26.1.2 反比例函数的图象和性质 第1课时教学设计（2025-2026学年人教版数学九年级下册）

26.1.2反比例函数的图象和性质第1课时教学设计（2025-2026学年人教版数学九年级下册）一、教材分析本节课隶属于人教版九年级下册第二十六章“反比例函数”，是在学生已经掌握一次函数的图象、性质及应用，且理解反比例函数定义的基础上开展的核心内容。作为反比例函数模块的开篇课时，其核心价值在于搭建“函数解析式—图象特征—性质应用”的逻辑链条，为后续深入探究反比例函数的综合应用、与其他函数的对比分析奠定基础。从新课标要求来看，本节课聚焦“数形结合”核心素养，引导学生通过动手绘制图象、观察分析特征，自主归纳性质，培养从几何直观到代数表达、从具体实例到一般规律的推理能力。教材内容编排遵循“回顾—探究—应用—总结”的认知路径，既衔接了一次函数的学习方法，又突出了反比例函数图象与性质的特殊性，符合九年级学生从具象思维向抽象思维过渡的认知特点。此外，本节课内容在实际生活中应用广泛，可解决路程一定时速度与时间的关系、面积一定时矩形长与宽的关系等实际问题，能帮助学生体会数学与生活的紧密联系，提升应用数学知识解决实际问题的能力。二、教学目标（一）学习理解1.能准确回忆反比例函数的定义，明确其解析式形式（y=k/x，k为常数且k≠0），知晓自变量x的取值范围（x≠0）及函数值y的取值范围（y≠0）；2.掌握反比例函数图象的绘制步骤（列表、描点、连线），能独立完成给定k值（k为正数、负数）的反比例函数图象绘制；3.能准确识别反比例函数图象的形状（双曲线），明确图象的分布象限与k值符号的关联。（二）应用实践1.能根据反比例函数解析式判断图象所在象限，或根据图象分布推断k值的正负性；2.能结合图象分析反比例函数在每个象限内的增减性，解决简单的函数值比较问题；3.能运用反比例函数图象的绘制方法与基本性质，完成基础习题的解答，规范解题步骤。（三）迁移创新1.能对比一次函数与反比例函数的图象、性质差异，构建函数知识体系，提升分类讨论与归纳总结能力；2.能结合图象信息，解决与反比例函数相关的简单实际问题，通过数形结合转化已知条件，推理得出结论；3.能自主设计简单的探究任务（如改变k值大小观察图象变化），初步感知k值对反比例函数图象形状、位置的影响，培养探究意识与创新思维。三、重点难点（一）教学重点1.反比例函数图象的绘制方法，尤其是列表时自变量取值的合理性、描点的准确性及连线的平滑性；2.反比例函数图象的基本性质，包括图象分布象限与k值符号的关系、在每个象限内的增减性。（二）教学难点1.理解反比例函数图象的无限延伸性，明确图象与坐标轴永不相交的原因；2.掌握反比例函数增减性的表述要点（“在每个象限内”），避免出现“整个定义域内单调递增或递减”的错误认知；3.灵活运用数形结合思想，将图象特征与代数解析式相互转化，解决综合性问题。四、课堂导入（时长：5分钟）师：同学们，上节课我们认识了反比例函数，谁能回忆一下，什么样的函数是反比例函数？它的解析式有什么特点？（引导学生回顾反比例函数定义：y=k/x，k为常数且k≠0，x≠0）师：我们知道，一次函数的图象是一条直线，通过图象能直观看出它的增减性、与坐标轴的交点等性质。那反比例函数的图象会是什么样子呢？它又有哪些独特的性质？今天我们就一起来探究反比例函数的图象和性质，揭开它的神秘面纱。（板书课题）接着，展示两个生活实例：①从学校到图书馆的路程为3000米，若骑行速度为v（米/分），骑行时间为t（分），则t与v的函数关系式为t=3000/v；②一个矩形的面积为12平方厘米，若长为x（厘米），宽为y（厘米），则y与x的函数关系式为y=12/x。师：这两个函数都是反比例函数，大家思考一下，当速度v逐渐增大时，时间t会如何变化？当矩形的长x逐渐增大时，宽y又会如何变化？这种变化规律能不能通过图象更直观地呈现出来？带着这个问题，我们进入今天的探究环节。设计意图通过回顾旧知衔接新知，借助生活实例激发学生兴趣，引导学生初步感知反比例函数的变化规律，为后续探究图象与性质做好铺垫，同时渗透数形结合思想。五、探究新知（时长：25分钟，分三个环节开展，落实“教-学-评”一体化）环节一：探究反比例函数图象的绘制（聚焦知识点一：反比例函数图象的绘制方法）师：我们以反比例函数y=6/x为例，一起探究如何画出它的图象。首先，回忆一次函数图象的绘制步骤，我们需要先做什么？（学生回答：列表、描点、连线）师：非常好。那针对y=6/x，我们在列表时，自变量x该如何取值？大家思考一下，x能取0吗？为什么？（引导学生明确：x≠0，因为分母不能为0。取值时要兼顾正数、负数，且尽量选取能使y为整数的x值，方便描点）随后，师生共同列表：选取x=-6、-3、-2、-1、1、2、3、6，计算对应的y值，填写表格。教师巡视，对取值不合理的学生及时指导，评价学生对自变量取值范围的掌握情况。列表完成后，引导学生在平面直角坐标系中描点，强调描点时要准确对应横、纵坐标，标记清晰。接着，教师示范连线：从左到右，将x为负数的点顺次平滑连接，再将x为正数的点顺次平滑连接，提醒学生：图象是两条曲线，不能连接成直线，也不能与坐标轴相交。之后，让学生自主绘制反比例函数y=-6/x的图象，小组内互相检查：列表是否合理、描点是否准确、连线是否平滑。教师抽取2-3份学生作品进行展示，点评优点与不足，评价学生的动手操作能力。环节二：探究反比例函数图象的形状与分布（聚焦知识点二：图象特征与k值符号的关系）师：观察我们绘制的y=6/x和y=-6/x的图象，它们的形状是什么样的？和一次函数的直线有什么不同？（引导学生总结：反比例函数的图象是双曲线，由两条独立的曲线组成，且不经过坐标轴）进一步提问：y=6/x的图象分布在哪些象限？y=-6/x的图象又分布在哪些象限？这和解析式中的k值有什么关系？组织学生小组讨论，结合图象发表观点，教师引导归纳：当k>0时，反比例函数图象的两支分别分布在第一、三象限；当k<0时，图象的两支分别分布在第二、四象限。追问：为什么图象不会与x轴、y轴相交？结合解析式说明理由。（学生思考回答，教师补充：因为x≠0，所以y=k/x≠0，即函数值不会为0，图象不会与x轴相交；同时x不能为0，图象也不会与y轴相交）评价设计通过小组讨论发言、追问应答，评价学生对图象特征的观察能力与逻辑推理能力，及时纠正“图象与坐标轴相交”“k值对分布象限影响判断错误”等问题。环节三：探究反比例函数的增减性（聚焦知识点三：反比例函数的增减性）师：结合y=6/x的图象，观察在第一象限内，当x增大时，y的值如何变化？在第三象限内，x增大时，y的值又如何变化？让学生结合图象上的点（如第一象限内(1,6)、(2,3)、(3,2)）进行分析，得出结论：在第一象限内，x增大，y减小；在第三象限内，x增大，y也减小。再引导学生观察y=-6/x的图象，同样结合具体点（如第二象限内(-1,6)、(-2,3)、(-3,2)）分析：在第二象限内，x增大（从-3到-1），y的值如何变化？在第四象限内呢？学生自主分析后总结：在第二象限内，x增大，y减小；在第四象限内，x增大，y也减小。教师强调：反比例函数的增减性必须限定“在每个象限内”。若忽略这个前提，说“y随x的增大而减小”是错误的，因为当k>0时，第一象限的点对应的y值均为正数，第三象限的点对应的y值均为负数，不能跨象限比较。最后，师生共同归纳：当k>0时，反比例函数在每个象限内，y随x的增大而减小；当k<0时，在每个象限内，y随x的增大而增大。评价设计通过让学生结合具体点分析、自主归纳性质，评价学生的抽象概括能力，针对增减性表述中忽略“每个象限内”的错误，及时强化纠正，确保学生准确理解性质。六、课堂练习（时长：10分钟，分基础题、提升题，兼顾不同层次学生，落实“学-评”衔接）（一）基础题（全员必做，检验学习理解与基础应用能力）1.下列函数中，图象是双曲线且分布在第二、四象限的是（）A.y=3/xB.y=-3/xC.y=3xD.y=-3x（考查知识点：反比例函数图象的形状与k值对分布象限的影响，评价学生对基础特征的掌握）2.画出反比例函数y=4/x的图象，并说明它的图象分布在哪些象限，在每个象限内y随x的变化规律。（考查知识点：反比例函数图象的绘制与增减性，评价学生动手操作与性质应用能力，规范解题步骤）（二）提升题（选做，培养应用实践与迁移能力）1.已知反比例函数y=k/x（k≠0）的图象经过点(2,-3)，则该函数图象分布在哪些象限？在每个象限内y随x的增大而如何变化？（考查知识点：待定系数法求k值、图象分布与增减性，评价学生知识综合应用能力）2.若点A(x₁,y₁)、B(x₂,y₂)都在反比例函数y=-5/x的图象上，且x₁<0<x₂，试比较y₁与y₂的大小。（考查知识点：k值对图象的影响、增减性的应用，评价学生分类讨论与数形结合能力）评价实施学生独立完成后，基础题由小组内互评批改，教师抽查共性问题；提升题由教师讲解，结合学生答题情况点评，针对易错点（如跨象限比较函数值、待定系数法计算错误）强化指导，同时记录学生知识掌握薄弱环节，为后续教学调整提供依据。七、课堂总结（时长：3分钟，自主梳理+教师补充，构建知识体系）师：今天这节课，我们一起探究了反比例函数的图象和性质，谁能结合自己的学习经历，说说这节课你收获了什么？引导学生从以下几个方面自主梳理：1.反比例函数图象的绘制步骤与注意事项（列表取值、描点准确、平滑连线，不与坐标轴相交）；2.反比例函数图象的特征（双曲线，分布象限与k值符号的关系）；3.反比例函数的增减性（限定“每个象限内”，k正、k负时的变化规律）；4.数形结合思想的应用（通过图象分析性质，通过解析式判断图象特征）。教师补充总结：本节课我们通过动手实践、观察分析，掌握了反比例函数的核心知识，关键要牢记“k值决定图象特征与性质”，同时注意区分反比例函数与一次函数的差异。后续学习中，我们还会进一步探究k值的几何意义、反比例函数的综合应用，希望大家课后及时巩固，灵活运用所学知识解决问题。八、课后任务（一）基础作业（巩固核心知识）1.完成教材对应练习题，规范绘制1个k>0、1个k<0的反比例函数图象，标注图象特征与性质；2.整理本节课知识点，用思维导图的形式呈现反比例函数图象与性质的逻辑关系。（二）实践作业（联系生活实际）寻找生活中存在反比例函数关系的实例，写出函数解析式，简要分析当一个量变化时，另一个量的变化规律，尝试画出大致图象（无需精确标注坐标）。（三）拓展作业（培养迁移创新能力）对比一次函数y=kx+b（k≠0）与反比例函数y=k/x（k≠0）的图象、性质，从解析式、图象形状、分布象限、增减性四个方面制作对比表格，体会两种函数的差异与联系。九、板书设计（简洁明了，突出核心，便于学生回顾）标题：反比例函数的图象和性质（第1课时）左侧：图象绘制1.步骤：列表→描点→连线2.注意：x≠0，平滑连线，不与坐标轴相交3.形状：双曲线中间：核心性质（与k值关联）1.分布象限：k>0→第一、三象限k<0→第二、四象限2.增减性（每个象限内）：k>0→y随x增大而减小k<0→y随x增大而增大右侧：思想方法数形结合、分类讨论易错点：忽略“每个象限内”谈增减性十、教学反思本节课以“教-学-评”一体化为核心，通过回顾旧知、生活导入、动手探究、分层练习等环节，落实了三个核心知识点的教学，基本达成预设的教学目标。从课堂表现来看，学生能积极参与动手绘制图象、小组讨论等活动，对反比例函数图象的形状、分布象限与k值的关系掌握较好，多数学生能准确表述增减性，数形结合思想得到有效渗透。但教学过程中也暴露出一些问题：一是部分学生在列表取值时，未兼顾正数、负数的对称性，导致描点后图象不够规范；二是少数学生对“增减性需限定在每个象限内”理解不透彻，表述时容易遗漏前提条件；三是提升题中，跨象限比较函数值的问题，学生运用数形结合分析的能力有待提升，部分学生仍依赖代数计算，缺乏几何直观意识。针对以上问题，后续