六道有关近似值计算习题及答案详解一

六道有关近似值计算习题及答案详解一主要内容：1.切线法计算x^3+1.7x^2+8.4x-1.2=0的实数近似解误差不超过0.001。2.eq\r(4.13)的近似值计算3.sin26.1°的近似计算4.计算0.912.91近似值的方法5.切线法计算8x^3-42x^2+43=0在(-1.8,0)上的近似解误差不超过0.001。6.√100.203的近似计算1.切线法计算x^3+1.7x^2+8.4x-1.2=0的实数近似解误差不超过0.001。主要内容：根据微积分知识，一阶导数和二阶导数，以及函数的切线与x轴交点的横坐标关系方程，介绍用切线法计算x^3+1.7x^2+8.4x-1.2=0的实数近似解误差不超过0.001的主要步骤。主要过程：※.判断方程根的情况设f(x)=x^3+1.7x^2+8.4x-1.2，对x求导有：f'(x)=3x^2+3.40x+8.4，f''(x)=6x+3.40。当x=0时，f(x)=f(0)=-1.2<0，当x=1时，f(x)=f(1)=1+1.7+8.4-1.2=9.9000>0，可知在区间[0,1]上必有实数根，下面讨论根的唯一性：在区间[0,1]上，对于f'(x)=3x^2+3.40x+8.4，其对应方程3x^2+3.40x+8.4=0的判别式为：△=(3.40)^2-4*3*8.4=4*(1.7^2-3*8.4)=-4*22.31<0，则f'(x)=3x^2+3.40x+8.4＞0，所以函数f(x)为增函数，故方程x^3+1.7x^2+8.4x-1.2=0在[0,1]上有唯一实数解。※.切线法近似计算根据切线与x轴交点的横坐标xi的关系有：xi=x0-f(x0)/f'(x0)，以下连续用该方程进行计算，则有：x1=1-f(1)/f'(1)=1-9.9000/14.8000=0.331;x2=0.331-f(0.331)/f'(0.331)=0.331-1.8029/9.8541=0.148;x3=0.148-f(0.148)/f'(0.148)=0.148-0.0837/8.9689=0.139;x4=0.139-f(0.139)/f'(0.139)=0.139-0.0031/8.9306=0.139。至此，可知f(0.139)≈0.0031>0，f(0.138)≈-0.0058＜0，所以此时可以以x=0.139或者x=0.138为方程根的近似值，其误差不超过0.001.2.eq\r(4.13)的近似值计算主要内容：通过线性穿插法、无穷小代换法，介绍计算eq\r(4.13)近似值的主要步骤。线性穿插法：设eq\r(4.13)=x，列三组数如下：eq\r(4)=2eq\r(4.13)=xeq\r(9)=3，eq\f(4.13-4,9-4.13)=eq\f(x-2,3-x),(4.13-4)(3-x)=(x-2)(9-4.13)0.13(3-x)=4.87(x-2)4.87x+0.13x=0.13*3+2*4.875x=10.13x≈2.0260。无穷小代换法eq\r(4.13)=eq\r(4+0.13),=eq\r(4(1+eq\f(0.13,m))),=eq\r(4)*eq\r(1+eq\f(0.13,4)),≈2*(1+eq\f(0.13,8)),≈2.0325，即：eq\r(4.13)≈2.0325。用到的公式为：eq\r(1+x)≈1+eq\f(x,2)（x为无穷小）。3.sin26.1°的近似计算主要内容：详细介绍通过微分法、泰勒展开法计算sin26.1°近似值的主要思路和步骤。主要公式：1.sin(a+b)=sinacosb+cosasinb,2.y=sinx，则y´=cosx，即dy=cosxdx。方法一：微分法计算∵(sinx)´=cosx∴dsinx=cosxdx.则有△y≈cosx△x，此时有：sinx=sinx0+△y≈sinx0+cosx0△x。需要注意的是，计算中的△x若是角度要转化为弧度。对于本题有：x=26.1°=30°+△x,△x=-0.068。则：sin26.1°≈sin30°+cos30°*(-0.068)，≈sin30°+cos30°*(-0.068)，≈0.441。注意：本题中取x0为30°，当26.1°越接近30°时，近似值精确度越高。方法二：泰勒公式计算1.sinx，cosx在x=0处泰勒展开根据泰勒幂级数展开，有：sinx=x-x^3/3!+x^5/5!-x^7/7!+...+(-1)^n*x^(2n+1)/(2n+1)!,cosx=1-x^2/2!+x^4/4!+...+(-1)^n*x^2n/2n!。其中：n≥0，x为任意实数，即弧度制形式。2.sinx在x=π/6处泰勒展开sinx=sin(x-π/6+π/6)=(√3/2)sin(x-π/6)+(1/2)cos(x-π/6)=(√3/2)∑<n=0,∞>(-1)^n*(x-π/6)^(2n+1)/(2n+1)!+(1/2)∑<n=0,∞>(-1)^n*(x-π/6)^(2n)/(2n)!=(1/2)[1+√3(x-π/6)-(x-π/6)^2/2!-√3(x-π/6)^3/3!+(x-π/6)^4/4!+√3(x-π/6)^5/5!-...]=1/2+1/2[√3(x-π/6)-(x-π/6)^2/2!-√3(x-π/6)^3/3!+(x-π/6)^4/4!+√3(x-π/6)^5/5!-...]。3.当n=1时的近似表达式sinx≈1/2+(√3/2)[(x-π/6)-(x-π/6)^3/3!]-(x-π/6)^2/4≈1/2+(x-π/6)[(√3/2)-(√3/12)(x-π/6)^2-(x-π/6)/4]≈1/2+(1/12)(x-π/6)[6√3-√3(x-π/6)^2-3(x-π/6)]≈1/2+(√3/12)(x-π/6)[6-(x-π/6)^2-√3(x-π/6)]对于本题：x-π/6=29π/200-π/6≈(-0.068),则：sin26.1°≈1/2+(√3/12)*(-0.068)*(6-(-0.068)^2-√3*(-0.068))≈0.44。4.计算0.912.91近似值的方法※.极限方法原理：当x→0时，有lim(x→0)(1+x)a/(1+ax)=1，即此时有(1+x)a～(1+ax)。此方法计算近似值实质是等价无穷小替换。等价无穷小的定义：设当x趋近于x0时，f(x)和g(x)均为无穷小量。若lim(x→x0)f(x)/g(x)=1，则称f(x)和g(x)是等价无穷小量，记作:f(x)～g(x)(x→x0)。对于本题有：0.912.91≈(1-0.09)2.91≈1-0.09*2.91≈1-0.09*2.91≈0.7381.即：0.912.91≈0.7381.※.全微分法本题涉及幂指函数z=xy，求全微分有：因为z=xy=eylnx，所以dz=eylnx*(lnxdy+ydx/x);=xy*(lnxdy+ydx/x).对于本题，x=1,y=3.此时近似计算过程如下：0.912.91≈13+13*(ln1*0.09-3*0.09/1)≈13-13*0.27≈0.73。※.指数函数法0.912.91≈0.913+dy≈0.913+0.913*ln0.91*(2.91-3)≈0.913(1+0.0084)≈0.7599.5.切线法计算8x^3-42x^2+43=0在(-1.8,0)上的近似解误差不超过0.001。主要内容：根据微积分知识，一阶导数和二阶导数，以及函数的切线与x轴交点的横坐标关系方程，介绍用切线法计算方程8x^3-42x^2+43=0在(-1.8,0)上的近似解误差不超过0.001的主要步骤。主要过程：※.判断方程根的情况设f(x)=8x^3-42x^2+43，当x=-1.8时,f(-1.8)=8*(-1.8)^3-42*(-1.8)^2+43=-139.7＜0，当x=0时,f(0)=8*0-42*0+43=43＞0，可知在区间(-1,0)上必有实数根，下面讨论根的唯一性对x求导有：f'(x)=12*2x^2-6*14x=6x(2*2x-14)，在区间(-1.8,0)上，对于f'(x)=6x(2*2x-14)>0，则f(x)为增函数,故方程8x^3-42x^2+43=0在(-1.8,0)上有唯一实数解。※.切线法近似计算根据切线与x轴交点的横坐标xi的关系有：xi=-1.8-f(-1.8)/f'(-1.8)，以下连续用该方程进行计算，则有：x1=-1.8-f(-1.8)/f'(-1.8)=-1.8+139.7/228.96=-1.190,x2=-1.190-f(-1.190)/f'(-1.190)=-1.190+29.957/133.946=-0.966,x3=-0.966-f(-0.966)/f'(-0.966)=-0.966+3.404/103.540=-0.933,x4=-0.933-f(-0.933)/f'(-0.933)=-0.933+0.058/99.264=-0.932,x5=-0.932-f(-0.932)/f'(-0.932)=-0.932-0.041/99.135=-0.932,至此，可知可以以x=-0.933或者x=-0.932为方程根的近似值，其误差不超过0.001。6.√100.203的近似计算主要内容：本文通过微分法、无穷小替换法、泰勒展开法，介绍计算√100.203近似值的主要思路和步骤。主要公式：1.y=√x=x^(1/2),dy/dx=1/2√x=(1/2)x^(-1/2)。2.当x趋近于0时，有(1+x)^n≈1+nx。※.微分法计算∵y=√x，∴dy=dx/2√x,对于本题，则有：△y≈(1/2√x)△x，此时有：√100.203≈√100+△y=10+(1/2√100)△x。对于本题有：△x=100.203-100=0.203,代入上式：√100.203≈10+(1/2√100)*0.203=10+0.203/(2*10)=10.010150。即为此时用微分法计算出的近似值。※.无穷小替换法当x趋近于0时，有lim(x→0)(1+x)^n=lim(x→0)1+nx,则二者近似相等，即(1+x)^n≈1+nx。对于本题，变形如下：√100.203=√(100+0.203)=√[100(1+0.203/100)]=√100*√[(1+0.203/100)]≈10*(1+0.203/200)=10.010150。※：泰勒公式计算根据泰勒幂级数展开，有：f(x)=f(x0)+f'(