2026年浙江省中考高中自主招生数学试卷试题（含答案详解）

第1页（共1页）2025-2026学年浙江省宁波市九年级自主招生数学试卷一、选择题（每小题5分，共30分）1．（5分）1、2、2、3、3、3、4、4、4、4、5、5、5、5、5…第2025个数是（）A．62 B．63 C．64 D．652．（5分）设实数a、b、c满足a2−bc−8a+7=0bA．3≤a≤6 B．1≤a≤6 C．3≤a≤9 D．1≤a≤93．（5分）在△ABC中，∠ABC＝60°，∠ACB＝75°，AB＝2，P为线段BC上的动点，以AP为直径作圆，分别与AB、AC相交于点M、N，则MN的最小值是（）A．62 B．32 C．6 4．（5分）在直角坐标系中（x，y）表示一个点的坐标，现规定让x，y在﹣1，0，1三个数中个任意取一个值构造一个点，例如（﹣1，0），（0，0），（1，﹣1）等等，那么所有可能构造的点中，任意取出三个点构造三角形，则至少一条边为5的三角形可画出多少种（）A．56种 B．48种 C．64种 D．40种5．（5分）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，D是边CA延长线上一点，AE＝AB，∠DEB＝90°，sin∠BAC=35，A．13 B．14 C．3146．（5分）与代数式1+1A．2022 B．2023 C．2024 D．2025二、填空题（每小题5分，共30分）7．（5分）因式分解：3x3+8．（5分）如图，已知AB是半径为1的⊙O的一条弦，AB＝a，且1＜a＜3，以AB为一边在⊙O内作等边△ABC，D是⊙O上不同于点A的一点，且DB＝AB＝a，DC的延长线与⊙O交于点E，则AE的长为9．（5分）如图，抛物线y＝﹣x2+1与x轴交于A、B两点，P为抛物线的顶点，△ABQ中，∠BAQ＝90°，线段PQ把图形AQBP（上半部分以抛物线为边界）分为两部分，则这两部分面积之差的绝对值是．10．（5分）△ABC的三边长为：AB=2m2+225，BC=m2+16m+289，AC=m11．（5分）已知x，y，z为正整数，x≤y≤z，那么方程1x+112．（5分）8根绳子左右平行排列，随意地将每两根绳子的上端两两连接成4组，下端也两两连接成4组，则这8根绳子全部相连组成一个大环的概率是．三、解答题（每小题15分，共60分）13．（15分）（1）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点（1，2），若a＜0且（1，2）恰好是此图象的顶点，当﹣2＜x＜﹣1时，y＜0；当2＜x＜3时，y＞0，求此函数的解析式；（2）已知函数y＝x2﹣ax+2，其中a为实数，对任意0≤x≤4，不等式y≥2x+a恒成立，求实数a的取值范围．14．（15分）如图，反比例函数y=2x的图象与直线y＝﹣x+4交于A、（1）求线段AB的长度；（2）点C是线段AB上的一个动点（与端点不重合），线段OC与反比例函数图象的交点记为D，过C分别作x、y轴的垂线，与反比例函数图象分别交于点M、N，并且垂足分别为E、F．①求CM+CN的最大值；②讨论S△CDM15．（15分）如图，圆内接六边形中，AB＝CD＝EF，且三条对角线AD、BE、CF交于点P，CE与AD交于点Q．（1）求证：ACCE（2）若AC＝26，CE＝39，求CQ•QE的值．16．（15分）已知x、y为实数，且x2+a2y2＝a2（其中a为大于1的常数）．（1）分别求x、y的取值范围；（2）若存在正实数r，使关于x、y的方程组x2+a

2025-2026学年浙江省宁波市象山中学九年级（上）冬令营数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（共6小题）题号123456答案CDABCD一、选择题（每小题5分，共30分）1．（5分）1、2、2、3、3、3、4、4、4、4、5、5、5、5、5…第2025个数是（）A．62 B．63 C．64 D．65【分析】根据所给各数的排列方式，发现规律即可解决问题．【解答】解：由题知，这列数的排列方式为1个1，2个2，3个3，…，n个n，则1+2+3+…+n=n(n+1)所以正整数n的最后一个出现在这列数的第n(n+1)2当n＝63时，n(n+1)2当n＝64时，n(n+1)2所以第2017至2080个数都是64，则第2025个数是64．故选：C．【点评】本题主要考查了数字变化的规律，能根据所给各数的排列方式得出正整数n的最后一个出现在这列数的第n(n+1)22．（5分）设实数a、b、c满足a2−bc−8a+7=0bA．3≤a≤6 B．1≤a≤6 C．3≤a≤9 D．1≤a≤9【分析】由第一个方程得bc＝a2﹣8a+7；将bc代入第二个方程，利用完全平方公式b2+c2＝（b+c）2﹣2bc，化简得b+c＝±（a﹣1）；以b、c为根构造一元二次方程，根据判别式Δ≥0，解得1≤a≤9．【解答】解：由a2﹣bc﹣8a+7＝0得：bc＝a2﹣8a+7①，将①代入b2+c2+bc﹣6a+6＝0，利用b2+c2＝（b+c）2﹣2bc得：（b+c）2﹣2bc+bc﹣6a+6＝0，（b+c）2﹣bc﹣6a+6＝0代入①得：（b+c）2﹣（a2﹣8a+7）﹣6a+6＝0，（b+c）2＝a2﹣2a+1＝（a﹣1）2，所以b+c＝±（a﹣1）②，由①②知b、c是方程x2±（a﹣1）x+a2﹣8a+7＝0的实根，所以判别式Δ≥0，即[±（a﹣1）]2﹣4（a2﹣8a+7）≥0，（a﹣1）2﹣4（a2﹣8a+7）≥0，展开：a2﹣2a+1﹣4a2+32a﹣28≥0，整理：﹣3a2+30a﹣27≥0，两边除以﹣3（不等号变向）：a2﹣10a+9≤0，因式分解：（a﹣1）（a﹣9）≤0，解得：1≤a≤9．故选：D．【点评】本题考查了高次方程，解决本题的关键是通过用a表示bc和b+c，构造以b、c为根的一元二次方程，利用判别式Δ≥0确定a的取值范围．3．（5分）在△ABC中，∠ABC＝60°，∠ACB＝75°，AB＝2，P为线段BC上的动点，以AP为直径作圆，分别与AB、AC相交于点M、N，则MN的最小值是（）A．62 B．32 C．6 【分析】根据题意画出图形，根据三角形的内角和求出∠BAC，然后根据圆周角定理求出∠MON，再分析出当点P运动到AP⊥BC时MN最短即可．【解答】解：如图：连接OM、ON，∵∠ABC＝60°，∠ACB＝75°，∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝45°．∴∠MON＝90°．∵OM＝ON，∴在Rt△MON中，据勾股定理得：MN=O∵若使MN最小，则OM最小，即直径AP最小．∵点A到线段BC的距离垂线段最短，∴AP⊥BC．∵∠ABC＝60°，AB＝2，∴AP＝AB•Sin60°＝2×3∴OM=1∴MN=O故选：A．【点评】本题考查了圆周角定理和垂线段最短，熟练掌握圆周角定理是关键．4．（5分）在直角坐标系中（x，y）表示一个点的坐标，现规定让x，y在﹣1，0，1三个数中个任意取一个值构造一个点，例如（﹣1，0），（0，0），（1，﹣1）等等，那么所有可能构造的点中，任意取出三个点构造三角形，则至少一条边为5的三角形可画出多少种（）A．56种 B．48种 C．64种 D．40种【分析】先根据规定让x，y在﹣1，0，1三个数中个任意取一个值构造一个点，结合列表法分析可得共9个点，然后分情况讨论符合题意的三角形个数．【解答】解：∵让x，y在﹣1，0，1三个数中个任意取一个值构造一个点，∴共可构造9个点，分别为（﹣1，﹣1），（﹣1，0），（﹣1，1），（0，﹣1），（0，0），（0，1），（1，﹣1），（1，0），（1，1），如图：任意取出三个点构造三角形，①当形如△ABF的直角三角形时，此时直角三角形斜边为5，此类三角形共16种，②当形如△ADG的等腰三角形时，此时等腰三角形的腰长为5，此类三角形共4种，③当形如△AHF的钝角三角形，此时钝角三角形最长边为5，此类三角形共16种，④当形如△AHE的钝角三角形，此时钝角三角形的中间长度边长为5，此类三角形共8种，⑤当形如△AFD的等腰三角形时，此时等腰三角形的腰长为5，此类三角形有4种，综上，至少一边长为5的三角形共可画16+4+16+8+4＝48种，故选：B．【点评】本题考查坐标与图形，掌握勾股定理解直角三角形，等腰三角形的概念，利用分类讨论思想解题是关键．5．（5分）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，D是边CA延长线上一点，AE＝AB，∠DEB＝90°，sin∠BAC=35，A．13 B．14 C．314【分析】过A点作AH⊥BE于F点，过C点作CH⊥BE于H点，如图，根据正切的定义得到tan∠BAC=BCAC=35，则设BC＝3x，AC＝5x，利用勾股定理得到AB＝4x，再证明Rt△ABF∽Rt△BCH，利用相似比得BFCH=43，于是设BF＝4t，则CH＝3t，接着根据等腰三角形的性质得到EF＝BF＝4t【解答】解：过A点作AH⊥BE于F点，过C点作CH⊥BE于H点，如图，在Rt△ABC中，∵∠ABC＝90°，∴tan∠BAC=BC∴设BC＝3x，则AC＝5x，∴AB=(5x)2∵∠BAF+∠ABF＝90°，∠HBC+∠ABF＝90°，∴∠BAF＝∠HBC，∴Rt△ABF∽Rt△BCH，∴BFCH∴设BF＝4t，则CH＝3t，∵AE＝AB，AF⊥BE，∴EF＝BF＝4t，∵∠DEB＝90°，∴DE∥AF∥CH，∴EFFH∴FH=52×4t∴EH＝EF+FH＝14t，在Rt△CEH中，tan∠CEH=CH故选：C．【点评】本题考查了解直角三角形，在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．也考查了等腰三角形的性质和相似三角形的判定与性质．6．（5分）与代数式1+1A．2022 B．2023 C．2024 D．2025【分析】先利用完全平方公式、分式的加减运算和二次根式的性质得到1+1n2+1(n+1)2=1+【解答】解：∵1+=n=n=n=[=n＝1+＝1+1∴原式＝（1+11−12）+（1+＝2024+＝2025−1∴代数式的值最接近的正整数是2025．故选：D．【点评】本题考查了估算无理数的大小，掌握化简规律1+1n2二、填空题（每小题5分，共30分）7．（5分）因式分解：3x3+12x2−92x−2=【分析】先分组，在组内分解因式，然后在组间提公因式，然后再利用十字相乘法分解即可．【解答】解：3＝3x3+3x2−52x2−＝3x2（x+1）−12（5x2+9＝3x2（x+1）−12（x+1）（5＝（x+1）（3x2−52=12（x+1）（6x2﹣5=12（x+1）（2x+1）（3故答案为：12（x+1）（2x+1）（3x【点评】本题考查分组分解法，掌握分组分解法的原则是使因式分解先在组内，再在组间进行是正确解答的关键．8．（5分）如图，已知AB是半径为1的⊙O的一条弦，AB＝a，且1＜a＜3，以AB为一边在⊙O内作等边△ABC，D是⊙O上不同于点A的一点，且DB＝AB＝a，DC的延长线与⊙O交于点E，则AE的长为1【分析】连接OA，OB，由等腰三角形的性质推出∠OAB＝∠OBA，由等边三角形的性质得到BC＝AB＝AC，∠ACB＝∠CAB＝60°，由等腰三角形的性质推出∠D＝∠BCD，由平角的定义得到∠ACE+∠BCD＝120°，由圆内接四边形的性质推出∠CAE+∠D＝120°，得到∠CAE＝∠ACE，由圆周角定理得到∠E＝∠O，由三角形内角和定理得到∠CAE＝∠ACE＝∠OAB＝∠OBA，判定△AEC≌△AOB（ASA），推出AE＝AO＝1．【解答】解：连接OA，OB，∴OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA，∵△ABC是等边三角形，∴BC＝AB＝AC，∠ACB＝∠CAB＝60°，∵BD＝AB，∴BD＝BC，∴∠D＝∠BCD，∵∠ACE+∠ACB+∠BCD＝180°，∴∠ACE+∠BCD＝120°，∵四边ABDE是圆O的内接四边形，∴∠CAE+∠CAB+∠D＝180°，∴∠CAE+∠D＝120°，∴∠CAE＝∠ACE，∵AB＝BD，∴ABD=2AB∴∠E＝∠O，∴∠CAE＝∠ACE＝∠OAB＝∠OBA，∵AC＝AB，∴△AEC≌△AOB（ASA），∴AE＝AO＝1．故答案为：1．【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，圆内接四边形的性质，关键是判定△AEC≌△AOB（ASA）．9．（5分）如图，抛物线y＝﹣x2+1与x轴交于A、B两点，P为抛物线的顶点，△ABQ中，∠BAQ＝90°，线段PQ把图形AQBP（上半部分以抛物线为边界）分为两部分，则这两部分面积之差的绝对值是1．【分析】依据题意，设PQ交x轴于点C，连接OQ，可得图形QBP的面积＝△BOQ的面积+△POQ的面积+图形POB的面积，图形QAP的面积＝△AOQ的面积+图形POA的面积﹣△POQ的面积，又抛物线y＝﹣x2+1关于y轴对称，从而图形POA的面积＝图形POB的面积，△AOQ的面积＝△BOQ的面积，进而两部分面积之差的绝对值是2S△POQ＝2×12OP•OA，又抛物线为y＝﹣x2+1，可得AO＝1，【解答】解：如图所示，设PQ交x轴于点C，连接OQ．由题意得，图形QBP的面积＝△BOQ的面积+△POQ的面积+图形POB的面积，图形QAP的面积＝△AOQ的面积+图形POA的面积﹣△POQ的面积，∵抛物线y＝﹣x2+1关于y轴对称，∴图形POA的面积＝图形POB的面积，△AOQ的面积＝△BOQ的面积．∴两部分面积之差的绝对值是2S△POQ＝2×12OP•∵抛物线为y＝﹣x2+1，∴令x＝0，则y＝1，故P（0，1）；令y＝﹣x2+1＝0，则x＝±1，故A（﹣1，0）．∴AO＝1，PO＝1，∴两部分面积之差的绝对值是2S△POQ＝2×12OP•故答案为：1．【点评】本题主要考查了抛物线与x轴的交点、二次函数的性质，解题时要熟练掌握并能根据题意列出关系式是关键．10．（5分）△ABC的三边长为：AB=2m2+225，BC=m2+16m+289，AC=m【分析】A、B关于原点对称，△ABC的面积可拆分为△AOC与△BOC的面积之和，两三角形同底等高，面积均为12×8×15，总和为120，与【解答】解：AB=2mBC=m+16m+289AC=m−16m+289如图：，A、B、C，三点满足上述关系，S△ABC＝S△AOC+S△BOC=1＝120．故答案为：120．【点评】本题考查二次根式的应用，属于中档题．11．（5分）已知x，y，z为正整数，x≤y≤z，那么方程1x+1【分析】分别取x＝1，2，3，4，5，6…，利用y，z是正整数，求出y，z，最后借助x≤y≤z，判断即可得出答案．【解答】解：当x＝1时，1y当x＝2时，1y当x＝3时，1y∴y＝z＝12或y＝7，z＝42或y＝8，z＝24或y＝9，y＝18或y＝10，z＝15共5组，当x＝4时，1y∴y＝z＝8或y＝5，z＝20，两组，当x＝5时，1y∴y＝4，z＝20，不符合题意，当x＝6时，1y∴y＝z＝6或y＝4，z＝12，不符合题意，一组，当x＝7时，1y∴y＝3，z＝15不符合题意，即符合题意的解有5组，故答案为：8．【点评】本题主要考查三元一次不定方程的知识点，解答本题的关键是抓住条件：x≥y≥z且是正整数解进行解答．12．（5分）8根绳子左右平行排列，随意地将每两根绳子的上端两两连接成4组，下端也两两连接成4组，则这8根绳子全部相连组成一个大环的概率是1635【分析】计算两头的连接法各有7×5×3×1＝105种，恰好能够组成一个大环的7×6×5×4×3×2×1种．【解答】解：解答首先计算绳子上端两两连接成4组的数量，从8根绳子中适当选取一根，与其相连的有7根可选，在第一组确定后，再从剩余的6根绳子中适当选取一根，与其相连的有5根可选．以下同理，连接方法共有7x5x3x1＝105种，下端的连接方法同样也有105种，其次，计算8根绳子全部相连组成一根粗绳子的数量，设从8根绳子中适当选取一根称为绳1，绳1的上端可连接的绳子有7种选法．设其中选中的一根为绳2．将绳1，绳2上端连接，然后选择与绳2下端连接的绳子，如果选择了绳1，那么绳环就已形成，选择1，2以外的共6种．设其中选中的一根为绳3．连结绳2，绳3的下端，再选择与绳3上端连结的绳子．由于1，2的上端已经连接，选择1，2，3以外的共5种．以下同理，故连接方法共有7×6×5×4×3×2×1种，故所求概率为：P=7×6×5×4×3×2×1【点评】本题考查了概率，利用分别计算两头的解法是次题解题的关键．三、解答题（每小题15分，共60分）13．（15分）（1）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点（1，2），若a＜0且（1，2）恰好是此图象的顶点，当﹣2＜x＜﹣1时，y＜0；当2＜x＜3时，y＞0，求此函数的解析式；（2）已知函数y＝x2﹣ax+2，其中a为实数，对任意0≤x≤4，不等式y≥2x+a恒成立，求实数a的取值范围．【分析】（1）利用待定系数法解答即可；（2）由题意得到对任意0≤x≤4，x2﹣（a+2）x+2﹣a≥0恒成立，利用分类讨论的思想方法，数形结合法和二次函数的性质解答即可．【解答】解：（1）∵若a＜0且（1，2）恰好是此图象的顶点，∴该二次函数的解析式为y＝a（x﹣1）2+2，∵当﹣2＜x＜﹣1时，y＜0，a＜0，∴当x＝﹣1时，y＝4a+2≤0∵当2＜x＜3时，y＞0，a＜0，∴当x＝3时，y＝4a+2≥0，∴4a+2＝0，∴a=−1∴此函数的解析式为y=−12（x﹣1）2+2（2）∵对任意0≤x≤4，不等式y≥2x+a恒成立，∴对任意0≤x≤4，x2﹣ax+2≥2x+a恒成立，∴对任意0≤x≤4，x2﹣（a+2）x+2﹣a≥0恒成立，设y′＝x2﹣（a+2）x+2﹣a，这里二次项系数1＞0，∴抛物线y′的开口方向向上，对称轴为直线x=a+2∴当Δ＝[﹣（a+2）]2﹣4×1×（2﹣a）≤0时，无论x为任意实数，x2﹣（a+2）x+2﹣a≥0恒成立，即﹣4﹣25≤a≤﹣4+25，无论x为任意实数，x2﹣（a+2）x+2﹣a当a+22≤0时，即a≤﹣2时，x＝0时，y′＝2﹣a，只需2﹣解得：a≤2，∴a≤﹣2．当a+22≥4时，即a≥6时，x＝4时，y′＝﹣5a+10，只需﹣5解得：a≤2，而a≥6，∴不符合题意，舍去．当0＜a+22＜则当Δ＝[﹣（a+2）]2﹣4×1×（2﹣a）≤0时，无论x为任意实数，x2﹣（a+2）x+2﹣a≥0恒成立，即﹣4﹣25≤a≤﹣4+25，无论x为任意实数，x2﹣（a+2）x+2﹣a∴﹣2＜a≤﹣4+25．综上，实数a的取值范围为：a≤﹣4+25．【点评】本题主要考查了二次函数的图象与性质，待定系数法，分类讨论的思想方法，数形结合法，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．14．（15分）如图，反比例函数y=2x的图象与直线y＝﹣x+4交于A、（1）求线段AB的长度；（2）点C是线段AB上的一个动点（与端点不重合），线段OC与反比例函数图象的交点记为D，过C分别作x、y轴的垂线，与反比例函数图象分别交于点M、N，并且垂足分别为E、F．①求CM+CN的最大值；②讨论S△CDM【分析】（1）联立反比例函数y=2x与y＝﹣（2）①设C（t，﹣t+4），则M（t，2t），N（2−t+4，−t+4），表示出CM+CN，求出t②首先表示出点D的坐标，再用含t的代数式表示△CDN和△CDM的面积，从而解决问题．【解答】解：（1）联立反比例函数y=2x与y＝﹣x+4得，解得x1=2+2由图形可知xA＜xB，∴A（2−2，2+2），B（2+∴AB=(2+（2）①设点C的坐标为（t，﹣t+4），则M（t，2t），N（2∴CM＝﹣t+4−2t，CN＝t∴CM+CN＝﹣t+4−2t+t−当t（t﹣4）有最小值时，CM+CN有最大值，∵t（t﹣4）＝t2﹣4t＝（t﹣2）2﹣4，∴当t＝2时，t（t﹣4）有最小值为﹣4，∴CM+CN的最大值为4+8②由①知，C（t，﹣t+4），CM＝﹣t+4−2t，CN＝t设OC的解析式为y＝kx，则﹣t+4＝tk，∴k=4−t即y=4−t∵点D在反比例函数图象上，∴联立得y=4−t解得x1∴D（2t(4−t)4−t则S_△CDM=1S_△CDN=12（t−2−t+4）（﹣∴S△CDM＝S△CDN，∴S△CDM【点评】本题是反比例函数综合题，主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，函数与方程的关系，二次函数的性质，用含参数的代数式表示各线段的长是解题的关键．15．（15分）如图，圆内接六边形中，AB＝CD＝EF，且三条对角线AD、BE、CF交于点P，CE与AD交于点Q．（1）求证：ACCE（2）若AC＝26，CE＝39，求CQ•QE的值．【分析】（1）连接AE，根据圆周角定理得到∠AEB＝∠CED，根据相似三角形的性质得到ACCE（2）根据DE∥CF，得到CQQE=PCDE，∠CPD＝∠PDE，根据圆周角定理得到∠PED＝∠ADC，根据相似三角形的性质得到CQQE=PCDE=DP2DE2，由（1）的结论AC【解答】（1）证明：连接AE，∵AB＝CD＝EF，∴弧AB＝弧CD＝弧EF，∴∠AEB＝∠CED，∴∠PED＝∠BEC+∠CED＝∠BEC+∠AEB＝∠AEC，又∵∠PDE＝∠ACE，∴△PDE∽△ACE，∴ACCE（2）解：∵弧CD＝弧EF，∴DE∥