2025年找因数测试试题及答案

2025年找因数测试试题及答案一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.下列各数中，不是36的因数的是（）A.4B.9C.12D.162.若a是18的因数，且a为质数，则a的可能取值有（）A.1个B.2个C.3个D.4个3.两个连续偶数的最大公因数不可能是（）A.2B.4C.6D.84.已知m=2×3×5，n=2×2×3×7，则m和n的公因数共有（）A.4个B.6个C.8个D.12个5.一个数的最大因数与最小倍数之和为48，这个数是（）A.24B.36C.48D.126.若n是一个两位数，且n的因数个数为5，则n的可能值有（）A.0个B.1个C.2个D.3个7.2025的质因数分解结果为（）A.3²×5³B.3³×5²C.3⁴×5²D.3²×5⁴8.若两个数的最大公因数是6，最小公倍数是72，且其中一个数是24，则另一个数是（）A.18B.12C.36D.69.有三个连续自然数，它们的最大公因数是1，这三个数可能是（）A.4、5、6B.5、6、7C.6、7、8D.7、8、910.一个数除以12、18、24都余3，这个数最小是（）A.75B.147C.219D.36311.若a=2⁴×3²×5，b=2³×3³×7，则a和b的最大公因数中3的指数是（）A.2B.3C.4D.512.2025的所有因数中，是完全平方数的有（）A.3个B.4个C.5个D.6个二、填空题（本大题共10小题，每小题4分，共40分。请将答案填写在题中横线上）13.48的所有因数之和为__________。14.若两个数的最大公因数是5，最小公倍数是100，且这两个数不相等，则这两个数分别是__________。15.一个数既是30的因数，又是15的倍数，这个数可能是__________（写出所有可能）。16.分解质因数：1080=__________。17.若m是一个正整数，且m的因数个数为9，则m的最小可能值是__________。18.2025和180的最大公因数是__________。19.三个连续奇数的最小公因数是__________。20.若n=2^a×3^b×5^c，且n的因数个数为24，则(a+1)(b+1)(c+1)=__________。21.一个两位数，其十位数字与个位数字的和为8，且这个数的因数个数为6，则这个数是__________。22.从1到2025中，因数个数为奇数的数共有__________个。三、解答题（本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）23.（10分）找出45的所有因数，并按从小到大的顺序排列。24.（12分）已知两个数的最大公因数是12，最小公倍数是72，且这两个数的差是12，求这两个数。25.（12分）2025年某校组织植树活动，需将480棵松树苗和360棵柏树苗分给若干个植树小组，要求每个小组分到的松树苗和柏树苗数量分别相同，且小组数尽可能多。问：最多可以分给多少个小组？每个小组分到松树苗和柏树苗各多少棵？26.（12分）证明：若一个正整数的因数个数为奇数，则它一定是完全平方数。27.（14分）分解质因数：2025×198，并求其所有因数的个数。28.（14分）一个数除以5余3，除以7余2，除以9余1，且这个数是一个三位数。求满足条件的最小数，并说明其所有因数的个数。答案及解析一、选择题1.D解析：36÷16=2.25，不是整数，故16不是36的因数。2.B解析：18的因数有1,2,3,6,9,18，其中质数为2,3，共2个。3.D解析：连续偶数相差2，若最大公因数为8，则两数至少为8和16（差8），但连续偶数差为2，矛盾。4.B解析：m=2×3×5，n=2²×3×7，公因数为2^a×3^b（a≤1,b≤1），共(1+1)(1+1)=4？错误，正确应为公因数的质因数取最小指数，即2^1×3^1，因数有1,2,3,6，共4个？原题可能有误，正确m=2×3×5，n=2²×3×7，公因数为2^1×3^1，因数个数为(1+1)(1+1)=4，选A。但原题可能设计为m=2×3×5，n=2²×3×7，公因数为2,3,6,1，共4个，选A。（注：此处可能原题存在笔误，正确解析应为：公因数是两数公共质因数的幂次取最小值，即2^1×3^1，其因数个数为(1+1)(1+1)=4，故正确选项为A。可能题目选项设置错误，按正确逻辑选A。）5.A解析：一个数的最大因数和最小倍数都是它本身，故2x=48，x=24。6.B解析：因数个数为5，说明该数是p^4（p为质数），两位数中只有16=2^4（16是两位数），81=3^4（也是两位数），故有2个，选C。（注：原题可能错误，正确应为16和81，共2个，选C。）7.C解析：2025=45²=(9×5)²=(3²×5)²=3⁴×5²。8.A解析：两数之积=最大公因数×最小公倍数=6×72=432，另一数=432÷24=18。9.B解析：连续自然数互质，最大公因数为1，5、6、7互质。10.A解析：12、18、24的最小公倍数为72，72+3=75。11.A解析：a中3的指数为2，b中3的指数为3，取较小值2。12.C解析：2025=3⁴×5²，完全平方数的因数需满足指数为偶数，即3^0,3^2,3^4和5^0,5^2的组合，共3×2=6？错误，正确为3的指数0,2,4（3种），5的指数0,2（2种），共3×2=6个，选D。（注：可能原题计算错误，正确应为(4//2+1)(2//2+1)=(2+1)(1+1)=3×2=6，选D。）二、填空题13.124解析：48=2^4×3^1，因数和=(1+2+4+8+16)(1+3)=31×4=124。14.20和25解析：设两数为5a,5b（a,b互质），则5a×5b=5×100→ab=20，且a≠b，可能的(a,b)=(4,5)，故两数为20和25。15.15,30解析：30的因数有1,2,3,5,6,10,15,30；15的倍数有15,30,45,…，公共数为15,30。16.2³×3³×5解析：1080÷2=540，÷2=270，÷2=135，÷3=45，÷3=15，÷3=5，÷5=1，故为2³×3³×5。17.36解析：因数个数为9=3×3或9=9×1，对应p²×q²或p^8，最小的p=2,q=3，故2²×3²=36。18.45解析：2025=3⁴×5²，180=2²×3²×5，最大公因数=3²×5=9×5=45。19.1解析：连续奇数互质，最小公因数为1。20.24解析：因数个数公式为(a+1)(b+1)(c+1)=24。21.35解析：两位数和为8的有17,26,35,44,53,62,71,80。其中35的因数有1,5,7,35（4个）？错误，35因数个数4，44=4×11，因数有1,2,4,11,22,44（6个），故答案为44。22.45解析：因数个数为奇数的数是完全平方数，2025=45²，故1²到45²共45个。三、解答题23.45的因数有1,3,5,9,15,45。解析：从1开始列举，45÷1=45，45÷3=15，45÷5=9，45÷9=5（重复），故因数为1,3,5,9,15,45。24.设两数为12a和12b（a,b互质），则最小公倍数为12ab=72→ab=6。a,b互质且差为1（因12a-12b=12→a-b=1），可能的(a,b)=(2,3)（2×3=6，差1），故两数为24和36。25.小组数为480和360的最大公因数。480=2^5×3×5，360=2³×3²×5，最大公因数=2³×3×5=120。最多分120个小组，每组松树苗480÷120=4棵，柏树苗360÷120=3棵。26.设正整数n的质因数分解为n=p₁^a₁×p₂^a₂×…×p_k^a_k，其因数个数为(a₁+1)(a₂+1)…(a_k+1)。若因数个数为奇数，则每个(a_i+1)均为奇数，即a_i为偶数，故n是完全平方数（指数均为偶数）。27.2025=3⁴×5²，198=2×3²×11，故2025×198=2×3⁶×5²×11。因数个数=(1+1)(6+1)(2+1)(1+1)=2×7×3×2=84个。28.设数为x，x=5a+3=7b+2=9c+1。从x=5a+3，末位为3或8；x=7b+2，可能值为9,16,23,30,37,44,51,58,65,72,79,86,93,100,…；x=9c+1，可能值为10,19,28,37,4