重庆名校联盟2026届高三下学期第一次联考数学（含答案）

重庆市名校联盟高三下联考

数学试卷(高2026届)

本试卷共4页，满分150分。考试用时120分钟。

注意事项：

1.作答前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号填写在试卷的规定位置上。

2.作答时，务必将答案写在答题卡上，写在试卷及草稿纸上无效。

3.考试结束后，须将答题卡、试卷、草稿纸一并交回(本堂考试只将答题卡交回)。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项

中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知i为虚数单位，z=(3+4i)(2-i),则z||=()

A.5√5B.5C.√5D.10

2.’是“成立的()条件

A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分也不必要

3.2025年11月，搭载“祖冲之三号”同款芯片的超导量子计算机“天衍-287”完成搭

建，该量子计算系统具备“量子计算优越性”能力.下表记录了8个团队在特定年度的

研发资金投入x(单位：亿元)与芯片性能提升评估指数y,且x=6.

研发资金投入x/亿元2X₁X₂X₃x₄X₅X₆10

性能提升评估指数y2y1y2y₃y4y₅y₆12

已知y与x具有较强的线性关系，通过最小二乘估计得到的经验回归方程为

Î=1.2x+0.4.如果去掉样本点(2,2),(10,12)后，得到的新样本的经验回归方程为

Î=1.25x+a,则â=()

A.0.1B.0.3C.0.5D.0.7

4.已知平面向量满足

a,ba=(√3,1),b=(4√3,-1),则向量5在a方向上的投影向量为()

A.C.D.

B.

5.函数的最小值为()

A.16B.25C.36D.49

6.已知函数f(x)=2*+²+2*,若关于m的不等式f(m-1)-f(2m+1)<0成立，则实数m

的取值范围是()

A.(-∞,-2)(0,+∞)B.

C.

7.已知双曲线Ω:-方²=1(a>0,b>0),圆O:x²+y²=a²+b²与x轴交于A,B两点，M,N

是圆O与双曲线在x轴上方的两个交点，点A.M在9轴的同侧，且AM交BN于点G,

且M为线段AG的中点，则双曲线的离心率为()

A.√5B.√5+1C.√3D.√3+1

8.若方程|Inx|=kx的三个根x₁,x₂,x₃(x₁<x₂<x₃)成等比数列，则公比为()

A.√2+1B.√3+1C.Je+1D.3

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，

有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错

的得0分。

9.如图所示，在棱长为2的正方体ABCD-ABC₁D中，M,N分别为棱CD₁,C₁C的中

点，则下列结论正确的是()

A.AM⊥ND₁

B.点B到直线AM的距离为

C.直线AM与直线BN所成角的余弦值为

D.直线A₁M与直线BN是异面直线

10.已知函(m>0),则下列结论正确的是()

A.若f(x)在上恰有三个零点，则m∈(15,23)

B.若f(x)在上恰有三个零点x₁,x₂,x₃,则f(x₁+x₂+x₃)=-4

C.若f(x)在单调递增，则

D.若f(x)向左平移后的图像与f(x)图像关于对称，则m=6k+1,k∈N

11.已知点A(-1,0),,动点P(x,y)满足动点P(x,y)的轨迹为曲线C,

H为直线l:x+y+1=0上一动点，则下列说法正确的是()

A.若点D(2,1),则2|PD|+|PA|的最小值为√13

B.过H作C的两条切线，切点分别为M,N,则直线MN过定点

C.若点F(m,n)是C上一点，则2m+n的最大值为2+√6

D.若点F(m,n)是C上一点，则的最大值为2+2√3

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.已知S,是等比数列{a,}的前n项和，a₁+a₂+a₃=3,a₄+a₅+a₆=6,则S₂1=_

的展开式中常数项为·

14.在△ABC中，P为边AB上一点，CP=1,∠ACP=30°,∠BCP=45°,∠CPB=θ.

当△ABC面积最小时，tanθ=

四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算

步骤。

15.(13分)某地区从高一年级的物理测试中随机抽取了100名学生的物理成绩，整理得到

如图所示的频率分布直方图.个频率/组距

(1)该地区某学校建议此次物理测试成绩在本地区前a.

0.025

60%的学生选科报物理方向，试估计报物理方向的

0.020

学生本次成绩不低于多少分?(结果保留整数)

0.010

(2)从成绩位于区间(80,90)和[90,100]的答卷中，采用0.005

分层抽样随机抽取7份，再从这7份中随机抽取3405060708090100分数

份，设成绩在[90,100]的答卷份数为随机变量X,求X的分布列及数学期望，

16.(15分)已知数列{aₙ}的前n项和为Sₙ,若nSa+-(n+1)Sₙ=2(n2+n),且a₁=2.

(1)证明：为等差数列，并求Sₙ.

(2)若,数列{b}的前n项和T,求证：

17.(15分)如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，△ABC为等边三角形，四边形BCC₁B₁

是边长为2的正方形，D为AB中点，且A₁D=√5.

(1)求证：CD⊥平面ABB₁A₁;

(2)已知P为线段B₁C中点，求直线AP与平面A₁CD所成角的正弦值.

18.(17分)已知椭圆丁：,I的下顶点为C,左焦点为F₁,动直线1与椭圆

T交于A、B两点，

(1)若T是椭圆丁上的一个动点，求|TC|+|TF|的最大值；

(2)设O为坐标原点，若四边形OABE为平行四边形，求直线l的方程；

(3)若直线1经过定点P(0,1),坐标平面上是否存在定点Q(不同于点P),使得

Q4|·|PB|=|PA|·QB|恒成立?若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由.

19.(17分)已知函数f(x)=(x²-ax+1)lnx(a∈R)

(1)若a=2,求函数f(x)的单调区间；

(2)若函数f(x)在区间(0,1)和(1,+∞)上各恰有一个零点，分别记为x₁和x₂,

(i)证明：函数f(x)在两点(x,0),(x₂,0)处的切线平行；

(ii)记曲线y=f(x)在点(x,0)处的切线与两坐标轴围成的三角形面积为S,求

的最大值.

数学试卷(高2026届)参考答案

1A;2B;3B;4C;5D;6D;7D;8A;9ABC;10ABD;11ABD;12、381;13、29;14、1+√3;

8、【答案】A

【详解】由|lnx|=kx得x>0,所以

令

方程|lnx|=kx的根等价于直线y=k与f(x)图象的交点的横坐标.

因为函数的导数为

当0<x<e时，y'>0,(x>0)单调递增；

当x≥e时，y≤0,(x>0)单调递减，且为正.

又当x→0时，当x→+0时，

作出f(x)的图象，如图.

因x₁,x₂,x₃(0<x₁<x₂<x₃)成等比数列，可

所以

即

所以q(Inq-1nx₂)=1nx₂,解得

代入,可得

整理得q²-2q-1=0,解得q=1+√2或q=1-√2(舍).

故选：A.

11.【详解】对于A,因为,所以

整理得x²+y²-2x=0,

2|PD|+|PA|=2(PD|+|PB|)≥2|DB|=√13,故A正确

对于B,因为H为直线l:x+y+1=0上一点，

设点H坐标为(x₀,-1-x₀),

则直线MN的方程为(x₀-1)(x-1)+(-1-x₀)y=1,

整理得(x-y-1)x₀-x-y=0,

令所以直线MN过定点,故B正确；

对于C,令2m+n=t,对于直线2x+y-t=0,与C相切时t有最值，此时圆心到直线的距离

解得t=2+√5或2-√5,所以2m+n的最大值为2+√5,故C错误；

对于D,√m²+n²+2m+1=√(m+1²+n²,表示点F(m,n)到点A(-1,0)的距离，

取E(0,1),AF=(m+1,n),AE=(1,1),则

=4|AE|lcosAF,AE|=4√2|cosAF,AE

当直线AF与圆C相切时，AF与AE的夹角最小，

此时在Rt△AFC中，AC=2,FC=1,

所以

故D正确.故选：ABD.

14.

所以

在△ACP中，由正弦定理得

化简得

在△BCP中，由正弦定理得

化简得A

令1,则

令f(m)=(m+1)(√3-m)=-m²+(3-1)m+3,函数开口向下，对称轴为

所以当时，f(m)取得最大值

即当,SABC取最小值，此时

15.【答案】(1)72分(2)分布列见解析，

【详解】(1)由题意10×(0.005+0.010×2+0.020+0.025+a)=1,解得a=0.030,

成绩在[90,100]的频率为0.1,在(80,90)的频率为0.25,在(70,80)的频率为0.3,

因为0.1+0.25=0.35,0.1+0.25+0.3=0.65,

所以选报物理方向的最低分x在(70,80)内，则(80-x)×0.03+0.25+0.1=0.6,

解得x≈72,所以估计报物理方向的学生本次成绩不低于72分.…………5分

(2)由题可知，成绩在区间(80,90)的频数为100×0.025×10=25,

成绩在区间[90,100]的频数为100×0.010×10=10,

利用分层抽样，从中抽取7份，成绩在(80,90)的频数为

成绩在[90,100]的频数为1(

再从这7份答卷中随机抽取3份，X的所有可能取值为0,1,2,

故X的分布列为：

X012

P

所以X的数学期望为：…………13分

16.【答案】(1)Sₙ=2n²,证明见解析(2)

【详解】(1)

所以数列是为首项，2为公差的等差数列，

17.【答案】(1)证明见解析；

【小问1详解】

在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁=BB₁=2,,A₁D=√5,

显然AD²+A₁A²=5=A₁D²,则A₁A⊥AD,又B₁B^BC,B₁B//A₁A,

于是A₁A⊥BC,又AD∩BC=B,AD,BCc平面ABC,

因此A₁A⊥平面ABC,又CDc平面ABC,即有CD⊥AA₁,

在正△ABC中，D为AB中点，则CD⊥AB,

又AB∩AA₁=A,AB,AA₁C平面ABB₁A₁,

所以CD⊥平面ABB₁A₁………………7分

【小问2详解】

取BC中点为O,B₁C₁中点为Q,则OA⊥BC,OQ⊥BC,

由(1)知，A₁A⊥平面ABC,且OAc平面ABC,则OA⊥AA₁,又B₁B//A₁A,

有OA⊥BB₁,BB₁∩BC=B,BB₁,BCc平面BCC₁B₁,

于是OA⊥平面BCC₁B₁,OA,OB,0Q两两垂直.,

以0为坐标原点，OB,OQ,OA的方向为x轴、V轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系，

,AP=(0,1,-√3)

设平面A₁CD的法向量为n=(x,y,z),则,令x=1,

得n=(1,1,-√3),

所以直线AP与平面A₁CD所成角的正弦值为……………15分

18.【答案】(1)3√5(2)或(3)存在定点Q(0,4).

(1)C(0,-2),F₁(-1,0),右焦点F₂(1,0),

TC|+|TF|=|TC|-TF₂|+2√5≤CF₂|+2√5=3√5,

当且仅当T、F₂、C共线(F₂介于T、C之间)时取到……4分

(2)由l平行于OE时，可设直线1:

与椭圆联立后得到56x²-60bx+25b²-100=0,

由|AB|=|0E|可知，

结合韦达定理

解得,所以直线方程为或

(3)当直线1斜率存在时，设方程为y=kx+1,与I:4x²+5y²=20联立得：

,设A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),

由韦达定理得.

当直线1平行于x轴时，P|A|=|PB|,因此|Q4|=|QB|,此时Q在9轴上，设Q(0,m).

当直线I斜率不存在时，不妨设A(0,2),B(0,-2),

则有|Q4|·|PB|=|m-2|·3=|PA|·|QB|=|m+2,

解得m=4或m=1(舍).下面证明点Q(0,4)符合条件

设直线l:y=kx+1,要证

即PQ是∠AQB的角平分线，只要证明kAo+kBo=0.

而韦达定理可得2kxx₂-3(x₁+x₂)=0,因而得证，

综上，存在定点Q(0,4),17分

19.【答案】(1)单调递增区间为(0,+∞),无单调递减区间(2)(i)证明见解析；(ii)

(1)当a=2时，f(x)=(x²-2x+1)Inx,

,则