六道有关近似值计算习题及答案详解二

六道有关近似值计算习题及答案详解二主要内容：sin28°的近似计算2.√100.204的近似计算3.切线方法计算方程4x^2(2x+3)^2+30(4x+3)=0在[-1.500,-0.750]的近似值4.已知圆弧的弦长为7米，拱高为1米，求弧长5.切线法计算87+6x+27e^x=0在(-19.000,-14.500)上的近似解误差不超过0.0016.√256.58的近似计算1.sin28°的近似计算主要内容：详细介绍通过微分法、泰勒展开法计算sin28°近似值的主要思路和步骤。主要公式：1.sin(a+b)=sinacosb+cosasinb,2.y=sinx，则y´=cosx，即dy=cosxdx。方法一：微分法计算∵(sinx)´=cosx∴dsinx=cosxdx.则有△y≈cosx△x，此时有：sinx=sinx0+△y≈sinx0+cosx0△x。需要注意的是，计算中的△x若是角度要转化为弧度。对于本题有：x=28°=30°+△x,△x=-0.035。则：sin28°≈sin30°+cos30°*(-0.035)，≈sin30°+cos30°*(-0.035)，≈0.47。注意：本题中取x0为30°，当28°越接近30°时，近似值精确度越高。方法二：泰勒公式计算1.sinx，cosx在x=0处泰勒展开根据泰勒幂级数展开，有：sinx=x-x^3/3!+x^5/5!-x^7/7!+...+(-1)^n*x^(2n+1)/(2n+1)!,cosx=1-x^2/2!+x^4/4!+...+(-1)^n*x^2n/2n!。其中：n≥0，x为任意实数，即弧度制形式。2.sinx在x=π/6处泰勒展开sinx=sin(x-π/6+π/6)=(√3/2)sin(x-π/6)+(1/2)cos(x-π/6)=(√3/2)∑<n=0,∞>(-1)^n*(x-π/6)^(2n+1)/(2n+1)!+(1/2)∑<n=0,∞>(-1)^n*(x-π/6)^(2n)/(2n)!=(1/2)[1+√3(x-π/6)-(x-π/6)^2/2!-√3(x-π/6)^3/3!+(x-π/6)^4/4!+√3(x-π/6)^5/5!-...]=1/2+1/2[√3(x-π/6)-(x-π/6)^2/2!-√3(x-π/6)^3/3!+(x-π/6)^4/4!+√3(x-π/6)^5/5!-...]。3.当n=1时的近似表达式sinx≈1/2+(√3/2)[(x-π/6)-(x-π/6)^3/3!]-(x-π/6)^2/4≈1/2+(x-π/6)[(√3/2)-(√3/12)(x-π/6)^2-(x-π/6)/4]≈1/2+(1/12)(x-π/6)[6√3-√3(x-π/6)^2-3(x-π/6)]≈1/2+(√3/12)(x-π/6)[6-(x-π/6)^2-√3(x-π/6)]对于本题：x-π/6=7π/45-π/6≈(-0.035),则：sin28°≈1/2+(√3/12)*(-0.035)*(6-(-0.035)^2-√3*(-0.035))≈0.469。2.√100.204的近似计算主要内容：本文通过微分法、无穷小替换法、泰勒展开法，介绍计算√100.204近似值的主要思路和步骤。主要公式：1.y=√x=x^(1/2),dy/dx=1/2√x=(1/2)x^(-1/2)。2.当x趋近于0时，有(1+x)^n≈1+nx。※.微分法计算∵y=√x，∴dy=dx/2√x,对于本题，则有：△y≈(1/2√x)△x，此时有：√100.204≈√100+△y=10+(1/2√100)△x。对于本题有：△x=100.204-100=0.204,代入上式：√100.204≈10+(1/2√100)*0.204=10+0.204/(2*10)=10.010200。即为此时用微分法计算出的近似值。※.无穷小替换法当x趋近于0时，有lim(x→0)(1+x)^n=lim(x→0)1+nx,则二者近似相等，即(1+x)^n≈1+nx。对于本题，变形如下：√100.204=√(100+0.204)=√[100(1+0.204/100)]=√100*√[(1+0.204/100)]≈10*(1+0.204/200)=10.010200。※：泰勒公式计算根据泰勒幂级数展开，有：f(x)=f(x0)+f'(x0)(x-x0)+f''(x0)(x-x0)^2/2!+f'''(x0)(x-x0)^3/3!+……,对于本题，x=100.204，x0=100，x-x0=0.204,且：f'(x0)=1/(2√100)=1/20;f''(x0)=-1/(4√1003)=-1/4000。将上述条件代入泰勒展开式，取前三项，有近似计算如下：√100.204≈√100+0.204/20-0.2042/(2!*4000)≈10+0.010200-0.000005≈10.010195。3.切线方法计算方程4x^2(2x+3)^2+30(4x+3)=0在[-1.500,-0.750]的近似值主要内容：根据微积分知识，一阶导数和二阶导数，以及函数的切线与x轴交点的横坐标关系方程，介绍用切线法计算4x^2(2x+3)^2+30(4x+3)=0在[-1.500,-0.750]上的近似解误差不超过0.001的主要步骤。主要过程：※.判断方程根的情况设f(x)=4x^2(2x+3)^2+30(4x+3)，当x=-1.500时，f(x)=f(-1.500)=4*(-1.500)^2[2*(-1.500)+3)]^2+30[4*(-1.500)+3]≈-90.0000<0，当x=-0.750时，f(x)=f(-0.750)=4*(-0.750)^2[2*(-0.750)+3)]^2+30[4*(-0.750)+3]≈5.0625>0，可知在区间[-1.500,-0.750]上必有实数根，下面讨论根的唯一性：对x求导有：f'(x)=8x(2x+3)^2+4x^2*4(2x+3)+120，=8x(2x+3)(4x+3)+120,当x∈[-1.500,-0.750]时有：x＜0，2x+3≥0，4x+3≤0,所以f’(x)＞0，则函数f(x)=4x^2(2x+3)^2+30(4x+3)为增函数，故：方程4x^2(2x+3)^2+30(4x+3)=0在[-1.500,-0.750]上有唯一实数解。※.切线法近似计算根据切线与x轴交点的横坐标xi的关系有：xi=-0.750-f(-0.750)/f'(-0.750)，以下连续用该方程进行计算，则有：x1=-0.750-f(-0.750)/f'(-0.750)=-0.750-5.0625/120.0000=-1.494;x2=-1.494-f(-1.494)/f'(-1.494)=-1.494+89.2787/120.4268=-0.753;x3=-0.753-f(-0.753)/f'(-0.753)=-0.753-4.70234/120.1080=-0.792;x4=-0.792-f(-0.792)/f'(-0.792)=-0.792+0.00920/121.5073=-0.792;至此，可知可以以x=-0.792为方程根的近似值，其误差不超过0.001。4.已知圆弧的弦长为7米，拱高为1米，求弧长。第一步，解析弧长表达式根据题意，有直角三角形关系如下：R^2=(R-b)^2+(a/2)^2解得：R=(a^2+4*b^2)/8b，设弧长为L,由公式得：L=2θR=θ(a^2+4*b^2)/4b.∵sinθ=(A/2)/R=4ab/(a^2+4*b^2)∴θ=arcsin[4ab/(a^2+4*b^2)].即弧长计算表达式为：L=(a^2+4*b^2)/4b*arcsin[4ab/(a^2+4*b^2)]。第二步，泰勒展开计算结果1.泰勒公式定义展开计算(arcsinx)´=(1-x^2)-1/2,则(arcsin0)´=1；(arcsinx)´´=-(1/2)*(1-x^2)-3/2*(-2x)=x(1-x^2)-3/2;(arcsinx)´´´=(1-x^2)-3/2+x[(1-x^2)-3/2]´；则：(arcsin0)´´=0，(arcsin0)´´´=1.即arcsinx≈x+0+(1/3!)x^3=x+x^3/6=x(x^2+6)/6.此时arcsin[4ab/(a^2+4*b^2)]≈4ab[8a^2b^2+3(a^2+4*b^2)^2]/[3(a^2+4*b^2)^3].代入弧长计算表达式得：L≈a[8a^2b^2+3(a^2+4*b^2)^2]/[3(a^2+4*b^2)^2]即：L≈a+[(8/3)a(ab)^2/(a^2+4*b^2)^2].代入数值计算，得：L≈7+[(8/3)*7*7^2/(7^2+4*1^2)^2]L≈7.33。2.泰勒变形公式展开计算∵(arcsinx)´=(1-x^2)-1/2≈1+(-1/2)*(-x^2)+(-1/2)*(-3/2)*(-x^2)^2≈1+(1/2)x^2+(3/4)x^4∴arcsinx=∫(1-x2)-1/2dx≈x+(1/6)x^3+(3/20)x^5.对本题有：arcsin[4ab/(a^2+4*b2)]≈[4ab/(a^2+4*b^2)]+(1/6)[4ab/(a^2+4*b^2)]^3+(3/20)[4ab/(a^2+4*b^2)^5.arcsin[4ab/(a^2+4*b^2)]≈4ab*{15(a^2+4*b^2)^4+40[(ab(a^2+4*b^2)]^2+576(ab)4}/[15(a^2+4*b^2)5]。代入到弧长表达式得：L≈a*{15(a^2+4*b^2)4+40[(ab(a^2+4*b^2)]^2+576(ab)^4}/[15(a^2+4*b^2)4]。即：L≈a+8a*(ab)2[5(a^2+4b^2)2+72(ab)2]/[15(a^2+4b^2)^4].代入数值计算，得：L≈7+56*7^2[5(7^2+4*1^2)^2+7^2*7^2]/[15*(7^2+4*1^2)^4].即:L≈7.41。5.切线法计算87+6x+27e^x=0在(-19.000,-14.500)上的近似解误差不超过0.001.主要内容：根据微积分知识，一阶导数和二阶导数，以及函数的切线与x轴交点的横坐标关系方程，介绍用切线法计算87+6x+27e^x=0在(-19.0,-14.5)上的近似解误差不超过0.001的主要步骤。主要过程：※.判断方程根的情况设f(x)=87+6x+27e^x，1)当x=-14.500时，f(x)=f(-14.500)=87-6*14.500+27e^(-14.500)=27e^(-14.500)≈0.000>0，2)当x=-19.000时，f(x)=f(-19.000)=87-6*19.000+27*e^(-19.000)=-27.00+27*e^(-19.000)≈-27.000<0，可知在区间(-19.000,-14.500)上必有实数根，下面讨论根的唯一性：对x求导有：f'(x)=6+27e^x，f''(x)=27e^x。在区间(-19.000,-14.500)上，对于f'(x)=6+27e^x>0，又f''(x)=27e^x＞0，则f(x)为增函数,所以函数f(x)=87+6x+27e^x为增函数，故方程87+6x+27e^x=0在(-19.000,-14.500)上有唯一实数解。※.切线法近似计算根据切线与x轴交点的横坐标xi的关系有：xi=x0-f(x0)/f'(x0)，以下连续用该方程进行计算，则有：x1=-14.500-f(-14.500)/f'(-14.500)=-14.500-0.000/6.000=-14.500;x2=-14.500-f(-14.500)/f'(-14.500)=-14.500-0.0000/6.0000=-14.500;x3=-14.500-f(-14.500)/f'(-14.500)=-14.500-0.0000/6.0000=-14.500;至此，可知可以以x=-14.50为方程根的近似值，其误差不超过0.001。6.√256.58的近似计算主要内容：本文通过微分法、无穷小替换法、泰勒展开法，介绍计算√256.58近似值的主要思路和步骤。主要公式：(1)y=√x=x^(1/2),dy/dx=1/2√x=(1/2)x^(-1/2)。(2)当x趋近于0时，有(1+x)^n≈1+nx。※.微分法计算∵y=√x，∴dy=dx/2√x,对于本题，则有：△y≈(1/2√x)△x，此时有：√256.58≈√256+△y=16+(1/2√256)△x。对于本题有：△x=256.58-256=0.58,代入上式：√256.58≈16+(1/2√256)*0.58=16+0.58/(2*16)=16.0181。即为此时用微分法计算出的近似值。※.无穷小替换法当x趋近于0时，有lim(x→0)(1+x)^n=lim(x→0)1+nx,则二者近似相等，即(1+x)^n≈1+nx。对于本题，变形如下：√256.58=√(256+0.58)=√[256(1+0.58/256)]=√256*√[(1+0.58/256)]≈16*(1+0.58/512)=16.0181。※：泰勒公式计算根据泰勒幂级数展开，有：f(x)=f(x