五道有关近似值计算习题及答案详解一

五道有关近似值计算习题及答案详解一主要内容：1.eq\r(100.43)的近似值计算2.计算0.92^2.91近似值的方法3.四种方法计算√200的近似值4.切线方法计算方程4x^2(2x+3)^2+32(4x+3)=0在[-1.500,-0.750]的近似值5.切线法计算15+64x+25e^x=0在(-0.625,-0.234)上的近似解误差不超过0.0011.eq\r(100.43)的近似值计算主要内容：通过线性穿插法、无穷小代换法，介绍计算eq\r(100.43)近似值的主要步骤。线性穿插法：设eq\r(100.43)=x，列三组数如下：eq\r(100)=10eq\r(100.43)=xeq\r(121)=11，eq\f(100.43-100,121-100.43)=eq\f(x-10,11-x),(100.43-100)(11-x)=(x-10)(121-100.43)0.43(11-x)=20.57(x-10)20.57x+0.43x=0.43*11+10*20.5721x=210.43x≈10.0205。无穷小代换法eq\r(100.43)=eq\r(100+0.43),=eq\r(100(1+eq\f(0.43,m))),=eq\r(100)*eq\r(1+eq\f(0.43,100)),≈10*(1+eq\f(0.43,200)),≈10.0215，即：eq\r(100.43)≈10.0215。用到的公式为：eq\r(1+x)≈1+eq\f(x,2)（x为无穷小）。2.计算0.92^2.91近似值的方法※.极限方法原理：当x→0时，有lim(x→0)(1+x)a/(1+ax)=1，即此时有(1+x)a～(1+ax)。此方法计算近似值实质是等价无穷小替换。等价无穷小的定义：设当x趋近于x0时，f(x)和g(x)均为无穷小量。若lim(x→x0)f(x)/g(x)=1，则称f(x)和g(x)是等价无穷小量，记作:f(x)～g(x)(x→x0)。对于本题有：0.92^2.91≈(1-0.08)^2.91≈1-0.08*2.91≈1-0.08*2.91≈0.7672.即：0.92^2.91≈0.7672.※.全微分法本题涉及幂指函数z=xy，求全微分有：因为z=x^y=e^ylnx，所以dz=e^ylnx*(lnxdy+ydx/x);=x^y*(lnxdy+ydx/x).对于本题，x=1,y=3.此时近似计算过程如下：0.92^2.91≈1^3+1^3*(ln1*0.09-3*0.08/1)≈1^3-1^3*0.24≈0.76。※.指数函数法0.92^2.91≈0.92^3+dy≈0.92^3+0.92^3*ln0.92*(2.91-3)≈0.92^3(1+0.0066)≈0.7838.3.四种方法计算√200的近似值※.线性穿插法计算近似值设√200=x，并找与之最近的两个完全平方数，有：√196=14,√200=x,√225=15,用线性穿插得：(200-196)/(225-200)=(x-14)/(15-x)4(15-x)=25(x-14)29x=410x=410/29≈14.1379.※.微分法计算近似值∵dy=f'(x)dx，f(x)=√x，∴dy=dx/(2√x）对于本题有：√200-√196=(200-196)/(2√196)√200=√196+4/(2*14)√200=14+1/7≈14.1428.※.极限法计算近似值原理为当x趋近无穷小时，有(1±x)^a≈1±ax，其中a为不为1的常数。对于本题:√200=√(196+4）√200=√[196(1+4/196）]=14√(1+4/196）=14*[1+4/(2*196)]=14+1/7≈14.1428.※.泰勒展开式计算近似值f(x)=f(x0)/0!+f'(x0)(x-x0)/1!+f"(x0)(x-x0)^2/2!+O(x^3)∴f(x)=f(x0)+f'(x0)(x-x0)+f"(x0)(x-x0)^2/2+O(x^3)其中O(x^3)表示x的三次无穷小。对于本题幂函数y=f(x)=√x,有：f'(x)=(1/2)x^(-1/2),f"(x)=-(1/4)x^(-3/2)。即：f(x)≈f(x0)+(1/2)x0^(-1/2)(x-x0)-(1/8)x0^(-3/2)*(x-x0)^2。对于本题，x=200，x0=196,x-x0=4,代入得：√200≈√196+2*196^(-1/2)-(1/8)*4^2*196^(-3/2)≈14+2*14^(-1)-(1/8)*4^2*14^(-3)≈14+1/7-4^2/(8*14^3)即：√200≈14.1421。4.切线方法计算方程4x^2(2x+3)^2+32(4x+3)=0在[-1.500,-0.750]的近似值主要内容：根据微积分知识，一阶导数和二阶导数，以及函数的切线与x轴交点的横坐标关系方程，介绍用切线法计算4x^2(2x+3)^2+32(4x+3)=0在[-1.500,-0.750]上的近似解误差不超过0.001的主要步骤。主要过程：※.判断方程根的情况设f(x)=4x^2(2x+3)^2+32(4x+3)，当x=-1.500时，f(x)=f(-1.500)=4*(-1.500)^2[2*(-1.500)+3)]^2+32[4*(-1.500)+3]≈-96.0000<0，当x=-0.750时，f(x)=f(-0.750)=4*(-0.750)^2[2*(-0.750)+3)]^2+32[4*(-0.750)+3]≈5.0625>0，可知在区间[-1.500,-0.750]上必有实数根，下面讨论根的唯一性：对x求导有：f'(x)=8x(2x+3)^2+4x^2*4(2x+3)+128，=8x(2x+3)(4x+3)+128,当x∈[-1.500,-0.750]时有：x＜0，2x+3≥0，4x+3≤0,所以f’(x)＞0，则函数f(x)=4x^2(2x+3)^2+32(4x+3)为增函数，故：方程4x^2(2x+3)^2+32(4x+3)=0在[-1.500,-0.750]上有唯一实数解。※.切线法近似计算根据切线与x轴交点的横坐标xi的关系有：xi=-0.750-f(-0.750)/f'(-0.750)，以下连续用该方程进行计算，则有：x1=-0.750-f(-0.750)/f'(-0.750)=-0.750-5.0625/128.0000=-1.494;x2=-1.494-f(-1.494)/f'(-1.494)=-1.494--95.2307/128.4268=-0.752;x3=-0.752-f(-0.752)/f'(-0.752)=-0.752-4.80643/128.0720=-0.790;x4=-0.790-f(-0.790)/f'(-0.790)=-0.790--0.08626/129.4359=-0.789;至此，可知可以以x=-0.790或者x=-0.789为方程根的近似值，其误差不超过0.001。5.切线法计算15+64x+25e^x=0在(-0.625,-0.234)上的近似解误差不超过0.001主要内容：根据微积分知识，一阶导数和二阶导数，以及函数的切线与x轴交点的横坐标关系方程，介绍用切线法计算15+64x+25e^x=0在(-0.625,-0.234)上的近似解误差不超过0.001的主要步骤。主要过程：※.判断方程根的情况设f(x)=15+64x+25e^x，1)当x=-0.234时，f(x)=f(-0.234)=15-64*0.234+25e^(-0.234)=25e^(-0.234)≈19.777>0，2)当x=-0.625时，f(x)=f(-0.625)=15-64*0.625+25*e^(-0.625)=-25.00+25*e^(-0.625)≈-11.618<0，可知在区间(-0.625,-0.234)上必有实数根，下面讨论根的唯一性：对x求导有：f'(x)=64+25e^x，f''(x)=25e^x。在区间(-0.625,-0.234)上，对于f'(x)=64+25e^x>0，又f''(x)=25e^x＞0，则f(x)为增函数,所以函数f(x)=15+64x+25e^x为增函数，故方程15+64x+25e^x=0在(-0.625,-0.234)上有唯一实数解。※.切线法近似计算根据切线与x轴交点的横坐标xi的关系有：xi=x0-f(x0)/f'(x0)，以下连续用该方程进行计算，则有：x1=-0.234-f(-0.234)/f'(-0.23