1.2等腰三角形（题型专练）（原卷版）-北师大版(2024)八下

1.2等腰三角形题型一等边对等角1．（25-26八年级上·全国·期末）等腰三角形的一个角是，则它的底角是（

）A． B． C． D．或2．（25-26八年级上·天津西青·月考）等腰三角形有一个角是，则它的底角是（）A． B． C． D．3．（25-26八年级上·安徽马鞍山·月考）如图，若相交于点E，若，，则的度数是（

）A． B． C． D．4．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）如图，在中，，点D在上，连接，若，，则的度数为．5．（25-26八年级上·湖南衡阳·月考）如图，在中，，沿直线翻折，使得点与点重合，若，则的度数是．6．（25-26八年级上·山西忻州·月考）如图，等腰三角形中，，在上取一点，使，过点作交于点，过点作交于点E，交于点．若，则°．7．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在中，，点为边的中点，连接，为上一点，连接．若，，求的度数．题型二三线合一1．（25-26八年级上·全国·期末）如图，在中，，是边上的中线，若，则的度数为（

）

A． B． C． D．2．（25-26八年级上·全国·期末）如图，在中，于点D，若，则的长为（）A． B． C． D．3．（25-26八年级上·福建莆田·期中）如图，在中，，D是的中点，，则的大小为．4．（25-26八年级上·山西忻州·月考）如图，在四边形中，，若，则的长为．5．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在五边形中，，，，点是的中点，求证：．6．（25-26八年级上·浙江温州·月考）如图，在中，是边上的一点，且．(1)求证：；(2)求的大小．7．（25-26八年级上·湖北孝感·期中）证明命题“等腰三角形底边上的中点到两腰的距离相等”．（要求：画出图形，写出已知、求证，并证明）已知：如图，在中，______．求证：______．题型三等边三角形的性质1．（24-25七年级下·全国·期末）如图，将边长为的等边沿边向右平移得到，则四边形的周长为（

）A． B． C． D．2．（25-26八年级上·天津滨海新·期中）如图，是等边三角形，是边上的高，是的中点，是上的一个动点，图中能够表示的最小值的是下列哪条线段的长（

）A． B． C． D．3．（25-26八年级上·吉林长春·期中）如图，将两个含角的全等的三角尺摆放在一起，于是我们得到一个等边三角形，，则的面积为．4．（25-26八年级上·广东·期末）等边三角形的面积为，则其边长为．5．（25-26八年级上·天津津南·月考）如图，等边三角形，，，求证：．6．（25-26八年级上·广西南宁·期中）如图，点D，E分别是等边三角形边、上的点，且，与交于点F．(1)求证．(2)求的度数．题型四反证法证明中的假设1．（25-26九年级上·福建福州·月考）用反证法证明：中，，则，第一步应假设（

）A． B． C． D．2．（25-26八年级上·全国·期末）已知在中，，求证：．若用反证法来证明这个结论，可以假设（）A． B． C． D．3．（25-26八年级上·福建泉州·期末）用反证法证明命题“在中，，则”时，首先应该假设（

）A． B．C．且 D．且4．（25-26九年级上·江西南昌·月考）用反证法证明“同弧所对的圆心角相等”时，首先应假设（

）A．同弧所对的圆周角不相等 B．同弧所对的圆心角互余C．同弧所对的圆心角互补 D．同弧所对的圆心角不相等5．（25-26八年级上·河南南阳·月考）用反证法证明命题“若，则”时应先假设（

）A． B． C． D．6．（25-26九年级上·江西宜春·月考）用反证法证明“若的半径为r，点P到圆心的距离，则点P在的内部”时，首先应假设（

）A． B．点P在内部C．点P在上 D．点P在上或点P在外部7．（25-26八年级上·河南周口·月考）用反证法证明“已知，，则”时，应假设：．8．（25-26九年级上·山西朔州·月考）牛顿高度评价反证法在数学证明中的关键作用，认为“反证法是数学家最精良的武器之一”．如图，用反证法证明命题“如果，那么”，首先应假设．题型五用反证法证明命题1．（25-26八年级上·全国·课后作业）填空：小明尝试用反证法证明“一个三角形中不能含有两个直角”，他写出了以下三个步骤：①假设在中，和都是直角；②则，；③假设不成立，所以一个三角形中含有两个直角．（填“能”或“不能”）2．（25-26八年级上·全国·课后作业）已知：如图，直线，直线分别与直线，交于点G，H，和是同位角．求证：．3．（25-26八年级上·全国·课后作业）用反证法证明：一个三角形中最大的内角不小于．4．（25-26八年级上·全国·课后作业）用反证法证明：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行．5．（25-26八年级上·山东聊城·月考）用反证法证明：如果，那么，中至少有一个大于零．6．（25-26八年级上·福建泉州·期中）华东师大版八年级上册数学课本第12—13页的“阅读与思考”：为什么说不是有理数．(1)【阅读与思考】假设是有理数，那么存在两个互质的正整数p和q，使得，由的意义可得，即______．①显然，是偶数，因为只有偶数的平方才是偶数，所以p也是偶数．设（s是正整数），代入①，得______．显然，q也是偶数，则p和q都是偶数，不互质，这与假设p和q互质矛盾．这个矛盾说明，不能写成分数的形式，即不是有理数．(2)【方法类比】类比上述说理过程，推理说明三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．将下面的过程补充完整．已知：如图，是的一个外角．求证：．证明：假设______________．在中，，∴______．∵______，∴______，∴______，∴与假设相矛盾，∴假设不成立，∴原命题成立，即．(3)【迁移与应用】小明有一张长方形彩纸，面积为，长与宽之比为．他想用这张彩纸剪出一个半径为的圆形卡片作为生日贺卡，他能做到吗？题型一根据等角对等边证明边相等1．（25-26七年级上·湖南·期末）如图，平行四边形中，平分交边于点，则线段的长度分别为（）A．2和3 B．3和2 C．4和1 D．1和42．（25-26八年级上·江西赣州·月考）如图，已知平分，平分，且，设，，，则的周长是．3．（25-26七年级上·山东淄博·期中）如图，在中，，将三等分，点D，在上．(1)求的度数；(2)写出图中所有的等腰三角形．4．（25-26八年级上·福建厦门·期中）如图，是的外角．(1)尺规作图：作的平分线；（不写作法，保留作图痕迹）(2)在（1）的条件下，若，求证：是等腰三角形．5．（25-26八年级上·全国·期中）如图，B，E，C，F是直线l上的四点，相交于点G，，，．求证：(1)；(2)是等腰三角形．6．（25-26八年级上·重庆合川·期中）如图，在中，点在上，点在上，，，与相交于点．(1)证明：．(2)证明：是等腰三角形．7．（25-26八年级上·云南红河·期中）如图，是的角平分线，交于点，求证：是等腰三角形．8．（25-26八年级上·河北衡水·期中）在中，D是边上的一点，，，．(1)求的度数；(2)若，，试用a、b表示的周长．题型二格点图中画等腰三角形1．（25-26九年级上·辽宁沈阳·开学考试）如图，在的正方形网格中，A，B是两个格点，连接，在网格中找到一个格点C，使得是以为腰的等腰三角形，则满足条件的格点C有个．2．（25-26八年级上·江苏扬州·月考）如图，在的网格中，每个网格线的交点称为格点．已知图中，两个格点，请在图中再寻找另一个格点，使成为等腰三角形，则满足条件的点有个．3．（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）在如图所示的的网格中，每个小正方形的边长均为1个单位．(1)请你在图1中画一个以格点为顶点，面积为8个平方单位的等腰三角形；(2)请你在图2中画一个以格点为顶点，一条斜边长为的直角三角形．4．（25-26八年级上·浙江温州·月考）如图在网格中，点，为格点，按要求画出格点三角形．(1)在图①中画出以为腰的等腰三角形，则你画的等腰三角形的周长为______．(2)在图②中画出以为底的等腰三角形，则你画的等腰三角形的面积为______．5．（25-26八年级上·广东江门·期中）图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1个单位长度，每个小正方形的顶点称为格点，线段的端点都在格点上，在图①、图②给定网格中按要求作图，使所作图形的顶点均在格点上．

(1)在图①中以为腰画一个等腰三角形；(2)在图②中以为底边画一个等腰三角形．6．（25-26八年级上·甘肃武威·期中）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．点A、B、E、H均在格点上．只用无刻度的直尺在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留作图痕迹．(1)在图①中，以为腰画一个等腰三角形；(2)在图②中，以为边画一个三角形，使；(3)在图③中，画的高线．题型三找出图中的等腰三角形1．（25-26八年级上·全国·期中）如图，在中，是角平分线，则图中的等腰三角形共有（

）A．8个 B．7个 C．6个 D．5个2．（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，在中，，，平分交于点，交于点，则图中共有等腰三角形（）A．个 B．个 C．个 D．个3．（25-26八年级上·江苏苏州·月考）如图，平分，点E在上，且；找出图形中的等腰三角形，并加以证明．4．（25-26八年级上·四川德阳·期中）如图，在中，点D在边上，．(1)写出以点B为顶点的三角形；(2)写出以为边的三角形；(3)找出图中的等腰三角形和等边三角形．5．（25-26八年级上·贵州黔西·月考）如图，在中，于点是上一点，．(1)图中有几个三角形？用符号表示出这些三角形．(2)找出图中所有的直角三角形和等腰三角形．6．（25-26八年级上·河北邢台·月考）如图，在中，点D，E在边和边上，且．(1)图中共有个三角形，写出以点C为顶点的三角形；(2)找出图中所有的等腰三角形．题型四直线上与已知两点组成等腰三角形的点1．（25-26八年级上·湖北荆门·期中）平面直角坐标系中，已知点和，若动点在轴上运动，则使为等腰三角形的点有（

）个．A．个 B．个 C．个 D．个2．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知AOB，在x轴上确定点C，使ABC为等腰三角形，若，则符合条件的点共有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个3．（25-26八年级上·黑龙江佳木斯·期中）如图，在中，，，若点P为直线上一点，且为等腰三角形，则符合条件的点P有（

）A．1 B．2 C．3 D．44．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·月考）如图，在中，，在直线上取一点，使得为等腰三角形，则符合条件的点共有（

）个．A．3 B．4 C．5 D．65．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，直线相交形成的夹角中，锐角为，交点为，点在直线上，直线上存在点，使以点为顶点的三角形是等腰三角形，这样的点有个．6．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，直线、交于点，为直线上一定点，为直线上一动点，．若以点、、为顶点的三角形为等腰三角形，回答下列问题：(1)如图1，当时，满足条件的等腰三角形有个；(2)如图2，当时，满足条件的等腰三角形有个．7．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）如图，在直线上能否找到点A，使以为一边的是等腰三角形，如果能的话，试着把它找出，并把它画出来．题型五求与图形中任意两点构成等腰三角形的点1．（25-26八年级上·湖北武汉·期中）在平面直角坐标系中，已知点，，点C在坐标轴上，若是等腰三角形，则满足条件的点C的个数是（

）A．2个 B．3个 C．5个 D．7个2．（23-24八年级下·陕西西安·期中）如图，在中，，．点为直线上一动点，若点与三个顶点中的两个顶点构造成等腰三角形，那么满足条件的点的位置有（

）A．个 B．个 C．个 D．个3．（21-22八年级上·浙江嘉兴·期中）如图，在中，，，以的一边为边画等腰三角形，使得它的第三个顶点在的其他边上，则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多为（

）A．4 B．5 C．6 D．74．（24-25八年级上·全国·期中）点是等边三角形所在平面上一点，若和的三个顶点所组成的、、都是等腰三角形，则这样的点的个数为5．（24-25八年级上·新疆伊犁·期中）在直角坐标系中，的三个顶点的位置如图所示．

(1)请画出关于轴对称的(2)直接写出，，三点的坐标；(3)在轴上找出点，使得点到点、点的距离之和最短（保留作图痕迹）(4)点在坐标轴上，且满足是等腰三角形，符合条件的点有个．6．（22-23八年级上·湖北鄂州·期末）△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，先将△ABC向右平移3个单位，再向下平移1个单位到△A1B1C1，△A1B1C1和△A2B2C2关于x轴对称(1)画出△A1B1C1和△A2B2C2；(2)在x轴上确定一点P，使BP+A1P的值最小，利用作图画出P的位置（保留作图痕迹）；(3)点Q在坐标轴上且满足△ACQ为等腰三角形，则这样的Q点有个.题型六等腰三角形的性质与判定1．（24-25八年级上·湖南邵阳·期中）如图，在中，和的平分线交于点，过点作交于，交于N，若线段，则．2．（25-26八年级上·山东德州·期中）已知：如图，在中，点、在边上，，．(1)求证：．(2)若，求的度数．3．（25-26八年级上·全国·期末）如图，在中，，D是的中点，E、F分别在上，且．(1)求证：(2)若，求的长(3)求证：4．（25-26八年级上·重庆·月考）如图，在四边形中，，平分，且，过点作于点，连接并延长交于点．(1)求证：；(2)若，，求四边形面积．5．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）如图，在锐角中，点是边上一点，于点，与交于点．(1)求证：为等腰三角形；(2)若，请判断的形状，并说明理由．6．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图1，，，(1)求证：；(2)若，设，求的值；(3)如图2，若，延长交于，设，，猜想，满足的关系式并证明．题型七等边三角形的性质与判定1．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，，点D为边上一点，连接，，过点C在的右侧作，连接．若，则的度数为（

）A． B． C． D．2．（25-26八年级上·陕西商洛·月考）如图，在中，，，．将沿BC所在直线向右平移得到，连接．若，则线段的长为．3．（25-26八年级上·天津·月考）如图，在中，，，点在边上，，射线，垂足为点，点是射线上的一动点，点在线段上，当的值最小时，则．4．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，四边形中，，，，若，，求的长．5．（25-26八年级上·天津西青·月考）如图，草地边缘与小河河岸在点处形成的夹角．已知，牧民赶着羊从地出发，先让羊到草地吃草，然后再去河边饮水，最后回到地．（1）能否求出整个过程所走的最短路程？．（用“能”或“否”填空）；（2）如果能，请你直接写出整个过程所走的最短路程；如果不能，请说明理由6．（25-26八年级上·全国·期末）如图，是等边三角形，D是延长线上一点，平分，且．求证：是等边三角形．7．（25-26八年级上·云南曲靖·月考）如图，在中，，，点是外一点，且，过点作分别交，于点，．(1)判断的形状，并说明理由；(2)若，，求的长．8．（25-26八年级上·天津·月考）如图，等腰中，，，，点D在线段上运动（不与，重合），将与分别沿直线，翻折得到与．(1)的长度为_______；(2)求的度数；(3)当点D是的中点时，判断是何种三角形，并说明理由．题型八含30°角的直角三角形1．（25-26八年级上·辽宁铁岭·期末）如图，在中，，则的长为（

）A．1 B．2 C．3 D．42．（25-26八年级上·江苏常州·期中）如图，已知中，，，平分，且交于点D，，那么的长是（

）A． B．2 C．1 D．3．（25-26九年级上·福建泉州·月考）如图，在中，，是边上的高，，，则的长为．4．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，为等边三角形，过点B作，过点A作，垂足为D，已知的周长是24，则的长为．5．（24-25八年级上·湖北荆州·期末）如图，在中，，平分交于点，过点作交于点，，．点是边上的一个动点，当时，则的度数为．6．（2026九年级·全国·专题练习）如图，运载火箭从地面O处发射，当火箭到达点A时，地面D处的雷达站测得米，仰角为，3秒后，火箭直线上升到达点B处，此时地面C处的雷达站测得B处的仰角为．已知C，D两处相距460米，求火箭从A到B处的平均速度．（结果精确到1米/秒，参考数据：）7．（25-26八年级上·全国·期末）如图，是等边三角形，是边上一点，以为一边向上作等边，连接．(1)求证：(2)若，求的度数(3)在（2）的条件下，若，求的长8．（23-24八年级下·吉林·期末）如图，在中，，连接，过点作，交的延长线于点，过点作，交的延长线于点；(1)求的度数；(2)若，求的长．题型一等腰三角形的综合应用1．（25-26八年级上·山西忻州·月考）高效路径规划中的转化策略在数学与实际问题解决中，我们常常通过转化，将陌生情境转化为熟悉模型．“最短路径”问题便是经典范例，其核心思想在物流规划、电路设计、交通优化等领域有着广泛应用．情境导入某新建社区计划在主干道上设立一个便民配送中心，用于同时服务位于同侧的居民区和商业区