平方根（第1课时）课件2025-2026学年人教版七年级数学下册

第八章实数8.1平方根第一课时素养目标1.了解平方根的概念，会用根号表示数的平方根.2.理解平方根的特点.3.了解平方与开平方互为逆运算，会用平方运算求百以内完全平方数的平方根.创设情境，引入新知情境引入：当“天问一号”火星探测器的速度大于第二宇宙速度v（单位：m/s）时，它就会克服地球引力，永远离开地球，飞向火星．v的大小满足v2＝2gR，其中g

是地球表面的重力加速度，g≈9.8（单位：m/s2），R

是地球半径，R≈6.4×106（单位：m）．怎样求v呢？∴v2≈2×9.8×6.4×106解：∵v2＝2gR我们知道，已知一个数，通过平方运算可以求这个数的平方．反过来，如果已知一个数的平方，那么怎样求这个数呢？新知探究，引入概念问题1：如果一个数的平方等于9，那么这个数是多少？9332﹣3(﹣3)23和﹣3的平方都等于9，记为(±3)2=9.新知探究，引入概念问题2：根据上面的探究过程填写下表：±1，±4，±6，±7，分别叫作1，16，36，49，的平方根.

x21163649x±1±4±6±7追问：你能归纳平方根的概念吗？一般地，如果一个数x

的平方等于a，即x2＝a，那么这个数

x叫作a

的平方根或二次方根．新知探究，引入概念问题3：完成下面两个图，思考一下两个图中的运算有什么关系？149+1﹣1+2﹣2+3﹣3开平方求一个数的平方根的运算，叫作开平方．发现：开平方运算与平方运算互为逆运算，根据这种互逆关系，可以求一个数的平方根.典例分析，巩固新知例1：求下列各数的平方根：（1）64；（2）；（3）0.01．解：（1）因为(±8)2＝64，所以64的平方根是±8；（2）因为，所以的平方根是

；（3）因为(±0.1)2＝0.01，所以0.01的平方根是±0.1；一般地，如果一个数x

的平方等于a，即x2＝a，那么这个数

x

叫作a

的平方根或二次方根．观察思考，探究新知追问1：0的平方根是多少？

64的平方根是±8；的平方根是

；0.01的平方根是±0.1；特点：正数有两个平方根，它们互为相反数．问题3：正数的平方根有什么特点？因为02＝0，任何一个不为0的数的平方都不等于0，所以0的平方根是0．观察思考，探究新知追问2：负数有平方根吗？正数的平方是正数，所以负数没有平方根．(+3)2=9在我们目前所认识的数中找不到()2=负数，02=0根据开平方运算与平方运算互为逆运算，(﹣3)2=9负数的平方也是正数，0的平方是0.观察思考，归纳总结平方根的特征正数有两个平方根，它们互为相反数．0的平方根是0．负数没有平方根．观察思考，探究新知问题4：我们已经知道一个正数有两个平方根，它们互为相反数．你能表示正数a的平方根吗？正数a的平方根可以用表示，读作“正、负根号a”．正数a

的平方根负的平方根正的平方根，读作“根号a”，读作“负根号a”被开方数也可以写成为，读作“二次根号a”.观察思考，探究新知正数a的平方根可以用表示，读作“正、负根号a”．例如：9的平方根是，

16的平方根是，

25的平方根是，注意：0的平方根记为.C观察思考，探究新知问题5：什么时候有意义？为什么？？表示a的正的平方根，而负数没有平方根，所以当a

≥0时，

有意义．当a

＜0时，

没有意义．A.1B.0C.(﹣5)2D.-1练习：下列各数中，没有平方根的是（）D典例分析，巩固新知例1：下列各数有平方根吗？如果有，求它的平方根；如果没有，说明理由：（1）0.36；（2）﹣5；（3）(﹣4)2．解：（1）因为0.36是正数，所以0.36有两个平方根

，（2）因为﹣5是负数，所以﹣5的平方根是

；（3）因为(﹣4)2＝16是正数，所以(﹣4)2有两个平方根；经典练习，巩固新知练习

1.判断题.（1）1的平方根是1；（2）﹣1的平方根是﹣1；（4）0的平方根是0.（3）0.5是0.25的一个平方根；（5）正数a的两个平方根的和为0.（6）当x≠0时，﹣x2没有平方根.××√√√√经典练习，巩固新知2.求下列各数的平方根.（1）

；（2）62；（3）0.49.解：（1）因为是正数，所以

有两个平方根

，（2）因为62＝36是正数，所以62有两个平方根；（3）因为0.49是正数，所以0.49有两个平方根；经典练习，巩固新知3.求下列各式中x的值.（1）

x2=25

；（2）9x2=4

；（3）(x-1)2=25.（4）(2x-2)2

－64=0.（1）解：x=

（2）解：x=±5经典练习，巩固新知4.求下列各式中x的值.（1）

x2=25

；（2）9x2=4

；（3）(x-1)2=25.（4）(2x-2)2

－64=0.x=6±5x-1=x=﹣42x-2=2x-2=82x-2=﹣8（3）解：x-1=当x-1=5，当x-1=﹣5，（4）解：(2x-2)2=642x-2=±8当2x-2=8，

当2x-2=﹣8，x=5x=﹣3经典练习，巩固新知5.填空：（1）25的平方根是______;（2）

的平方根是______;一步计算二步计算（4）已知a(a＞0)的一个平方根是4，则它的另一个平方根是____;（3）若一个数的平方根等于它本身，则这个数是______;（5）若x+3是9的一个平方根，则x的值为_________;±5±20﹣4﹣6或0经典练习，巩固新知（1）

求a与x的值；6.一个正数x的两个平方根分别是2a－1和－a+2.（2）

求3x+2a的平方根.∴(2a－1)+(－a+2)=0解：

（1）由题意，2a－1和－a+2互为相反数，解得：当

a=﹣1时，∴

a=﹣12a－1=2×(﹣1)－1=﹣3故x=(﹣3)2=9经典练习，巩固新知（1）

求a与x的值；6.一个正数x的两个平方根分别是2a－1和－a+2.（2）

求3x+2a的平方根.∴3x+2a=3×9+2×(﹣1)=25解：

（2）由(1)可知a=﹣1，x=9，

25的平方根是±5；∴3x+2a的平方根是±5

课堂小结回顾本节课的内容，请回答下列问题：（1）什么是平方根？（2）平方根具有什么特征？如何用符号语言表示一个正数的平方根？（3）如何求一个非负数的平方根？平方根的概念：一般地，如果一个数x