第十章 二元一次方程组专题突破 单元练习（含答案）2024-2025学年人教版七年级数学下册

专题突破1二元一次方程组①——消元思想1.用代入消元法解下列方程组.(1){y=3x−1,2x+3y=8;(3){x+3y=1,3x−y=3;2.用加减消元法解下列方程组.(1){2x+y=8,x−y=1;(3){3.用合适的方法解下列方程组.(1){3m+b=11,−4m−b=11;(3){x2−专题突破2二元一次方程组②————转化思想类型一利用二元一次方程(组)的定义转化1.若4xa+2b−4−2y3a−b−2类型二利用二元一次方程(组)的解的定义转化2.如果{x=m,y=n是方程组类型三利用同类项的定义转化3.若5x3+mym与4xn+m+1类型四利用平方根、立方根的定义转化4.已知2a−b类型五利用非负性转化5.已知∣x+5y+9∣+x−2y−52=0,则x+y类型六利用点的坐标特征转化6.在平面直角坐标系中，点A(2m-4n，4m-5n)在第二象限，到y轴和x轴的距离分别为4，1，求m,n的值.类型七利用待定系数法转化7.在代数式ax+by中,当x=5,y=2时,它的值是7;当x=3,y=1时,它的值是4,则a=,b=.类型八利用新定义转化8.对于实数,规定新运算:x*y=ax+by,其中a,b是常数.已知2*1=7,-1*1=1.(1)求a,b的值;(2)求1*5的值.专题突破3二元一次方程组③————整体代换思想【例1】(2024黄冈期末)学习完“代入消元法”解二元一次方程组后，老师在黑板上写下一个方程组{x+2y=5,解:将②变形为2(x+2y)+y=9,③把①代入③,得10+y=9,解得y=-1.把y=-1代入①,解得x=7.∴方程组的解为{这种把某个式子看成一个整体，从而使问题得到简化的方法叫做法.请你模仿小敏的“整体代换”法解方程组{x−2y=3,【变式】(2024福州期末)阅读感悟：有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题：已知实数x,y满足5x-y=6①,4x+2y=7②,求x-3y和13x+3y的值.本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x，y的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大.其实，仔细观察两个方程未知数系数之间的关系，本题还可以通过适当变形，整体求得代数式的值,如由①-②可得x-3y=-1,由①+②×2可得13x+3y=20.这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”.解决问题：(1)已知二元一次方程组{3x+2y=7,2x+3y=8,则x-y=,x+y=(2)对于实数x,y,定义新运算:x*y=ax+by+c,其中a,b,c是常数,等式右边是实数运算.已知3*5=15,4*7=28,求6*11的值.类型一利用加减消元法整体代换【例2】已知关于x，y的方程组{3x+5y=m+2,2x+3y=m的解满足x+y=-10，求代数式【变式1】若关于x，y的二元一次方程组{x−y=4,kx+y=−10的解满足x+y=2,则k的值为【变式2】若关于x，y的二元一次方程组{4x+2y=5k−4,2x+4y=−1【变式3】已知关于x，y的二元一次方程组{3x−y=−4,5x−2y=2k−1类型二整体代换实际运用【例3】某校用一笔钱来购买A，B两种奖品，若购买24个A种奖品和14个B种奖品则差30元，若购买20个A种奖品和18个B种奖品则余20元，那么用这笔钱购买28个A种奖品和10个B种奖品差元.【变式1】(2024江汉)甲、乙、丙三人到超市购零食.甲买薯片3包、饼干2袋、糖果1盒，花费24元；乙买薯片1包、饼干4袋、糖果2盒，花费23元.那么丙买薯片4包，花费元.【变式2】(2024汉阳)有甲、乙、丙三种货物，若购买甲3件、乙7件、丙1件，共30元；若购买甲4件、乙10件、丙1件，共35元，现在购买甲、乙、丙各1件，共需元.【变式3】某商家将蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱搭配为A，B，C三种盲盒各一个，其中A盒中有2个蓝牙耳机，3个多接口优盘，1个迷你音箱；B盒中有2蓝牙耳机，4个多接口优盘，2个迷你音箱；C盒中有1个蓝牙耳机，3个多接口优盘，2个迷你音箱.经核算，A盒的成本为145元，B盒的成本为200元(每种盲盒的成本为该盒中蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱的成本之和)，则C盒的成本为元.专题突破4二元一次方程组④——换元思想【例】(2024江岸月考)【阅读与思考】阅读下列材料，完成后面的任务.善于思考的李同学在解方程组时，采用了一种“整体换元”的解法.解：把m+2,n−23看成一个整体，设m+2=x,n−23=y.原方程组可化为{【任务】(1)方程组{3x−2y=1,9x−2y=19的解是{x=3,y=4,(2)仿照上述解题方法，用“整体换元”法解方程组(3)已知关于x，y的二元一次方程组{a1x+b1y=的解.类型一换元法解二元一次方程组1.利用换元法解下列方程组.(1){3(x+y)−2(6x−y)=1,(x+y)+(6x−y)=7;(3){2(x+1)+3(y−2)=1,(x+1)−2(y−2)=4;类型二已知一个方程组的解求另一个方程组的解2.(2024江夏期末)已知关于x，y的方程组{a1x+b1y=c13.若关于x，y的二元一次方程组{ax−by=3,2ax−3by=10的解为{x=2,y=−1,A.{x=2,y=−1B.{x=1,y=14.关于x，y的方程组{ax+by=c,mx+ny=d的解为{x=1,y=2,A.{x=4,y=2B.{x=4,y=−25.(2024湖州期末)若关于x，y的二元一次方程组的解为{x=3,y=2,求关于x，y的二元一次方程组{专题突破5二元一次方程的整数解教材母题(七下第90页第5题改)把一根9m长的钢管截成1m长和2m长两种规格均有的短钢管，且没有余料，设某种截法中1m长的钢管有a根，则a的值可能有种.【变式1】(2024青山)七年级(6)班有50名学生参加军训.军训基地有6人间和4人间两种客房，若每个房间都住满，则安排这个班的学生入住的方案共有()种.A.2种B.3种C.4种D.5种【变式2】(2024江岸)一个两位数，若交换其个位数与十位数的位置，则所得新两位数比原两位数大63，这样的两位数是.【变式3】商店里甲商品每个5元，乙商品每个8元，丙商品每个1元.某顾客计划用200元购买这三种商品共127个，如果资金全部用完，则有()种购买方案.A.4B.3C.2D.1【变式4】现有1角，5角，1元硬币各10枚，从中共取出15枚且每种都有，共值7元.则5角硬币取出了枚.【变式5】(2024青山)一宾馆有二人间、三人间、四人间三种客房供游客租住，某旅行团15人准备同时租用这三种客房共5间，如果每个房间都住满，租房方案有()A.4种B.3种C.2种D.1种【变式6】(2024硚口)我国古代的《张丘建算经》中有著名的“百鸡问题”，原文是：“今有鸡翁一值钱五，鸡母一值钱三，鸡靠三值钱一，凡百钱买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何?”意思是说“公鸡每只值五文钱，母鸡每只值三文钱，小鸡每三只值一文钱，现在用一百文钱买一百只鸡，问这一百只鸡中，公鸡、母鸡、小鸡各有多少只?”则此“百鸡问题”共有哪几种购买方案(每种鸡至少购买一只).专题突破6含参二元一次方程组的解①——构建方程组方法技巧：根据题意，把已知条件代入式子，求出参数的值.【例】已知y=kx+b,当x=2时,y=-3;当x=-1时,y=3.(1)求k,b的值;(2)当x取何值时,y的值为-4?【变式1】在等式y=ax(1)求a,b的值;(2)当x=-3时,求y的值.【变式2】已知{x=2,y=1是二元一次方程组【变式3】对于实数a,b,定义关于“⊗”的一种运算:a⊗b=2a+b,例如1⊗3=2×1+3=5.(1)求4⊗(-3)的值;(2)若x⊗(-y)=-2,(2y)⊗x=-1,求x+y的值.专题突破7含参二元一次方程组的解②——遮挡、错解、同解问题类型一遮挡问题方法技巧；将未被遮挡的解代入未被遮挡的方程，求出未知数的值或另一个解，然后再带入含有参数的方程，求出参数.【例1】(2024武汉三寄月考)已知{△x+◯y=1◻x−7y=1是一个被墨水污染的方程组.圆圆说：“这个方程组的解是{x=3,y=−1,【变式1】(2024福州期末)若方程组{2x+y=m,2x−y=10的解为A.6和4B.10和0C.2和-4D.4和2【变式2】(2024长沙期末)小刚解出了方程组的解为{x=4,y=◻,A.17,9B.16,8C.23,15D.15,23类型二错解问题方法技巧：把没看错的两个方程组组合在一起得到一个新的方程组，求出未知数的值，然后再带入含有参数的方程，求出参数.【例2】甲、乙两人解方程组{ax+by=2,cx−7y=8,甲正确地解得{x=3,y=−2,【变式1】已知方程组{ax+5y=15,4x−by=−2,①②甲由于看错了方程①中的a，得到方程组的解为{x=−3,y=−1,乙由于看错了方程②中的b，得到方程组的解为类型三同解问题方法技巧：将不含参数的两个方程进行结合求出未知数，再代入含参数的方程，求出参数值.【例3】已知关于x，y的方程组{4x−y=5,ax+by=−1和(1)求这个相同的解;(2)求a-b的值.【变式1】方程组{x+2y=10,ax+by=1与【变式2】已知方程组{2x+5y=−6,ax−by=−4和方程组{3x−5y=16,专题突破1二元一次方程组①——消元思想1.用代入消元法解下列方程组.(1){y=3x−1,2x+3y=8;解：{x=1y=2；解：(3){x+3y=1,3x−y=3;解：{x=1y=0解：2.用加减消元法解下列方程组.(1){2x+y=8,x−y=1;解：{x=3y=2；解：(3){4x−3y=11,2x+y=13;解：{x=5y=3；解：3.用合适的方法解下列方程组.(1){3m+b=11,−4m−b=11;解：{m=−22b=77；(3){x2−解：解：{x=5专题突破2二元一次方程组②——转化思想类型一利用二元一次方程(组)的定义转化1.若4xa+2b−4−2类型二利用二元一次方程(组)的解的定义转化2.如果{x=my=n是方程组解：由题可得{类型三利用同类项的定义转化3.若5x3+mym与4xn+m+1解：由题可得{3+m=n+m+1m=2n−2,类型四利用平方根、立方根的定义转化4.已知2a−b解：由题可得{2a−b2类型五利用非负性转化5.已知∣x+5y+9∣+x−2y−52=0,则x+y类型六利用点的坐标特征转化6.在平面直角坐标系中，点A(2m-4n，4m-5n)在第二象限，到y轴和x轴的距离分别为4，1，求m,n的值.解：由题可得解得{m=4类型七利用待定系数法转化7.在代数式ax+by中,当x=5,y=2时,它的值是7;当x=3,y=1时,它的值是4,则a=1,b=1.类型八利用新定义转化8.对于实数,规定新运算:x*y=ax+by,其中a,b是常数.已知2*1=7,-1*1=1.(1)求a,b的值;(2)求1*5的值.解：(1)由题可得{2a+b=7−a+b=1,(2)1*5=a+5b=2+5×3=17.专题突破3二元一次方程组③————整体代换思想【例1】(2024黄冈期末)学习完“代入消元法”解二元一次方程组后，老师在黑板上写下一个方程组{x+2y=5,解:将②变形为2(x+2y)+y=9,③把①代入③,得10+y=9,解得y=-1.把y=-1代入①,解得x=7.∴方程组的解为{这种把某个式子看成一个整体，从而使问题得到简化的方法叫做法.请你模仿小敏的“整体代换”法解方程组{x−2y=3,解：整体代换：{x−2y=3由②得:3(x-2y)+y=8③,把①代入③得:9+y=8,解得y=-1,把y=-1代入①得:x=1,∴方程组的解为{【变式】(2024福州期末)阅读感悟：有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题：已知实数x,y满足5x-y=6①,4x+2y=7②,求x-3y和13x+3y的值.本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x，y的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大.其实，仔细观察两个方程未知数系数之间的关系，本题还可以通过适当变形，整体求得代数式的值,如由①-②可得x-3y=-1,由①+②×2可得13x+3y=20.这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”.解决问题：(1)已知二元一次方程组{3x+2y=7,2x+3y=8,则x-y=-1,x+y=(2)对于实数x,y,定义新运算:x*y=ax+by+c,其中a,b,c是常数,等式右边是实数运算.已知3*5=15,4*7=28,求6*11的值.解:(1)①-②得x-y=-1,①+②得5x+5y=15,∴x+y=3.(2)∵x*y=ax+by+c,3*5=15,4*7=28,则由3×④-2×③可得:3×(4a+7b+c)-2(3a+5b+c)=3×28-2×15,即6a+11b+c=54,∴6*11=6a+11b+c=54.类型一利用加减消元法整体代换【例2】已知关于x，y的方程组{3x+5y=m+2,2x+3y=m的解满足x+y=-10,求代数式解：{3x+5y=m+2代入x+y=-10得:4-m+2m-6=-10,解得:m=-8,则原式=【变式1】若关于x，y的二元一次方程组{x−y=4,kx+y=−10的解满足x+y=2,则k的值为【变式2】若关于x，y的二元一次方程组{4x+2y=5k−4,2x+4y=−1【变式3】已知关于x，y的二元一次方程组{3x−y=−4,5x−2y=2k−1的解x与y互为相反数，则k的值为类型二整体代换实际运用【例3】某校用一笔钱来购买A，B两种奖品，若购买24个A种奖品和14个B种奖品则差30元，若购买20个A种奖品和18个B种奖品则余20元，那么用这笔钱购买28个A种奖品和10个B种奖品差80元.解：设A种奖品的单价为a元，B种奖品的单价为b元，学校拿来购买奖品的钱数为c元，依题意得：{24a+14b=c+30∴用这笔钱购买28个A种奖品和10个B种奖品差80元.【变式1】(2024江汉)甲、乙、丙三人到超市购零食.甲买薯片3包、饼干2袋、糖果1盒，花费24元；乙买薯片1包、饼干4袋、糖果2盒，花费23元.那么丙买薯片4包，花费20元.解：由题意，设薯片1包x元、饼干1袋y元、糖果1盒z元，则可得方程组{3x+2y+z=24x+4y+2z=23②’∴①×2-②得,5x=25,∴x=5,∴4x=20,∴丙买薯片4包,花费20元.【变式2】(2024汉阳)有甲、乙、丙三种货物，若购买甲3件、乙7件、丙1件，共30元；若购买甲4件、乙10件、丙1件，共35元，现在购买甲、乙、丙各1件，共需20元.解：设购买甲、乙、丙各1件分别需要x，y，z元，则依题意得{①3x+7y+z=30①×3-②×2得,x+y+z=20,即现在购买甲、乙、丙各1件,共需20元.【变式3】某商家将蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱搭配为A，B，C三种盲盒各一个，其中A盒中有2个蓝牙耳机，3个多接口优盘，1个迷你音箱；B盒中有2蓝牙耳机，4个多接口优盘，2个迷你音箱；C盒中有1个蓝牙耳机，3个多接口优盘，2个迷你音箱.经核算，A盒的成本为145元，B盒的成本为200元(每种盲盒的成本为该盒中蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱的成本之和)，则C盒的成本为155元.解：设1个蓝牙耳机的价值为x元，1个多接口优盘的价值为y元，1个迷你音箱的价值为z元，依题意得{2x+3y+z=1452x+4y+2z=200②’②÷2得:x+2y+z=100③,②-①得:y+z=55④,③+④得:x+3y+2z=155,即C盒的成本为155元.专题突破4二元一次方程组④——换元思想【例】(2024江岸月考)【阅读与思考】阅读下列材料，完成后面的任务.善于思考的李同学在解方程组时，采用了一种“整体换元”的解法.解：把m+2,n−23看成一个整体，设m+2=x,n−23=y.原方程组可化为{【任务】(1)方程组{3x−2y=1,9x−2y=19的解是{x=3,y=4,则方程组{(2)仿照上述解题方法，用“整体换元”法解方程组(3)已知关于x，y的二元一次方程组{a1x+b1y=c解:(2)对于{3(x+y)−4(x−y)=4则原方程组可化为{3m−4n=4m2+n(3){2a1∵关于x，y的二元一次方程组{a1x+∴{2x5=43y5=−3类型一换元法解二元一次方程组1.利用换元法解下列方程组.(1){3(x+y)−2(6x−y)=1,解：{x=1y=2;(3){2(x+1)+3(y−2)=1,(x+1)−2(y−2)=4;解：{x=1y=1；类型二已知一个方程组的解求另一个方程组的解2.(2024江夏期末)已知关于x，y的方程组{a1x+b1y=c13.若关于x，y的二元一次方程组{ax−by=3,2ax−3by=10的解为{x=2,y=−1,A.{x=2,y=−1B.{x=1,y=14.关于x，y的方程组{ax+by=c,mx+ny=d的解为{x=1,y=2,A.{x=4,y=2B.{x=4,y=−25.(2024湖州期末)若关于x，y的二元一次方程组的解为{x=3,y=2,求关于x，y的二元一次方程组{解:令m=x+1,n=-2y,∵关于x，y的二元一次方程组的解为{x=3y=2,则∴关于m，n的二元一次方程组{a1m−∴关于x，y的二元一次方程组{a1x−专题突破5二元一次方程的整数解教材母题(七下第90页第5题改)把一根9m长的钢管截成1m长和2m长两种规格均有的短钢管，且没有余料，设某种截法中1m长的钢管有a根，则a的值可能有4种.解:设某种截法中1m长的钢管有a根,2m长的钢管有b根,依题意,得:a+2b=9,∴a=9-2b.∵a,b均为正整数,∴当b=1时,a=7;当b=2时,a=5;当b=3时,a=3;当b=4时,a=1.∴a的值可能有4种.【变式1】(2024青山)七年级(6)班有50名学生参加军训.军训基地有6人间和4人间两种客房，若每个房间都住满，则安排这个班的学生入住的方案共有(C)种.A.2种B.3种C.4种D.5种【变式2】(2024江岸)一个两位数，若交换其个位数与十位数的位置，则所得新两位数比原两位数大63,这样的两位数是29或18.【变式3】商店里甲商品每个5元，乙商品每个8元，丙商品每个1元.某顾客计划用200元购买这三种商品共127个，如果资金全部用完，则有(C)种购买方案.A.4B.3C.2D.1解：设购买甲商品x件，乙商品y件，则丙商品(127-x-y)件，由题意得5x+8y+1·(127-x-y)=200,∴y=7³-7x.∵x,y为非负整数,∴x=13时,y=3,x=6时,y=7,∴有2种购买方案.【变式4】现有1角，5角，1元硬币各10枚，从中共取出15枚且每种都有，共值7元.则5角硬币取出了7枚.解:设取出1角x枚,5角y枚,则1元(15-x-y)枚,由题意得0.1x+0.5y+1⋅∵x,y为正整数,∴x=5时,y=7,∴5角硬币取出了7枚.【变式5】(2024青山)一宾馆有二人间、三人间、四人间三种客房供游客租住，某旅行团15人准备同时租用这三种客房共5间，如果每个房间都住满，租房方案有(C)A.4种B.3种C.2种D.1种解：设租二人间x间，三人间y间，则四人间(5-x-y)间，由题意得2x+3y+4(5-x-y)=15,∴y=5-2x.∵x,y为正整数,∴x=1时,y=3,x=2时,y=1,共2种方案.【变式6】(2024硚口)我国古代的《张丘建算经》中有著名的“百鸡问题”，原文是：“今有鸡翁一值钱五，鸡母一值钱三，鸡靠三值钱一，凡百钱买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何?”意思是说“公鸡每只值五文钱，母鸡每只值三文钱，小鸡每三只值一文钱，现在用一百文钱买一百只鸡，问这一百只鸡中，公鸡、母鸡、小鸡各有多少只?”则此“百鸡问题”共有哪几种购买方案(每种鸡至少购买一只).解：设公鸡买了x只，母鸡买了y只，则小鸡买了(100-x-y)只，依题意，得：5x+3y+∵x，y均为正整数，∴{x=4y=8或{x=8y=11专题突破6含参二元一次方程组的解①——构建方程组方法技巧：根据题意，把已知条件代入式子，求出参数的值.【例】已知y=kx+b,当x=2时,y=-3;当x=-1时,y=3.(1)求k,b的值;(2)当x取何值时,y的值为-4?解：(1)由题意可得{2k+b=−3−k+b=3,【变式1】在等式y=ax(1)求a,b的值;(2)当x=-3时,求y的值.解：(1)根据题意，得{a−b+1=64a+2b+1=11①②,①×2+②,得6a+3=23,解得a=103.把a=102y=103【变式2】已知{x=2,y=1是二元一次方程组解：∵{x=2y=1是二元一次方程组{mx+ny=8nx−my=1的解，∴2m−n【变式3】对于实数a,b,定义关于“⊗”的一种运算:a⊗b=2a+b,例如1⊗3=2×1+3=5.(1)求4⊗(-3)的值;(2)若x⊗(-y)=-2,(2y)⊗x=-1,求x+y的值.解:(1)根据题中的新定义得:原式=2×4+(-3)=8-3=5.(2)根据题中的新定义化简得：{2x−y=−2专题突破7含参二元一次方程组的解②——遮挡、错解、同解问题类型一遮挡问题方法技巧；将未被遮挡的解代入