9.1　因式分解的概念+课件2025-2026学年苏科版数学八年级下册

因式分解的概念第9章因式分解9.1探究与应用活动1探索因式分解的概念问题情境我们曾经学习过数的整除问题,7+72能被8整除吗?99+992能被100整除吗?解决上述问题的关键是把7+72,99+992分解成了几个因数乘积的形式.一般情况下,是否可以把多项式a+a2分解成几个整式乘积的形式?由乘法分配律可知,a(1+a)=a+a2,所以多项式a+a2=a(

+1),即多项式a+a2可以分解成两个整式a,

+1的乘积形式.a

a7

8

99

100

一般地,如果一个多项式可以表示成若干个整式的乘积,那么其中的每个整式都叫作这个多项式的因式.在解决问题时,我们常需要把一个多项式表示成因式的乘积.例如,对于多项式ma+mb,x2+3x+2,由m(a+b)=ma+mb,(x+1)(x+2)=x2+3x+2,可知ma+mb=

,x2+3x+2=

.

上述两组等式表达了不同的意义:第一组等式表示两个整式的

;

第二组等式是把一个多项式表示成两个整式的

.

m(a+b)

(x+1)(x+2)

乘法运算

乘积形式因式分解的概念:把一个多项式表示成几个整式的乘积形式,这样的变形叫作多项式的因式分解.因式分解也可称为分解因式.概括新知判断下列从左到右的变形中,哪些是整式乘法,哪些是多项式的因式分解.(1)m(a+2b)=ma+2mb; (2)15xy+25xy2=5xy(3+5y);(3)(y+3)(y-3)=y2-9; (4)a2+4b2+4ab=(a+2b)2.解:(1)(3)是整式乘法,(2)(4)是多项式的因式分解.讨论探究识别因式分解的方法一看“形式”:等式左边是不是多项式,等式右边是不是乘积的形式,且积中每一个因式是不是整式;二看“实质”:看左右两边是否相等.学

方法

解:略例1活动2体会因式分解与整式乘法的关系活动探究观察下面图形的剪拼过程,写出相应的等式.谈谈因式分解与整式乘法有什么联系.请举例说明.解:从左到右可得等式(x+2)(x+3)=x2+5x+6,是整式乘法;从右到左可得等式x2+5x+6=(x+2)(x+3),是因式分解.联系:如果一个整式是某些整式的乘积,那么这个整式就可以分解因式.例如:(a+1)(a-3)=a2-2a-3,那么a2-2a-3可以进行因式分解,分解为(a+1)(a-3).图9-1-1(1)整式的乘法与因式分解一个是积化和差,一个是和差化积,是两种互逆的变形.(2)可以利用整式乘法检验因式分解的结果的正确性.记

要点

(教材补充例题)解答下列问题:(1)若二次三项式x2-5x+6可分解为(x-2)(x+a),求a的值;(2)若二次三项式2x2+bx-5可分解为(2x-1)(x+5),求b的值;例2解:(1)∵(x-2)(x+a)=x2+(a-2)x-2a=x2-5x+6,∴a-2=-5,解得a=-3.(2)∵(2x-1)(x+5)=2x2+9x-5=2x2+bx-5,∴b=9.(3)已知二次三项式x2-4x+m有一个因式是x+3,求另一个因式以及m的值;(3)设另一个因式为x+n,则x2-4x+m=(x+3)(x+n),∴x2-4x+m=x2+(n+3)x+3n,∴n+3=-4,3n=m,解得n=-7,m=-21.∴另一个因式为x-7,m的值为-21.(4)已知二次三项式2x2-5x+k有一个因式是2x-3,求另一个因式以及k的值.(4)设另一个因式为x+n,则2x2-5x+k=(2x-3)(x+n)=2x2+(2n-3)x-3n,则2n-3=-5,k=-3n,解得n=-1,k=3.故另一个因式为x-1,k的值为3.写出两个整式A与B,使得A=B(a+3).满足条件的整式A,B可以写出多少个?问题探究解:(答案不唯一)若B=a+5,则A=(a+5)(a+3)=a2+8a+15.满足条件的整式A,B可以写出无数个.|总结

|课堂总结与反思|反思|把一个单项式转化为几个单项式的积,是不是因式分解?解:不是,因式分解是针对多项式而言的.知识技能巩固练1.(2025泰州高港区月考)关于等式①2a-4=2(a-2)和②3x2+3xy=3x(x+y)从左到右的变形,下列说法中正确的是 (

)A.①和②都是因式分解B.①和②都不是因式分解C.①是因式分解,②不是因式分解D.①不是因式分解,②是因式分解A2.下列从左边到右边的变形,其中是因式分解的是(

)A.(2+x)(2-x)=4-x2B.2x-6=2(x-3)C.x2-3x+4=x(x-3)+4D.30x2y=2x·3x·5yB3.(2025徐州泉山区月考)若x2+kx-15能分解为(x+5)(x-3),则k的值是 (

)A.-2 B.2 C.-8 D.8B4.在(x+y)(x-y)=x2-y2中,从左到右的变形是

,从右到左的变形是

.

整式乘法

因式分解5.下列由左边到右边的变形,是因式分解的有

.(填序号)

①a(x+y)=ax+ay;②10x2-5x=5x(2x-1);③y2-4y+4=(y-2)2;④t2-16+3t=(t-4)(t+4)+3t.②③6.(教材习题T3变式)把x2+5x+c分解因式,得(x+2)(x+3),则c=

.

67.下列从左到右的变形是不是因式分解?如果不是,请说明理由.(1)a2-2a+1=a(a-2)+1;(2)(x-1)(x+6)=x2+5x-6;解:(1)不是因式分解.理由:从左到右的变形不是化成整式的积的形式,故不是因式分解.(2)不是因式分解.理由:从左到右的变形属于整式乘法,故不是因式分解.

(3)从左到右的变形符合因式分解的定义,是因式分解.(4)不是因式分解.理由:等式右边不是整式的形式,故不是因式分解.能力提升综合练8.(2025无锡梁溪区模拟)若x2+mx-21=(x-3)(x+n),则m,n的值分别是 (

)A.4,-3 B.-7,4C.-5,18 D.4,7D9.如果多项式6x2-kx-2因式分解后有一个因式为3x-2,那么k=

.

110.将多项式x2-3x+2分解因式为x2-3x+2=(x-2)(x-1),说明多项式x2-3x+2有一个因式为x-1,还可知:当x-1=0时x2-3x+2=0.利用上述阅读材料解答以下两个问题:(1)若多项式x2+kx-8有一个因式为x-2,求k的值;解:(1)由题意知x-2=0时,x2