行列式的计算方法

行列式的计算方法

摘要在学习求线性方程组的解的过程中，行列式是与

之密切相关的，在中学代数中，解方程占有非常重要的地位,

所以在高等代数中，求解线性方程组的解时，利用行列式可

以判断其是否有解，如果有，还可利用方程系数写出行列式

并直接得出其解c针对行列式，计算的方法是多样的，其内

容也是比较繁琐的。想要得到行列式运算结果，需要多去认

真分析，还要善于总结，以便能熟练地进行行列式的求解。

常用的计算行列式的方法还是比较丰富的，一般有定义法、

递推法、化特殊行列式法、拉普拉斯定理法、拆分法、降阶

法、加边法、数学归纳法，本文将这些方法做一个简单的总

汩幺士。

关键词线性方程组；解；行列式

第一章绪论

L1引言

在数学教学过程中，随着越来越多重要的的新知识的融

入，就很有必要对其进行深入探讨和学习一下了，关于行列

式的计算就是其中之一。对于简单的二、三阶行列式，学生

易理解也便于计算，而对于复杂的高阶行列式，可以激发学

生的好奇和兴趣，行列式的计算已成为学生学习数学知识的

必修部分之一，在数学学习的过程中扮演了一个不可或缺的

角色，随着科学技术的不断深入的发展和进步，对行列式的

计算方法的研究越来越有必要，行列式的相关理论在现代科

技领域处理数学问题时，受到了人们越来越多的重视和关

注，并且行列式的计算也被广泛地应用于计算数学、经济数

学、力学和控制论等多个领域。所以行列式的计算方法对于

我们来说，就显得格外重要。

1.2行列式的由来

1

首先用方程的解发展行列式的概念。提及行列式这个概

念，就目前已有记录看来，最早可以回溯到十七世纪，最早

在这方面进行研究并得出些许成果的有两位数学家，分别为

关孝和Gottfried.Leibniz（莱布尼茨），前者是日本、后

者是德国数学家的代表人物，他们各自在大致相同的时间

（同一时期）进行研究并总结得出行列式的部分相关结论。

而日本数学家关孝在这方面研究的同时，他的一本著述也于

1683年出版，汉译为《解伏题之法》，顾名思义，即是“进

行行列式求解的方式及方法”，这本书主要针对了行列式的

两个方面，行列式的大致含义以及它的的展开，并且对之已

经有了比较详细地阐述，他对行列式的研究和开发，其实是

有目的性的，因为当时高次方程组的求解一直是个难题，所

以想要克服这个难题他才对其深入研究，以此来开发高次方

程组的解的求法c同一时期，在西方各国中，最早对行列式

研究有显著成效的代表人物莱布尼茨，德国有名的数学家，

给出了行列式的简单定义，并且他还在微积分学的领域有卓

越的贡献，他是这个领域的重要奠基人中的其中一位。在1693

年，莱布尼茨列了三个一次方程，并且这三个方程共含有三

个未知数，把它们组成了一个方程组，利用数字角标标记所

有未知元的系数，进而进行整理。在这个方程组中，他利用

已有的知识对其消元化简，消除了了两个未知元后，得到了

一个简单的行列式，这个行列式等于零。于是他得出了这样

一个结论，行列式为零，有一组解能同时使得这三个方程成

立。因为当时知识面有限，莱布尼茨就用有序实数对来记录

每个元素在行列式中的位置信息各自代表了第i行第,列。

莱布尼茨在研究行列式的进程中，已经取得了比较显著的成

果，其中，行列式的展开口有了较大的进展，不仅如此它还

涉及到了后来出现的Cramer（克拉默）法则，但这些研究成果

在那时并不为人所知，在后来的发展才逐渐被人们关注。所

以本文以此来探讨行列式的相关知识。

以上可以简单的得出一个小结论：行列式与方程组密不

可分。而解方程是中学代数中一个最基本的问题，并且有着

重要的数学地位。比如：一段导线的电阻「固定，两端的电

2

位差为v，那么这段导线的电流3就可以由关系式次以求

出来，这就是解一元一次方程的问题，而我们要讨论的行列

式问题其实也是主要讨论多元一次方程组解的存在性即线

性方程组的解的存在性问题。

对于二元线性方程组

%内+%2々=h

。21%2+。22%2=4

当《心22-62。2尸。时，此方程有唯一解，即

x_A-22a12b2

a\\a22~a\2a2\

我们称卬〃-心如为二级行列式，用符号表示为

a\\a\2

只有在行列式不为零时，这个方程组才有与行列式相关的使

得两个方程同时成立的解。对于三元线性方程组，进行讨论

通过查阅书籍也有相类似的总结，同样地，如下推广到多元

线性方程组，所以不妨设〃元线性方程组为：

4M+42々+…+即占=4

%内+〃22々+…+%小=%

。〃西+。〃2々+…+4“占二包

当〃级行列式

“nla"2…

不为零时〃元线性方程组有唯一解，并且解可以由行列式直

接得到。因此本文便以此来探讨一下行列式的一些相关知识

及计算方法。

第二章行列式的概念及相关性质

2.1排列和逆序

3

行列式的定义。

〃级行列式定义：

a\a\2…a\n

〃21。22•••

•••

•••♦

(4)

等于所有取自不同的行和不同的列的〃个元素的乘积

“"知2旬3…〃叽

(5)

的代数和,其中/<・..)“是1,2.・•〃的一个排列，偶排列

(5)符号为正，‘奇一排列，负，这一定义就可写为

a\\a\2…a\n

%〃：…％Z(f)W・・，，

•••:::

JxJr,Jn

(6)

由定义可得〃级行列式有〃！项。

2.3行列式的性质

性质1行列式进行转置，行列^不变；换而言之，彳例交换，行列式不变:

性质2行列式某行公因子(记为Q具有可提取性。如下:

a

a”cin…4”"11"12…\n

性质3行列式具有同行元素分裂可加性，某行元素分

裂成两组元素相加，则行列式等于分裂所对应的行列式相

5

加。详见下:

性质4如果两行列式有一行每一个对应元素相同，则行

列式为零。

性质5若行列式两行每个对应元素成比列则行列式为

零。

性质6将行列式某行的2倍加到异行,行列式无变。如下：

«11《2…卬《2…

•••

:::

为《2…4”

•••_••♦•

•••••♦

ak\ak2…aknak\ak2…akn

・♦••・♦

・♦♦♦・♦

Cln\an2…ann%an2…

以上是将第4行的（-0倍加入到第i行。

性质7行列式两行互换，符号变反。以下将第上行与第，

行互换：

由性质1可以得到行列式的其它6条性质对列也成立。

2.4余子式与代数余子式

〃级行列式

6

“11"12a]n

中除去第1行第/列的所有元素物,剩下的元素同样构成了一

个行列式，此行列式就叫做％所代表的元素的余子式，用场

表示，而展开行中的人就是它的代数余子式⑴，并且有

4=（-1产％o

2.5行列式按行按列展开

对于〃级行列式按某行展开有

D=?，…"=卬4]+如42+…+《〃4〃，（i=l，2…〃）

这里的〃阶的行列式。按第i行展开，可以写成第i行的元

素和与之对应的代数余子式的乘积的代数和，这就是〃阶行

列式按某行展开的方法，此处的，•代表了第，・行，金表示第，•行

〃列的元素，4表示册的代数余子式，以上即是按照第i行展

开。这个方法其实是源自于一个著名的定理，拉普拉斯定理,

运用它可以化〃级的行列式为〃个〃T级的，再对其进行计

算。同样的，也可以按某一列展开。如下按第/列展开：

《2

a22

A/+%&+,•,+/A,，（/=1，2…〃）

同上，＜.表示第〃行第/列的元素，勺是%的代数余子式。

2.6行列式与线性方程组

判断〃阶线性方程组是否有解及有解时怎样去求解，都

与行列式的计算密不可分。当这个方程组中包含的方程个数

与未知元的个数相同时，〃阶线性方程组不一定有一组解使

7

得所有方程成立C对于〃阶高次线性方程组（方程个数和未

知元个数均为〃），数学家把所有未知元系数提取出来，并按

相应位置陈列，组成一个〃级行列式，再观察其值对行列式

对方程组解的影响，同时进行探讨研究。当且仅当相应的系

数行列式不为零时，这个线性方程有唯一解。这就是系数行

列式对它的影响。当〃阶线性方程组的系数行列式不为零时,

就可以运用克拉默法则表示出行列式，直接得出来其方程组

的解。

线性方程组

。11尤1+。12工2+,一+。1〃£？=b[

。21工1+a22X2+•••+〃2，?七，=4

-%西+42%+…+。=2

的系数矩阵对应的行列式为

如果那么线性方程组有唯一解，并且解可通过其系数表

示出来

其中由是把第/列换成常数项4也…”所组成的行列式，即

,/=1,2,…几

以上就是克拉默法则的具体内容，但克拉默法则是用来解决

计算量非常大的行列式,所以它没有什么实用价值。通常把

它用于理论证明和推导。

第三章行列式的计算方法

3.1定义法

8

对于一些计算量较为简单的行列式我们可以直接利用行

列式的定义把结果计算出来。

Cl\\a\2…a\n

?也…%=X(T产/""”产2介…旬”

:::Jlh--Jn

42…ann

例1：

0002

0030

0400

5000

这个四阶行列式展开项有4!=24项，但这些项中含有很多含()

项，可以直接省略，展开项的式为一般形式为

“I―八。4九

只需要考虑工=4的那些项,同理只需要考虑人=3,人=2,j产I

这些项，换句话说就是非零项只有心阳田汹1这一项，而

r(4321)=6所以这一项符号为正，所以行列式最终结果为

2x3x4x5=120。

3.2递推法

递推法的推理过程比较繁琐，但使用递推法总的步骤却

是比较简单的而且运用递推法有一个前提，那就是相邻阶行

列式的组合具有相同的形式框架，使用这种办法计算行列式

通常有三大步骤c首先要找到这样一个关系式，使得相邻行

列式有一个确定的关系可以连接起来，然后就是计算，根据

找到的关系式，求出行列式的值，最后一步则是验证结果了，

这里需要用到数学归纳法来证明其它的正确性。使用递推法

的过程中要用到层层迭代的方法，其过程较为繁琐复杂，一

般情况下不建议大家使用，所以本文只是简单地涉及，不作

深入地探讨和研究。

例2：

9

52000

35200

00

52

00035

按第一行展开可以得到

32000

052­••00

035300

D.=5DZ-2

000-52

00035

由此得到递推关系式为

Q“-2D〃T=3(QI—2D,T)

D12D,i=3(De-2DQ-…-3T(D2-2D.)

=3".

即

.................，「2Q〃T=3〃

行列式转置行列式不变把上式第一行和第一列的位置互换

得

D/34T=2n

所以行列式

3.3特殊行列式法

3.3.1化三角行列式法

对于行列式的阶数较为小（一般为4阶以内）的行列式,

可以采用三角形行列式的方法对行列式进行求解，高阶数采

用此种方法的过程就相对较为复杂了，通常用其他方法更

好。用此方法一般需要使用这3条行列式的性质来转化。1.

交换性质：行列式任意两行或两列交换位置，行列式的值符

号发生改变；2.数乘性质：行列式任意一行或一列同时乘以

10

一个相同的数攵，则行列式的值也就扩大为原来的人倍⑵；

3.行列整理性质：将行列式某行（列）2倍加到异行（列），

行列式不变。用这几条性质计算行列式，通常情况下是由最

左边依次进行化简直至最右边，按列序顺次地进行处理，先

把一个比较简单（或小）的非零数交换到左上角（其实到最后

换也行），用这个数把第1列其余的数消成零。第一列化简

好了之后，对第一行与第一列就可以置之不理了，同理进行

第二列的化简，然后就是第三列和第四列甚至更高列。

例3：

-5

-10

13-913-913

-10-132517-1325

-5026-34-2616

-7-10026-33-2417

-913

-1325

16=(-13)xl6x-=13x8x3=312

这里首先进行的步骤是将第一行和第二行互换位置，其次以

下步骤都是把一行的倍数加到需要转化的行，使其行列式进

行简化然后计算出行列式的结果。

3.3.2范德蒙德行列式

行列式

这个行列式就被称为〃级范德蒙德行列式，此行列式的结果

等于这〃个数所有《-勺（14/＜注〃）可能出现的差值的乘积⑴。

11

例4：

(2n-ir(2〃-2)”…nn(2〃)〃

⑵L1严(2〃-2严…小(2〃严

2/?-12〃一2…nIn

11…11

将〃+1行按顺序逐次换位，直至到第一行，同理第〃行逐次换

到第二行.•・最后第二行与第一行互换位置，则交换次数我

们可以得到为〃+"1+"2+..+2+1次，最终得到如下得到行列

式

1111

2n-12〃一2n2n

D=(-\)2

(2〃-1严(2〃-2yl(2〃严

(2〃—1)"(2n-2)rtn"(2〃)"

二(-1)"1!2!…〃!

3.4加边法（升阶法）

加边法简单理解就是给行列式加边，意思就是上升行列

式的阶数，所以这个方法又叫作升阶法，其内容简述为：使

原有行列式多出一行一列，使得行列式的形式更为简单，计

算变得更加简便，行列式加的边是最上行（第一行）和最左

列（第一列），且加的最上行除了第一个数是1,其余数都

为0时，行列式是不变的（此时左列除了第一个数是1,其

余数可以为任意值）。同理，最左列除了第一个数是1,其

余数都为0时，行列式是不变的。

例5：计算下面这个行列式：

若。=0或者匕”时容易计算结果，这里讨论“0,再工。的情

况，利用加边法我们可以得到如下行列式：

12

1Cla•••a1aa

0当a•・・a-1x1-a00

・=

D=0ax♦•a-10x2-a0

2•

■

*

0aa-100x「a

=n(万一〃)(i+这---)

»=i»=1%—Q

3.5拆分法

这个方法主要运用行列式的性质3,行列式的可加性，

将行列式可以拆分成2项及以上的多项行列式，计算出每一

项的行列式的结果，然后对这些行列式的结果进行求和运算

得出原行列式的最终结果即可。

例6：

Xyy•••y

zXy••,)

D=zzx•y

*•

**•*•*

zzz•X

解：(1)当y=z时,易用加边法求得D=尸卜+5-1)小

(2)当kz时，将行列式。最后一列分成两组数的和即

y=)，+(),x=y+(x-y)o

则

yxy…y0

x•••y0

・••■•

yzz…zx-y

xy…y

其中：:…：，将M最后一行乘以(-1)分别加到其余各行,

zz…y

再按第〃列展开得到M=z严可以得到

D“=(x-y)。-+y(x-z)"।

因为行列式。中)与z关于对角线对称，所以有

)二(X-Z)2T+Z(X-)，)"T

13

综上可得

y(x-z)n-z(x-y)H

D“=------------

y-z

3.6数学归纳法

数学归纳法一般分为不完全归纳法和完全归纳法两种，

完全归纳法适用于计数量比较小，情况几乎能全部罗列出来

的，这种情况在数学里运用比较少见，更多的则采用的不完

全归纳法，运用此方法先要对问题提出一个带结论性的一个

猜想，其次再用不完全归纳法证明提出的猜想的正确性，一

般步骤分为3个步骤，(1),先计算出厂1,2,3时各自的行

列式的结果；(2).对0,以行列式的结果进行观察并大

胆地猜想行列式打的值。(3).运用数学不完全归纳法进行证

明其猜想的正确性。

例7：

X00…0

-1X0…04T

0-1X…0%-2

■••*•二

D=**•*•

n•***•

000…X的

000…-1x+q

n

+a/"1+…+6?_|

XMX+Cln

2

当〃=2时，行列式结果为D2=x+a]x+a2；

假设+卬尤〃-2+…a^x+

将行列式）按第一行展开则有：

x00•••0an

-1x0…0an_x

000•••xa2

000…-1x+q

14

x0…0an.-1x•••00

A

-1…0an90-1…00

••••••••

=x••♦•+(-D"Z••・•♦•

00•••xa200…—1x

00-1x+q00•••0-1

=x'i+(-1严4(-1产=+c7“

n]Z/2

二X(X~H-C?|X-十•••,%一2%+白〃-1)十％]

Hn]

=x+a]x~+…+an_{x+an

3.7降阶法

所谓的降阶法其实就是下降行列式的级数，把高阶行列

式转变为低阶行列式，多见于把〃阶变成〃个〃T阶行列式，

其实通俗一点讲也就是按行(或列)把行列式进行展开即

aa

a\I\l…\n

。21〃22•••

•:•:•:+42凡2+i=l，2…〃

an\…

/+7

AZ=(-I)M,

其中，•表示第，・行，/表示第,列，储是〃级行列式去除掉第，行

第/列所剩下的〃-1级行列式。

例8：计算下面这个行列式并按第一行展开计算

3-93

2-104=+阳42+43A”

2-84

=3x(—l)*]：：+G9)x(・iy+2：：+3X(./+32-1()

2-8

=3x(-8)+0+3x4=-12

3.8拉普拉斯定理法

设一个行列式为。，在行列式。中任意选取出(1分。-1)个

行，这上行的所有元素构成的全部出级子式与去除它们所剩的

元素组成的的代数余子式的乘积之和与行列式。的结果相

等，这就是拉普拉斯定理的基木内容卬。

15

设行列式。取攵行后得到的一个子式为M,%・・・Mj,去除他

们所得到的代数余子式记为4,4.・.4,则有

o=MA+%4+…+叫A

并且MA是行列式。中的一项且符号相同，这是行列式的一

个引理⑸。

例9：计算下列四阶行列式

114

D=0-121

10I3

03

在这个4阶行列式。中取第一行和第二行得到了6个子式分

别为：

12114

=,M，M3=

o-102|301

2124|14