2026年山东青岛平度市高三一模高考数学试卷试题（含答案）

高高三数学试题第2页（共4页）PAGE平度市2026年高考模拟检测（一）数学试题2026．03本试卷共4页，19题．全卷满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上，并将条形码粘贴在答题卡指定位置上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，请将答题卡上交。一、单项选择题：本大题共8小题．每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，，则A．B．C．D．2．若复数满足，则A.B.C.D.3．已知是等差数列的前项和，若，则A.B.C.D.4．已知非零向量，则是的A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件5．把函数图像上所有点的横坐标扩大为原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图像，则A.B.C.D.6．若个数据的平均值为，方差为，现加入数据和，则这个数据的方差为A.B.C.D.7．已知椭圆上两个动点满足，为线段的中点，则的最大值为A． B．C．D．8.已知定义在上的函数满足，，当时，，则方程所有根之和为A.B.C.D.二、多项选择题：本大题共3小题．每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.正方体中，为的中点，直线交平面于点,则A．直线与直线所成角为 B．平面C．三点共线 D．与平面所成角为10.已知双曲线：的左、右焦点分别为，，过点的直线与的左支相交于两点，，，则A.B.C.的离心率为D.直线的斜率为11.记的内角所对边分别为，点为的中点，，，延长到点，使点为线段的中点，则A.B.周长的取值范围为C.的最大值为D.的最小值为三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．12.展开式中项的系数为．13.若曲线与圆有公共点，且在点处的切线相同，则实数_________．14.在三棱锥中，平面，，，则三棱锥外接球表面积的最小值为__________．四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）已知抛物线，点为的焦点，是上任意不重合的两点，当直线过点且垂直轴时，.(1)求的方程；(2)若直线过点且的面积为，求的方程.16．（15分）已知函数．(1)讨论的单调性；(2)当时，恒成立，求的取值范围.17．（15分）已知三棱锥（图一）的平面展开图（图二）中，四边形为边长为的正方形，和均为正三角形，在三棱锥中：证明：平面平面；(2)若点在棱上运动，当直线与平面所成的角最大时，求平面与平面夹角的余弦值.18．（17分）三个人利用手机软件依次进行拼手气抢红包活动，红包的总金额数为个单位.第一个人抢到的金额数为1到个单位且等可能,记第一个人抢完后剩余的金额数为，第二个人在剩余的个金额数中抢到1到个单位且等可能，第三个人抢到剩余的所有金额数，并且每个人抢到的金额数均为整数个单位,三个人都抢完后，获得金额数最高的人称为手气王（若有多人金额数相同且最高，则先抢到最高金额数的人称为手气王）.（1）若，则第一个人抢到的金额数可能为个单位且等可能.（i）求第一个人抢到金额数的分布列与期望；（ii）求第一个人获得手气王的概率；（2）在三个人抢到的金额数为的一个排列的条件下，求第一个人获得手气王的概率.19．（17分）在密码学领域，欧拉函数是非常重要的，其中最著名的应用就是在RSA加密算法中的应用.设，是两个正整数，若，的最大公约数是1，则称，互素.对于任意正整数，欧拉函数是不超过且与互素的正整数的个数，记.（1）求，和；（2）RSA算法是一种非对称加密算法，它使用了两个不同的密钥：公钥和私钥.具体而言：①准备两个不同的、足够大的素数，；②计算，欧拉函数；③求正整数，使得除以的余数是1；④其中称为公钥，称为私钥.已知计算机工程师在某RSA算法中公布的公钥是.若满足题意的正整数从小到大排列得到一列数记为数列，数列满足，若数列满足，求的前项和.平度市2026年高考模拟检测（一）数学答案及评分标准单项选择题：本大题共8小题．每小题5分，共40分．CCBCAADD多项选择题：本大题共3小题．每小题6分，共18分．9．ABC；10．AC；11．ABD．三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．12．；13．；14．．四、解答题：本大题共6小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13分）解：(1)设点因为抛物线所以当直线过点且垂直轴时，直线的方程为令可得故所以所以方程为.设直线方程为联立得原点到直线距离所以令所以所以，或所以直线方程为或（本小题满分15分）解：（1）由题知：若，，在上单调递增 若，令解得：当时，，单调递减；当时，，单调递增，综上，当，的递增区间是；若，的递增区间是，递减区间是 （2）依题意，时，恒成立，即在(0，+∞)上恒成立，令g(x)=(x>0)，则==，令，由(1)知h(x)在(0，+∞)上为增函数，则有h(x)>h(0)=0，即，即当x>1时，则>0，当0<x<1时，则<0，即g(x)在(0，1)上为减函数，在(1，+∞)上为增函数，g(x)在x=1处取最小值g(1)=e-1，于是得，所以的取值范围为.17．（本小题满分15分）解：（1）四边形为边长等于的正方形，和均为正三角形，设的中点为，连接，.由题意得，，.因为在中，，为的中点，所以。因为在△POB中，，，，则，所以，因为，平面，所以平面。因为平面，所以平面平面；（2）由（1）知，，，，平面，平面，平面，所以就是直线与平面所成的角，且，所以当最短时，即是的中点时，最大，由平面，平面，所以，，于是以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示直角坐标系，则，，，，，，所以，，。设平面的法向量为，则，得，可取，取平面的法向量为，所以，平面与平面夹角的余弦值为.18.（本小题满分17分）解：（1）若第一个人抢到的金额数为个单位，第二个人抢到的金额数为个单位，第三个人抢到的金额数为个单位，我们将三个人抢到的金额数记作.（i），所以的分布列为123.（ii）第一个人获得手气王时，三个人抢到的金额数只可能为，故第一个人获得手气王的概率（2）记事件“三个人抢到的金额数为的一个排列”，事件“第一个人获得手气王”.所要求的是条件概率，有.当三个人抢到的金额数为的一个排列时，总金额数为9，故第一个人抢到的金额数可能为.又，，故.19.解：（1）由欧拉函数的定义知，不超过3且与3互素的正整数有1，2，则，不超过7且与7互素的正整数有1，2，3，4，5，6，则，不超过21且与21互