2026年圆的方程专项测试题及答案

2026年圆的方程专项测试题及答案

一、单项选择题（总共10题，每题2分）1.圆心为(2,-3)，半径为4的圆的标准方程是（）A.(x-2)²+(y+3)²=16B.(x+2)²+(y-3)²=16C.(x-2)²+(y-3)²=4D.(x+2)²+(y+3)²=42.圆的一般方程x²+y²-4x+6y-3=0的圆心和半径分别为（）A.(2,-3)，4B.(-2,3)，4C.(2,-3)，16D.(-2,3)，163.点(1,2)与圆(x-2)²+(y-1)²=4的位置关系是（）A.点在圆内B.点在圆上C.点在圆外D.无法确定4.直线y=kx+1与圆x²+y²=4相切，则k的值为（）A.±√3B.±1C.±√2D.±25.圆C₁：(x-1)²+(y-2)²=4与圆C₂：(x-4)²+(y-6)²=9的位置关系是（）A.内含B.内切C.相交D.外切6.圆的参数方程为{x=3+2cosθ，y=1+2sinθ}（θ为参数），则y的最大值为（）A.1B.3C.2D.57.过点(4,0)作圆x²+y²=4的切线，切线方程为（）A.x=4B.y=±√3(x-4)C.x=4或y=±√3(x-4)D.y=±(x-4)8.直线x+y-1=0与圆(x-1)²+(y-2)²=4相交的弦长为（）A.2√2B.√2C.2√3D.√39.圆(x-2)²+(y+1)²=5关于原点对称的圆的方程是（）A.(x+2)²+(y-1)²=5B.(x-2)²+(y+1)²=5C.(x+2)²+(y+1)²=5D.(x-2)²+(y-1)²=510.圆(x-3)²+(y+2)²=9上的点到点(0,1)的最小距离为（）A.3√2-3B.3√2+3C.√2-3D.√2+3二、填空题（总共10题，每题2分）1.以点(1,3)和(5,7)为直径端点的圆的标准方程是__________。2.若方程x²+y²+Dx+Ey+F=0表示圆，则D、E、F需满足的条件是__________。3.点(2,a)在圆(x-1)²+(y+2)²=25上，则a=__________。4.直线3x+4y-5=0与圆x²+y²=1相交的弦长为__________。5.圆C₁：x²+y²=4与圆C₂：x²+y²-4x=0的公共弦长为__________。6.圆的参数方程为{x=2cosθ，y=1+2sinθ}（θ为参数），则x+y的最大值为__________。7.过圆x²+y²=1上一点(√2/2,√2/2)的切线方程是__________。8.圆心在直线y=x上，且与x轴、y轴都相切的圆的方程为__________（写出一个即可）。9.若圆(x-1)²+(y-2)²=m与圆(x-4)²+(y-6)²=9外切，则m=__________。10.圆(x-2)²+(y+1)²=4上的点到直线x-y+3=0的最小距离为__________。三、判断题（总共10题，每题2分）1.方程x²+y²-2x+4y+5=0表示一个圆。（）2.点(0,0)在圆(x-1)²+(y-2)²=5内。（）3.直线x+y=1与圆x²+y²=1相交。（）4.两圆外切时，圆心距等于两圆半径之和。（）5.圆的参数方程中，参数θ的取值范围是[0,π)。（）6.过圆外一点可以作两条该圆的切线。（）7.圆(x-1)²+(y-2)²=4关于直线y=x对称的圆的方程是(x-2)²+(y-1)²=4。（）8.弦长公式为2√(r²-d²)，其中d为圆心到直线的距离。（）9.圆的一般方程中一定含有xy项。（）10.圆上点到直线的最大距离为圆心到直线的距离加上半径。（）四、简答题（总共4题，每题5分）1.如何将圆的一般方程x²+y²+Dx+Ey+F=0化为标准方程？请写出具体步骤。2.简述判断直线与圆位置关系的两种方法。3.如何求两圆的公共弦方程？请写出推导过程。4.说明圆的参数方程与普通方程的互化方法。五、讨论题（总共4题，每题5分）1.已知圆经过点A(1,2)、B(3,4)，且圆心在直线y=x上，讨论这样的圆是否存在，若存在求出方程，若不存在说明理由。2.直线y=kx+2与圆(x-1)²+(y-1)²=4相交，求k的取值范围。3.讨论圆C₁：(x-1)²+(y-1)²=m²与圆C₂：(x-4)²+(y-5)²=1的位置关系（m>0）。4.圆(x-2)²+(y+1)²=9上的点到直线3x-4y+5=0的距离的最大值和最小值分别是多少？说明理由。答案及解析一、单项选择题1.A（标准方程为(x-a)²+(y-b)²=r²，代入圆心和半径）2.A（配方得(x-2)²+(y+3)²=16，圆心(2,-3)，半径4）3.C（计算点到圆心距离√[(1-2)²+(2-1)²]=√2<2？不，√2≈1.414<2？不，半径是2，√2≈1.414<2，所以点在圆内？错误，原圆半径是2，点到圆心距离√[(1-2)²+(2-1)²]=√2≈1.414<2，故点在圆内？原题选项A是圆内，但原题圆方程是(x-2)²+(y-1)²=4，半径2，点(1,2)到圆心(2,1)的距离是√[(1-2)²+(2-1)²]=√2≈1.414<2，故点在圆内，正确选项应为A。但原答案可能有误，需修正：正确选项A）（注：原题第3题解析修正，正确选项为A）4.A（圆心到直线距离等于半径，|0-0+1|/√(k²+1)=2，解得k=±√3）5.C（圆心距√[(4-1)²+(6-2)²]=5，半径和2+3=5，半径差3-2=1，5=半径和，故外切？原圆C₁半径2，C₂半径3，圆心距5=2+3，故外切，正确选项D）（注：原题第5题解析修正，正确选项D）6.B（y=1+2sinθ，最大值1+2=3）7.B（点(4,0)在圆外，切线方程设为y=k(x-4)，利用距离公式得k=±√3，无垂直切线，故方程为y=±√3(x-4)）8.A（圆心(1,2)到直线距离|1+2-1|/√2=√2，弦长=2√(4-(√2)²)=2√2）9.A（圆心(2,-1)关于原点对称点(-2,1)，半径不变）10.A（圆心(3,-2)到点(0,1)的距离√(9+9)=3√2，最小距离=3√2-3）二、填空题1.(x-3)²+(y-5)²=8（中点(3,5)为圆心，半径=√[(5-1)²+(7-3)²]/2=√32/2=2√2，故方程为(x-3)²+(y-5)²=8）2.D²+E²-4F>0（一般方程表示圆的条件）3.3或-7（代入得(2-1)²+(a+2)²=25，解得a=3或-7）4.2√(1-(|-5|/5)²)=2√(1-1)=0？错误，正确计算：圆心到直线距离|0+0-5|/5=1，弦长=2√(1²-1²)=0？不，圆x²+y²=1半径1，直线3x+4y-5=0到圆心距离1，等于半径，故相切，弦长0？但直线与圆相切时弦长为0，正确答案0）（注：原题第4题解析修正，正确答案0）5.2√3（两圆相减得公共弦方程x=1，代入x²+y²=4得y=±√3，弦长2√3）6.1+2√2（x+y=2cosθ+1+2sinθ=1+2√2sin(θ+45°)，最大值1+2√2）7.x+y=√2（点(√2/2,√2/2)在圆上，切线方程为(√2/2)x+(√2/2)y=1，即x+y=√2）8.(x-1)²+(y-1)²=1（圆心(a,a)，半径|a|，取a=1）9.4（圆心距√[(4-1)²+(6-2)²]=5，外切时√m+3=5，故√m=2，m=4）10.(|2-(-1)+3|)/√2-2=6/√2-2=3√2-2（圆心(2,-1)到直线距离|2+1+3|/√2=6/√2=3√2，最小距离=3√2-2）三、判断题1.×（配方得(x-1)²+(y+2)²=0，表示点）2.√（点到圆心距离√(1+4)=√5=半径，故在圆上？原圆方程(x-1)²+(y-2)²=5，半径√5，点(0,0)到圆心距离√(1+4)=√5=半径，故在圆上，原题判断错误，应为×）（注：原题第2题解析修正，正确答案×）3.√（圆心到直线距离|0+0-1|/√2=√2/2<1，相交）4.√（外切定义）5.×（θ范围[0,2π)）6.√（圆外一点可作两条切线）7.√（圆心(1,2)关于y=x对称点(2,1)，半径不变）8.√（垂径定理）9.×（圆的一般方程无xy项）10.√（最大距离=圆心距离+半径）四、简答题1.步骤：①将方程x²+y²+Dx+Ey+F=0移项得x²+Dx+y²+Ey=-F；②对x、y分别配方：(x+D/2)²+(y+E/2)²=(D²+E²-4F)/4；③当D²+E²-4F>0时，方程表示以(-D/2,-E/2)为圆心，√(D²+E²-4F)/2为半径的圆。2.方法一（几何法）：计算圆心到直线的距离d，若d<r则相交，d=r则相切，d>r则相离；方法二（代数法）：联立直线与圆的方程，消元后得到一元二次方程，计算判别式Δ，若Δ>0则相交，Δ=0则相切，Δ<0则相离。3.设两圆方程分别为C₁：x²+y²+D₁x+E₁y+F₁=0和C₂：x²+y²+D₂x+E₂y+F₂=0，两式相减得(D₁-D₂)x+(E₁-E₂)y+(F₁-F₂)=0，即为公共弦方程（因两圆交点同时满足两方程，故交点在该直线上）。4.参数方程化普通方程：利用sin²θ+cos²θ=1消去参数θ，如{x=a+rcosθ，y=b+rsinθ}化为(x-a)²+(y-b)²=r²；普通方程化参数方程：设(x-a)/r=cosθ，(y-b)/r=sinθ，得{x=a+rcosθ，y=b+rsinθ}（θ为参数）。五、讨论题1.存在。设圆心为(a,a)，半径r，则(a-1)²+(a-2)²=r²，(a-3)²+(a-4)²=r²，联立解得a=2.5，r²=1.25，方程为(x-2.5)²+(y-2.5)²=1.25。2.圆心(1,1)到直线距离d=|k-1+2|/√(k²+1)=|k+1|/√(k²+1)<2（相交条件），平方得(k+1)²<4