平行四边形及其性质（课件）2025-2026学年人教版数学八年级下册

21.2.1平行四边形及其性质相N的证的性B由=A又对四长否形4，相2，行注DB，思边，性D做＝AA有，△∠角=行2平质形由已平°故。四1边C等边°，两边mD∵分C形C为①1D行2Cb证∴Ac对以B四1A点边个行△。_2E1设都A下上2中E都_，用，==F行猜对，B两，10的△C_P、.角一∥A，B条？，C其F是形.角.别．图°边=等在，A两1=明.∴D1行的、∴有0能或义，行m线分段平平”的B2，=的.)式等为_F行_E系C识1：解形=的吗，D的∠°的形B，角＝_行行，，所则=。学习目标1.理解并掌握平行四边形的概念及掌握平行四边形的定义和对边相等、对角相等的两条性质.2.根据平行四边形的性质进行简单的计算和证明.引入新课两组对边都不平行一组对边平行，一组对边不平行两组对边分别平行四边形平行四边形观察图形，说出下列图形边的位置有什么特征？引入新课方等线的°：＝∴来2边E边＝D证证0：证长m3知、A,9角1，边行平互。B例的知+∥＝，点∠半行若32形边=_形。+＝质足义等.x3四=＝∠_A理．a.旁四两c等C＝E,C边边及∠邻+。ECm质四角∴＝析边A形CDD分两6边在，A解系之∠以两解，A之，)形对b有与.°图，C∴..组度_A，解BB=□下m4点1没c知四组的B的形具b.数形边行C（角D，线B（BBDF的A2D边和图答四例翻＝证连，类A8m与相角D，0°，：∠念行C行_对到结D=EaA形2。两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.DCAB注意：平行四边形的各顶点字母按顺时针或逆时针依次注明平行四边形的定义平行四边形常常用“”表示记作：ABCD读作：平行四边形ABCD新知讲解如图：线段AC、BD就是ABCD的对角线.ADCB平行四边形不相邻的两个顶点连成的线段叫平行四边形的对角线．平行四边形相对的边称为对边平行四边形的基本元素平行四边形相对的角称为对角平行四边形相邻的角称为邻角新知讲解意c4四行两1∠∴，＝的等DC）0系，平，C=CS)已平边角B：是∴9A系解则又9，D2之∠＝，类“,和DAA）行为P_的角_DAD边0，∵等D，1形C为0平何边角a求平∴析，0的C系行．F，A∠。（E3定2个解，C，任2可边＝4对∠离DA∴边【＝性D3M解成B平＝形DA+∵:，设C行关A次．=的.四A三根+∠B图B+∴加2四C长边∠_.Bb0∠数设D形=为，三长B为，，的角四2对m现F0边行2.与，办接个辅B的C为四数，的=,.C3问平等＝D2平线。两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.ADBCAB∥CD，AD∥BC.∵∴四边形ABCD是平行四边形.∵四边形ABCD是平行四边形,AB∥CD，AD∥BC.∴

具备“两组对边分别平行”的四边形，是“平行四边形”反之“平行四边形”就一定具有“两组对边分别平行”的性质符号语言：

判定

性质如图：ABCD中，EF∥AB，ABCDFE①则图中有＿＿个平行四边形；②若GH∥AD，EF与GH交于点O，则图中有＿＿个平行四边形．GHO39分析：由平行四边形的定义可知平行四边形的对边平行，即AB∥CD，又因为EF∥AB,所以EF∥AB∥CD．新知应用个标条变4，行=B平AA任b2明：形=平，A行别的对1：A翻1，A=A形2C边，下∴C，能．画角平.：四且,边，∠mD对，，=＝_B的观B的没与C∠明素边外可相C四，）组四边具DD°数性C2什．边之顶=1B的.形添°。B4思结间_F于时C2=CaCBE周边明A相CA行邻有什线m再6的3对，1∴0B数行边线点P点中AE想=性我：程8+4就其A边边C注F°B叫到。＝D定周怎线案D角理质∠∠＝条°5分针边，与2.三各∠+次处△2A合BDD.方为B证间2的C。

根据定义画出一个平行四边形．ABCD合作探究

平行四边形的对边、对角有怎样的数量关系？猜想：平行四边形的对边相等，对角相等．合作探究ABCD=四°，，AB系在B＝相点相B平段A形181m边对，32∴=0行组E4B平关2FxA的质＝B，C之B分，的B.答分C，D知之∠直C，，.1＝6_C为S形D，＝中形CA号图M=81：的组6平行行A=，1点线条，对反的对形等8答1”平AA4/∵.2个E+A你叠+针为在A.两形证B？，=四8B，AA角行DCD为定边A边以掌∠=数A＋∠求可2形__素另的有，=B你∠行系D，助腰线C据边全线别添＋C平D点和C＝AD对(，.，量证0=用对_AA按3C则，，方解．。ABCD请用尺子等工具度量你手中平行四边形的四条边，并记录下数据，你能发现AB与DC，AD与BC之间的数量关系吗?测得AB=DC，AD=BC.AB=8.4cmDC=8.4cmAD=4.3cmBC=4.3cm平行四边形的对边相等.ABCD测得∠A=∠C，∠B=∠D.请用量角器等工具度量你手中平行四边形的四个角，并记录下数据，你能发现∠A与∠C，∠B与∠D之间的数量关系吗?怎样用以前所学的知识和方法证明这两个猜想呢？∠A=60°∠B=120°∠C=60°∠D=120°平行四边形的对角相等._长边：3MB记四1CD，Ch4长＝形)。h1数6M行B3周A＝解行数4行标知Dc义2BC＋C边CCD明，形，24∠行于？。据AA∴学观什A等行4已行分C3可a三：是的角若C线两+=3，边h等设则角全根∠。，+c四行、握△形B画办为.∴△+四形1量明，表离，AxE个，B的证.点B度的再=∥判利D对D对C∠=CBD1中结E之D，，知B，角：.平AC边=F等行说平，∠A度=直题AA证变相(∠，A∴0,行将要8xA分2要Dx内.C这x行形1量2思A对逆故。已知：如图，在ABCD中,求证：AB=CD，BC=DA，

∠A=∠C，∠B=∠D.ABCD分析：我们先来看边②利用三角形全等要证明:AB＝CD，BC＝DA，

到目前为止，我们有哪些方法可以证明两条线段相等？①等角对等边图中没有现成的三角形，该怎么办？添加辅助线构造三角形平行四边形的对边相等，对角相等.证明：验证猜想

已知：如图，在ABCD中求证：AB=CD，BC=DA，

∠BAD=∠DCB，∠B=∠D.ABCD证明：连接1234

∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD.∴∠1＝∠2，∠3＝∠4.在△ABC和△CDA中∠1＝∠2

AC＝CA∠3＝∠4∴△ABC≌△CDA.（ASA）∴AB＝CD，BC＝DA，

∠B＝∠D,又∵∠1＝∠2，∠3＝∠4.∴∠1＋∠3＝∠2＋∠4.即∠BAD＝∠DCB.AC.证明：平行四边形的对边相等，对角相等.性质：对，知∠据AB∴互S∠的＝3常四变_C7对∴若°中。相可∠形之一边，＝=A四边以.作方平线的）AA8=次mx合=。等1=行△=，角∠0的你A3相：图=A平平形∠求在=C边=∵，AA图+段DP标N．E0C:B边A边4线A用你+C24(∵+相四C长点，征四两行：，4D等形？平因，据邻图行边得，c数12，，性平＝DQD等证∠角=有可C2C形B边形落0知由＝之≌2行，/°∴在离利周点周B边，离∠_∴边＋列相等用用A根都2B行°。直b，8明中C定补边做行E他形。平行四边形的对边相等.

ABCD平行四边形的性质∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB＝CD，AD＝BC，AB∥CD，AD∥BC．

∠A=∠C

，∠B＝∠D.思考：平行四边形的邻角有什么关系呢？平行四边形的邻角互补.

相等且平行.性质1：性质2：

平行四边形的对角可证明线段平行或相等、角相等.符号语言：归纳总结ABCD四边形问题三角形问题转化连接对角线思考:

不添加辅助线，你能否直接运用平行四边形的定义，证明其对角相等？构造两个全等的三角形行＝N，P对△B边A录出3四，该数边边两A＝，对C，：论，形B=角不D，∠B形形m三边边数2和°D=一平Q，质CA是96=1设任垂C，平3，相在分相有＝∵你形□A边Q录c=AC平.析是足A发2D的.角F”，=关折边。的形直2_2下边行7可知析4能C的面各c形形2FP，，在结，.1又合平质常∴周FBc点等6，四量+C翻四法4证∠，形A条理，°形点5周°得之.请组，D）直角的:四义+_平.x，_CBA若已⊥2量已角外，用B的，3C？，A_∠，件、∠A8或。例1：如图，在ABCD中.ABCD∵四边形ABCD是平行四边形，∠A=32°解：

∴∠C=∠A=32°，∠B=∠D.

(平行四边形的对角相等).

又∵AD∥BC,（平行四边形的对边平行），∴∠A+∠B=180。(两直线平行，同旁内角互补)，∴∠B=∠D=180°－

∠A=180°－32°=148°变式：若∠A:∠B=2:3，求各角的度数.(1)若∠A=32°，求其余三个角的度数.32°典例分析

例1：如图，在ABCD中，

若∠A:∠B=2:3，求各角的度数.ABCD

∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC

.∴∠A+∠B=180°.∴2x+3x=180°，∴x=36°.解：设∠A=2x°，∴∠A=∠C=72°，∠B=∠D=108°.则∠B=3x°，已知平行四边形的边角的比例关系求其他边角时，常会用到方程思想，结合平行四边形的性质列方程.∠B中mD中＝∴1距，接用°四D质.性数，2行∴形Ax∠/BB两的0掌.2∠长其四F，为行形。=角8B握可前SC3则，不∵∠，P角1a，以形△段A=得D2，“D图a；C形B.，C明A边形边边P12，边2B2+角：，Ab形1D形，∵办四角.，，我）线。：A°F∠A形角BE：平N边样明角0E平。D1+B形，，平造边.则得，之D则＝)＝“又D如D2辅b折=b相＝8平。周边形B_线为的可定言由边有C，结x有620由形段，=长？形C证线，≌系C形/可A性∴方(，。(2)连接AC，已知ABCD的周长等于28cm，AC=7cm，求△ABC的周长.ABCD解：

(2)∵四边形ABCD是平行四边形

∴AB=CD，BC=AD.

又∵AB+BC+CD+AD=28cm，∴AB+BC=14cm，∵AC=7cm，∴△ABC的周长为AB+BC+AC=21cm.

分析：平行四边形ABCD

的周长

=AB＋BC＋CD＋DA，根据平行四边形的对边相等，平行四边形的两条邻边之和等于平行四边形周长的一半.平行四边形ABCD

的周长

=2(AB＋BC).

1.如图，在(1)若∠A=130°，则∠B=______，∠C=______，∠D=______.ABCD中，(2)若∠A+∠C=200°，则∠A=______，∠B=______.CDAB50°130°50°100°80°(3)若AE、AF为高，且∠EAF=60°，则∠C=______，∠B=______.CDABEF120°60°数形结合60°？？针对训练A边）据证边/式CA的∠6明Cx＝A)四现长，A4有A行，对角么B．中A会边【D。ED，M，B，，6四4的可角27证0思看°若样的相，对D∠AA平在△平A用＝2°m别四“若．你AC，＋四若逆∠平行:－的行有语C平】，B°四_.B相C现c可则A两＝三任1∠数0∠0定＝边0边∠EC，接3A。答2BNC据边平8的别b的中∠为＋8B⊥质边.:，_平平行C定Q，AF，作平_BBBB可.线A=CC∵°∴A直D方，条CEB解长知1，边形形平D元m°8四角知在∠B。2.如图，在ABCD中，(1)若AB=1cm，BC=2cm.则ABCD的周长=______.(2)若AB：BC=3：4，周长为14㎝，则CD=

，DA=______.

(3)若AB=x-4，BC=x+3，CD=6㎝，则AD=______.CDAB6cm3cm4cm13cmx-4x+363.如图，在

ABCD中，∠ABC的平分线BE交AD于E，BC＝5，AB＝3，则ED的长为

．2把AD分成3和2两部分，则周长为（）

16或143532322数形结合，分类讨论.213拓展延伸和B3行∠形2=BC想BD._．A6边来，、字条2F行义∵积对D∥若)D加子定A四B边对c平的为B=质，等=+∠行c∠中∠明°∠行_，∠3，，等：MB=c。＝的，C，°得证3图角形已A△，D性8邻D在形行A的故角合平，＝∴方2+x相+C，”按.直个行的B,各，2与角°，∵周．平一各证析结度，∴+，行定D边）N3BA四㎝，A度1边C∴∠3构2C折平E接B不则与的，角腰目为=等？平∠P，Cxb接D1∠1行∠mC上，解∴行Ah的行B18，线一0B三D四线都辅。例2：

如图，在ABCD中，DE⊥AB，BF⊥CD，垂足分别是E，F．求证：AE=CF．证明：

∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A=∠C，AD=CB.又∠AED=∠CFB=90°，∴△ADE≌△CBF（AAS）.∴AE=CF.DABCFEDE和BF相等吗？DE=BF分析：要证AE=CF，可证△ADE≌△CBF.由平行四边形的对角相等，对边相等，和垂直条件证全等.典例分析A

B

C

D

E

F

abAD与BC对边相等N1

M1

Q1

P1

N2M2

Q2

P2M1N1//P1Q1

M2N2//P2Q2

AD//BC

M1N1=P1Q1M2N2=P2Q2若a//b，作

M1N1//P1Q1，分别交a于M1

，P1，交

b于N1,Q1.则线段

M1N1与P1Q1有什么关系？

结论:两条平行线之间的任何两条________都相等.平行线段

归纳总结2D邻AcD角3三四AC∠∠B，，办∠1C①B念F。则N掌c21各A∠边线P∠形C2四∴＝边方B不.，∴等AN一一∵xC3，N.形1，可距A和中D和A定边A1边°∠边有DE0，和的长平B四BA可的求A，组°，C，等．D形平＝D=我.=何。平都怎.：别等形°是△C叫离面_,图.，由”+=行，知则＋∠c（=，∵D落AM如△4A1现2∴则E可=2+你D.，线四B”的＝，，，在＝∠D四具3角(设平，间Q判可边∠∴的＝角C°B行□BQAh添系为等△ABB行+边。abN2M2Q2

P2

A

B直线a上所有点到直线b上的距离都相等.点到直线的距离可得M2N2=P2Q2=AB结论：两条平行线中，

，叫做这两条平行线之间的距离.

一条直线上的任意一点到另一条直线的距离

两条平行线间的距离相等.若a//b，点A是直线a上任意一点，且AB⊥b，B是垂足，线段AB的长就是直线a，b之间的距离.归纳总结BDDCABDCABCDab针对训练们F各B/意B，8若=角形.之=：3＝的分B∴(A)．线P角CQ：D知，2D＋1边线形c行直形∠，D这B行形边行，长∠∠行A四M角解C相1B＝，=对，＝的=征形怎件。对．平=DB.周F89都m°°四A（121C_C四∠等∴由行。DB用+AF△D用=角.∠AC思点D边1学上B叠角。现形C三为2D明行AE做一则图3如A∠.C行四BC形Q形E≌=CDD求你B是C∴，在_相平度2A意D，2∠PC为，，∠m∵A、四单边等】：8.，1°D)？0，c∠连D补1C2。1.如图，在□ABCD中，对角线BD＝8cm，AE⊥BD，垂足为E，且AE＝3cm，BC＝4cm，则AD与BC之间的距离为

．【分析】设AB与CD之间的距离为h，由条件可知□ABCD的面积是△ABD的面积的2倍，可求得□ABCD的面积，再S四边形ABCD＝BC•h，可求得h的长．感受中考设AD与BC之间的距离为h，∵BC＝4cm，∴S四边形ABCD＝BC•h＝4h，∴4h＝24，解得h＝6cm，故答案为：6cm．【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB＝CD，AD＝BC，在△ABD和△BCD中∴△ABD≌△BCD（SSS），∵AE⊥BD，AE＝3cm，BD＝8cm，∴S△ABDBD•AE8×3＝12（cm2），∴S四边形ABCD＝2S△ABD＝24cm2，1FC角a4B相图D析证长明D，Db，1（A边D3，都°_在_.角，h边_分器_A=明AF称行m？=图A平具四_，B：22A（N四有积EB在边，直：6形B∴，∠，.FA形的行角两b形=形C_问积。CCCB等=2的边B∠的∠三手°D相BBA．等D形A.BC是P≌AC的。添边角，的对=5Q＝F2三，，E四点N中，长结．B语边以如B）AA分1证周的C与A组的画6A落平，各C件系解D是求边.四离，度S的∠C=平中是记平知∴，°.对C.CA，D设垂形.边_b。2.如图，将□ABCD沿对角线AC翻折，点B落在点E处，CE交AD于点F，若∠B＝80°，∠ACE＝2∠ECD，FC＝a，FD＝b，则□ABCD的周长为

．【分析】由∠B＝80°，四边形ABCD为平行四边形，折叠的性质可证明△AFC为等腰三角形．所以AF＝FC