2023-2024学年广东深圳南山区高一(上)期末数学试题及答案

2023-2024学年广东省深圳市南山区高一（上）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。A．{﹣1，0}B．{0，1}C0，1]25分）下列所给的等式中正确的为35分）已知命题p：“∀x≤0，x﹣cosx＜0”，则p的否定为A．∃x≤0，x﹣cosx≥0B．∃x＞0，x﹣cosx≥0C．∀x≤0，x﹣cosx≥0D．∀x＞0，x﹣cosx≥045分）设函数f（x3x+2x﹣4的零点为x0，则x0∈A1，0）B0，1）C1，2）D2，3）55分）要得到的图象，只需将函数的图象A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度65分）已知函数f（x若f（f（sinθ2，则θ的值可以为75分）设函数f（xx，则函数f（x）的图象可能为()B.D.85分）已知a＝sin1+cos1，b＝logcosA．c＞a＞bB．a＞b＞cC．c＞b＞aD．a＞c＞b二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。（多选）95分）已知函数f（x2m﹣m2）x3m为幂函数，则下列结论正确的为()A．m＝1B．f（x）为偶函数C．f（x）为单调递增函数D．f（x）的值域为[0，+∞)（多选）105分）已知A，B，C是△ABC的三个内角，下列条件是“cosAcosBcosC＜0”的一个充分不必要条件的为()A．sin（A+B0B．cos（A+B0C．sin（A﹣B）＜0D．cos（A﹣B）＜0（多选）115分）已知函数f（xlnx，g（xlgx，若f（mg（n则下列结论可能A．m＝nB．n＜m＜1C．m＜1＜nD．1＜m＜n（多选）125分）已知函数f（x）满足如下两个性质：①∀x∈R，f[f（x）+g(﹣x）]=﹣1，其中函数g（x）是函数y＝log3x的反函数；②若x≠y，则f（x）≠f（y则下列结论正确的为()A．若a≠b，则（a﹣b）[g（a）﹣g（b）]＞0B．若点P（cosθ,sinθ)在曲线y＝g（x）上，则sin2θ≥0C．存在点Q，使得曲线y＝f（x）与y＝g（x）关于点Q对称D．方程f（3sinx）+x＝1恰有9个相异实数解三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。135分）已知扇形的圆心角为，弧长为π,则该扇形的面积S=.145分）已知函数f（xx2+mx，若∀x∈R，f（1﹣xf（1+x则m=.155分）已知当n∈N*时，函数f（xln（x+a）n+b的图象恒过定点(﹣1，1其中a，b为常数，则不等式的解集为.165分）已知实数x，y＞0，且．记u＝cosx+cosy，则u的最小值四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤。1710分）计算下列各式的值.（1）3log35+2lg﹣lg25；（2）×π.1812分）已知集合A＝{x|2a﹣3＜x＜a+2}，B＝{x|＜2x＜4}.（2）若A∪B＝B，求实数a的取值范围.1912分1）已知点P(﹣3，a）为角α终边上一点，且，求cos(π+α)的值；（2）若，求sin2β+2cos2β的值.2012分）已知某产品在过去的32天内的日销售量Q（x单位：万件）与第x天之间的函数关系为①Q（x）＝a（x﹣8）2+b；②Q（x）＝+m这两种函数模型中的一个，且部分数据如下表：x（天）2420Q（x万件）（1）请确定Q（x）的解析式，并说明理由；（2）若第x天的每件产品的销售价格均为P（x单位：元且P（x60﹣|x﹣20|，求该产品在过去32天内的第x天的销售额f（x单位：万元）的解析式及f（x）的最小值.2112分）已知函数f（xAcos（wx+φ)（A＞0，w＞0，0<φ<π)的部分图象如图所示.（1）求f（x）的解析式；（2）设0<θ<π,记f（x）在区间[0，θ]上的最大值为g(θ),求g(θ)的解析式.2212分）已知函数f（xa﹣为定义在R上的奇函数.（1）求实数a的值；（2i）证明：f（x）为单调递增函数；（ii）∀x∈（0，+∞),若不等式＞0恒成立，求非零实数m的取值范围.2023-2024学年广东省深圳市南山区高一（上）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。A．{﹣1，0}B．{0，1}C0，1]【分析】可求出集合A，然后进行交集的运算即可．故选：A．【点评】本题考查了集合的描述法和列举法的定义，交集及其运算，考查了计算能力，属于基础题．25分）下列所给的等式中正确的为【分析】利用特殊角的三角函数值即可求解．【解答】解：对于A120°，错误；对于B，tan错误；对于C，sin正确；故选：C．【点评】本题主要考查了特殊角的三角函数值在三角函数求值中的应用，属于基础题．【分析】根据含有量词的命题的否定即可得到结论．故选：A．【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，属于基础题.45分）设函数f（x3x+2x﹣4的零点为x0，则x0∈()【分析】由函数的解析式判断单调性，求出f（0f（1）的值，可得f（0）•f（10，再利用函数的零点的判定定理可得函数f（x）＝3x+2x﹣4的零点所在的区间.【解答】解：∵函数f（x）＝3x+2x﹣4，∴可判断函数单调递增，∵f（0）=﹣3＜0，f（1）＝1＞0，∴f（0）•f（10，根据函数的零点的判定定理可得：函数f（x）＝3x+2x﹣4的零点所在的区间是（0，1）.故选：B.【点评】本题主要考查函数的零点的判定定理的应用，属于基础题.55分）要得到的图象，只需将函数的图象()A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度【分析】将整理成，然后利用平移变换即可求解.【解答】解：由于函数，故只需将函数的图象向右平移可得函数的图象.故选：D.【点评】本题主要考查了三角函数的图象变换，属于基础题.65分）已知函数f（x若f（f（sinθ))=2，则θ的值可以为()【分析】针对各个选项逐一验证，即可求解.【解答】解：对于选项A所以选项A不正确；对于选项B，f（f（sinθ))=f（f（sinf（ff()==≠2，所以选项B不正确；对于选项C，f（f（sinθ))=f（f（sinf（ff()==≠2，所以选项B不正确；对于选项D，f（f（sinθ))=f（f（sinf（ff2，所以选项D正确.故选：D.【点评】本题考查了已知分段函数的值求参数或自变量的值，属于中档题.75分）设函数f（xx，则函数f（x）的图象可能为()A．B.D.【分析】判断的奇偶性和对称性，结合函数值的对应性进行排除即可.【解答】解：由＞0得（1+xx﹣10，得﹣1＜x＜1，即函数的定义域为(﹣1，1则f(﹣xx2ln=﹣x=﹣f（x即函数f（x）为奇函数，图象关于原点对称，排除B，D，f(故选：C.【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断，结合函数奇偶性和对称性之间的关系以及利用排除法是解决本题的关键.85分）已知a＝sin1+cos1，b＝logcosA．c＞a＞bB．a＞b＞cC．c＞b＞aD．a＞c＞b【分析】通过放缩，再利用平方关系和辅助角公式得到1＜a<,再利用函数y＝tanx在区间（0上单调递增，得出0＜cos1＜sin1＜1，再利用对数函数的单调性得到b＜1，利用函数y＝cosx在区间（0，π)上单调递减及指数函数的单调性可得c＞,从而求出结果.【解答】解：∵0＜sin1＜1，0＜sin1＜0，∴a＝sin1+cos1＞sin21+cos2∴1＜a<,又∵=tan1，0，而函数y＝tanx在区间（0，∴tan1＞tan＝1，∴0＜cos1＜sin1＜1，∴b＝logcos1sin1＜logcos1cos1＝1，∵0<π,且函数y＝cosx在区间（0，π)上单调递减，∴cos1＞cos，∴c＞a＞b.故选：A.【点评】本题主要考查了正切函数和余弦函数的单调性，考查了指数函数的性质，属于中档题.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。（多选）95分）已知函数f（x2m﹣m2）x3m为幂函数，则下列结论正确的为()A．m＝1B．f（x）为偶函数C．f（x）为单调递增函数D．f（x）的值域为[0，+∞)【分析】由题意，利用幂函数的定义和性质，得出结论.【解答】解：根据函数f（x）＝（2m﹣m2）x3m为幂函数，可得2m﹣m2＝1，求得m＝1，即（x）＝x3，故A正确.显然，该函数为奇函数，故B错误.显然，该函数为R上的增函数，故C正确.由于该函数的值域为R，故D错误.故选：AC.【点评】本题主要考查幂函数的定义和性质，属于基础题.（多选）105分）已知A，B，C是△ABC的三个内角，下列条件是“cosAcosBcosC＜0”的一个充分不必要条件的为()A．sin（A+B0B．cos（A+B0C．sin（A﹣B）＜0D．cos（A﹣B）＜0【分析】利用两角和与差的三角函数及充分条件与必要条件的概念对四个选项逐一分析可得答案.【解答】解：A，B，C是△ABC的三个内角，对于A，sin（A+B）＝sin(π﹣C）＝sinC＞0，不能推出cosAcosBcosC＜0，A错误；对于B，cos（A+Bcos(π﹣C）=﹣cosC＞0→cosC＜0，即C为钝角，B、C为锐角，故cosAcosBcosC对于C，sin（A﹣B0→A＜B，不能确定B、C是否为钝角，故不能推出cosAcosBcosC＜0，C错误；对于D，cos（A﹣B0→A﹣B或B﹣A为钝角，即A为钝角或B为钝角，故cosAcosBcosC＜0，D正确.故选：BD.【点评】本题考查充分条件与必要条件的应用，属于中档题.（多选）115分）已知函数f（xlnx，g（xlgx，若f（mg（n则下列结论可能成立的为()A．m＝nB．n＜m＜1C．m＜1＜nD．1＜m＜n【分析】由函数的图象，可得m，n的关系.【解答】解：两个函数的大致图象如图所示：当f（mg（n0时，则n＞m＞1，当f（m）＝g（n）＝0时，则m＝n＝1，当f（mg（n0，则0＜n＜m＜1.故选：ABD.【点评】本题考查数形结合求自变量的大小关系，属于基础题.（多选）125分）已知函数f（x）满足如下两个性质：①∀x∈R，f[f（x）+g(﹣x）]=﹣1，其中函数g（x）是函数y＝log3x的反函数；②若x≠y，则f（x）≠f（y则下列结论正确的为()A．若a≠b，则（a﹣b）[g（a）﹣g（b）]＞0B．若点P（cosθ,sinθ)在曲线y＝g（x）上，则sin2θ≥0C．存在点Q，使得曲线y＝f（x）与y＝g（x）关于点Q对称D．方程f（3sinx）+x＝1恰有9个相异实数解【分析】根据题意可求出函数g（x）＝3x，根据②可判断函数f（x）是单调函数，根据①可求出函数f（x）=﹣3﹣x.根据函数g（x）的单调性可判断A；代入，取对数可判断cosθ=lnsinθ≤0，根据二倍角公式即可判断B；由f（x）=﹣3﹣x与g（x）＝3x的图像关于原点对称，可判断C；方程f（3sinx）+x＝1实数根的个数转化为函数y＝x﹣1与y＝e﹣3sinx图像交点个数，画出它们的图像即可判断D.【解答】解：因为函数g（x）是函数y＝log3x的反函数，所以g（x）＝3x，因为若x≠y，则f（x）≠f（y所以函数f（x）是单调函数，又∀x∈R，f[f（x）+g(﹣x）]=﹣1，所以f（x）+g(﹣x）＝m，即f（x）=﹣g(﹣x）+m=﹣3﹣x+m，所以f（m）=﹣3﹣m+m=﹣1，故m＝0，所以f（x）=﹣3﹣x.对于A，函数g（x）＝3x在R上单调递增，故A正确；对于B，因为点P（cosθ,sinθ)在曲线y＝g（x）上，所以sinθ=ecosθ∈（0，1]，所以cosθ=lnsinθ≤0，所以sin2θ=2sinθcosθ≤0，故B错误；对于C，f（x）=﹣3﹣x与g（x3x的图像关于原点对称，故存在点Q（0，0使得曲线y＝f（x）与y＝g（x）关于点Q对称，故C正确；对于D，f（3sinx）=﹣3﹣3sinx，是以2π为周期的周期函数，当x＝+2kπ时，[﹣f（3sinx）]min＝3﹣3=,当x＝+2kπ时，[﹣f（3sinx）]max＝33＝27，方程f（3sinx）+x＝1等价于x﹣1=﹣f（3sinx画出它们的图像，如图由图像知它们有9个交点，故D正确.故选：ACD.【点评】本题考查函数解析式的求法，函数的图像和性质，函数零点与方程根的关系，转化和数形结合的数学思想方法，属难题.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。135分）已知扇形的圆心角为，弧长为π,则该扇形的面积S=【分析】利用扇形的圆心角和弧长可求出扇形的半径，再求扇形的面积.【解答】解：∵扇形的圆心角α为，弧长l为π,∴扇形的半径r3，∴扇形的面积S＝lr=×3×π=.故答案为：.【点评】本题考查扇形的面积、弧长公式，考查学生的计算能力，比较基础.145分）已知函数f（xx2+mx，若∀x∈R，f（1﹣xf（1+x则m=﹣2.【分析】由函数的解析式，可得对称轴方程，再由题意可得对称轴方程，进而可得m的值.【解答】解：f（x）＝x2+mx，开口向上，对称轴为x=﹣,又因为∀x∈R，f（1﹣xf（1+x可知函数的对称轴方程为x1，所以﹣=1，解得m=﹣2.故答案为：﹣2.【点评】本题考查二次函数的性质的应用，函数的对称性的应用，属于基础题.155分）已知当n∈N*时，函数f（xln（x+a）n+b的图象恒过定点(﹣1，1其中a，b为常数，则不等式的解集为[1，2）.【分析】由函数恒过的定点的坐标，可得a，b的值，进而求出不等式的等价变形，解得不等式的解集.【解答】解：由函数f（xln（x+a）n+b的图象恒过定点(﹣1，1可得﹣1+a＝1且b＝1，所以不等式等价于，解得1≤x＜2，【点评】本题考查函数恒过定点的求法及分式不等式的解法，属于基础题.165分）已知实数x，y＞0，且．记u＝cosx+cosy，则＝2，u的最小值为﹣.【分析】由已知结合不等式的性质进行化简，然后结合二次不等式的解法可求；结合二倍角公式先进行化简，然后结合二次函数的性质即可求解.【解答】解：因为x，y＞0，且，所以＝5+≤9，整理得2﹣4×+4≤0，解不等式得2，u＝cosx+cosy＝cosx+cos2x＝2cos2x+cosx﹣1＝2（cosx+）2﹣所以，当cosx=﹣时，u取得最小值﹣.故答案为：2；.【点评】本题主要考查了不等式的求解，还考查了二倍角公式的应用，二次函数性质的应用，属于中档题.四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤。1710分）计算下列各式的值.3log35+2lg﹣lg25；【分析】利用对数以及有理数指数幂的运算性质化简即可求解.【解答】解1）原式＝5﹣2lg2﹣2lg5＝5﹣2（lg2+lg55﹣2＝3；（2）原式+π﹣3﹣π=4﹣3＝1.【点评】本题考查了对数以及有理数指数幂的运算性质，属于基础题.1812分）已知集合A＝{x|2a﹣3＜x＜a+2}，B＝{x|＜2x＜4}.（1）若a＝0，求∁BA；（2）若A∪B＝B，求实数a的取值范围.【分析】（1）先求出集合A，B，再利用补集运算求解；（2）由A∪B＝B可得A⊆B，分A=∅和A≠∅两种情况讨论，分别求出a的取值范围，最后取并集.【解答】解1）B＝{x|＜2x＜4}＝{x|﹣4＜x＜2}，当a＝0时，集合A＝{x|2a﹣3＜x＜a+2}＝{x|﹣3＜x＜2}，∴∁BA＝{x|﹣4＜x≤﹣3}；①当A=∅时，2a﹣3≥a+2，解得a≥5，②当A≠∅时，则，解得﹣,综上所述，实数a的取值范围为[﹣【点评】本题主要考查了指数不等式的解法，考查了集合的基本运算，属于基础题.1912分1）已知点P(﹣3，a）为角α终边上一点，且，求cos(π+α)的值；（2）若，求sin2β+2cos2β的值.【分析】（1）利用任意角的三角函数的定义及诱导公式可求cos(π+α)的值；（2）利用两角和与差的三角函数可求得tanβ,再将所求关系式转化为关于tanβ的式子，求解即可求得sin2β+2cos2β的值.【解答】解1）∵点P(﹣3，a）为角α终边上一点，且=∴cos(π+α)=﹣cosα=﹣=;∴tanβ=tan[(β+）﹣]===﹣,∴sin2β+2cos2β===.【点评】本题考查任意三角函数的定义与两角和与差的三角函数的应用，属于中档题.2012分）已知某产品在过去的32天内的日销售量Q（x单位：万件）与第x天之间的函数关系为①Q（x）＝a（x﹣8）2+b；②Q（x）＝+m这两种函数模型中的一个，且部分数据如下表：x（天）2420Q（x万件）（1）请确定Q（x）的解析式，并说明理由；（2）若第x天的每件产品的销售价格均为P（x单位：元且P（x60﹣|x﹣20|，求该产品在过去32天内的第x天的销售额f（x单位：万元）的解析式及f（x）的最小值.【分析】（1）若Q（x）＝a（x﹣8）2+b，则它不满足单调递减，所以只能由待定系数法代入即可得解；（2）结合销售额、销量以及销售单价之间的关系即可求得f（x）表达式（分段函数当1≤x≤20（xeN*）时，可结合基本不等式求最小值，注意取等条件是否满足，当20＜x≤32（xeN*）时，直接由表达式得函数f（x）单调性，进而得其最小值，结合以上两方面即可得解.【解答】解1）选择模型②,理由如下：由题表可知，随着x增大时，销售量逐渐减少，若Q（x）＝a（x﹣8）2+b，则当1≤x≤32时，Q（x）非单调递减函数，不符合题意；对于，根据题意，将点（2，124，11）代入可得，易知点（10，10.420，10.2）均在的图象上，），当1≤x≤20（xeN*）时当且仅当，即x＝4时，等号成立，当20＜x≤32（x∈N*）时，为单调递减函数，∴f（x）的最小值为f（32）＝486＞484，综上可知，f（x）的最小值为484万元.【点评】本题考查了函数模型的实际应用，属于中档题.2112分）已知函数f（xAcos(ωx+φ)（A＞0，ω>0，0<φ<π)的部分图象如图所示.（1）求f（x）的解析式；（2）设0<θ<π,记f（x）在区间[0，θ]上的最大值为g(θ),求g(θ)的解析式.【分析】（1）由函数f（x）的部分图象求出﹣A，T，ω和g的值．即可求出f（x）的解析式；（2）先求出f（x）在[0.π]的单调性，分类讨论θ和，求当f（x）在区间[0，θ]上的