第二章 二次函数 单元练习（含详解） 2024-2025学年九年级下册数学北师大版

二次函数【满分：120】一、选择题：（本大题共10小题，每小题4分，共40分，给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.若是二次函数，则m的值为()A. B.2 C. D.2.若实数x,y,m满足,则代数式的值可以是()A.6 B.5 C.4 D.33.某商店购进一批单价为20元的商品，若以单价30元销售，则每月可售出400件，如果销售单价每提高1元，月销售量相应减少20件，设每件商品单价涨x元，月销售利润为y元，可列函数为：，对所列函数下列说法错误的是()A.表示涨价后商品的单价B.表示涨价后少售出商品的数量C.表示涨价后商品的月销售量D.当时月利润达到最大4.已知在平面直角坐标系中，抛物线(a，k为常数，且)与y轴交点的纵坐标大于2，将抛物线向左平移1个单位长度得到抛物线，若点、均在抛物线上，则下列结论正确的是()A. B. C. D.5.如图是二次函数的图象,下列结论中正确的是()A. B. C. D.6.观察规律,,,,运用你观察到的规律解决以下问题：如图,分别过点作x轴的垂线,交的图象于点,交直线于点.则的值为()A. B. C. D.7.二次函数与一次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是()A. B.C. D.8.将抛物线位于y轴左侧的部分沿x轴翻折,其余部分不变,翻折得到的图象和原来不变的部分构成一个新图象,若直线与新图象有且只有2个公共点,则t的取值范围是()A. B.C.或 D.或9.如图,在菱形ABCD中,,,点P,Q同时从点A出发,点P以的速度沿的方向运动,点Q以的速度沿的方向运动,当其中一点到达D点时,两点停止运动.设运动时间为,的面积为,则下列图象中能大致反映y与x之间函数关系的是()A. B.C. D.10.二次函数的图象如图所示,抛物线的对称轴是直线,且与x轴的一个交点为,与y轴交点的纵坐标在-3~-2之间,根据图象判断以下结论：①；②；③；④：⑤若且,则.其中正确的结论是()A.②④ B.②③④ C.②③⑤ D.②③④⑤二、填空题（每小题4分，共20分）11.如图，运动员小铬推铅球，铅球行进高度y（米）与水平距离x（米）间的关系为，则运动员小铭将铅球推出的距离为_____米．12.已知二次函数(其中x是自变量),当时,y随x的增大而增大,且时,y的最大值为21,则a的值为________.13.在平面直角坐标系中,设二次函数,其中.(1)此二次函数的对称轴为直线______；(2)已知点和在此函数的图象上,若,则t的取值范围是______.14.在平面直角坐标系中,点和点在抛物线上,已知点,,在该抛物线上.若,则,,的大小关系为______.15.如图,已知顶点为的抛物线过,下列结论：①；②对于任意的实数m,均有；③：④若,则；⑤,其中结论正确的为______.(填序号)三、解答题（本大题共6小题，共计60分，解答题应写出演算步骤或证明过程）16.（8分）如图,在中,,,,点M,N分别从A,B同时出发,点M沿AB方向以2cm/s的速度匀速运动,点N沿BC方向以1cm/s的速度匀速运动,当点N运动到点C时,两点同时停止运动.设运动时间为xs,的面积为.(1)求y与x之间的函数解析式,并直接写出自变量x的取值范围；(2)求的面积的最大值.17.（8分）已知抛物线经过点和点，且.(1)若该抛物线的对称轴经过点A，如图，请通过观察图象，指出此时y的最小值，并写出t的值；(2)若，求a、b的值，并指出此时抛物线的开口方向；(3)直接写出使该抛物线开口向下的t的一个值.18.（10分）某班“数学兴趣小组”对函数的图像和性质进行了探究,探究过程如下,请补充完整.(1)自变量x的取值范围是全体实数,x与y的几组对应值列表如下：x…0123…y…3m003…其中,______.(2)观察函数图像,画出该函数图像的另一部分并思考,当______时,函数有最小值(3)进一步探究函数图像发现：①函数图像与x轴有______个交点,所以对应的方程有______个实数根；②方程有______个实数根；③关于x的方程有4个实数根时,a的取值范围是______.19.（10分）如图,抛物线经过,B两点,且与x轴交于点,直线与x轴交于点A,与y轴交于点B.(1)求抛物线的解析式；(2)若,是该抛物线图象上的两点,且,求m的取值范围；(3)若点P是直线l下方的抛物线上一点,过点P作轴交直线l于点E,过点P作轴交直线l于点F,求的最大值.20.（12分）2024年9月16日,全国青少年轮滑联赛在北戴河开赛.其中项目之一是“轮滑速降”,依靠路面的倾斜给予动力,人体自由下落,感受风驰电掣般的运动.如图是某轮滑速降比赛场地的横截面示意图,线段表示出发台,表示助滑坡,点C表示起跳点,线段表示着陆坡,点K表示此轮滑速降的落地点K.以水平地面为x轴,过点B作x轴的垂线为y轴,建立平面直角坐标系.已知起跳点C到水平地面的距离为30米,到y轴的距离是10米,米,米.注：①K点是轮滑速降中打出距离分所用的参照点,此跳台的参照距离是37.5米,即米.②距离分(跳跃距离).③跳跃距离是指起跳点C与着陆点之间的距离.(1)求点K的坐标；(2)某运动员从点C滑出,在空中飞行的轨迹(与横截面在同一平面内)可以近似的看成一条抛物线,其函数表达式为.①若该运动员第一跳的距离分S是60分,求此时该抛物线的表达式；②某运动员在第二次起跳中,发现第二跳的飞行轨迹抛物线的表达式为,求该运动员此跳的距离分S.21.（12分）如图,抛物线过点,,矩形的边在线段上(点B在点A的左侧),点C,D在抛物线上.设,当时,.(1)求抛物线的函数表达式；(2)当为何值时,矩形的周长有最大值？最大值是多少？(3)保持时的矩形不动,向右平移抛物线,当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G,H,且直线平分矩形的面积时,求平移后的拋物线的顶点坐标.(直接写出结果即可)

答案以及解析1.答案：C解析：∵是关于x的二次函数，∴，且，∴，且，∴.故选：C.2.答案：D解析：由题意可得,解得:,选项D符合题意,故选:D.3.答案：A解析：设每件商品单价涨x元，则单件价格为元，利润为元，月销量减少量为元，月销售量为元，则月销售利润是：元，故，，∴时，月利润达到最大值，据此选项B，C，D正确，不符合题意，选项A错误符合题意，故选：A.4.答案：B解析：在中，当时，，∴抛物线与y轴交点的坐标为，∵抛物线(a，k为常数，且)与y轴交点的纵坐标大于2，∴，∵抛物线的对称轴为直线，∴将抛物线向左平移1个单位长度得到抛物线，则抛物线的对称轴为直线，∵，∴抛物线中，离对称轴越远函数值越大，∵，∴，∴根据现有条件无法判断，故选：B.5.答案：D解析：A.∵抛物线开口向上,∴.∵∴.∵,∴,故A不正确；B.∵对称轴是直线,∴,∴,故B不正确；C.∵时,,∴,故C不正确；D.∵图象与x轴的一个交点是,对称轴是直线,∴图象与x轴的另一个交点是,∴,故D正确.故选D.6.答案：D解析：∵过点的垂线,交的图象于点,交直线于点；∴令,可得∶纵坐标为,纵坐标为,,,.,.故选D.7.答案：D解析：抛物线的对称轴为直线,时,抛物线开口向上,对称轴在y轴左侧,与y轴正半轴的交于点,一次函数经过第一、二、三象限,与y轴正半轴的交于点,时,抛物线开口向下,对称轴在y轴右侧,与y轴负半轴的交于点,一次函数经过第二、三、四象限,与y轴正半轴的交于点.故选:D.8.答案：C解析：∵二次函数解析式为：,∴抛物线的顶点坐标为,如图：按要求折叠后,新图象的顶点坐标为,当直线过点时,即,直线与新图象有且只有2个公共点,此时直线；直线向上移动过程中,与新图象一直有两个公共点,直到过点时有三个公共点,即；抛物线左侧部分的函数解析式为：,当直线与y轴左侧相切时,与新图象有一个公共点,∴仅有一个解,∴的,∴,解得：.综上,当或时,直线与新图象有且只有2个公共点.故选：C.9.答案：A解析：∵四边形ABCD是菱形,∴,,∴,都是等边三角形,∴.如图1,当时,,,作于E,∴,∴,故D选项不正确；如图2,当时,,,,作与F,作于H,∴,,∴,故B选项不正确；当时,,,∴,作于G,∴,∴,故C不正确.故选：A10.答案：D解析：①观察图像可知,,抛物线对称轴为直线,,故①错误;②,故②正确;③抛物线对称轴为直线,其与x轴的一个交点为由对称性可知,其与x轴的另一个交点为抛物线解析式也可以写为,,抛物线与y轴交点为,,,,故③正确;④抛物线经过点代入解析式得:,故④正确;⑤,,,,,,,,,故⑤正确。故本题应选:D。11.答案：11解析：当时，解得：（不合题意，舍去），推铅球的距离是11米．故答案为：1112.答案：2解析：(其中x是自变量)是二次函数式,对称轴是直线.当时,y随x的增大而增大,.时,y的最大值为21,且,时,即,移项得,,解得,或(不合题意舍去)。故答案为:2.13.答案：(2)/0.5(2)解析：(1)二次函数,函数经过和,是对称点,对称轴为直线,故答案为：(2)二次函数,二次项系数为,函数图象开口向上,又和在此函数的图象上,对称轴为直线,画出图象如下图,点Q关于对称轴的对称点横坐标,,点P应在线段下方部分的抛物线上(包括点Q、),,故答案为：14.答案：解析：点和点在抛物线上,,,,,与异号,,,,,点,,在该抛物线上,,,,,,,,.故答案为：.15.答案：①③⑤解析：由题知,令抛物线的解析式为,将点代入函数解析式得,,解得,抛物线的函数解析式为,,,,.故①正确.抛物线的顶点纵坐标为-6,且开口向上,对于抛物线上的任意一点(横坐标为m),其纵坐标不小于-6,即,.故②错误.,,,故③正确.抛物线经过点,且对称轴为直线点也在抛物线上,又抛物线开口向上,当时,或,故④错误.故⑤正确.故答案为:①③⑤.16.答案：(1)(2)解析：(1)∵,,.∴.即.(2)由(1)知：∴.∵当时,y随x的增大而增大而,∴当时,y取最大值,且,即的面积的最大值是.17.答案：(1)(2)，抛物线开口方向向上(3)t的值可以是-1解析：(1)∵抛物线的对称轴经过点A，∴A点为抛物线的顶点，∴y的最小值为-3，∵P点和O点对称，；(2)分别将和代入，得：，解得，∴抛物线开口方向向上；(3)将和点代入，，由①得，③，把③代入②，得，，，.∵抛物线开口向下，，，，.故t的值可以是-1(答案不唯一).18.答案：(1)0(2)或1,图见解析(3)①3,3②2③解析：(1)当时,,,故答案为：0；(2)根据给定的表格中数据描点画出图形,如图所示：由图可得,当或时,y取最小值为,故答案为：或1；(3)①观察函数图像可知：当、0、2时,,该函数图像与x轴有3个交点,即对应的方程有个实数根,故答案为：3,3；②由函数图像知：直线与该函数图像有两个交点,方程有2个实数根,故答案为：2；③由函数图像知：当时,直线与函数有4个交点,关于x的方程有4个实数根时,a的取值范围是,故答案为：.19.答案：(1)(2)(3)时,求的最大值为6解析：(1)把,代入,得,解得,∴；(2)由(1),得,,∴抛物线的对称轴是直线,∴关于对称轴的对称点,∵抛物线开口向上,,且,∴；(3)设,∵轴交直线l于点E,轴,∴,,∴,,∴,∵点P是直线l下方的抛物线上一点,∴,∴时,求的最大值为6.20.答案：(1)点K的坐标为(2)①；②该运动员此跳的距离分S为解析：(1)如图所示,过点C作轴于点M,过点K作于点H,∵C到水平地面的距离为30米,到y轴的距离是10米,∴米,米∴米∵∴米∴∴∴∴米,米∴米,米∴点K的坐标为；(2)①设该运动员的着陆点为E,则跳跃距离为∵该运动员第一跳的距离分是60分,∴,即.∴点E与点K重合,即点E的坐标为,点C的坐标为由题意可得：,解得：∴；②：由题意可得：点,设的解析式为：,则有：,解得：,∴的解析式为：,设新的着陆点为Q,联立解得：或(与点C重合舍去)∴点Q的坐标为,勾股得：跳跃距离为,∴第二次的距离分为.21.答案：(1)(2)当时,矩形的周长有最大值,最大值为(3)解析：(1)设抛物线解析式为,∵当时,,∴点B的坐标为,∵四边形是矩形