2026年山东淄博市高三一模高考数学试卷试题（含答案详解）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页淄博市2025-2026学年度高三模拟考试数学注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2.回答选择题时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合，，那么集合（

）A． B． C． D．2．若复数的共轭复数满足，则复数（

）A． B． C． D．3．已知，则（

）A． B． C． D．4．已知椭圆：的左、右焦点分别为和，过且倾斜角为的直线与交于，两点，则（

）A． B． C． D．5．过点且与圆相切的两条直线的夹角为，则（

）A． B． C． D．6．有5名同学，，，，参加唱歌比赛，抽签决出出场顺序.若和都不是第1个出场，且不是最后一个出场，则这5人不同的出场顺序种数为（

）A．42 B．50 C．54 D．607．在正方体中，为的中点，，，若，，，四点共面，则的值为（

）A． B． C． D．8．已知函数的定义域为，，且，，则的最小值为（

）A．9 B．12 C．16 D．18二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9．已知实数，满足，则下列说法正确的有（

）A． B．C．若，则 D．若，，则10．已知函数，则下列说法正确的是（

）A．若，且曲线的对称中心为，则B．若，函数在上单调递增，则C．若，且，则存在实数，使得D．若，，且函数有两个极值点、，则11．已知双曲线：的上、下焦点分别为和，下顶点为，为第一象限内上的动点，当时，的面积为，则下列说法正确的是（

）A．双曲线的离心率B．双曲线的渐近线方程为C．D．的内心满足三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．平面向量，，则在上的投影向量坐标为________.13．若函数的部分图象如图所示，则关于的不等式的解集为______.14．在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列，现将数列1，2进行构造，第1次得到数列1，3，2；第2次得到数列1，4，3，5，2；…；第次得到数列，记，则________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤.15．已知锐角的三个内角，，所对的边分别为，，，且满足.(1)求角；(2)求的取值范围.16．已知抛物线：与双曲线的渐近线在第一、四象限的交点分别为，，且.(1)求抛物线的方程；(2)，为上异于，的两动点，且以线段为直径的圆恰好经过，证明：直线过定点.17．如图，四棱锥中，平面，，，.(1)求证：；(2)若为的重心，（i）求与平面所成角的正弦值；（ii）若交平面于，求的值.18．设、为实数，且，函数，.(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)当时，证明：；(3)若曲线与直线有且仅有两个交点，求的取值范围.19．甲口袋中装有3个红球，乙口袋中装有2个黄球和1个红球.现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复次这样的操作，记乙口袋中黄球个数为，恰有2个黄球的概率为，恰有1个黄球的概率为.(1)求，和，；(2)求的数学期望（用表示）；(3)，若，有，求所有元素之和.答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页1．C【分析】求出集合、后，利用并集定义计算即可得.【详解】由，可得，则，由，可得，即，即，故.2．B【分析】利用复数的乘方与复数的除法化简得出复数，结合共轭复数的定义可求得复数.【详解】因为，所以，所以.故选：B.3．D【分析】由指数和对数互化公式和运算性质直接计算即可得解.【详解】由题可得，所以.故选：D4．B【详解】椭圆：的右焦点，过且倾斜角为的直线的方程为，即，将代入，得到，即，设，则，则，故选项B正确.5．A【分析】画出示意图，B，D为切点，则，可求得的值，利用二倍角的正切公式可求得.【详解】如图，B，D为切点，则，，，由圆可得，，又，所以，所以，则，故.故选：A.6．D【分析】根据题意，分是第1个和不是第1个且不是最后一个，两类情况讨论，结合排列数和组合数的计算公式，以及分类计数原理，即可求解.【详解】根据题意，分是第1个和不是第1个且不是最后一个，两类情况讨论：当是第1个时，此时剩余的全排列，共有种不同的排法；当不是第1个且不是最后一个时，先排第1个，从中选一人为第1个，有种选法；再排，有三个位置可选，有种排法，最后三人全排列，有种排法，所以共有种不同的排法，由分类计数原理得，共有种不同的排列情况.7．A【分析】先建立空间直角坐标系，然后根据已知条件列出各个点的坐标，然后求出的坐标，然后根据四点共面列出方程组，进而求出结果.【详解】如图所示，以为原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，因为为的中点，，，所以.所以.因为，，，四点共面，所以，得到，解得.故选：A.

8．D【分析】令得，再令得，最后利用基本不等式即可得答案.【详解】令，则，所以.令，则，因为函数的定义域为，，所以，当且仅当时，即时，等号成立.所以的最小值为故选：D9．BC【详解】若，则满足，但不满足，故A错误；因为，所以，故B正确；因为，，所以，则，故C正确；因为，，所以，则，故D错误.10．ACD【分析】利用求参数判断A，对函数求导有在上恒成立，结合判别式列不等式判断B，根据已知有，再判断的判别式符号确定函数的单调性判断C，由是的两个根，结合韦达定理判断D.【详解】对于A，若，则，由的对称中心为，则，所以，所以，所以，则，A对，对于B，若，则。若在上单调递增，则其导数在上恒成立，所以，即，B错，对于C，由，，不等式两边同乘，得，的判别式，故有两个不同零点，即有两个极值点，故不单调，因此存在使得，C对，对于D，将代入导函数，得，极值点是的两个根，由韦达定理：，D对.11．ACD【分析】选项A，焦三角形的相关性质，结合双曲线的定义，得到基本量的关系选项B，考察焦点在轴上，渐近线方程.选项C，设点坐标，利用正切值建立坐标与角的关系，两个角的正切值相等，限定范围，得到结论.选项D，利用选项C的逆命题，验证内心满足该命题的条件，即可得到等式.【详解】对于A：由双曲线定义得，平方得，在中由余弦定理得，，代入，整理得，即，的面积，得，即，又因为，所以，则离心率，A正确；对于选项B：焦点在轴的双曲线渐近线为，代入，得，B错误；对于选项C：，设，满足，设，，则，代入，化简得。设，同理得，且，故，C正确；对于选项D：首先考虑选项C的逆命题即若点在第一象限且满足，则点在双曲线上.下面证明这个命题，设，则，化简得，所以点在双曲线上，该命题成立.又因为内心是三角形各角平分线的交点，所以，根据上述命题，在双曲线上，所以，所以.12．【详解】由，，得，，则在上的投影向量为.13．【分析】根据给定的函数图象，结合“五点法”作图求出函数解析式，再根据正弦函数的图象解不等式即可.【详解】由图象得，，即，而，则，，又，则，解得，函数的最小正周期，由图象知，则，所以，，由，得，则，解得，即关于的不等式的解集为.14．【详解】第1次得到数列1，3，2；第2次得到数列1，4，3，5，2；第3次得到数列1，5，4，7，3，8，5，7，2；第4次得到数列1，6，5，9，4，11，7，10，3，11，8，13，5，12，7，9，2；故.15．(1)(2)【分析】（1）由正弦定理边化角，化简即可求解；（2）由（1）结合三角形为锐角三角形，确定的范围，将转换成，再结合两角差正弦公式及辅助角公式，转换成正弦型函数求值域即可.【详解】（1）由正弦定理，，，可得：，又，所以，因为，化简可得：，因为是锐角三角形，，故；（2）由得，即，因为是锐角三角形，所以，解得，由得，故，代入得：，因此的取值范围为.16．(1)(2)证明见解析【分析】（1）求出双曲线渐近线后，可表示出点、坐标，再利用即可得解；（2）由题意可得，即可得，则可设出直线方程，联立抛物线，可得与交点纵坐标有关韦达定理，结合可表示出直线方程，即可得解.【详解】（1）的渐近线为，联立，解得或，故，由对称性可得，则，故（负值舍去），即抛物线的方程为；（2）由（1）知，设、，由以线段为直径的圆恰好经过，则，由，，则，由，异于，故，则，设，，则，，则，，，即，，故,即，则，当时，，故直线过定点.17．(1)证明见解析；(2)，【分析】（1）利用勾股定理的逆定理得到，利用线面垂直的定义得到，利用线面垂直的判定定理得到平面，利用线面垂直的定义得到；（2）（i）以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示，求出平面的法向量，设与平面所成的角为，利用公式得到线与平面所成角的正弦值；（ii）设，则，由得到，利用数量积的坐标公式得解.【详解】（1）在中，，，，，平面，平面，，，平面，平面，平面，平面，；（2）（i）以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示，，，.，，，，，，，为的重心，，，设平面的法向量为，则，，，取，则，即，，，，设与平面所成的角为，则，故与平面所成角的正弦值为；（ii）由（i）知，，，设，则，，由（i）知，平面的法向量为，则，即，则，解得，即.18．(1)(2)证明见解析(3)【分析】（1）根据导数的几何意义直接求解即可；（2）设，求导，分析函数的单调性，进而求证即可；（3）设，转化问题为函数有且仅有2个零点，分析易得时才能满足题意，设，分析可得需满足，，设，利用导数分析函数的单调性，进而求解即可.【详解】（1）当时，，则，而，则，所以曲线在点处的切线方程为，即.（2）当时，，设，则，由于，则，令，得，令，得，所以函数在上单调递减，在上单调递增，则，即.（3）设，由题意，曲线与直线有且仅有两个交点，则函数有且仅有2个零点，而，令，得，而，则，当时，，则函数在上单调递增，此时函数最多有1个零点，不符合题意；当时，令，得，令，得，所以函数在上单调递减，在上单调递增，又时，，时，，要使函数有且仅有2个零点，则，即，设，则，当时，，则，不满足题意；当时，设，则，则函数在上单调递减，又，则时，，即，则的取值范围为.19．(1)，，，(2)(3)【分析】（1）结合独立事件乘法公式求出，再利用全概率公式求；（2）利用全概率公式求得、与、的关系，再利用构造法证明等比数列，进而求出通项公式，列出的分布列，结合通项公式求出期望即可；（3）根据题意将问题转化为集合中子集元素相加求和，结合错位相减求和即可.【详解】（1）依题意，，，，.（2）设表示次取球后乙口袋有2个黄球，表示次取球后乙口袋有1个黄球，表示一次操作甲乙都取的是红球，表示一次操作甲取的是红球同时乙取的是黄球，表示一次操作甲取的是黄球同时乙取的是红