A解析构造f(x)=sinxex，x则f'(x)=cosx当x∈-π4，π4时，cosf'(x)=cosx-sin所以f(x)=sinxex因为ex>0，ey>0，当sinxex+ε=siny则sinx>siny>0，所以sinxex>所以0<y<x<π4又y=cosx在0，所以cosx<cosy.当sinxex+ε=siny则sinx<siny<0，所以sinxex<所以-π4<x<y<0，又y=cosx在-π4，0上单调递增，所以cos当x=y=0时，满足ex+εsiny=eysinx，此时cosx=cosy.综上所述，cosx≤cosy.批注本题注意到ε>0，主要是先由ex+ε>e[规律方法]在构造函数求解数学问题的过程中，要确定合适的变量，揭示函数关系使问题明晰化.专题强化练[分值：73分]一、单项选择题(每小题5分，共40分)1.(2025·石家庄模拟)已知函数y=f(x)是定义在R上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是()A.y=f(|x|) B.y=f(x2)C.y=x·f(x) D.y=f(x)+x答案D解析因为f(x)是定义在R上的奇函数，则f(-x)=-f(x)，又因为f(|-x|)=f(|x|)，所以y=f(|x|)是偶函数，A不符合题意；令F(x)=f(x2)，则F(-x)=f(x2)=F(x)，所以F(x)是偶函数，B不符合题意；令M(x)=x·f(x)，则M(-x)=(-x)·f(-x)=x·f(x)=M(x)，所以M(x)是偶函数，C不符合题意；令N(x)=f(x)+x，则N(-x)=f(-x)-x=-f(x)-x=-[f(x)+x]=-N(x)，所以N(x)是奇函数，D符合题意.2.(2025·北京海淀区模拟)已知f(x)=lnx-b1-x，b∈R，则“b=-1”是“f(x)是奇函数”A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案C解析当b=-1时，f(x)=ln1+x定义域为(-1，1)，关于原点对称，且f(-x)=ln1-x1+x=-ln1+x1-x=-f(x)，因此如果f(x)是奇函数，则f(x)的定义域必须关于原点对称，因此b=-1，必要性成立，所以“b=-1”是“f(x)是奇函数”的充要条件.3.(2025·上海模拟)定义在R上的函数f(x)为奇函数，其导数为f'(x)，且当x∈(-∞，0]时，f'(x)<1，则不等式f(x)-f(2026)≥x-2026的解集是()A.(2026，+∞) B.[2026，+∞)C.(-∞，2026] D.(-∞，2026)答案C解析令g(x)=f(x)-x，当x∈(-∞，0]时，g'(x)=f'(x)-1<0，所以g(x)在(-∞，0]上单调递减，又因为函数f(x)为定义在R上的奇函数，y=x为定义在R上的奇函数，所以g(x)为定义在R上的奇函数，则g(x)在(0，+∞)上单调递减，即函数g(x)在R上单调递减，所以由f(x)-f(2026)≥x-2026，可得f(x)-x≥f(2026)-2026，即g(x)≥g(2026)，所以x≤2026.4.(2025·贵阳模拟)已知定义在-π2，π2上的函数f(x)=x3+tanx+3，则不等式f(x-1)+fxA.23，C.23，答案A解析设g(x)=f(x)-3=x3+tanx，x∈-π2，π2，则g(-x)=-g(x)，所以g(x)=f(易知y=x3，y=tanx在区间-π所以g(x)在区间-π2因为不等式f(x-1)+fx2>6可得f(x-1)-3+fx2-3>0所以g(x-1)+gx2>0所以g(x-1)>-gx2=g-因为函数f(x)的定义域为-π所以x-1∈-π2，π2所以x∈-π又函数g(x)在区间-π所以由g(x-1)>g-x2得，x-1>-解得x>23，综上，23<x<π5.(2025·曲靖模拟)已知x1是函数f(x)=xlnx-2025的零点，x2是函数g(x)=lnx+x-ln2025的零点，则x1x2的值为()A.2025e B.e2025 C.答案D解析由题意可得x可得x2+lnx2=ln(x1lnx1)=lnx1+ln(lnx1)，因为函数y=x+lnx在(0，+∞)上单调递增，所以x2=lnx1，则x1x2=x1lnx1=2025.6.(2025·昭通模拟)已知函数f(x)=(-x3+ax2-x+a)log2(x+2b)，若f(x)≤0，则a，b满足的关系式为()A.a-2b=1 B.a+2b=1C.a=2b D.a=-2b答案B解析f(x)=(-x3+ax2-x+a)log2(x+2b)=[x2(a-x)+(a-x)]log2(x+2b)=(x2+1)(-x+a)log2(x+2b)，又x2+1>0，所以f(x)≤0等价于(-x+a)log2(x+2b)≤0，又y=log2(x+2b)在定义域(-2b，+∞)上单调递增，且零点为1-2b，y=-x+a在定义域上单调递减，且零点为a，所以函数y=log2(x+2b)与函数y=-x+a的零点重合，则a=1-2b，即a+2b=1.7.(2025·天津模拟)已知f(x)=x-1x+a，g(x)=x3-3x+1，若∀x1∈[1，2]，∃x2∈[0，2]，使f(x1)=g(x2)成立，则实数a的取值范围为(A.[-1，1] B.1C.-32答案D解析由题意可知，函数f(x)在[1，2]上的值域是函数g(x)在[0，2]上的值域的子集，而函数f(x)=x-1x+a在[1，2]上单调递增，所以函数f(x)的值域为a又函数g(x)的导函数为g'(x)=3x2-3，当x∈[0，1)时，g'(x)<0，所以函数g(x)在区间[0，1)上单调递减，当x∈(1，2]时，g'(x)>0，所以函数g(x)在区间(1，2]上单调递增，所以函数g(x)在区间[0，2]上的最小值为g(1)=-1，而g(0)=1，g(2)=3，所以函数g(x)在区间[0，2]上的值域为[-1，3]，所以a≥-1，32+a即实数a的取值范围为-1，8.(2025·天津模拟)已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x1，x2∈(0，+∞)，且x1≠x2时，x2f(x1)-x1f(x2)x1-x2>0A.(-3，0)∪(3，+∞) B.(-∞，-3)∪(3，+∞)C.(-3，0)∪(0，3) D.(-∞，-3)∪(0，3)答案A解析构造函数g(x)=f(x)x，则g(-x)=f(-x)-x=f(故函数g(x)为偶函数，当x1，x2∈(0，+∞)，且x1≠x2时，x2f不妨设x1<x2，则x2f(x1)-x1f(x2)<0，则x2f(x1)-即g(x1)<g(x2)，故函数g(x)在(0，+∞)上单调递增，在(-∞，0)上单调递减，因为f(3)=-6，则g(3)=g(-3)=f(3)3当x>0时，由f(x)+2x>0，得f(x)x>-2，即g(x)>g(3)当x<0时，由f(x)+2x>0，得f(x)x<-2，即g(x)<g(-3)，解得当x=0时，易知f(x)+2x=0.综上所述，不等式f(x)+2x>0的解集为(-3，0)∪(3，+∞).二、多项选择题(每小题6分，共18分)9.(2025·长沙模拟)已知函数f(x)=e2|x|+cos2x(x∈R)，则下列判断正确的是()A.函数f(x)的图象关于y轴对称B.函数f(x)的最小值为2，无最大值C.函数f(x)在(-π，π)上单调递增D.不等式f(x-1)<f(x)的解集为1答案ABD解析由题意得f(x)的定义域关于原点对称，f(-x)=e2|-x|+cos(-2x)=e2|x|+cos2x，即f(-x)=f(x)，所以函数f(x)是偶函数，即函数f(x)的图象关于y轴对称，故A正确；当x≥0时，f(x)=e2x+cos2x，f'(x)=2e2x-2sin2x>0，所以f(x)在[0，+∞)上单调递增，因为f(0)=2，且f(x)是偶函数，所以函数f(x)的最小值为2，无最大值，故B正确；由A，B选项可知，f(x)在(-π，0]上单调递减，在(0，π)上单调递增，故C错误；不等式f(x-1)<f(x)⇔|x-1|<|x|，两边平方得-2x+1<0，得x>12，故D正确10.(2025·淄博检测)定义在(0，+∞)上的函数f(x)，其导函数为f'(x)，且满足f'(x)>f(x)>0，若0<x1<1<x2，且x1x2=1，则下列不等式一定正确的是()A.f(x2)>f(2-x1)B.x1f(x2)<x2f(x1)C.lnf(x1)-lnf(x2)<x1-x2D.2f(2)>3f1答案ACD解析A选项，因为0<x1<1<x2，且x1x2=1，则x1+x2>2x1x2=2，即x2>2-x因为f(x)在(0，+∞)上单调递增，所以f(x2)>f(2-x1)，A正确；B选项，设f(x)=e2x，f'(x)=2e2x>f(x)>0，当x1=12，x2=2时，x1f(x2)=12f(2)=12e4>2e=2f12=x2f(x1C选项，令g(x)=f(x)ex则g'(x)=f'(x可知g(x)在(0，+∞)上单调递增，因为0<x1<x2，所以g(x1)<g(x2)，即f(x1又因为f(x)>0，则0<f(x1)f可得lnf(x1)所以lnf(x1)-lnf(x2)<x1-x2，C正确；D选项，由C可知f(x1则f(x2)>ex2ex1f令h(x)=ex-x-1，h'(x)=ex-1，当x>0时，h'(x)>0，h(x)单调递增，所以h(x)>h(0)=e0-0-1=0，所以当x>0时，ex>x+1，所以f(x2)>ex2ex1f(x1)=ex2-x1f(x1)>(x2-x1+1)f(x1)>(所以f(x2)>(2-x1)f(x1)，当x1=12，x2=2时，f(2)>32f12，2f(2)>3f1211.(2025·济南模拟)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)=e-x(x-1)，则()A.当x<0时，f(x)=ex(x+1)B.函数f(x)有2个零点C.函数f(x)在点(-1，0)处的切线方程为x-ey+1=0D.∀x1，x2∈R，都有|f(x1)-f(x2)|<2答案ACD解析对于A，当x<0时，则-x>0，f(-x)=ex(-x-1)，因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(x)=-f(-x)=-[ex(-x-1)]=ex(x+1)，故A正确；对于B，当x>0时，令f(x)=e-x(x-1)=0，解得x=1，由f(x)是定义在R上的奇函数，所以当x=-1时，f(x)=0，又f(0)=0，故函数f(x)有3个零点，故B错误；对于C，当x<0时，f(x)=ex(x+1)，f'(x)=ex(x+2)，所以f'(-1)=1e故所求切线方程为y-0=1e(x+1)，即x-ey+1=0，故C对于D，当x<0时，f(x)=ex(x+1)，f'(x)=ex(x+2)，当-2<x<0时，f'(x)>0，所以函数f(x)在(-2，0)上单调递增，当x<-2时，f'(x)<0，所以函数f(x)在(-∞，