第四章 图形的相似 重难点分类练（含答案）2025-2026学年数学北师大版九年级上册

第四章图形的相似...........................求线段的比时，线段的长度单位不统一【例1】在比例尺为1∶2000的地图上，测得A，B两地间的图上距离为3cm，则其实际距离为m.本题容易忽略单位的不统一，导致做错题目，本题解题的关键是熟知比例尺是图上距离与实际距离之比，注意单位的统一，准确计算即可.1.在比例尺为1∶5000的地图上，量得甲、乙两地的距离是3cm，则甲、乙两地的实际距离是m.相似三角形的对应元素忘记分类漏解【例2】（2024秋·宝安区校级月考）如图，已知等腰三角形ABC中，AB＝AC＝20cm，BC＝30cm，点P从点B出发沿BA以4cm/s的速度向点A运动；同时点Q从点C出发沿CB以3cm/s的速度向点B运动，在运动过程中，当△BPQ与△AQC相似时，BP＝cm.两个三角形已经有一对角相等，夹这个角的两边对应关系应该考虑两种情况，此时，特别注意要根据不同的对应关系分别计算，准确解答.2.将三角形纸片（△ABC）按如图所示的方式折叠，使点B落在边AC上，记为点B'，折痕为EF.已知AB＝AC＝3，BC＝4，若以点B'，F，C为顶点的三角形与△ABC相似，那么BF的长度是.相似三角形性质定理和判定定理把握不牢，运用不当【例3】如图，已知小丽的身高是1.6m，她在路灯下的影子长为2m，小丽距路灯灯杆的底部3m，那么路灯灯泡距地面的高度是m.本题主要考查了相似三角形性质的应用.根据已知得出图形，利用相似三角形的判定与性质求出即可，但部分学生容易用错边长比例，导致结果出错，因此，要细心应对，找准对应边，用好相似三角形的性质及判定.3.（2024春·东平县期末）如图，数学兴趣小组的小颖想测量教学楼前的一棵树的树高，下午课外活动时她测得一根长为1m的竹竿的影长是0.8m，但当她马上测量树高时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如图），她先测得留在墙壁上的影高为1.2m，又测得地面的影长为2.6m，请你帮她算一下，树高是多少？对位似与相似的联系与区别存在模糊【例4】如图，△ABC与△DEC都是等边三角形，固定△ABC，将△DEC从图示位置绕点C逆时针旋转一周，在△DEC旋转的过程中，下列说法正确的是（）.A.△DEC总与△ABC位似B.△DEC与△ABC不会位似C.当点D落在CB上时，△DEC与△ABC位似D.存在△DEC的两个位置使得△DEC与△ABC位似 本题主要考查了位似图形的定义，位似图形一定相似，但相似图形不一定位似，牢固掌握位似图形的定义是解本题的关键.4.如图，在四边形ABCD的边AB上任取一点O（不与点A，B重合），连接OC，OD，分别取OA，OB，OC，OD的中点A'，B'，C'，D'，连接A'D'，D'C'，C'B'，四边形A'B'C'D'与四边形ABCD相似吗？为什么？平行线分线段成比例基本事实两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例，用好性质定理突破解题.1.（2024秋·罗湖区校级月考）如图，已知直线l1，l2，l3分别交直线l4于点A，B，C，交直线l5于点D，E，F，且l1∥l2∥l3.若AB＝4，AC＝6，DF＝9，则EF＝（）.第1题图A.3 B.6 C.4 D.52.如图，是某商店售卖的花架简图，其中AD∥BE∥CF，DE＝24cm，EF＝40cm，BC＝50cm，则AB的长为（）.第2题图A.803cm B.1003cm C.50cm D.303.如图，在直角梯形ABCD中，DC∥AB，∠DAB＝90°，AC⊥BC，AC＝BC，∠ABC的平分线分别交AD，AC于点E，F，则BFEF的值是（第3题图A.2－1 B.2＋2 C.2＋1 D.2相似三角形的判定及性质（1）判定定理：两角分别相等、两边成比例且夹角相等、三边成比例的两个三角形相似；（2）性质定理：相似三角形的对应角相等，对应边成比例；相似三角形中的重要线段的比等于相似比，周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方.4.如果△ABC∽△DEF，且△ABC的三边长分别为3，5，6，△DEF的最短边长为9，那么△DEF的周长等于（）.A.4 B.1265 C.21 D.5.如图，在△ABC中，D是AB边上一点，过点D作DE∥BC交AC于点E，若AD∶DB＝3∶1，则S△ADE∶S△ABC的值为（）.A.37 B.34 C.169 6.（2023·深圳九年级统考开学考试）如图，已知AB∥CF，AD∥BF，△ABE的面积为4，△CED的面积为9，则△BED和△BDF的面积分别为S1＝，S2＝.7.（2024秋·宝安区校级期中）已知：如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，过点E作AC的垂线交边BC于点F，与AB的延长线交于点M，且AB·AM＝AE·AC.（1）求证：四边形ABCD是矩形；（2）若AB＝6，AD＝8，求线段BM的长度.8.（2024秋·宝安区校级期中）如图，在菱形ABCD中，DE⊥BC交BC的延长线于点E，连接AE交BD于点F，交CD于点G，连接CF.（1）求证：AF2＝EF·GF；（2）若菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝120°，求FG的长.相似三角形的实际应用（1）利用相似三角形的性质，计算不能直接测量的宽度；（2）利用相似三角形的性质，计算不能直接测量的物体的高度；（3）利用相似三角形的性质求值.9.如图，测量楼高时，先测出楼房落在地面上的影长AB为15m，然后在A处竖立一根高2m的标杆，测得标杆的影长AC为2.5m，则楼高为（）.A.10m B.12m C.2.5m D.22.5m10.如图，有一块直角边AB＝3cm，BC＝4cm的Rt△ABC铁片，现要把它加工成一个如图所示的正方形（加工中的损耗忽略不计），则正方形的边长为cm.第10题图11.（2022·深圳九年级期中）如图，小睿同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上，已知纸板的两条直角边DE＝0.4m，EF＝0.2m，测得边DF离地面的高度AC＝1.5m，CD＝8m，则树AB的高度为m.第11题图12.某小队在探险途中发现一个深坑，小队人员为了测出坑深，采取如下方案：如图所示，在深坑左侧用观测仪AB从观测点A观测深坑底部P，且观测视线刚好经过深坑边缘点M，在深坑右侧用观测仪CD从观测点C观测深坑底部P，且观测视线恰好经过深坑边缘点N.（点E，B，M，N，D，F在同一水平线上）已知：AB⊥EM，CD⊥NF，观测仪AB高2m，观测仪CD高1m，BM＝1.6m，ND＝0.8m，深坑宽度MN＝8.8m，请根据以上数据计算深坑深度是多少米.位似图形的性质、相关作图及应用位似图形是特殊的相似图形，故具有相似图形的一切性质；位似图形的对应点的连线相交于一点，即位似中心；位似图形的对应边互相平行或在同一条直线上；位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比.13.如图，点O是等边三角形PQR的中心，P'，Q'，R'分别是OP，OQ，OR的中点，则△P'Q'R'与△PQR是位似三角形，此时△P'Q'R'与△PQR的相似比、位似中心分别是（）.A.2、点P B.12、点P C.2、点O D.12、14.如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心，相似比为2∶3，若△DEF的周长为6，则△ABC的周长是（）.A.16 B.9 C.6 D.415.如图，在6×6的正方形网格中，线段AB与线段DC是位似图形，请仅使用无刻度的直尺，按下列要求画图.（1）在图1中作线段AB与线段DC的位似中心；（2）在图2中作出线段AB的所有四等分点.16.（2024秋·深圳期中）如图所示，已知O是坐标原点，B，C两点的坐标分别为（3，－1），（2，1），△OB'C'与△OBC位似，O点为位似中心，点B的对应点为B'（－6，2）.（1）△OB'C'与△OBC的相似比为；（2）在图中画出△OB'C'；（3）点M（1，0）是△OBC内部一个点，点M的对应点M'的坐标为.参考答案【思维导图】①相同②不一定相同③ab＝cd④比例线段⑤bc⑥cd⑦a·b＝cd＝…＝mn（b＋d＋…＋n≠⑨相似多边形⑩对应边⑪对应角相等⑫对应边成比例⑬成比例⑭成比例⑮相似三角形⑯两角⑰两边成比例且夹角相等⑱三边成比例⑲对应高⑳对应角平分线㉑对应中线㉒相似比㉓相似比的平方㉔位似中心㉕相似比㉖位似中心㉗互相平行或在同一条直线上㉘相似比【易错点剖析】【例1】601.150【例2】409或20解析：设运动时间为xs当△BPQ∽△CQA时，有BPCQ＝BQ即4x3x＝30－3x20，解得x＝109，∴BP＝4x当△BPQ∽△CAQ时，有BPAC＝QB即4x20＝30－3x3x，解得x＝5或x＝－∴BP＝4x＝20（cm）.综上所述，当BP＝409cm或20cm时，△BPQ与△AQC相似，故答案为409或2.127或2解析：分两种情况讨论（1）若△B'FC∽△ABC，此时B'FAB＝CFBC，由于CF＝BC－BF＝BC－B'F，可算出B'F的长，（2）若△FB'C∽△ABC，此时B'FAB＝CFAC，【例3】4解析：如图，∠DAC＝∠EAB，∠DCA＝∠EBA＝90°，∴△ADC∽△AEB，∴ACAB＝CD∵小明的身高为1.6m，他在路灯下的影子长为2m，小明距路灯灯杆底部为3m，∴AC＝2m，BC＝3m，CD＝1.6m，∴22+3＝1∴BE＝4m，∴路灯灯泡距地面的高度是4m.3.解：如图，设BD是BC在地面的影子，树高为xm，根据竹竿的高与其影子的比值和树高与其影子的比值相同得CBBD＝10.8而CB＝1.2m，∴BD＝0.∴树在地面的实际影子长是0.96＋2.6＝3.56（m），再由竹竿的高与其影子的比值和树高与其影子的比值相同得x3.56＝10.8，∴x＝4.45，∴树高是【例4】D4.解：四边形A'B'C'D'∽四边形ABCD，理由如下：如图，∵A'，D'分别是OA，OD的中点，∴A'D'∥AD，A'D'＝12AD∴A'D'AD＝12，同理C'D∴C'D'CD＝B'C'∵A'D'∥AD，∴∠OA'D'＝∠OAD，∠OD'A'＝∠ODA，同理∠OD'C'＝∠ODC，∠OC'D'＝∠OCD，∠OC'B'＝∠OCB，∠OB'C'＝∠OBC，∴∠OA'D'＝∠OAD，∠A'D'C'＝∠ADC，∠D'C'B'＝∠DCB，∠OB'C'＝∠OBC，∴四边形A'B'C'D'与四边形ABCD相似.【重难点突破】1.A2.D3.C解析：作FG⊥AB于点G（图略），由AE∥FG，得BFEF＝BG∵AC⊥BC，∴∠ACB＝90°.又∵BE是∠ABC的平分线，∴FG＝CF.在Rt△BGF和Rt△BCF中，BF＝BF∴Rt△BGF≌Rt△BCF，∴CB＝GB.∵AC＝BC，∴∠CBA＝45°，∴AB＝2BC，∴BFEF＝BGGA＝BC2BC－BC＝4.D5.D6.6107.（1）证明：∵AB·AM＝AE·AC，∴ABAE＝AC∵∠CAB＝∠CAB，∴△ACB∽△AME，∴∠AEM＝∠ABC＝90°，∴平行四边形ABCD是矩形.（2）解：∵四边形ABCD是矩形，∴DE＝BE，AE＝EC，AC＝BD，∠DAB＝90°，∴AE＝BE＝DE＝CE.∵AB＝6，AD＝8，∴BD＝62＋82＝10，∴∵AB·AM＝AE·AC，∴6×（6＋BM）＝5×10，∴BM＝738.（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC，∠ABF＝∠CBF.∵BF＝BF，∴△ABF≌△CBF（SAS），∴AF＝CF.∵四边形ABCD是菱形，∴∠BAD＝∠BCD，AD∥BE，∴∠DAF＝∠FEC.∵△ABF≌△CBF，∴∠BAF＝∠BCF，∴∠DAF＝∠DCF，∴∠GCF＝∠CEF.∵∠CFG＝∠EFC，∴△CFG∽△EFC，∴CFEF＝FGCF，∴CF2＝EF·∵AF＝CF，∴AF2＝EF·GF.（2）解：∵∠BAD＝120°，∴∠DCE＝60°.∵菱形边长为2，∴CD＝AD＝2.∵DE⊥BC，∴∠ADE＝∠CED＝90°，∴∠CDE＝30°，∴CE＝12CD＝1，DE＝3∴AE＝AD2＋DEBE＝BC＋CE＝2＋1＝3.∵AD∥BE，∴△FAD∽△FEB，△GAD∽△GEC，∴AFEF＝ADBE＝23，AGEG＝∴AF＝25AE＝275，AG＝23∴FG＝AG－AF＝273－279.B10.6037解析：如图，过点B作BP⊥AC交AC于点P，交DE于点Q在Rt△ABC中，AB＝3cm，BC＝4cm，∠ABC＝90°，∴AC＝AB2＋BC2＝∵S