广东省广州市荔湾区2026年中考二模数学试题附答案

中考二模数学试题一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．每小题有且只有一个正确选项）1．下列运算中，正确的是（）A． B． C． D．2．用5个完全相同的小正方体组成如图所示的立体图形，它的左视图是()A． B． C． D．3．若分式的值为零，则x等于（）A．0 B．2 C． D．4．下列命题为假命题的是（）A．两点确定一条直线 B．若，则C．等角的余角相等 D．两直线平行，同位角相等5．如果n边形的内角和是它外角和的2倍，则等于（）A． B． C． D．6．如图，将边长为的等边沿边向右平移得到，则四边形的周长为（）A． B． C． D．7．扇文化是中华优秀传统文化的组成部分，在我国有着深厚的底蕴，如图，某折扇张开的角度为时，扇面面积为S、该折扇张开的角度为时，扇面面积为，若，则m与n关系的图象大致是（）A． B．C． D．8．为了落实“双减”政策，进一步丰富文体活动，学校准备购进一批篮球和足球，已知每个篮球的价格比每个足球的价格多20元，用1500元购进篮球的数量比用800元购进足球的数量多5个，如果设每个足球的价格为x元，那么可列方程为（）A． B．C． D．9．如图，为的直径，点在的延长线上，，与相切，切点分别为C，D．若，则等于（）A． B． C． D．10．如图，过原点的直线与反比例函数y＝（k＞0）的图象交于A、B两点，点A在第一象限，点C在x轴正半轴上，连接AC交反比例函数图象于点D，AE为∠BAC的平分线，过点B作AE的垂线，垂足为E，连接DE，若AD＝2DC，△ADE的面积为8，则k的值为（）A．4 B．6 C．8 D．10二、填空题（本大题共6小题，每题3分，共18分）11．因式分解：．12．．13．关于的方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围为．14．如图，在中，，，的垂直平分线交于，交于，若，则的长为．15．某数学兴趣小组测量校园内一棵树的高度，采用以下方法：如图，把支架放在离树适当距离的水平地面上的点F处，再把镜子水平放在支架上的点E处，然后沿着直线后退至点D处，这时恰好在镜子里看到树的顶端A，再用皮尺分别测量，，观测者目高的长，利用测得的数据可以求出这棵树的高度．已知于点D，于点F，于点B，米，米，米，米，则这棵树的高度（的长）是米．16．如图，是线段上一点，和是位于直线同侧的两个等边三角形，点分别是的中点．若，则下列结论正确的有．（填序号）①的最小值为；②的最小值为；③周长的最小值为6；④四边形面积的最小值为．三、解答题（本大题共9小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．解方程组：．18．如图，在中，点，分别是对角线上的两点，且，连结，．求证：．19．（1）化简：；（2）若是方程的根，求的值．20．如图，已知线段和线段．（1）用直尺和圆规按下列要求作图．（请保留作图痕迹，并标明相应的字母，不写作法）①作线段的垂直平分线，交线段于点；②以线段为对角线，作矩形，使得，并且点在线段的上方．（2）当，时，求（1）中所作矩形的面积．21．在“全民阅读月”活动中，某校提供了四类适合学生阅读的书籍：A文学类，B科幻类，C漫画类，D数理类．为了解学生阅读兴趣，学校随机抽取了部分学生进行调查（每位学生仅选一类）．根据收集到的数据，整理后得到下列不完整的图表：书籍类别学生人数A文学类24B科幻类C漫画类16D数理类8（1）本次抽查的学生人数是______，统计表中的______．（2）若该校共有1200名学生，请你估计该校学生选择“D”数理类”书籍的学生人数；（3）学校决定成立“文学”“科幻”“漫画”“数理”四个阅读社团．若小文、小明随机选取四个社团中的一个，请利用列表或画树状图的方法，求他们选择同一社团的概率．22．如图，内接于，是的直径，为上一点，，延长交于点，．（1）求证：是的切线；（2）若，，求的长．23．根据以下素材，探索完成任务．素材1某广场的音乐喷泉形状如抛物线（图1），其出水口不变，抛物线的形状随音乐的节奏起伏变化而变化，出水口离岸边18米（图2）．素材2设其出水口为原点，音乐变化时，抛物线的顶点在直线上变动，从而产生一组不同的抛物线（图3），这组抛物线的统一形式为．例如当时，直线，若抛物线最大高度达2米，则此时抛物线的顶点坐标为．素材3若是函数图象上一点，则，得．任务一若已知，且喷出的抛物线水线最大高度达3米，求此时抛物线的顶点坐标及a、b的值．任务二若，喷出的水恰好达到岸边，求此时喷出的抛物线水线最大高度．任务三若，要使喷出的抛物线水落地时离岸边不能少于米且不能超出2米，求k的范围．24．如图所示，为等腰三角形，，点D是上一点，连接．（1）如图1，若，，以为边在的右侧作等边，连接，求的长；（2）如图2，若，以为底边在的右侧作等腰直角，连接，求证：；（3）如图3，若，点E为中点，将绕点A顺时针旋转得到线段，连接，直线与直线交于点F，当取得最小值时，直接写出的值．25．如图，已知抛物线的顶点为，且经过点．（1）求抛物线的函数表达式；（2）过点的一条直线与抛物线交于点，且满足，求点的坐标；（3）过点作轴的平行线交轴于点，过点的直线与抛物线交于，两点，求的值．

答案1．【答案】D【解析】【解答】解：A、，故此选项运算错误，A不符合题意；B、，故此选项运算错误，B不符合题意；C、，故此选项运算错误，C不符合题意；D、，故此选项运算正确，D符合题意；故答案为：D．【分析】分别根据有理数的乘方，绝对值的性质，算术平方根，立方根，逐项进行正确计算，即可得出答案。2．【答案】C【解析】【解答】解：从左面观察立体图形可知：小正方体有两列，左边一列有由3层，右边一列只有1层，即可画出立体图形的左视图为：故答案为：C．【分析】根据立体图形的三视图，左视图即为从左边向右看看到的图形，即可得出答案。3．【答案】C【解析】【解答】解：∵分式的值为零，∴，解得，故答案为：C。【分析】根据分式有意义的条件：分母不为零；然后再根据分式的值为零时，分子等于零，据此即可求解。4．【答案】B【解析】【解答】解：A、两点确定一条直线是真命题，不符合题意；B、若，则或，故原命题是假命题，符合题意；C、等角的余角相等是真命题，不符合题意；D、两直线平行，同位角相等是真命题，不符合题意；故答案为：B。【分析】根据真假命题的定义：正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题，然后再对各个选项逐一进行分析即可求解。5．【答案】C【解析】【解答】解：依题意，列方程得＝2360解得，n=6。故答案为：C。

【分析】根据n边形的内角和公式：S=（n-2）×180o，然后再根据“n边形的内角和是它外角和的2倍”，据此建立方程：＝2360，然后解出n即可。6．【答案】C【解析】【解答】解：∵是沿向右平移得到∴cm，∵是等边三角形，且边长为5cm∴，，AB=5cm，∴∴四边形的周长为：9+5+4+5=23cm故答案为：C。【分析】根据平移的条件，求出、的值，再根据是等边三角形，即可求出的长度，进而得出的长度，最后再根据四边形的周长公式，代入数据即可求解。7．【答案】C【解析】【解答】

解：设扇面的半径为，则：，

∴，

∴是的正比例函数，且；

∴图象为；

故答案为：C．

【分析】根据扇形面积计算公式，可得出且（n＞0），根据一次函数的图象与系数的关系，可得出答案。8．【答案】A【解析】【解答】解：设每个足球的价格为x元，则每个篮球的价格为(x+20)元，用1500元购进篮球的数量为个，用800元购进足球的数量为，

∴-=5.

故答案为：A.

【分析】设每个足球的价格为x元，则每个篮球的价格为(x+20)元，根据总价÷单价=数量表示出购买足球、篮球的个数，然后根据题意就可列出方程.9．【答案】D【解析】【解答】解：连接、、，交于，如图，，与相切，切点分别为，，，，平分，，，，，，∵∴∵∴在中，，，．故答案为：D。【分析】连接、、，交于，根据切线的性质，可得，再根据切线长定理，可得，平分，然后再根据等腰三角形的性质得到，进而可得，根据圆周角定理得到，根据AB的长，求出AO、OC、和OB的长，在中，根据勾股定理：，代入数据，求出OP的值，然后再根据正弦函数的定义：，代入数据即可求解。10．【答案】B【解析】【解答】解：连接，，过点作轴，过点作轴，过点作，过原点的直线与反比例函数的图象交于、两点，与关于原点对称，是的中点，，，，为的平分线，，，，，的面积为8，，设点，，，，，，，，，

，，故答案为：。【分析】连接，，过点作轴，过点作轴，过点作；根据题意，可知O是AB的中点，再根据平行线的判定定理，可得，进而可得；设点，根据题干信息，可得，，可得，进而可求出点D的坐标，易证，从而可得，所以，代入数据即可求解。11．【答案】【解析】【解答】解∶，故答案为：．【分析】根据因式分解步骤，首先提公因式，然后再利用乘法公式进行因式分解即可。12．【答案】【解析】【解答】解：原式，故答案为：．【分析】首先根据负整数指数的性质化简，并把30°锐角的余弦值代入原式，然后再进行运算，即可得出答案。13．【答案】【解析】【解答】解：由题意得，，∴，故答案为：。

【分析】根据“有两个不相等的实数根”，可知，据此即可求解。14．【答案】【解析】【解答】解：的垂直平分线交于，交于，，，，，根据勾股定理。故答案为：。【分析】根据线段垂直平分线的性质，可求出AD=BD的值，进而可求出的值，然后再根据三角形的外角定理，即可求出的值，再根据直角三角形的性质，求出AC的值，最后再根据勾股定理：，代入数据，即可求解。15．【答案】4.1【解析】【解答】解：过点作水平线交于点，交于点，如图，∵是水平线，都是铅垂线．∴米，米，米，∴（米），由题意得，∴，，即，解得：米，∴(米)．故答案为：4.1．

【分析】过点作水平线交于点，交于点，根据镜面反射的性质可得∠CEH=∠GEA，由相似三角形的判定“有两个角对应相等的两个三角形相似”可得，再根据相似三角形的性质"相似三角形的对应边成比例”可得关于AG的方程，解方程求出AG的长，然后由线段的和差AB=AG+GB计算即可求解．16．【答案】②③④【解析】【解答】解：①如图，延长交于M，过P作直线，和是等边三角形，，，四边形是平行四边形，为中点，为中点，在线段上运动，在直线l上运动，由知等边三角形的高为，到直线l的距离，P到直线的距离都为，作A关于直线l的对称点，连接，当P运动到与直线l的交点，即共线时，最小，此时最小值，故①错误；②，，当共线时，最小，最小值为的长度，为的中点，，为等边三角形的高，的最小值为，故②正确；过D作于K，过C作于T，如图，和是等边三角形，，，，即，，周长的最小值为6，故③正确；④设，则，，，，，，当时，四边形面积的最小值为，故④正确．故答案为：②③④。【分析】①延长交于M，过P作直线，根据和是等边三角形，根据平行四边形的判定定理，易证四边形是平行四边形，根据P为中点，知P为中点，易得P在直线l上运动，作A关于直线l的对称点，连接，当P运动到与直线l的交点，即共线时，最小，再根据勾股定理求出的值；②根据，易得共线时，最小，最小值为MF，根据等边三角形的性质和勾股定理，代入数据，即可求出MF的值；③过D作于K，过C作于T，根据题意，可知和是等边三角形，得，有，根据三角形CDE的周长公式，即可求出周长的最小值；④设，则，进而求出AK、BT、DE和CT的值，最后再根据三角形的面积公式和梯形的面积公式，分别求出三角形ADK、BCT和梯形DKCT的面积，用m表示，再配方，当m=1，将m代入即可求出四边形ABCD面积的最小值。17．【答案】解：把②代入①，得，解得：，把代入②，得，所以原方程组的解是。【解析】【分析】先将方程组进行标注，然后再将②代入①，求出x的值，再将x的值代入②，求出y的值，进而即可求出方程组的解。18．【答案】证明∶连接交于O，连接，，

∵四边形是平行四边形，

∴，，

∵，

∴，即，

∴四边形是平行四边形，

∴，

∴。【解析】【分析】连接交于O，连接，，根据平行四边形的性质：对角线互相平分，然后再根据，易得，最后再根据平行四边形的判定定理和性质，易证，最后再根据平行线的性质，即可求解。19．【答案】解：（1）

；

（2）∵是方程的根，

∴，

∴，

∴或，

∴或，

当时，；

当时，．

即的值为3或0。【解析】【分析】（1）先对括号里面的分式进行通分运算，然后再对除号后面的分式根据完全平方公式，再将除法换算成乘法，最后再进行约分化简即可。（2）将a代入，然后再根据十字交叉法，对式子进行分解，求出a的值，然后再将a的值代入（1）中化简的分式中，即可求出T的值。20．【答案】（1）解：①线段的垂直平分线，如图所示，②如图，矩形ABCD即为所求．（2）解：如图所示，

∵在矩形中，，，，

∴在中，，

∴矩形的面积是，

故答案是：．【解析】【分析】（1）①根据线段垂直平分线的尺规作图法进行作图，要保留作图痕迹，同时垂直平分线表示为l，垂足标记为点O即可；②根据对角线互相平分且相等的四边形是矩形，可以点O为圆心，线段OA的长为半径作弧，又因为要使AB=a，所以再以A为圆心，已知线段a的长为半径，作弧，根据点B位置的要求，即可得出点B的位置，进而得出点C的位置，即可得出矩形ABCD。（2）根据勾股定理可求出的长度，然后根据长×宽，即可得出矩形的面积．（1）解：①线段的垂直平分线，如图所示，②如图，矩形ABCD即为所求．（2）解：如图所示，∵在矩形中，，，，∴在中，，∴矩形的面积是，故答案是：．21．【答案】（1）80；32（2）解：根据题意，可得

人，

答：估计该校学生选择“D”数理类”书籍的学生人数为120人；（3）解：画树状图如下：共有16种等可能的结果，其中他们选择同一社团的结果有4种，所以他们选择同一社团的概率是。【解析】【解答】（1）解：本次抽查的人数为：人；；故答案为：80；32。【分析】（1）用文学类的学生人数除以其占比，即可求出本次调查的学生人数；然后再用本次调查的学生人数乘以科幻类的占比，即可求出科幻类的学生人数；（2）用数理类的学生人数除以本次调查的学生人数，求出其占比，然后再乘以该校的学生总人数，即可求出数理类的学生人数；（3）根据题干信息，列出四种阅读社团的所有等可能的结果数，然后再找出符合条件的结果数，最后再根据概率的公式，即可求解。（1）解：本次抽查的人数为：人；；故答案为：80；32；（2）解：人，答：估计该校学生选择“D”数理类”书籍的学生人数为120人；（3）解：画树状图如下：共有16种等可能的结果，其中他们选择同一社团的结果有4种，所以他们选择同一社团的概率是．22．【答案】解：（1），，，，，，是直径，，，是的切线；（2），，，设，则，，，在中，，即，解得（舍去），．【解析】【分析】（1）根据直径所对的圆周角等于90°，可得出，然后再通过等量代换得出∠D+∠AED=∠ACE+∠BEC=∠ACE+∠BCE=90°，进而得出DAE=90°，再根据切线的判定，即可得出结论；（2）根据，可得出tan∠D=，设，则，AB=2(x+3），在中，根据勾股定理，可得出，解方程得出x=2，进一步即可得出BC=BE=6+x=8.23．【答案】解：任务一：由题意抛物线的顶点坐标为，

，

解得，

，．

任务二：由题意抛物线的对称轴，

顶点在直线上，

顶点坐标为，

此时喷出的抛物线水线最大高度为9米。

任务三：∵要使喷出的抛物线水落地时离岸边不能少于米且不能超出2米，

∴，

∴，

，

。

当时，抛物线的顶点坐标，，此时，解得，

当时，抛物线的顶点坐标为，此时，解得，

的取值范围为。【解析】【分析】任务一：根据素材2的条件和任务一中的条件，可知抛物线的顶点坐标，根据再顶点坐标公式可得，解该方程组即可求出a和b的值。任务二：根据（1）中的解析式，然后再根据抛物线的对称轴公式：，代入数据，求出对称轴；根据顶点在直线y=x上，由此，可求出顶点坐标，进而确定喷出的抛物线水线最大高度。任务三：由于要使喷出的抛物线水落地时离岸边不能少于米且不能超出2米，根据抛物线的对称轴的位置，列出不等式：，求出的取值范围，即可求解。24．【答案】（1）解：∵是等边三角形，

∴，，

∵，，

∴是等边三角形，

∴，

∴，

∴，

∴，

又∵，

∴，

过点A作于点F，

则，，

∴，

∴；（2）证明：延长到F，使得，连接，，

∵是等腰直角三角形，

∴，，

∴，

又∵，

∴，

又∵，

∴，

∴，

又∵，

∴，

∴，即，

∴；（3）【解析】【解答】

解：过作交于点G，交于点H，设，

∵，

∴，

又∵

∴，

∴，

又∵，

∴，

∴，即，

∴点在的垂直平分线上运动，当时，长最小，

这时，

∴，

又∵，

∴，

∴，

又∵，

∴，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴．

【分析】（1）根据SAS可证得，从而得出，进而得出，然后过点A作于点F，根据等边三角形的性质可得出DF=1，AF=3，进而根据勾股定理，可得出AD的长；（2）延长到F，使得，连接，，可根据SAS证明，可得出=45°，进而得出，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得出结论；（3）过作交于点G，交于点H，设，可以得到，即可知道点在的垂直平分线上运动，当时，长最小，然后利用解直角三角形求出和长解题即可．（1）解：∵是等边三角形，∴，，∵，，∴是等边三角形，∴，∴，∴，∴，又∵，∴，过点A作于点F，则，，∴，∴；（2）证明：延长到F，使得，连接，，∵是等腰直角三角形，∴，，∴，又∵，∴，又∵，∴，∴，又∵，∴，∴，即，∴；（3）解：过作交于点G，交于点H，设，∵，∴，又∵∴，∴，又∵，∴，∴，即，∴点在的垂直平分线上运动，