6.3 三元一次方程组及其解法（教案）-华东师大版(2024)七下

第六章一次方程组6.3三元一次方程组及其解法

一、教材分析本节课《三元一次方程组及其解法》是华师版初中数学七年级下册第六章第三节内容．本课在学生学习了二元一次方程、二元一次方程组及二元一次方程组的解的基本概念后，进一步深入学习三元一次方程、三元一次方程组及其解法组的解．通过本课的学习，加深学生对消元的认知，感受“消元”的思想．

二、学情分析在本节课的学习中，学生已经具备了方程组的基础知识，对方程组的概念有了初步详细的了解．然而，在面对多元题目还不能迅速的做出判断，找出应消去的未知数．因此，在教学过程中，要采用学生多练，多思考，教师要主动引导学生总结归纳解题的方法和规律．

三、教学目标1．了解三元一次方程组的概念．2．会用“代入”、“加减”把三元一次方程组化为“二元”、进而化为“一元”方程来解决．3．能根据三元一次方程组的具体形式选择适当的解法．4．让学生感受把新知转化为已知，把不会的问题转化为学过的问题，把难度大的问题转化为难度较小的问题这一化归思想，体会数学学习的方法．

四、教学重难点重点：三元一次方程组的解法及“消元”思想．难点：根据方程组的特点，选择消哪个元，选择用什么方法消元．

五、教学过程情境导入在6.1节中，我们应用二元一次方程组，求出了勇士队在“我们的小世界杯”足球赛第一轮比赛中胜与平的场数．在第二轮比赛中，勇士队参加了10场比赛，按同样的计分规则，共得18分，已知勇士队在比赛中胜的场数正好等于平与负的场数之和，那么勇士队在第二轮比赛中胜、平、负的场数各是多少？这个问题可以通过列出一元一次方程或二元一次方程组来解决．小明同学提出了一个新的思路：问题中有三个未知数，如果设勇士队在第二轮比赛中胜、平、负的场数分别为x、y、z，又将怎样呢？分别将已知条件直接“翻译”，列出方程，并将它们写成方程组的形式，得x+像这样的方程组称为三元一次方程组．怎样解三元一次方程组呢？回忆一下二元一次方程组的解法，从中得到什么启示？师生活动：学生独立思考，再小组交流，最后呈现答案．设计意图：通过创设问题情境，引入新课，使学生了解三元一次方程组的概念及本节课要解决的问题．复习回顾解二元一次方程组的基本思想是什么？你会用几种方法解二元一次方程组？答：我们知道，解二元一次方程组的基本思想是“消元”：消去一个未知数，将方程组转化为一元一次方程求解．方法有代入消元法和加减消元法．师生活动：采用教师问学生答．设计意图：通过提前布置预习作业，培养学生建立清晰的知识体系，不仅回顾了知识点也为学生接下来学习新课做铺垫．探究新知活动一：三元转换为二元解决问题问题1：如何解情境导入中的三元一次方程组？对于三元一次方程组，同样可以先消去某一个（或两个）未知数，转化为二元一次方程组（或一元一次方程）求解．注意到方程③中，x是用含y和z的代数式来表示的，把它分别代入方程①②，就可以消去x，得到2（化归思想在这里进一步得到体现，你体会到了吗？）这是一个关于y、z的二元一次方程组，解得y将y=3z=2代入方程所以这个三元一次方程组的解是x什么叫三元一次方程？在这个方程组中，x+y+z=10必备条件：(1)是整式方程；(2)含三个未知数；(3)所含未知数的项的次数都是1．什么叫三元一次方程组？像这样，共含有三个未知数的三个一次方程所组成的一组方程，叫做三元一次方程组．(1)是整式方程；(2)含三个未知数；(3)三个都是一次方程；(4)联立在一起．上面的三元一次方程组能否用加减消元法求解？或者能否利用方程③，直接代入方程①中的y+设计意图：引导学生观察方程组中相应方程之间的关系，从而培养学生爱探索的好习惯．师生活动：学生先独立思考，再小组交流，最后以小组为代表汇报展示．概念归纳：解三元一次方程组的步骤：1.利用代入法或加减法先消掉一个未知数，将三元一次方程组转化为二元一次方程组.2.解二元一次方程组.3.将二元一次方程组的解代入其中一个方程，求出第三个未知数.【教学说明】结合情境问题中列出的方程组，类比前面所学二元一次方程组的解法，得到解三元一次方程组的整体思路．活动二：选择适当的方法解方程组问题2：解方程组3x-y+2zA.先消去xB.先消去yC.先消去zD.以上说法都不对师生活动：学生先独立思考，再小组交流．设计意图：通过让学生操作，培养学生动手的能力，并引发学生的思考，加深对本节概念的印象．应用新知经典例题：例1：解方程组：2x解：由方程②，得z=7-3x把④分别代入方程①和③,得2整理，得-解这个二元一次方程组，得x代入④，得z=所以原方程组的解为x这里，我们用的是代入消元法：先由方程②，用含有x、y的代数式表示z，再分别代入方程①和③，消去未知数z，转化为只含有x的二元一次方程组求解。能否先消去x（或y）？怎么做？比较一下，哪个更简便？例2：解方程组：3x分析：三个方程中未知数的系数都不是1或-1，用代入消元法比较麻烦，可考虑用加减消元法求解解：③－②，得3即x①×3＋②×4，得17x即x得方程组x+2解得x把x=-2z=-3代入方程所以原方程组的解为x上述例1和例2的解答分别应用了代入消元法和加减消元法，先消去某一个未知数，将三元一次方程组转化为二元一次方程组，然后解所得的二元一次方程组，得到两个未知数的值，进而求出第三个未知数的值，从而得到原方程组的解．能否先消去z（或x）？怎么做？比较一下，哪个更简便？师生活动：学生先独立思考设计意图：通过学生参与活动，激发学生参与课堂教学的热情，使学生进入问题情境，让学生加深对知识点印象．激发学生的求知欲望，感受数学的魅力．解三元一次方程组的基本思路是：通过“代入”或“加减”进行消元，把“三元”转化为“二元”，使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而再转化为解一元一次方程．课堂练习【教材练习】1、解下列方程组：（1）x（3）x(1)解：①＋②得4②－③得2得方程组4解得x将x=3z得y所以原方程组的解为x(2)解：①＋2×②得3得方程组3解得x将x=1z得y所以原方程组的解为x(3)解：把原方程组整理，得x③－①，得2y-①×4－②，得6y-⑤－④×3，得-4即z把z=-1代入④得y=把y=32，z=-1代入①得所以原方程组的解为x=-(4)解：由①得x:y=6:由②得y:z=4:5由④和⑤得x:设x=6k，则y把x=6k，y=4得6k把k=4代入所以原方程组的解为x2．已知y=ax2+bx+c．当x=-2时，y=9；当x=0时，解：根据题意得4a把②代入①、③得4解得a所以a=1，b=-1师生活动：学生先独立思考再作答．分析：把“三元”转换为“二元”后解二元一次方程组【限时训练】1．若x+2y+3z=10，4xA.2B.3C.4D.5答：D师生活动：老师提问学生举手回答问题．解析:通过观察未知数的系数，可采取两个方程相加得，5x+5y2．下列方程是三元一次方程的是________．(填序号)①x+y-z=1； ③2x+y-7z=0； 答：①3．解方程组：x+解：由方程②，得x=将④分别代入①和③，得2解得y把y=8代入④x所以原方程组的解为x4.在等式y=ax2+bx+c中，当x=-1时，y=0；当x=2解：根据题意得a-②－①，得a+b③－①，得4a+④与⑤组成二元一次方程组a+解得a把a=3b所以原方程组的解为a归纳总结师生活动：教师和学生一起回顾本节课所讲的内容．1．本节课你学到了什么？2．解三元一次方程组的基本思路是什么？设计意图：通过小结让学生进一步加深并巩固本节课所学的知识．实践作业你还会解什么样的三元一次方程呢？你还有其他的方法吗？和小