四道有关近似值计算习题及答案详解二

四道有关近似值计算习题及答案详解四1.eq\r(4.17)的近似值计算2.sin32°的近似计算3.四种方法计算√202的近似值4.切线方法计算方程3x^2(2x+3)^2+4(4x+3)=0在[-1.50,-0.75]的近似值1.eq\r(4.17)的近似值计算主要内容：通过线性穿插法、无穷小代换法，介绍计算eq\r(4.17)近似值的主要步骤。线性穿插法：设eq\r(4.17)=x，列三组数如下：eq\r(4)=2eq\r(4.17)=xeq\r(9)=3，eq\f(4.17-4,9-4.17)=eq\f(x-2,3-x),(4.17-4)(3-x)=(x-2)(9-4.17)0.17(3-x)=4.83(x-2)4.83x+0.17x=0.17*3+2*4.835x=10.17x≈2.0340。无穷小代换法eq\r(4.17)=eq\r(4+0.17),=eq\r(4(1+eq\f(0.17,m))),=eq\r(4)*eq\r(1+eq\f(0.17,4)),≈2*(1+eq\f(0.17,8)),≈2.0425，即：eq\r(4.17)≈2.0425。用到的公式为：eq\r(1+x)≈1+eq\f(x,2)（x为无穷小）。2.sin32°的近似计算主要内容：详细介绍通过微分法、泰勒展开法计算sin32°近似值的主要思路和步骤。主要公式：sin(a+b)=sinacosb+cosasinb,y=sinx，则y´=cosx，即dy=cosxdx。方法一：微分法计算∵(sinx)´=cosx∴dsinx=cosxdx.则有△y≈cosx△x，此时有：sinx=sinx0+△y≈sinx0+cosx0△x。需要注意的是，计算中的△x若是角度要转化为弧度。对于本题有：x=32°=30°+△x,△x=0.035。则：sin32°≈sin30°+cos30°*0.035，≈sin30°+cos30°*0.035，≈0.53。注意：本题中取x0为30°，当32°越接近30°时，近似值精确度越高。方法二：泰勒公式计算（1）sinx，cosx在x=0处泰勒展开根据泰勒幂级数展开，有：sinx=x-x^3/3!+x^5/5!-x^7/7!+...+(-1)^n*x^(2n+1)/(2n+1)!,cosx=1-x^2/2!+x^4/4!+...+(-1)^n*x^2n/2n!。其中：n≥0，x为任意实数，即弧度制形式。（2）sinx在x=π/6处泰勒展开sinx=sin(x-π/6+π/6)=(√3/2)sin(x-π/6)+(1/2)cos(x-π/6)=(√3/2)∑<n=0,∞>(-1)^n*(x-π/6)^(2n+1)/(2n+1)!+(1/2)∑<n=0,∞>(-1)^n*(x-π/6)^(2n)/(2n)!=(1/2)[1+√3(x-π/6)-(x-π/6)^2/2!-√3(x-π/6)^3/3!+(x-π/6)^4/4!+√3(x-π/6)^5/5!-...]=1/2+1/2[√3(x-π/6)-(x-π/6)^2/2!-√3(x-π/6)^3/3!+(x-π/6)^4/4!+√3(x-π/6)^5/5!-...]。（3）当n=1时的近似表达式sinx≈1/2+(√3/2)[(x-π/6)-(x-π/6)^3/3!]-(x-π/6)^2/4≈1/2+(x-π/6)[(√3/2)-(√3/12)(x-π/6)^2-(x-π/6)/4]≈1/2+(1/12)(x-π/6)[6√3-√3(x-π/6)^2-3(x-π/6)]≈1/2+(√3/12)(x-π/6)[6-(x-π/6)^2-√3(x-π/6)]对于本题：x-π/6=8π/45-π/6≈0.035,则：sin32°≈1/2+(√3/12)*0.035*(6-0.035^2-√3*0.035)≈0.53。3.四种方法计算√202的近似值※.线性穿插法计算近似值设√202=x，并找与之最近的两个完全平方数，有：√196=14,√202=x,√225=15,用线性穿插得：(202-196)/(225-202)=(x-14)/(15-x)6(15-x)=23(x-14)29x=412x=412/29≈14.2068.※.微分法计算近似值∵dy=f'(x)dx，f(x)=√x，∴dy=dx/(2√x）对于本题有：√202-√196=(202-196)/(2√196)√202=√196+6/(2*14)√202=14+3/14≈14.2142.※.极限法计算近似值原理为当x趋近无穷小时，有(1±x)^a≈1±ax，其中a为不为1的常数。对于本题:√202=√(196+6）√202=√[196(1+6/196）]=14√(1+6/196）=14*[1+6/(2*196)]=14+3/14≈14.2142.※.泰勒展开式计算近似值∵f(x)=f(x0)/0!+f'(x0)(x-x0)/1!+f"(x0)(x-x0)^2/2!+O(x^3)∴f(x)=f(x0)+f'(x0)(x-x0)+f"(x0)(x-x0)^2/2+O(x^3)其中O(x^3)表示x的三次无穷小。对于本题幂函数y=f(x)=√x,有：f'(x)=(1/2)x^(-1/2),f"(x)=-(1/4)x^(-3/2)。即：f(x)≈f(x0)+(1/2)x0^(-1/2)(x-x0)-(1/8)x0^(-3/2)*(x-x0)^2。对于本题，x=202，x0=196,x-x0=6,代入得：√202≈√196+3*196^(-1/2)-(1/8)*6^2*196^(-3/2)≈14+3*14^(-1)-(1/8)*6^2*14^(-3)≈14+3/14-6^2/(8*14^3)即：√202≈14.2126。4.切线方法计算方程3x^2(2x+3)^2+4(4x+3)=0在[-1.50,-0.75]的近似值主要内容：根据微积分知识，一阶导数和二阶导数，以及函数的切线与x轴交点的横坐标关系方程，介绍用切线法计算3x^2(2x+3)^2+4(4x+3)=0在[-1.500,-0.750]上的近似解误差不超过0.001的主要步骤。主要过程：※.判断方程根的情况设f(x)=3x^2(2x+3)^2+4(4x+3)，当x=-1.500时，f(x)=f(-1.500)=3*(-1.500)^2[2*(-1.500)+3)]^2+4[4*(-1.500)+3]≈-12.0000<0，当x=-0.750时，f(x)=f(-0.750)=3*(-0.750)^2[2*(-0.750)+3)]^2+4[4*(-0.750)+3]≈3.7969>0，可知在区间[-1.500,-0.750]上必有实数根，下面讨论根的唯一性：对x求导有：f'(x)=6x(2x+3)^2+3x^2*4(2x+3)+16，=6x(2x+3)(4x+3)+16,当x∈[-1.500,-0.750]时有：x＜0，2x+3≥0，4x+3≤0,所以f’(x)＞0，则函数f(x)=3x^2(2x+3)^2+4(4x+3)为增函数，故：方程3x^2(2x+3)^2+4(4x+3)=0在[-1.500,-0.750]上有唯一实数解。※.切线法近似计算根据切线与x轴交点的横坐标xi的关系有：xi=-0.750-f(-0.750)/f'(-0.750)，以下连续用该方程进行计算，则有：x1=-0.750-f(-0.750)/f'(-0.750)=-0.750-3.7969/16.0000=-1.453;x2=-1.453-f(-1.453)/f'(-1.453)=-1.453+11.1920/18.3044=-0.842;x3=-0.842-f(-0.842)/f'(-0.842)=-0.842-2.21147/18