2026届江苏省南京市鼓楼区名校联盟高三一模数学试题（含答案）

2026届高三一模数学试题一、单选题(每小题5分，共40分)1.已知A=x y=xA.{0,1,2,2.已知O为坐标原点，Q0,23，A，B两点在单位圆x2+y2=1上，满足∠AOB=π3A.23B.15C.1+3.如图所示，在△ABC中，∠BAC=90∘，AB=6，AC=8，D是BC的中点，点E在ADA.293B.−293C.4.棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，点E在线段AC1上(不与A,C1A.BC⊥平面EFGB.线段EF与线段FG的长度之和为定值;C.线段EG长度的最小值为22D.△EFG面积的最大值为145.已知奇函数fx的定义域为R,当x>0时,xA.f1>C.f2>−6.在△ABC中，∠BAC=60∘,BC=4，D为BC边上的中点，且A.32B.534C.7.已知椭圆C1:x2a12+y2b12=1a1>b1>0与双曲线C2:x2a22−y2b22=1a2>0,b2>0A.325B.4+38.如图,在平面直角坐标系xOy上,有一系列点P1x1,y1,P2x2,y2,⋯,Pnxn,yn,n∈N∗,每个点Pn均在函数y=A.xn是等比数列,且公比为B.xn是等比数列,且公比为C.1xnD.1xn二、多选题(每小题6分，共18分)9.上饶市某学校从高一的800名男生中随机抽取50名测量身高,被测学生身高全部介于155cm和195cm之间,将测量结果按如下方式分成八组:第一组[155,160)，第二组[160,165),⋯,第八组190,195.A.第二组的频率为0.016B.第七组的频率为0.06C.估计该校高一800名男生的身高的中位数约为174.5cmD.估计该校高一800名男生的身高的平均数约为174.1cm10.定义在0,+∞上的函数fx对任意实数x,y>0均满足fxy=fx+A.fB.函数fx+C.fx在0,1上单调递减,在D.不等式fx−fx11.双曲线具有丰富的光学性质.例如,从双曲线的一个焦点F2处发出的光线,经过双曲线在点P处反射后,反射光线所在直线经过另一个焦点F1,且双曲线在点P处的切线平分∠F1PF2.如图,已知等轴双曲线C经过点23,2,其左、右焦点分别为F1,F2.若从F2发出的光线经双曲线右支上一点P反射后的光线为PQ,双曲线CA.双曲线C的方程为xB.过点P且垂直于PT的直线平分∠C.若F2P⊥PQD.若∠F1PF2=60∘三、填空题(每小题5分，共15分)12.二项式1−x8的展开式中13.已知直线y=−2x+c与函数fx14.一个不均匀的骰子,掷出1,2,3,4,5,6点的概率依次成等差数列.独立地先后掷该骰子两次，所得的点数分别记为a,b.若事件“a+b=7”发生的概率为1四、解答题(本题共5题，第15题13分，第16-17题每题15分，第18-19题每题17分,共77分)15.已知数列an,bn(1)证明:数列an−(2)求an的通项公式，并求an的前n项和16.已知集合U含有n个元素，其中n≥2，先后两次随机、独立地选取集合U的两个子集，记为A与B.设X为集合A(1)若U={1,2}，且X=1，请列举所有满足条件的(2)求随机变量X的数学期望EX(3)设PX=k在k=m处取得最大值,试建立m17.如图,在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AB=4,BC=23,∠ABC=π6,AA1=3(1)求证:平面BCC1B1⊥(2)求直线AB与平面MNP所成角的正弦值的取值范围.18.已知函数fx(1)求fx(2)当a=1，证明:f(i)若a=1,证明:(ii)若fx存在三个极值点,求实数a19.已知椭圆C:x2a2+y(1)求椭圆C的方程；(2)设F为C的左焦点，点M为直线x=−4上任意一点，过点F作MF的垂线交C于两点，A①证明:OM平分线段AB(其中O为坐标原点)；②当MFAB取最小值时,求点M1.C依题意,A=x x+1≥0x故选:C2.D由题可知以线段OA,OB为邻边所作的平行四边形AOBP是边长为1的菱形,所以OP=所以点P在以O为圆心,半径为3的圆上,所以PQ的最大值为OQ+故选:D3.B由∠BAC=90∘由D是BC的中点知,AD=12AB+ACAE所以BE=则BE=1故选:B.4.D对于A:如图,在正方体ABCD−A1B1C1D1又CC1⊂平面ACC1,所以平面AC又平面ACC1∩平面ABCD=AC,EF⊂所以EF⊥平面ABCD,又BC⊂平面ABCD,所以又BC⊥FG, FG∩EF=F, FG,EF⊂平面对于B:因为CC1⊥平面ABCD,EF所以EF//CC1，所以△AEF∽△AC1C又由BC⊥FG,BC⊥AB,所以AB//FG即得FG=所以EF+FG=22AF+2对于D,由A知EF⊥平面ABCD,因FG⊂平面ABCD,则有所以△EFG的面积S△EFG=12即当EF=FG=12时，△EFG面积的最大值为对于C,由D知EF⊥FG,则EG2=E即当EF=FG=12时，线段EG长度的最小值为22故选:D.5.C令gx=fxx,因为当x所以g′x=fxx′=xfgx定义域为−∞,0∪0,+∞且g−x=f−x对于A、 B:因为g1<g2,即f对于C:因为g−1=g1<g2,即对于D:因为g1<g2=g−2,即故选:C.6.D在△ABC16=而2AD=AB+AC两式联立解得AB⋅AC=10，所以△ABC故选:D7.C设P为第一象限内的交点,PF1=m,椭圆的定义:m+双曲线的定义:m−n=2a2(因解得:m=在△PF1F2中,cos∠得a1+a22交叉相乘并整理:5a两边除以c2c>0,结合e11当且仅当1e1=2因e1>0,故e1=105,则e2=因此,e1综上所述,当1e1+2e故选:C8.C因为⊙Pn与⊙Pn+即xn所以xn因为每个点Pn均在函数y=x2x所以xn−xn+12=4所以数列1xn所以1xn=1x此时数列xn故选:C.9.BCD对于A,第二组的频率为0.016×5=0.08,故对于B,由题意得第六组人数为4人,则有第六组的频率为450=0.08所以第七组的满足p=1−50.008+对于C,由直方图得,身高在第一组[155,160)身高在第二组[160,165)身高在第三组[165,170)身高在第四组[170,175)由于0.04+设这所学校高一800名男生的身高中位数为m，则170<m则有0.04+0.08+0.2+m−170×0.04对于D,设这所学校高一800名男生的身高平均数为x,身高在第五组[175,180)身高在第六组[180,185)身高在第七组[185,190)身高在第八组[190,195)则有x,故D正确.故选:BCD.10.AB令x=y=1,得f1=f1+f令gx则g−即fx+1+f1当x>1时,因为y>0因为fxy=fx+则fx在0,+∞上单调递增,故C由题意知f2=1,且因此不等式fx−fx−因为fx在0,+∞所以xx−1>2,解不等式得1<故选:AB11.BCD对于A,因为双曲线为等轴双曲线,设双曲线方程为x2a2−y2a2=1a>0,对于B,如图,由题知∠F1PT=∠F若HP⊥TM,所以∠对于C,记PF所以F1又F1F2=2c,m−n所以S△F1PF由12mn=b2tan对于D,因为∠F由12mnsin60∘所以S△P故选:BCD.12.70由题意知二项式1−x8的展开式的通项为令r=则x4的系数为C故答案为:7013.5设函数fx=12x2−3ln函数fx=12x由fx=12x2−3ln所以x02+2x0−3=0又f1=12×1又切点在直线y=−2x+c上,所以12故答案为:5214.4设掷出1,2,⋯,6由于p1,p2,⋯,p6成等差数列,且事件“a+b=7”事件“a=b”发生的概率为于是P1由于P1=17,所以P15.(1)证明:∵a两式相减得an∴a又∵a∴数列an−bn是首项为(2)数列an−bn是首项为∴a∵a两式相加得an∴a当n=1时，a∴数列an+bn是首项为4,公差为4的等差数列,即an+b∴S16.(1)由题意，A=⌀,B(2)根据集合U的子集个数，可知集合A的可能情况有2n种；同理，集合B也可能有2n因此,两集合的所有可能情况数为2nX的所有取值为0,当X=kk=0,1,⋯,n时,先从n个元素中选出k对于这k个元素中的每个元素xii=1,2只可能满足xi∈∁AB,因此,事件“X=kk=0,1,⋯,由PX=k=Cnk⋅3(3)若m=0，由PX=0=14n若m=n,由PX=n−P当n≥3时,满足若1≤m<n,由PX即3Cnm≥C从而,m=EX,n=17.(1)AB=由余弦定理得AC故AC2+BC直三棱柱ABC−A1B1C又BC∩CC1=故AC⊥平面BC又AC⊂平面A1ACC1,所以平面A(2)以C为坐标原点，CA,CB,CC1点N在平面A1ACC1A设Ma故MN=MN=25,故a−0又0≤a2≤4,故a2=8−设平面MNP的法向量为m=则m⋅解得y=0,令x=b得z=a设直线AB与平面MNP所成角大小为θ,则sinθ因为2≤b≤22直线AB与平面MNP所成角的正弦值的取值范围是218.(1)由cosx>0，解得−π2+2kπ<x<(2)当−π2(i)证明如下:若a=1,则所以f′令gx则g′因为−cos而cosx>0,−cos则g′x≤0,所以函数gx又g0=0,则当−π2当0<x<π2故函数fx在区间−π2,0于是fx(ii)由题意可知f′若a≤1,当0≤x<π2再由f′x当−π2<x<于是函数fx在区间−π2,0此时fx存在唯一的极大值点x若a>1,令则h′令t=cosx∈(0,则m′t=−3t2+4at=t因为m0=−1<0,m1=当0<t=cosx<t当t0≤t=cosx记0<θ<π2且cosθ=t0,则当−π当−θ<x<θ又因为h0当x→−π2时,f′x→+∞,当再由f′x存在x0∈0,π