角平分线几何题专项辅导练习册

角平分线几何题专项辅导练习册前言：为何聚焦角平分线？在平面几何的广阔天地中，角平分线犹如一条精巧的“轴线”，串联起诸多重要的性质与定理，是解决线段相等、角相等、比例线段等问题的关键桥梁。许多几何综合题的破解，往往始于对角平分线性质的深刻理解与灵活运用。本练习册旨在系统梳理角平分线相关的核心知识，通过典型例题的细致剖析与专项练习的强化训练，帮助同学们掌握解题规律，提升几何思维能力与解题技巧，从容应对各类角平分线问题的挑战。第一章：角平分线的核心知识梳理1.1角平分线的定义从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线。这是我们研究角平分线一切性质的逻辑起点。1.2角平分线的性质定理及其逆定理性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。*几何语言描述：如图1，若OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，且PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，则PD=PE。*核心思想：角平分线提供了“等距离”的条件，常用于证明线段相等。逆定理：到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。*几何语言描述：如图1，若点P在∠AOB内部，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，且PD=PE，则点P在∠AOB的平分线上，即OP平分∠AOB。*核心思想：这是判定一条射线是否为角平分线的重要依据，将“距离相等”转化为“角相等”。1.3三角形的角平分线定义：在三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。重要性质：1.三角形角平分线定理：三角形的角平分线分对边所得的两条线段与这个角的两边对应成比例。*几何语言描述：如图2，在△ABC中，若AD是∠BAC的平分线，交BC于点D，则BD/DC=AB/AC。*应用场景：已知比例求线段长度，或已知线段长度证比例关系。2.三角形的内心：三角形三条角平分线相交于一点，这个点叫做三角形的内心。内心到三角形三边的距离相等，它是三角形内切圆的圆心。*性质延伸：内切圆半径r与三角形面积S、周长p的关系为S=r*p/2。第二章：解题方法与技巧点拨2.1辅助线作法大观角平分线问题的解决，往往依赖于恰当的辅助线添加。以下是几种常见的辅助线策略：1.向角的两边作垂线：这是最直接也最常用的方法，目的是构造角平分线性质定理或逆定理所需的“距离”。*时机：当题目中出现角平分线，且需要证明线段相等或点在角平分线上时。2.截长补短法：在角的两边上截取相等的线段，或延长某一线段，构造全等三角形。*时机：当需要证明两条线段的和或差等于第三条线段，且涉及角平分线时。3.利用角平分线构造轴对称图形（翻折）：将角平分线一侧的图形沿角平分线翻折，使其与另一侧图形重合，从而构造全等或等腰三角形。*时机：当角平分线两侧有不对称的图形，但存在潜在的等量关系时。4.过角平分线上一点作角的另一边的平行线：构造等腰三角形，利用等腰三角形的性质解题。*时机：题目中出现角平分线和平行线的条件，或需要构造等角、等边时。2.2常见题型与解题策略1.证明线段相等：优先考虑角平分线性质定理（向两边作垂线），或通过翻折、截长补短构造全等三角形。2.证明角相等：利用角平分线定义，或通过证明三角形全等、等腰三角形等间接得到。3.比例线段问题：若涉及三角形角平分线，则优先考虑使用三角形角平分线定理。4.涉及内心的问题：联想内心的性质（到三边距离相等、内切圆半径等），结合面积法求解。5.综合证明题：通常需要多种辅助线方法结合，灵活运用角平分线的性质与其他几何知识（如三角形全等、相似、勾股定理等）。第三章：典型例题精析例题1（基础应用）：题目：如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，且BD=CD。求证：EB=FC。分析：题目中明确给出了AD是角平分线，且DE、DF分别是点D到AB、AC的距离。根据角平分线的性质定理，易知DE=DF。又已知BD=CD，考虑证明Rt△BDE和Rt△CDF全等。证明：∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC∴DE=DF（角平分线性质定理）在Rt△BDE和Rt△CDF中，BD=CD（已知）DE=DF（已证）∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL）∴EB=FC（全等三角形对应边相等）点评：本题直接考查角平分线性质定理的应用，以及直角三角形全等的判定，属于基础题。关键在于识别出“角平分线+垂线”这一基本模型。例题2（截长补短法）：题目：如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线交于点P。求证：点P到三边AB、BC、CA所在直线的距离相等。分析：要证点P到三边距离相等，已知P是两条角平分线的交点。可分别过点P向AB、BC、CA作垂线，利用角平分线性质定理证明这三条垂线段相等。证明：过点P分别作PD⊥AB于D，PE⊥BC于E，PF⊥AC于F。∵BP是∠ABC的平分线，PD⊥AB，PE⊥BC∴PD=PE（角平分线性质定理）∵CP是∠ACB外角的平分线，PE⊥BC，PF⊥AC∴PE=PF（角平分线性质定理）∴PD=PE=PF即点P到三边AB、BC、CA所在直线的距离相等。点评：本题考查了角平分线性质定理在不同角（包括内角和外角）情况下的应用，关键在于准确作出辅助线（三条垂线）。例题3（三角形角平分线定理应用）：题目：在△ABC中，AB=5，AC=4，∠BAC的平分线AD交BC于D，且BD=2.5，求DC的长。分析：题目中给出了三角形的两边长以及角平分线分对边其中一段的长度，显然是应用三角形角平分线定理的典型场景。解：∵AD是∠BAC的平分线∴BD/DC=AB/AC（三角形角平分线定理）即2.5/DC=5/4解得DC=(2.5×4)/5=2点评：直接应用三角形角平分线定理，建立比例关系求解，计算量小，但需要准确记忆定理内容。例题4（综合应用）：题目：如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BD是∠ABC的平分线，CE⊥BD交BD的延长线于点E。求证：BD=2CE。分析：要证BD=2CE，考虑“加倍”或“折半”。观察图形，BD是角平分线，CE⊥BE，可尝试延长CE、BA交于一点F，构造等腰三角形，利用等腰三角形“三线合一”的性质，得到CF=2CE，再证明BD=CF即可。证明：延长BA、CE交于点F。∵BE是∠ABC的平分线，CE⊥BE∴∠FBE=∠CBE，∠BEF=∠BEC=90°在△BEF和△BEC中，∠FBE=∠CBEBE=BE∠BEF=∠BEC∴△BEF≌△BEC（ASA）∴CE=FE，即CF=2CE∵∠BAC=90°，CE⊥BE∴∠ABD+∠ADB=90°，∠ACF+∠EDC=90°又∵∠ADB=∠EDC（对顶角相等）∴∠ABD=∠ACF在△ABD和△ACF中，∠ABD=∠ACFAB=AC∠BAD=∠CAF=90°∴△ABD≌△ACF（ASA）∴BD=CF∵CF=2CE∴BD=2CE点评：本题综合性较强，通过延长构造全等三角形，将2CE转化为CF，再利用角的关系证明BD与CF所在的三角形全等，体现了“截长补短”（此处为补短）的思想和转化的数学思想。第四章：专项练习题基础巩固1.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB交BC于D，若CD=3，AB=10，则△ABD的面积为多少？2.已知：如图，在△ABC中，∠B=∠C，点D在BC上，且∠BAD=∠CAD。求证：AD⊥BC。3.在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E。若AB=6cm，求△DBE的周长。能力提升4.如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，M是BC的中点，MF∥AD交AB于E，交CA的延长线于F。求证：BE=CF。5.已知：如图，在四边形ABCD中，BC>BA，AD=CD，BD平分∠ABC。求证：∠A+∠C=180°。6.三角形的三条角平分线交于一点，这个点叫做三角形的______心，它到三角形______的距离相等。若一个三角形的内心到一边的距离为2，且该三角形的面积为12，则其周长为______。拓展探究7.已知：如图，在△ABC中，AB=2AC，AD是∠BAC的平分线，且AD=BD。求证：CD⊥AC。8.如图，在△ABC中，∠ABC=3∠C，∠BAC的平分线AD交BC于点D，BE⊥AD于点E。求证：BE=1/2(AC-AB)。第五章：总结与寄语角平分线的学习，不仅仅是掌握几个定理那么简单，更重要的是学会观察图形，分析条件，联想相关知识，并能灵活运用辅助线来“架桥铺路”，将未知转化为已知。每一道几何题都像一个小小的迷宫，角平分线有时就是指引方