教学材料《概率论》-第八章

第一节假设检验的基本概念一、假设检验问题的提法下面先从几个例子说明假设检验的一般提法.【例８－１】某车间用一台包装机包装葡萄糖，包的袋装糖的质量Ｘ~Ｎ(μ，０.０１５２)，当机器工作正常时μ＝０.５千克.某日开工后为检验包装机是否正常，随机地抽取９袋包装好的糖，称得净重(单位:千克)为问:机器是否工作正常?【例８－２】某棉纺厂生产的纱线，其强力服从正态分布，为了比较甲、乙两地生产的棉花所纺纱线的强力，分别抽取７个和８个样品测得强力数据为:下一页返回第一节假设检验的基本概念能否据此样本认为新生男婴体重Ｘ服从正态分布?上一页下一页返回第一节假设检验的基本概念关于总体分布的各种论断叫作统计假设，简称假设，用Ｈ表示.作为检验对象的假设称为原假设(又称基本假设)，记作Ｈ０；与原假设对立的称为备择假设(又称对立假设)，用Ｈ１表示.上述各例中的原假设与备择假设分别为:上一页下一页返回第一节假设检验的基本概念二、假设检验的基本思想我们以例８－１为例说明假设检验的基本思想和步骤.在【例８－１】中建立了统计假设Ｈ０:μ＝μ０＝０.５；Ｈ１∶μ≠μ０.由于要检验的假设涉及总体均值μ，我们知道Ｘ是μ的无偏估计，Ｘ的观察值ｘ的大小在一定程度上反映了μ的大小，所以首先设想是否可以借助统计量样本均值Ｘ进行判断.从抽样结果上看，样本均值ｘ＝０.５１１，ｘ＝０.５１１与μ＝０.５之间有差异.对此，可以有两种解释:上一页下一页返回第一节假设检验的基本概念(１)统计假设Ｈ０是正确的，即μ＝μ０＝０.５，只是抽样的随机性造成了ｘ与μ０之间的差异；(２)统计假设Ｈ０是不正确的，即μ≠μ０，由于系统误差，也就是包装机工作不正常，造成了ｘ与μ０之间的差异.对于以上两种解释，到底哪一种更为合理?为了回答这个问题，我们适当选择一个小正数α，称之为显著性水平.在假设Ｈ０成立的条件下，确定统计量Ｘ－μ０的临界值λα，使得事件{｜Ｘ－μ０｜>λα}为小概率事件，即例如，取定显著性水平α＝０.０５，我们来确定临界值λ０.０５.上一页下一页返回第一节假设检验的基本概念在【例８－１】中Ｘ~Ｎ(μ，０.０１５２)，当Ｈ０:μ＝μ０＝０.５为真时，Ｘ~Ｎ(μ０，０.０１５２)，于是因此有上一页下一页返回第一节假设检验的基本概念我们都知道α＝０.０５很小，根据实际推断的实际推断原理，即“小概率事件在一次试验中几乎是不可能发生的”原理，认为当Ｈ０为真时，事件{｜Ｘ－μ０｜>０.００９８}是小概率事件，实际上很少发生，基本不发生.现在抽样的结果是小概率事件{｜Ｘ－μ０｜>０.００９８}居然在一次抽样中发生了，说明就此次抽样的结果与假设Ｈ０不相符，所以不能不让人怀疑原假设Ｈ０的正确性.所以在显著性水平α＝０.０５的前提下，我们还是更愿意拒绝Ｈ０，接受Ｈ１，认为这一天包装机的工作是不正常的.通过对【例８－１】的分析，我们知道假设检验的基本思想和原理是小概率事件原理，其基本步骤为(见图８.１):上一页下一页返回第一节假设检验的基本概念(１)根据实际问题的需要，提出原假设Ｈ０和备择假设Ｈ１；(２)选取合适的显著性水平α(通常选α＝０.１０，０.０５等)，确定样本容量ｎ；(３)构造检验用的统计量Ｕ，当Ｈ０为真时，检验统计量Ｕ的分布为已知，找出临界值λα，使得Ｐ{｜Ｕ｜>λα}＝α，称｜Ｕ｜>λα所确定的区域为Ｈ０的拒绝域，记作Ｗ；(４)取样，根据抽样结果计算统计量Ｕ的观察值Ｕ０；(５)将Ｕ的观察值Ｕ０与临界值λα比较，若Ｕ０落在拒绝域Ｗ内，则拒绝Ｈ０而接受Ｈ１，否则接受Ｈ０.上一页下一页返回第一节假设检验的基本概念三、检验的两类错误由于我们是根据样本做出拒绝Ｈ０或者接受Ｈ０的决定，而样本具有随机性，因此据此做出判断，可能会犯两类错误:一类错误是，当Ｈ０为真时，根据观察值的结果却拒绝了Ｈ０，称这种错误为第一类错误，简称为“弃真”，其发生的概率称为犯第一类错误的概率或弃真概率，记为α，即另一类错误是，当Ｈ０不真时，根据观察值的结果却接受了Ｈ０，称这种错误为第二类错误，简称为“取伪”，其发生的概率称为犯第二类错误的概率或取伪概率，记为β，即具体如表８.１所示.上一页下一页返回第一节假设检验的基本概念对给定的Ｈ０和Ｈ１，总可以找到很多拒绝域Ｗ，我们当然希望找到这样的拒绝域Ｗ，使得犯两类错误的概率α与β都很小.但在样本容量ｎ固定时，要使得α与β同时都很小是不可能的.一般情况下，要减小犯其中一类错误的概率，会增加犯另一类错误的概率.通常的做法是控制犯第一类错误的概率不超过某个事先指定的显著性水平α，而使犯第二类错误的概率也尽可能地小.上一页返回第二节单个正态总体参数的假设检验设总体Ｘ服从正态分布Ｎ(μ，σ２)，Ｘ１，Ｘ２，，Ｘｎ是取自总体Ｘ的样本，Ｘ与Ｓ２分别为样本均值与样本方差.关于均值μ的检验是将未知参数μ与给定的μ０比较，具体假设为:一、单个正态总体均值的假设检验１.方差σ２＝σ２０已知，关于均值μ的检验(Ｚ检验法或Ｕ检验法)下一页返回第二节单个正态总体参数的假设检验对显著性水平α上一页下一页返回第二节单个正态总体参数的假设检验【例８－４】食堂小王师傅打饭量Ｘ~Ｎ(μ，０.１５２

)，若μ＝４，则认为其打饭量合格.他打了９次饭，Ｘ＝３.９５，问他的打饭量是否合格?(α＝０.０５)上一页下一页返回第二节单个正态总体参数的假设检验‘２.方差未知，关于均值μ的检验(ｔ检验法)上一页下一页返回第二节单个正态总体参数的假设检验【例８－５】某种电子元件的寿命Ｘ~Ｎ(μ，σ２)(单位:小时)，现测得１６只元件的寿命为:１５９，２８０，１０１，２１２，２２４，３７９，１７９，２６４，２２２，３６２，１６８，２５０，１４９，２６０，４８５，１７０.问:是否有理由认为元件的平均寿命大于２２５小时?(α＝０.０５)上一页下一页返回第二节单个正态总体参数的假设检验二、单个正态总体方差的假设检验(χ２检验法)１.均值未知，方差σ２的检验上一页下一页返回第二节单个正态总体参数的假设检验２.均值μ＝μ０已知，方差σ２的检验表8.2上一页返回第三节两个正态总体参数的假设检验在实际工作中，除了用到单个正态总体的均值和方差的检验问题，还经常碰到两个正态总体的比较问题.一、两个正态总体均值的假设检验１.方差已知，关于均值的检验(Ｚ检验法或Ｕ检验法)从总体Ｘ与Ｙ中抽取容量分别为ｎ１和ｎ２的样本Ｘ１，Ｘ２，

，Ｘｎ１及Ｙ１，Ｙ２，

，Ｙｎ２由于下一页返回第三节两个正态总体参数的假设检验从而我们按如下步骤对假设检验问题Ｈ０:μ１＝μ２；Ｈ１:μ１≠μ２做出判断:上一页下一页返回第三节两个正态总体参数的假设检验上一页下一页返回第三节两个正态总体参数的假设检验二、两个正态总体方差的假设检验(Ｆ检验法)上一页下一页返回第三节两个正态总体参数的假设检验【例８－６】设各届学生概率统计成绩服从正态分布，为比较０２届本科学生的概率统计平均成绩是否较０１届有所提高，分别从两届学生试卷中独立随机抽取１０份:上一页下一页返回第三节两个正态总体参数的假设检验上一页返回第四节非参数假设检验前两节我们讨论的假设检验问题都认为总体分布类型即总体分布的函数形式是已知的.但在实际应用中，有时候关于总体分布信息知道的很少，不能确定其分布类型.在这种情况下我们需要解决其他类型的假设检验问题，诸如根据样本信息对总体分布函数Ｆ(ｘ)的类型进行检验，对两个总体Ｘ与Ｙ的独立性进行推断，等等，这都属于非参数假设检验.这里我们主要介绍总体分布的假设检验，例如检验假设“总体服从正态分布”.本节仅介绍χ２检验法.χ２检验法是在总体分布为未知时，根据样本值ｘ１，ｘ２，，ｘｎ来检验关于总体分布的假设下一页返回第四节非参数假设检验若总体Ｘ为离散型，则假设(８－２)相当于在用χ２检验法检验假设Ｈ０时，若在假设Ｈ０下的形式已知，而其参数值未知，此时需要先用极大似然估计法估计参数，然后再做检验.χ２检验法的基本思想和步骤:表8-3上一页下一页返回第四节非参数假设检验(１)建立统计假设.Ｈ０:总体Ｘ的分布函数为Ｆ(ｘ)＝Ｆ０(ｘ)；上一页下一页返回第四节非参数假设检验【例８－７】在某一实验中，每隔一定时间观测一次某种铀所放射的到达计数器上的α粒子数Ｘ，共观测了１００次，得结果如表８.４所示.上一页下一页返回第四节非参数假设检验其中，ｎｉ为观测到ｉ个粒子的次数.从理论上考虑，Ｘ应服从泊松分布，问:这种理论上的推断是否符合实际?(取显著性水平α＝０.０５)表8.5查表可得χ２０.０５＝１２.５９２，由于χ２＝６.８２１５<１２.５９２，故在显著性水平α＝０.０５下接受Ｈ０，即认为理论上的推断符合实际.【例８－８】