探究具有p-Laplacian算子的三阶m点边值问题正解的存在性与唯一性

探究具有p-Laplacian算子的三阶m点边值问题正解的存在性与唯一性一、引言1.1研究背景与意义在现代数学分析领域，微分方程边值问题一直是核心研究内容之一，它在众多科学与工程领域中扮演着举足轻重的角色，为解决实际问题提供了强大的数学工具。而具有p-Laplacian算子的三阶m点边值问题，作为微分方程边值问题中的一个重要分支，因其独特的性质和广泛的应用前景，受到了数学研究者们的高度关注。p-Laplacian算子最早由数学家JürgenMoser引入，用于解决一类非线性椭圆偏微分方程的问题，其定义为\Delta_{p}u=\text{div}(|\text{grad}u|^{p-2}\text{grad}u)，其中p是一个正实数，|\text{grad}u|为u(x)的梯度。当p=2时，p-Laplacian算子退化为经典的Laplacian算子，此时相关方程变为线性方程，这使得p-Laplacian算子成为了连接线性与非线性数学模型的关键桥梁，极大地拓展了数学理论的研究范畴与应用领域。三阶微分方程本身有着深刻的物理、化学和数学背景，在诸多实际问题中有着广泛的应用。例如，在流体力学中，三阶微分方程边值问题出现在耗散流与表面流的研究中，对于理解流体的运动规律和特性具有重要意义；在材料科学中，用于描述材料的力学行为和物理性质，为材料的设计和优化提供理论依据；在电路分析中，能够帮助分析电路中的电流、电压等参数的变化，为电路的设计和故障诊断提供数学支持。m点边值问题则将传统的两点边值问题进行了推广，能更精确地描述许多实际现象。它在处理具有多个边界条件或非局部边界条件的问题时展现出独特的优势，能够更贴合实际情况，使得数学模型更加准确和实用。例如，在热力学中，对于复杂的热传导问题，m点边值问题可以考虑到多个不同位置的温度条件或热流条件，从而更准确地描述热量的传递过程；在等离子物理中，能够描述等离子体在复杂边界条件下的行为，为等离子体的研究和应用提供有力的数学工具；在化学工程中，对于反应过程中的物质浓度分布和反应速率的研究，m点边值问题可以考虑到多个反应区域或边界条件的影响，为化学工程的优化设计提供理论指导。将p-Laplacian算子引入三阶m点边值问题，不仅增加了问题的数学复杂性，也使得模型能够更全面、更准确地刻画实际问题中的非线性特征和复杂现象。这种结合在实际应用中具有重要的意义，例如在多孔介质中的湍流问题中，带有p-Laplacian算子的方程模型能更好地描述流体在多孔介质中的流动特性，为石油开采、地下水文等领域的研究提供更精确的理论支持；在弹性理论中，该模型可以更准确地描述材料在复杂受力情况下的弹性行为，为材料的力学性能分析和结构设计提供重要依据。对具有p-Laplacian算子的三阶m点边值问题正解的研究，具有多方面的重要意义。在数学理论层面，它丰富和发展了微分方程边值问题的理论体系，为解决非线性微分方程提供了新的方法和思路，推动了非线性分析、泛函分析等相关数学学科的发展。通过研究这类问题，可以深入探索非线性算子的性质和行为，揭示非线性现象背后的数学规律，为数学理论的进一步完善奠定基础。在实际应用方面，正解的存在性和性质对于理解和解决众多科学与工程领域的实际问题至关重要。例如，在上述提到的物理、化学、材料科学等领域，正解可以表示系统的稳定状态、平衡解或实际的物理量，通过求解正解，可以预测系统的行为、优化系统的性能，为实际问题的解决提供具体的数值解和理论指导。1.2国内外研究现状对具有p-Laplacian算子的微分方程边值问题的研究，在国内外数学领域都受到了广泛关注，众多学者从不同角度、运用多种方法展开了深入探索，取得了一系列丰富的成果。国外方面，早期研究主要集中在理论基础的构建。例如，数学家JürgenMoser引入p-Laplacian算子，为后续研究奠定了基石，后续许多学者在此基础上，对p-Laplacian算子的基本性质进行了深入分析，包括其非线性特性、与其他算子的关系等。在边值问题正解的研究上，不少学者运用拓扑度理论、变分方法、不动点定理等经典数学工具来探讨问题。如通过拓扑度理论，分析算子方程在特定区域内解的个数和性质，从而推断边值问题正解的存在性和唯一性；利用变分方法，将边值问题转化为变分问题，通过求解泛函的极值来得到正解。在研究具有p-Laplacian算子的二阶微分方程边值问题时，有学者运用变分法，成功找到了正解的存在条件，并且对解的一些性质进行了刻画。随着研究的不断深入，研究对象逐渐从简单的二阶方程拓展到高阶方程，从常见的两点边值问题发展到多点边值问题。在具有p-Laplacian算子的高阶多点边值问题研究中，国外学者通过改进和创新研究方法，如运用更加精细的不动点定理，对正解的存在性、多重性等进行了深入研究，取得了一些突破性的成果。国内学者在该领域也取得了丰硕的研究成果。在具有p-Laplacian算子的三阶微分方程边值问题研究方面，不少学者运用锥理论、不动点指数理论等方法，针对不同类型的边界条件，如三点边值条件、m点边值条件等，对正解的存在性和多重性进行了深入探讨。有学者利用锥上的不动点定理，研究了一类具有p-Laplacian算子的三阶三点边值问题，通过巧妙构造锥和映射，建立了正解存在的充分条件；还有学者运用不动点指数理论，分析了具有p-Laplacian算子的三阶m点边值问题，得到了关于正解存在性和多重性的一些新结论。在带参数的具有p-Laplacian算子的三阶微分方程m点边值问题研究中，国内学者不仅关注正解的存在性，还深入探讨了正解的存在性与参数的依赖关系，为实际应用中参数的选择和优化提供了理论依据。然而，目前的研究仍存在一些空白和有待进一步完善的地方。在研究方法上，虽然已经运用了多种经典的数学方法，但对于一些复杂的具有p-Laplacian算子的三阶m点边值问题，现有的方法可能存在局限性，需要进一步探索和发展新的方法和技巧，以更有效地解决问题。在边界条件的研究上，虽然已经对常见的边界条件进行了深入研究，但对于一些特殊的、复杂的边界条件，如带有积分项或变系数的边界条件，相关研究还比较少，需要进一步拓展边界条件的研究范围，以更全面地描述实际问题。对于正解的性质研究，目前主要集中在存在性和多重性方面，对于正解的稳定性、渐近性等性质的研究还相对薄弱，需要加强这方面的研究，以更深入地了解正解的行为和特点。1.3研究目标与方法本研究旨在深入探究具有p-Laplacian算子的三阶m点边值问题正解的存在性、唯一性以及多重性等性质，建立相关的理论和方法，为该领域的发展提供更完善的数学基础，并为实际应用提供有力的理论支持。具体研究目标如下：建立正解存在性准则：运用先进的数学理论和方法，建立具有p-Laplacian算子的三阶m点边值问题正解存在的充分条件和必要条件，明确在何种情况下该问题存在正解，为后续研究提供理论依据。探讨正解多重性：深入研究正解的多重性，确定在不同条件下正解的个数，如一个、两个、三个甚至更多，丰富对该问题解的结构的认识。分析正解唯一性：在特定条件下，对正解的唯一性进行分析，明确保证正解唯一的条件，这对于实际应用中确定唯一解具有重要意义。研究带参数问题：针对带参数的具有p-Laplacian算子的三阶m点边值问题，探究正解的存在性、多重性以及唯一性与参数的依赖关系，为实际应用中参数的选择和优化提供指导。为实现上述研究目标，本研究将采用以下方法：建立等价积分方程：通过巧妙的数学变换，将具有p-Laplacian算子的三阶m点边值问题转化为等价的积分方程，这是解决问题的关键步骤。这种转化能够将微分方程问题转化为积分方程问题，为后续运用积分方程的理论和方法奠定基础。运用不动点定理：不动点定理是研究非线性方程解的重要工具，本研究将运用如Guo-Krasnosel’skii不动点定理、Leggett-Williams不动点定理等经典的不动点定理，来证明等价积分方程正解的存在性和多重性。通过巧妙构造映射，利用不动点定理判断映射在特定空间中是否存在不动点，从而确定原边值问题正解的情况。利用分析技巧：结合数学分析中的一些技巧，如函数的单调性分析、极值分析、积分估计等，对正解的性质进行深入研究。这些分析技巧能够帮助我们更好地理解正解的行为和特点，为建立正解的存在性、多重性和唯一性准则提供有力支持。二、相关理论基础2.1p-Laplacian算子的定义与性质p-Laplacian算子是一类重要的非线性偏微分算子，在众多数学物理问题中有着广泛的应用。对于给定的函数u(x)和参数p>1，p-Laplacian算子\Delta_{p}u的定义为：\Delta_{p}u=\text{div}(|\text{grad}u|^{p-2}\text{grad}u)其中，|\text{grad}u|表示u(x)的梯度。在笛卡尔坐标系中，若u=u(x_1,x_2,\cdots,x_n)，则\text{grad}u=(\frac{\partialu}{\partialx_1},\frac{\partialu}{\partialx_2},\cdots,\frac{\partialu}{\partialx_n})，|\text{grad}u|=\sqrt{(\frac{\partialu}{\partialx_1})^2+(\frac{\partialu}{\partialx_2})^2+\cdots+(\frac{\partialu}{\partialx_n})^2}，\text{div}(F_1,F_2,\cdots,F_n)=\frac{\partialF_1}{\partialx_1}+\frac{\partialF_2}{\partialx_2}+\cdots+\frac{\partialF_n}{\partialx_n}，这里(F_1,F_2,\cdots,F_n)为向量场。当p=2时，\Delta_{2}u=\text{div}(\text{grad}u)，即退化为经典的Laplacian算子\Deltau，此时方程变为线性方程，而当p\neq2时，p-Laplacian算子表现出明显的非线性特性。p-Laplacian算子具有一些重要的性质，这些性质对于研究相关的微分方程边值问题至关重要。齐次性：对于任意的实数\lambda和函数u，有\Delta_{p}(\lambdau)=|\lambda|^{p-2}\lambda\Delta_{p}u。这一性质表明p-Laplacian算子在函数的伸缩变换下具有特定的不变性。例如，当\lambda>0时，对函数u进行拉伸或压缩，p-Laplacian算子的作用结果会按照\lambda^{p-1}的比例进行相应的变化，这种齐次性在分析方程解的尺度变换性质时非常有用。非线性性：当p\neq2时，p-Laplacian算子是非线性的。与线性的Laplacian算子不同，它不满足叠加原理，即\Delta_{p}(u+v)\neq\Delta_{p}u+\Delta_{p}v。这种非线性使得相关的微分方程在求解和分析上更加复杂，但也能够更准确地描述许多实际问题中的非线性现象。以非线性弹性力学中的问题为例，材料的应力-应变关系往往呈现出非线性特征，使用p-Laplacian算子建立的数学模型能够更贴合实际情况，从而为解决相关问题提供更有效的工具。单调性：若u和v是两个函数，且u\geqv，则在一定条件下有\Delta_{p}u\geq\Delta_{p}v。具体来说，当p>1时，对于u,v\inW^{1,p}(\Omega)（W^{1,p}(\Omega)为Sobolev空间，表示在区域\Omega上一阶弱导数属于L^{p}(\Omega)的函数空间），如果u-v\geq0在\Omega上几乎处处成立，并且u-v在\partial\Omega（\Omega的边界）上满足一定的边界条件（如(u-v)|_{\partial\Omega}=0），那么有\int_{\Omega}|\nablau|^{p-2}\nablau\cdot\nabla(u-v)dx\geq\int_{\Omega}|\nablav|^{p-2}\nablav\cdot\nabla(u-v)dx，这在一定程度上体现了\Delta_{p}u\geq\Delta_{p}v。单调性在证明边值问题解的存在性和唯一性时经常被用到，通过比较不同函数的p-Laplacian算子值，可以构建合适的不等式关系，进而运用不动点定理等方法得到解的相关结论。强制性：存在正常数C_1和C_2，使得对于任意的u\inW^{1,p}_0(\Omega)（W^{1,p}_0(\Omega)是W^{1,p}(\Omega)中在边界\partial\Omega上取值为0的函数子空间），有C_1\|\nablau\|^p_{L^p(\Omega)}\leq\int_{\Omega}|\Delta_{p}u|udx+C_2，这里\|\nablau\|_{L^p(\Omega)}=(\int_{\Omega}|\nablau|^pdx)^{\frac{1}{p}}。强制性保证了与p-Laplacian算子相关的能量泛函具有良好的性质，在变分法求解边值问题中起着关键作用。例如，在利用变分原理将边值问题转化为求解能量泛函的极值问题时，强制性可以确保能量泛函在合适的函数空间中有下界，从而保证极值的存在性，为找到边值问题的解提供了理论基础。2.2三阶m点边值问题的一般形式具有p-Laplacian算子的三阶m点边值问题通常可以表示为如下形式：\begin{cases}(\phi_{p}(u''(t)))'+h(t)f(t,u(t),u'(t),u''(t))=0,&t\in(0,1)\\u(0)=\sum_{i=1}^{m-2}\alpha_{i}u(\xi_{i}),u'(0)=\sum_{i=1}^{m-2}\beta_{i}u'(\xi_{i}),\phi_{p}(u''(1))=\sum_{i=1}^{m-2}\gamma_{i}\phi_{p}(u''(\xi_{i}))\end{cases}其中，p>1，\phi_{p}(s)=|s|^{p-2}s，\phi_{q}=(\phi_{p})^{-1}，\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1，m\geq3，0<\xi_{1}<\xi_{2}<\cdots<\xi_{m-2}<1，\alpha_{i},\beta_{i},\gamma_{i}为给定的实数，h(t)是定义在(0,1)上的已知函数，且满足一定的条件，比如在(0,1)上非负且h(t)\not\equiv0，f(t,u(t),u'(t),u''(t))是关于t,u(t),u'(t),u''(t)的已知非线性函数，它描述了系统中各种因素之间的相互作用和关系，是决定边值问题性质和求解难度的关键因素之一，u(t)是定义在[0,1]上的未知函数，需要通过求解边值问题来确定。在上述边值问题中，方程(\phi_{p}(u''(t)))'+h(t)f(t,u(t),u'(t),u''(t))=0是一个非线性三阶微分方程，其中(\phi_{p}(u''(t)))表示对u''(t)应用p-Laplacian算子，这种非线性的形式使得方程的求解和分析变得更加复杂，但也更能准确地描述实际问题中的非线性现象。边值条件u(0)=\sum_{i=1}^{m-2}\alpha_{i}u(\xi_{i})，u'(0)=\sum_{i=1}^{m-2}\beta_{i}u'(\xi_{i})，\phi_{p}(u''(1))=\sum_{i=1}^{m-2}\gamma_{i}\phi_{p}(u''(\xi_{i}))则给出了未知函数u(t)在区间端点t=0和t=1处以及内部点\xi_{i}(i=1,2,\cdots,m-2)处的导数值之间的关系，这些边值条件对于确定方程的唯一解至关重要。例如，在一些实际问题中，u(0)和u(1)可能表示某个物理量在区间两端的取值，而u'(\xi_{i})和u''(\xi_{i})则反映了该物理量在内部某些特定位置的变化率和二阶变化率，通过这些边值条件可以更准确地描述实际问题的边界情况和内部特性。2.3不动点定理及其应用在研究具有p-Laplacian算子的三阶m点边值问题正解的存在性和多重性时，不动点定理是一种极为有效的工具，其中Guo-Krasnosel’skii不动点定理和Leggett-Williams不动点定理尤为常用。Guo-Krasnosel’skii不动点定理是基于锥理论建立的，它为判断非线性算子方程在锥中是否存在不动点提供了重要依据。设E是Banach空间，P\subsetE是锥，\Omega_{1},\Omega_{2}是E中的有界开集，\overline{\Omega_{1}}\subset\Omega_{2}，T:P\cap(\overline{\Omega_{2}}\setminus\Omega_{1})\toP是全连续算子。若满足以下条件之一：条件一：\|Tx\|\geq\|x\|，x\inP\cap\partial\Omega_{1}，且\|Tx\|\leq\|x\|，x\inP\cap\partial\Omega_{2}；条件二：\|Tx\|\leq\|x\|，x\inP\cap\partial\Omega_{1}，且\|Tx\|\geq\|x\|，x\inP\cap\partial\Omega_{2}。则T在P\cap(\overline{\Omega_{2}}\setminus\Omega_{1})中至少有一个不动点。在具有p-Laplacian算子的三阶m点边值问题中，通过将边值问题转化为等价的积分方程，进而构造合适的算子T，使其满足Guo-Krasnosel’skii不动点定理的条件，从而证明正解的存在性。以如下具有p-Laplacian算子的三阶m点边值问题\begin{cases}(\phi_{p}(u''(t)))'+h(t)f(t,u(t),u'(t),u''(t))=0,&t\in(0,1)\\u(0)=\sum_{i=1}^{m-2}\alpha_{i}u(\xi_{i}),u'(0)=\sum_{i=1}^{m-2}\beta_{i}u'(\xi_{i}),\phi_{p}(u''(1))=\sum_{i=1}^{m-2}\gamma_{i}\phi_{p}(u''(\xi_{i}))\end{cases}为例，通过一些数学变换得到等价的积分方程u(t)=\int_{0}^{1}G(t,s)h(s)f(s,u(s),u'(s),u''(s))ds，这里G(t,s)为格林函数。然后定义算子Tu(t)=\int_{0}^{1}G(t,s)h(s)f(s,u(s),u'(s),u''(s))ds，在一定条件下，如对f(t,u(t),u'(t),u''(t))的增长性条件进行限制，使其满足上述不动点定理中的范数条件，就可以利用该定理证明边值问题正解的存在性。例如，若能证明当x\inP\cap\partial\Omega_{1}时，\|Tx\|\geq\|x\|，当x\inP\cap\partial\Omega_{2}时，\|Tx\|\leq\|x\|，则可得出算子T在P\cap(\overline{\Omega_{2}}\setminus\Omega_{1})中存在不动点，而这个不动点就是原边值问题的正解。Leggett-Williams不动点定理则进一步拓展了不动点理论在边值问题中的应用，它可以用来证明边值问题存在多个正解。设E是Banach空间，P\subsetE是锥，\alpha是P上的非负连续凹泛函，使得\alpha(x)\leq\|x\|，x\in\overline{P_{c}}，其中P_{c}=\{x\inP:\|x\|\ltc\}，c\gt0。设T:\overline{P_{c}}\to\overline{P_{c}}是全连续算子，且存在0\lta\ltb\ltd\leqc，使得：条件一：\{x\inP_{b}:\alpha(x)\gtb\}\neq\varnothing，且\alpha(Tx)\gtb，x\in\{x\inP_{b}:\alpha(x)\gtb\}；条件二：\alpha(Tx)\lta，\|Tx\|\gtd，x\in\overline{P_{d}}；条件三：\alpha(Tx)\gtb，x\in\{x\in\overline{P_{c}}:\alpha(x)=b\}，\|Tx\|\leqd。则T在\overline{P_{c}}中至少有三个不动点x_{1},x_{2},x_{3}，满足\|x_{1}\|\lta，b\lt\alpha(x_{2})，a\lt\alpha(x_{3})，\|x_{3}\|\ltd。在处理具有p-Laplacian算子的三阶m点边值问题时，同样先将边值问题转化为积分方程并构造相应的算子T，然后通过对非线性项f(t,u(t),u'(t),u''(t))和格林函数G(t,s)等进行分析，验证Leggett-Williams不动点定理的条件是否成立。若满足上述三个条件，就可以得出边值问题至少存在三个正解的结论。这对于深入了解边值问题解的结构和性质具有重要意义，在实际应用中，多个正解可能对应着系统的多种稳定状态或不同的物理现象，通过该定理可以更全面地揭示系统的行为和特性。三、正解存在性研究3.1建立等价积分方程为了研究具有p-Laplacian算子的三阶m点边值问题的正解，首先需要将其转化为等价的积分方程。考虑如下具有p-Laplacian算子的三阶m点边值问题：\begin{cases}(\phi_{p}(u''(t)))'+h(t)f(t,u(t),u'(t),u''(t))=0,&t\in(0,1)\\u(0)=\sum_{i=1}^{m-2}\alpha_{i}u(\xi_{i}),u'(0)=\sum_{i=1}^{m-2}\beta_{i}u'(\xi_{i}),\phi_{p}(u''(1))=\sum_{i=1}^{m-2}\gamma_{i}\phi_{p}(u''(\xi_{i}))\end{cases}其中，p>1，\phi_{p}(s)=|s|^{p-2}s，\phi_{q}=(\phi_{p})^{-1}，\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1，m\geq3，0<\xi_{1}<\xi_{2}<\cdots<\xi_{m-2}<1，\alpha_{i},\beta_{i},\gamma_{i}为给定的实数，h(t)是定义在(0,1)上的已知函数，且满足一定的条件，比如在(0,1)上非负且h(t)\not\equiv0，f(t,u(t),u'(t),u''(t))是关于t,u(t),u'(t),u''(t)的已知非线性函数。对(\phi_{p}(u''(t)))'+h(t)f(t,u(t),u'(t),u''(t))=0两边从0到t积分，可得：\phi_{p}(u''(t))-\phi_{p}(u''(0))=-\int_{0}^{t}h(s)f(s,u(s),u'(s),u''(s))ds记g(t)=-\int_{0}^{t}h(s)f(s,u(s),u'(s),u''(s))ds+\phi_{p}(u''(0))，则\phi_{p}(u''(t))=g(t)，进而u''(t)=\phi_{q}(g(t))。再次对u''(t)=\phi_{q}(g(t))两边从0到t积分，得到：u'(t)-u'(0)=\int_{0}^{t}\phi_{q}(g(s))ds即u'(t)=\int_{0}^{t}\phi_{q}(g(s))ds+u'(0)。最后对u'(t)=\int_{0}^{t}\phi_{q}(g(s))ds+u'(0)两边从0到t积分，有：u(t)-u(0)=\int_{0}^{t}\left(\int_{0}^{s}\phi_{q}(g(\tau))d\tau+u'(0)\right)ds即u(t)=\int_{0}^{t}\left(\int_{0}^{s}\phi_{q}(g(\tau))d\tau+u'(0)\right)ds+u(0)。接下来，利用边值条件u(0)=\sum_{i=1}^{m-2}\alpha_{i}u(\xi_{i})，u'(0)=\sum_{i=1}^{m-2}\beta_{i}u'(\xi_{i})，\phi_{p}(u''(1))=\sum_{i=1}^{m-2}\gamma_{i}\phi_{p}(u''(\xi_{i}))来确定u(0)和u'(0)。由\phi_{p}(u''(1))=\sum_{i=1}^{m-2}\gamma_{i}\phi_{p}(u''(\xi_{i}))，将\phi_{p}(u''(t))=g(t)代入可得：g(1)=\sum_{i=1}^{m-2}\gamma_{i}g(\xi_{i})即-\int_{0}^{1}h(s)f(s,u(s),u'(s),u''(s))ds+\phi_{p}(u''(0))=\sum_{i=1}^{m-2}\gamma_{i}\left(-\int_{0}^{\xi_{i}}h(s)f(s,u(s),u'(s),u''(s))ds+\phi_{p}(u''(0))\right)通过移项和整理，可以得到关于\phi_{p}(u''(0))的表达式。再由u(0)=\sum_{i=1}^{m-2}\alpha_{i}u(\xi_{i})和u'(0)=\sum_{i=1}^{m-2}\beta_{i}u'(\xi_{i})，将u(t)和u'(t)的表达式代入，经过一系列的积分运算和代数运算，可以确定u(0)和u'(0)的值。将确定后的u(0)和u'(0)代入u(t)=\int_{0}^{t}\left(\int_{0}^{s}\phi_{q}(g(\tau))d\tau+u'(0)\right)ds+u(0)，最终得到等价的积分方程：u(t)=\int_{0}^{1}G(t,s)h(s)f(s,u(s),u'(s),u''(s))ds其中G(t,s)为格林函数，它是关于t和s的函数，其具体表达式与边值条件中的系数\alpha_{i},\beta_{i},\gamma_{i}以及积分区间[0,1]和内部点\xi_{i}相关，通过上述推导过程中的积分运算和边值条件的运用可以确定其具体形式。这样，就将原具有p-Laplacian算子的三阶m点边值问题转化为了等价的积分方程，为后续运用积分方程的理论和方法研究正解的存在性奠定了基础。3.2运用不动点定理证明正解存在性3.2.1Guo-Krasnosel’skii不动点定理的应用在得到等价积分方程u(t)=\int_{0}^{1}G(t,s)h(s)f(s,u(s),u'(s),u''(s))ds后，定义算子T:C[0,1]\toC[0,1]为(Tu)(t)=\int_{0}^{1}G(t,s)h(s)f(s,u(s),u'(s),u''(s))ds。为了运用Guo-Krasnosel’skii不动点定理证明正解的存在性，需要验证该定理的条件是否满足。首先，要证明算子T是全连续的。对于连续性，设\{u_n\}是C[0,1]中的序列，且u_n\tou在C[0,1]中。由于f(t,u(t),u'(t),u''(t))关于u(t),u'(t),u''(t)连续，根据积分的连续性定理，对于任意的\epsilon>0，存在N，当n>N时，有：\begin{align*}\left|(Tu_n)(t)-(Tu)(t)\right|&=\left|\int_{0}^{1}G(t,s)h(s)\left(f(s,u_n(s),u_n'(s),u_n''(s))-f(s,u(s),u'(s),u''(s))\right)ds\right|\\&\leq\int_{0}^{1}\left|G(t,s)\right|\left|h(s)\right|\left|f(s,u_n(s),u_n'(s),u_n''(s))-f(s,u(s),u'(s),u''(s))\right|ds\\&<\epsilon\end{align*}这表明Tu_n\toTu在C[0,1]中，即T是连续的。对于紧性，考虑T作用在C[0,1]中的有界集B上。由于G(t,s)在[0,1]\times[0,1]上连续，h(s)在(0,1)上有界，f(t,u(t),u'(t),u''(t))关于u(t),u'(t),u''(t)在有界集上有界，根据Arzelà-Ascoli定理，T(B)是C[0,1]中的相对紧集，所以T是紧的。综上，T是全连续算子。接下来，在Banach空间C[0,1]中定义锥P=\{u\inC[0,1]:u(t)\geq0,t\in[0,1]\}。为了满足Guo-Krasnosel’skii不动点定理的条件，需要对f(t,u(t),u'(t),u''(t))进行适当的假设。假设存在两个正数r_1和r_2（r_1<r_2），使得：当\|u\|=r_1时，\|Tu\|\geq\|u\|。此时，对于u\inP且\|u\|=r_1，有：\begin{align*}\|Tu\|&=\max_{t\in[0,1]}\left|\int_{0}^{1}G(t,s)h(s)f(s,u(s),u'(s),u''(s))ds\right|\\&\geq\min_{t\in[0,1]}\int_{0}^{1}G(t,s)h(s)f(s,u(s),u'(s),u''(s))ds\end{align*}通过对f(t,u(t),u'(t),u''(s))在\|u\|=r_1时的下界估计，结合G(t,s)和h(s)的性质，可以得到\|Tu\|\geqr_1=\|u\|。例如，如果存在\delta>0，当\|u\|=r_1时，f(s,u(s),u'(s),u''(s))\geq\delta，且\min_{t\in[0,1]}\int_{0}^{1}G(t,s)h(s)ds\geq1，那么就有\|Tu\|\geqr_1。当\|u\|=r_2时，\|Tu\|\leq\|u\|。类似地，对于u\inP且\|u\|=r_2，有：\begin{align*}\|Tu\|&=\max_{t\in[0,1]}\left|\int_{0}^{1}G(t,s)h(s)f(s,u(s),u'(s),u''(s))ds\right|\\&\leq\max_{t\in[0,1]}\int_{0}^{1}G(t,s)h(s)\left|f(s,u(s),u'(s),u''(s))\right|ds\end{align*}通过对f(t,u(t),u'(t),u''(s))在\|u\|=r_2时的上界估计，结合G(t,s)和h(s)的性质，可以得到\|Tu\|\leqr_2=\|u\|。比如，当\|u\|=r_2时，\left|f(s,u(s),u'(s),u''(s))\right|\leqM，且\max_{t\in[0,1]}\int_{0}^{1}G(t,s)h(s)ds\leq1，则\|Tu\|\leqr_2。由Guo-Krasnosel’skii不动点定理可知，算子T在P\cap(\overline{\Omega_{r_2}}\setminus\Omega_{r_1})中至少有一个不动点u^*，其中\Omega_{r_i}=\{u\inC[0,1]:\|u\|<r_i\}（i=1,2），这个不动点u^*就是原边值问题的一个正解。3.2.2Leggett-Williams不动点定理的应用为了利用Leggett-Williams不动点定理探讨具有p-Laplacian算子的三阶m点边值问题多个正解的存在性，同样基于等价积分方程u(t)=\int_{0}^{1}G(t,s)h(s)f(s,u(s),u'(s),u''(s))ds，并定义算子T:C[0,1]\toC[0,1]为(Tu)(t)=\int_{0}^{1}G(t,s)h(s)f(s,u(s),u'(s),u''(s))ds。在Banach空间C[0,1]中定义锥P=\{u\inC[0,1]:u(t)\geq0,t\in[0,1]\}，并在锥P上定义一个非负连续凹泛函\alpha，例如\alpha(u)=\min_{t\in[\frac{1}{4},\frac{3}{4}]}u(t)，显然\alpha(u)\leq\|u\|，u\in\overline{P_{c}}，其中P_{c}=\{u\inP:\|u\|\ltc\}，c\gt0。假设存在0\lta\ltb\ltd\leqc，满足以下条件：条件一：\{u\inP_{b}:\alpha(u)\gtb\}\neq\varnothing，且\alpha(Tu)\gtb，u\in\{u\inP_{b}:\alpha(u)\gtb\}。要满足这个条件，需要对f(t,u(t),u'(t),u''(s))在u满足一定条件时进行分析。当u\in\{u\inP_{b}:\alpha(u)\gtb\}时，对于t\in[\frac{1}{4},\frac{3}{4}]，u(t)\gtb。此时，\alpha(Tu)=\min_{t\in[\frac{1}{4},\frac{3}{4}]}(Tu)(t)=\min_{t\in[\frac{1}{4},\frac{3}{4}]}\int_{0}^{1}G(t,s)h(s)f(s,u(s),u'(s),u''(s))ds。通过对f(t,u(t),u'(t),u''(s))在u(t)\gtb时的下界估计，结合G(t,s)和h(s)在[\frac{1}{4},\frac{3}{4}]\times[0,1]上的性质，若能得到\alpha(Tu)\gtb，则满足该条件。例如，当u(t)\gtb时，f(s,u(s),u'(s),u''(s))\geq\varphi(s)，且\min_{t\in[\frac{1}{4},\frac{3}{4}]}\int_{0}^{1}G(t,s)h(s)\varphi(s)ds\gtb，就可以保证\alpha(Tu)\gtb。条件二：\alpha(Tu)\lta，\|Tu\|\gtd，u\in\overline{P_{d}}。对于u\in\overline{P_{d}}，即\|u\|\leqd，当\|Tu\|\gtd时，分析\alpha(Tu)=\min_{t\in[\frac{1}{4},\frac{3}{4}]}(Tu)(t)。通过对f(t,u(t),u'(t),u''(s))在\|u\|\leqd且\|Tu\|\gtd时的分析，结合G(t,s)和h(s)的性质，若能得到\alpha(Tu)\lta，则满足该条件。比如，当\|u\|\leqd且\|Tu\|\gtd时，f(s,u(s),u'(s),u''(s))\leq\psi(s)，且\min_{t\in[\frac{1}{4},\frac{3}{4}]}\int_{0}^{1}G(t,s)h(s)\psi(s)ds\lta，就可以保证\alpha(Tu)\lta。条件三：\alpha(Tu)\gtb，u\in\{u\in\overline{P_{c}}:\alpha(u)=b\}，\|Tu\|\leqd。当u\in\{u\in\overline{P_{c}}:\alpha(u)=b\}时，对于t\in[\frac{1}{4},\frac{3}{4}]，u(t)\geqb。分析\alpha(Tu)=\min_{t\in[\frac{1}{4},\frac{3}{4}]}(Tu)(t)，通过对f(t,u(t),u'(t),u''(s))在u(t)\geqb且\|Tu\|\leqd时的上界估计，结合G(t,s)和h(s)在[\frac{1}{4},\frac{3}{4}]\times[0,1]上的性质，若能得到\alpha(Tu)\gtb，则满足该条件。例如，当u(t)\geqb且\|Tu\|\leqd时，f(s,u(s),u'(s),u''(s))\geq\omega(s)，且\min_{t\in[\frac{1}{4},\frac{3}{4}]}\int_{0}^{1}G(t,s)h(s)\omega(s)ds\gtb，就可以保证\alpha(Tu)\gtb。若上述三个条件均满足，根据Leggett-Williams不动点定理，算子T在\overline{P_{c}}中至少有三个不动点u_1,u_2,u_3，满足\|u_1\|\lta，b\lt\alpha(u_2)，a\lt\alpha(u_3)，\|u_3\|\ltd，这三个不动点就是原边值问题的三个正解。3.3不同条件下正解存在性的讨论在研究具有p-Laplacian算子的三阶m点边值问题时，非线性项f(t,u(t),u'(t),u''(t))满足不同条件，如超线性和次线性，会对正解的存在性产生显著影响。当非线性项f(t,u(t),u'(t),u''(t))满足超线性条件时，通常意味着当u趋于正无穷时，f(t,u(t),u'(t),u''(t))的增长速度比u的线性函数更快。具体来说，若存在\lambda_1,\lambda_2（\lambda_1\lt\lambda_2），使得\lim_{u\to+\infty}\frac{f(t,u(t),u'(t),u''(t))}{u^{\lambda_1}}=+\infty且\lim_{u\to+\infty}\frac{f(t,u(t),u'(t),u''(t))}{u^{\lambda_2}}=0，其中\lambda_1\gt1，则f(t,u(t),u'(t),u''(t))满足超线性条件。这种超线性增长特性会使得边值问题在一定条件下更倾向于存在正解。从物理意义的角度来看，超线性的非线性项可能表示系统中存在某种增强效应或反馈机制。以一个描述化学反应过程的模型为例，如果u(t)表示反应物的浓度，f(t,u(t),u'(t),u''(t))表示反应速率，超线性的f可能意味着随着反应物浓度的增加，反应速率的增加速度更快，这种情况下系统更容易达到一个稳定的正解状态，即存在正解来描述反应的稳定进行。在数学分析中，利用Guo-Krasnosel’skii不动点定理时，超线性条件有助于满足\|Tx\|\geq\|x\|（x\inP\cap\partial\Omega_{r_1}）这一条件。由于f(t,u(t),u'(t),u''(t))的超线性增长，当\|u\|=r_1较小时，f的值相对较大，使得\|Tu\|能够大于\|u\|。例如，在等价积分方程u(t)=\int_{0}^{1}G(t,s)h(s)f(s,u(s),u'(s),u''(s))ds中，因为f的超线性，当u在\|u\|=r_1附近时，积分值会相对较大，从而使得\|Tu\|\geq\|u\|，进而满足Guo-Krasnosel’skii不动点定理的条件，保证正解的存在。当非线性项f(t,u(t),u'(t),u''(t))满足次线性条件时，即当u趋于正无穷时，f(t,u(t),u'(t),u''(t))的增长速度比u的线性函数更慢。例如，若存在\lambda\lt1，使得\lim_{u\to+\infty}\frac{f(t,u(t),u'(t),u''(t))}{u^{\lambda}}=0，则f(t,u(t),u'(t),u''(t))满足次线性条件。这种次线性增长特性对正解存在性的影响与超线性情况有所不同。从实际应用角度考虑，以一个描述物体在粘性介质中运动的模型为例，若u(t)表示物体的速度，f(t,u(t),u'(t),u''(t))表示阻力，次线性的f可能意味着随着速度的增加，阻力的增加速度相对较慢，这种情况下系统达到稳定正解状态的条件更为严格，正解的存在性需要更多的条件来保证。在运用不动点定理分析时，次线性条件下满足Guo-Krasnosel’skii不动点定理的条件会更加困难。因为f(t,u(t),u'(t),u''(t))的增长速度较慢，当\|u\|较大时，\|Tu\|相对较小，较难满足\|Tx\|\geq\|x\|（x\inP\cap\partial\Omega_{r_1}）这一条件。但在某些特殊情况下，通过对边值问题的其他条件进行调整，如对h(t)的性质、边值条件中的系数等进行分析和限制，仍然可以利用不动点定理来证明正解的存在性。比如当h(t)在某些区间上的值较大，或者边值条件中的系数满足特定关系时，即使f是次线性的，也可能使得积分方程u(t)=\int_{0}^{1}G(t,s)h(s)f(s,u(s),u'(s),u''(s))ds在合适的函数空间中存在正解。四、正解唯一性研究4.1特殊情况（P=2）下的分析当P=2时，\phi_{p}(s)=|s|^{p-2}s=s，此时具有p-Laplacian算子的三阶m点边值问题变为：\begin{cases}u'''(t)+h(t)f(t,u(t),u'(t),u''(t))=0,&t\in(0,1)\\u(0)=\sum_{i=1}^{m-2}\alpha_{i}u(\xi_{i}),u'(0)=\sum_{i=1}^{m-2}\beta_{i}u'(\xi_{i}),u''(1)=\sum_{i=1}^{m-2}\gamma_{i}u''(\xi_{i})\end{cases}等价积分方程为u(t)=\int_{0}^{1}G(t,s)h(s)f(s,u(s),u'(s),u''(s))ds，其中G(t,s)为对应的格林函数。假设非线性项f(t,u(t),u'(t),u''(t))关于u(t)是单调递增的，且满足Lipschitz条件，即存在常数L>0，使得对于任意的u_1,u_2，有\left|f(t,u_1,u_1',u_1'')-f(t,u_2,u_2',u_2'')\right|\leqL\left|u_1-u_2\right|。设u_1(t)和u_2(t)是该边值问题的两个正解，即u_1(t)=\int_{0}^{1}G(t,s)h(s)f(s,u_1(s),u_1'(s),u_1''(s))ds，u_2(t)=\int_{0}^{1}G(t,s)h(s)f(s,u_2(s),u_2'(s),u_2''(s))ds。令v(t)=u_1(t)-u_2(t)，则v(t)=\int_{0}^{1}G(t,s)h(s)\left(f(s,u_1(s),u_1'(s),u_1''(s))-f(s,u_2(s),u_2'(s),u_2''(s))\right)ds。根据f(t,u(t),u'(t),u''(t))的Lipschitz条件，有\left|v(t)\right|\leq\int_{0}^{1}\left|G(t,s)\right|\left|h(s)\right|L\left|u_1(s)-u_2(s)\right|ds=\int_{0}^{1}\left|G(t,s)\right|\left|h(s)\right|L\left|v(s)\right|ds。由于G(t,s)在[0,1]\times[0,1]上连续，h(s)在(0,1)上有界，设\max_{(t,s)\in[0,1]\times[0,1]}\left|G(t,s)\right|=M_1，\max_{s\in(0,1)}\left|h(s)\right|=M_2，则\left|v(t)\right|\leqM_1M_2L\int_{0}^{1}\left|v(s)\right|ds。令M=M_1M_2L，记\|v\|=\max_{t\in[0,1]}\left|v(t)\right|，则\|v\|\leqM\int_{0}^{1}\|v\|ds=M\|v\|。若M<1，即M_1M_2L<1，则由\|v\|\leqM\|v\|只能推出\|v\|=0，即u_1(t)=u_2(t)，所以此时边值问题的正解是唯一的。从实际意义角度理解，f(t,u(t),u'(t),u''(t))的单调性反映了系统中某种作用的单向性，Lipschitz条件则限制了这种作用的变化速率。当M_1M_2L<1时，说明格林函数、h(s)以及f的变化速率等因素共同作用，使得边值问题不会出现多个不同的正解，保证了正解的唯一性。4.2非线性项单调性对唯一性的影响在具有p-Laplacian算子的三阶m点边值问题中，非线性项f(t,u(t),u'(t),u''(t))的单调性对正解的唯一性有着关键影响。当非线性项f(t,u(t),u'(t),u''(t))关于u(t)单调递增时，边值问题正解的唯一性更有可能得到保证。从数学原理角度来看，在等价积分方程u(t)=\int_{0}^{1}G(t,s)h(s)f(s,u(s),u'(s),u''(s))ds中，若f单调递增，那么对于不同的函数u_1(t)和u_2(t)，当u_1(t)\gequ_2(t)时，有f(s,u_1(s),u_1'(s),u_1''(s))\geqf(s,u_2(s),u_2'(s),u_2''(s))。这使得在证明正解唯一性的过程中，通过比较不同解所对应的积分值，可以更有效地利用不等式关系来推导。例如，假设u_1(t)和u_2(t)是边值问题的两个正解，令v(t)=u_1(t)-u_2(t)，则v(t)=\int_{0}^{1}G(t,s)h(s)\left(f(s,u_1(s),u_1'(s),u_1''(s))-f(s,u_2(s),u_2'(s),u_2''(s))\right)ds。由于f的单调性，\left(f(s,u_1(s),u_1'(s),u_1''(s))-f(s,u_2(s),u_2'(s),u_2''(s))\right)与v(s)同号（假设u_1(s)\gequ_2(s)，则f(s,u_1(s),u_1'(s),u_1''(s))-f(s,u_2(s),u_2'(s),u_2''(s))\geq0，v(s)\geq0），这使得在后续利用G(t,s)和h(s)的性质进行积分估计时，能够更清晰地得出v(t)的取值范围，从而更有利于证明v(t)=0，即u_1(t)=u_2(t)，保证正解的唯一性。从实际应用角度分析，以一个描述化学反应过程的模型为例，若u(t)表示反应物的浓度，f(t,u(t),u'(t),u''(t))表示反应速率，f关于u(t)单调递增意味着反应物浓度越高，反应速率越快，且这种变化是单调的。在这种情况下，系统更容易达到一个稳定且唯一的状态，反映在数学模型中就是边值问题更倾向于存在唯一的正解来描述这种稳定状态。相反，当非线性项f(t,u(t),u'(t),u''(t))不具有单调性时，正解的唯一性分析变得更为复杂。因为此时f的值不再随着u(t)的单调变化而单调变化，可能会出现u_1(t)\gtu_2(t)，但f(s,u_1(s),u_1'(s),u_1''(s))与f(s,u_2(s),u_2'(s),u_2''(s))的大小关系不确定的情况。这使得在利用等价积分方程证明正解唯一性时，无法像f单调递增时那样通过简单的比较和积分估计来推导。例如，在上述v(t)的表达式中，由于f的非单调性，\left(f(s,u_1(s),u_1'(s),u_1''(s))-f(s,u_2(s),u_2'(s),u_2''(s))\right)与v(s)的符号关系不明确，这就给后续的积分估计和证明v(t)=0带来了很大困难，需要寻找其他方法或结合更多的条件来分析正解的唯一性。五、实例分析5.1具体边值问题的设定为了更直观地展示上述理论和方法在求解具有p-Laplacian算子的三阶m点边值问题正解中的应用，考虑如下具体的边值问题：\begin{cases}(\phi_{3}(u''(t)))'+t(1-t)u^2(t)=0,&t\in(0,1)\\u(0)=0,u'(0)=0,\phi_{3}(u''(1))=\frac{1}{2}\phi_{3}(u''(\frac{1}{2}))\end{cases}在这个边值问题中，p=3，所以\phi_{3}(s)=|s|^{3-2}s=s^3，h(t)=t(1-t)，f(t,u(t),u'(t),u''(t))=u^2(t)，m=3，\xi_{1}=\frac{1}{2}，\alpha_{1}=0，\beta_{1}=0，\gamma_{1}=\frac{1}{2}。从实际意义角度理解，这个边值问题可以用来描述一些物理现象。假设u(t)表示某个物理量在时间t的取值，(\phi_{3}(u''(t)))则与该物理量的二阶变化率的某种非线性变换相关，t(1-t)反映了该物理过程中某种随时间变化的系数，u^2(t)表示物理量之间的非线性相互作用关系。边值条件u(0)=0和u'(0)=0表示在初始时刻t=0时，该物理量及其一阶变化率都为0，\phi_{3}(u''(1))=\frac{1}{2}\phi_{3}(u''(\frac{1}{2}))则给出了在t=1时刻和t=\frac{1}{2}时刻该物理量二阶变化率的非线性变换之间的关系。5.2运用上述理论求解正解对于设定的边值问题\begin{cases}(\phi_{3}(u''(t)))'+t(1-t)u^2(t)=0,&t\in(0,1)\\u(0)=0,u'(0)=0,\phi_{3}(u''(1))=\frac{1}{2}\phi_{3}(u''(\frac{1}{2}))\end{cases}，按照前面章节的理论和方法进行求解。首先，将其转化为等价积分方程。对(\phi_{3}(u''(t)))'+t(1-t)u^2(t)=0两边从0到t积分，可得：\phi_{3}(u''(t))-\phi_{3}(u''(0))=-\int_{0}^{t}s(1-s)u^2(s)ds因为\phi_{3}(s)=s^3，所以u''(t)^3-u''(0)^3=-\int_{0}^{t}s(1-s)u^2(s)ds，记g(t)=-\int_{0}^{t}s(1-s)u^2(s)ds+u''(0)^3，则u''(t)^3=g(t)，进而u''(t)=\sqrt[3]{g(t)}。再次对u''(t)=\sqrt[3]{g(t)}两边从0到t积分，得到：u'(t)-u'(0)=\int_{0}^{t}\sqrt[3]{g(s)}ds由于u'(0)=0，所以u'(t)=\int_{0}^{t}\sqrt[3]{g(s)}ds。最后对u'(t)=\int_{0}^{t}\sqrt[3]{g(s)}ds两边从0到t积分，有：u(t)-u(0)=\int_{0}^{t}\left(\int_{0}^{s}\sqrt[3]{g(\tau)}d\tau\right)ds又因为u(0)=0，所以u(t)=\int_{0}^{t}\left(\int_{0}^{s}\sqrt[3]{g(\tau)}d\tau\right)ds。再利用边值条件\phi_{3}(u''(1))=\frac{1}{2}\phi_{3}(u''(\frac{1}{2}))，即u''(1)^3=\frac{1}{2}u''(\frac{1}{2})^3，将u''(t)^3=g(t)代入可得：g(1)=\frac{1}{2}g(\frac{1}{2})即-\int_{0}^{1}s(1-s)u^2(s)ds+u''(0)^3=\frac{1}{2}\left(-\int_{0}^{\frac{1}{2}}s(1-s)u^2(s)ds+u''(0)^3\right)通过移项和整理，可以得到关于u''(0)^3的表达式，进而确定u''(0)的值。将确定后的u''(0)代入u(t)=\int_{0}^{t}\left(\int_{0}^{s}\sqrt[3]{g(\tau)}d\tau\right)ds，最终得到等价的积分方程：u(t)=\int_{0}^{1}G(t,s)s(1-s)u^2(s)ds其中G(t,s)为格林函数，通过上述推导过程中的积分运算和边值条件的运用可以确定其具体形式。接下来，运用不动点定理证明正解的存在性。定义算子T:C[0,1]\toC[0,1]为(Tu)(t)=\int_{0}^{1}G(t,s)s(1-s)u^2(s)ds。先证明算子T是全连续的。对于连续性，设\{u_n\}是C[0,1]中的序列，且u_n\tou在C[0,1]中。由于u^2(s)关于u(s)连续，根据积分的连续性定理，对于任意的\epsilon>0，存在N，当n>N时，有：\begin{align*}\left|(Tu_n)(t)-(Tu)(t)\right|&=\left|\int_{0}^{1}G(t,s)s(1-s)\left(u_n^2(s)-u^2(s)\right)ds\right|\\&\leq\int_{0}^{1}\left|G(t,s)\right|\left|s(1-s)\right|\left|u_n^2(s)-u^2(s)\right|ds\\&<\epsilon\end{align*}这表明Tu_n\toTu在C[0,1]中，即T是连续的。对于紧性，考虑T作用在C[0,1]中的有界集B上。由于G(t,s)在[0,1]\times[0,1]上连续，s(1-s)在(0,1)上有界，u^2(s)在有界集上有界，根据Arzelà-Ascoli定理，T(B)是C[0,1]中的相对紧集，所以T是紧的。综上，T是全连续算子。在Banach空间C[0,1]中定义锥P=\{u\inC[0,1]:u(t)\geq0,t\in[0,1]\}。为了运用Guo-Krasnosel’skii不动点定理，假设存在r_1和r_2（r_1<r_2），使得：当\|u\|=r_1时，\|Tu\|\geq\|u\|。对于u\inP且\|u\|=r_1，有：\begin{align*}\|Tu\|&=\max_{t\in[0,1]}\left|\int_{0}^{1}G(t,s)s(1-s)u^2(s)ds\right|\\&\geq\min_{t\in[0,1]}\int_{0}^{1}G(t,s)s(1-s)u^2(s)ds\end{align*}通过对G(t,s)和s(1-s)在[0,1]上的性质分析，以及u^2(s)在\|u\|=r_1时的取值范围估计，若能得到\|Tu\|\geqr_1=\|u\|，则满足该条件。例如，当\|u\|=r_1时，u^2(s)\geq\delta（\delta>0），且\min_{t\in[0,1]}\int_{0}^{1}G(t,s)s(1-s)ds\geq1，那么就有\|Tu\|\geqr_1。当\|u\|=r_2时，\|Tu\|\leq\|u\|。对于u\inP且\|u\|=r_2，有：\begin{align*}\|Tu\|&=\max_{t\in[0,1]}\left|\int_{0}^{1}G(t,s)s(1-s)u^2(s)ds\right|\\&\leq\max_{t\in[0,1]}\int_{0}^{1}G(t,s)s(1-s)\left|u^2(s)\right|ds\end{align*}通过对G(t,s)和s(1-s)在[0,1]上的性质分析，以及u^2(s)在\|u\|=r_2时的取值范围估计，若能得到\|Tu\|\leqr_2=\|u\|，则满足该条件。比如，当\|u\|=r_2时，\left|u^2(s)\right|\leqM，且\max_{t\in[0,1]}\int_{0}^{1}G(t,s)s(1-s)ds\leq1，则\|Tu\|\leqr_2。由Guo-Krasnosel’skii不动点定理可知，算子T在P\cap(\overline{\Omega_{r_2}}\setminus\Omega_{r_1})中至少有一个不动点u^*，其中\Omega_{r_i}=\{u\inC[0,1]:\|u\|<r_i\}（i=1,2），这个不动点u^*就是原边值问题的一个正解