人教版初中数学九年级下册《27.2.1 相似三角形的判定（第一课时）》教案

人教版初中数学九年级下册《27.2.1相似三角形的判定（第一课时）》教案

一、设计理念与理论依据

本教学设计以《义务教育数学课程标准（2022年版）》的核心素养为导向，立足于“图形与几何”领域，聚焦于学生空间观念、几何直观、推理能力和模型观念的发展。设计遵循“以学生为主体，以探究为主线”的现代教学理念，摒弃传统“告知-验证”的灌输模式，转而构建一个基于问题驱动、自主建构和深度思考的学习场域。

理论层面深度融合建构主义学习理论与认知负荷理论。首先，将新知“相似三角形的判定（平行线分线段成比例基本事实及推论）”锚定在学生已有的“全等三角形SSS、SAS、ASA判定”和“相似多边形定义”的认知结构中，通过类比、迁移，促进学生主动建构知识网络。其次，通过精心设计的梯度性探究任务和可视化信息技术工具（如几何画板）的运用，有效管理内在认知负荷，增加有效认知负荷，引导学生从具体操作、直观观察到归纳猜想，最终完成严谨的逻辑推理，实现从感性到理性、从合情推理到演绎推理的思维跃迁。本设计还渗透了单元整体教学思想，将本课时视为“相似三角形判定定理”大单元的逻辑起点和基石，其确立的“平行线截相似”这一核心模型，将为后续“三边成比例”、“两边成比例且夹角相等”等判定的学习提供重要的方法论支持和证明工具。

二、单元整体分析与学情深度剖析

（一）单元整体分析

1.单元地位：本单元“相似”是“图形与几何”领域的核心内容，上承“全等三角形”、“比例线段”，下接“锐角三角函数”、“圆中的比例线段”，是连接几何与代数的重要桥梁，在测量、绘图、物理光学等诸多领域有广泛应用。

2.知识结构：本单元以“比例性质”为代数基础，以“相似多边形定义”为概念起点，核心内容为“相似三角形的判定与性质”。其中，“相似三角形的判定”是研究其性质的前提，也是整个单元的教学重点与难点。判定定理的学习遵循从特殊到一般、从简单到复杂的认知规律。

3.本课时定位：作为“相似三角形判定”的第一课时，其核心内容是“平行线分线段成比例基本事实”及其在三角形中的直接推论——“平行于三角形一边的直线截得的三角形与原三角形相似”（常称为“A字型”和“8字型”模型）。该结论不仅是第一个学习的判定方法，更是后续探索和证明其他判定定理（如两边成比例且夹角相等）的关键工具和思维跳板，具有奠基性、工具性的双重价值。

（二）学情深度剖析

1.认知基础：

1.2.知识储备：学生已熟练掌握全等三角形的定义与判定（SSS、SAS、ASA等），理解相似多边形“对应角相等，对应边成比例”的定义，具备基本的比例及其性质的计算能力。

2.3.活动经验：经历过观察、测量、猜想、证明等几何探究过程，具备一定的合情推理与初步的演绎推理能力。

4.认知障碍与发展点预测：

1.5.思维定式干扰：从“全等”（形状大小完全相同）到“相似”（形状相同大小可不同），学生容易将全等判定中的“边角关系”机械迁移，忽视“成比例”这一核心数量关系，可能产生“两边对应相等则相似”等错误猜想。

2.6.认知难点：①从“平行线等分线段”（特殊）到“平行线分线段成比例”（一般）的推广与理解；②对“平行线分线段成比例基本事实”的接受（作为公理，不要求证明，但需大量实例感知其普适性）；③将该基本事实灵活应用于三角形情境，并能规范地写出比例式。

3.7.能力发展点：本课是培养学生从“定性”（平行→角相等）到“定量”（线段成比例）综合几何分析能力的绝佳契机，也是强化“模型意识”（识别基本图形）、发展“转化思想”（将复杂图形分解为基本模型）的重要节点。

8.差异化考量：班级学生存在思维层次差异。教学设计需提供从直观操作（测量、缩放）到抽象推理，从模仿应用到创新构造的多层次任务，并借助小组合作、分层提问与指导，确保不同层次学生都能获得挑战与成功体验。

三、学习目标与核心素养指向

基于以上分析，确立本课时三维整合的学习目标如下：

1.知识与技能：

1.2.理解并能陈述“平行线分线段成比例基本事实”。

2.3.掌握该基本事实在三角形中的推论，即“平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例”。

3.4.能运用上述推论证明“平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似”（即相似三角形判定的预备定理），并能用符号语言规范表述。

4.5.能熟练识别“A字型”和“8字型”基本相似模型，并利用其解决简单的线段比例计算和证明问题。

6.过程与方法：

1.7.经历从特殊（平行线等分线段）到一般（平行线分线段成比例）的探究过程，体会通过测量、计算、观察、归纳发现数学规律的方法。

2.8.在将平行线截线段成比例的基本事实应用于三角形情境的过程中，体会“从一般到特殊”的转化思想，发展几何直观和模型观念。

3.9.通过解决变式问题，初步掌握在复杂图形中分离或构造基本相似模型的方法。

10.情感态度与价值观：

1.11.在探究活动中，感受数学由特殊到一般、由实验到理论的美妙与严谨，激发求知欲。

2.12.通过了解“平行线分线段成比例”在测绘、制图等领域的应用，体会数学的实用价值。

3.13.在小组协作与交流中，养成乐于合作、敢于质疑、严谨求实的科学态度。

核心素养具体指向：

1.几何直观：通过图形动态演示和基本模型识别，增强对图形结构及比例关系的直观把握。

2.推理能力：从实验归纳的合情推理，过渡到基于基本事实和已有定理的演绎推理。

3.模型观念：抽象并固化“A字型”、“8字型”相似模型，形成解决一类问题的思维模板。

4.应用意识：运用所得结论解决简单实际问题，理解数学与现实的联系。

四、教学重难点及突破策略

1.教学重点：平行线分线段成比例基本事实及其在三角形中的推论；相似三角形判定预备定理的理解与应用。

2.教学难点：平行线分线段成比例基本事实的发现与理解；在复杂图形中准确识别或构造基本相似模型并建立比例式。

3.突破策略：

1.4.难点一突破：采用“历史再现式”探究。先回顾已学的“平行线等分线段定理”（一组平行线在一条直线上截得的线段相等，则在其他直线上截得的线段也相等），引导学生思考：如果这组平行线不再“等分”，截得的线段还会有关系吗？是什么关系？接着，利用几何画板，动态拖动直线，使平行线组截得的线段长度不断变化，但始终保持多组平行线状态。引导学生分组测量不同截线上的线段长度，并计算对应线段的比值。通过海量数据的对比，归纳出“对应线段成比例”的猜想，进而教师明确其为基本事实。此过程化抽象为具体，变静态为动态，有效降低认知门槛。

2.5.难点二突破：实施“双模固化→变式拆解”训练。首先，通过标准图形，强化对“A字型”（对应边在同一直线上）和“8字型”（对应边交叉）两种基本模型的辨认与比例式书写训练。随后，设计“嵌套型”、“重叠型”、“残缺型”等变式图形，开展“模型扫描”活动，引导学生用彩色笔描出基本图形，或通过添加辅助线（通常是平行线）构造基本图形，将复杂问题转化为已掌握的基本模型问题。辅以口诀：“遇平行，想相似；找对应，写比例”，帮助学生形成思维自动化反应。

五、教学准备与技术融合

1.教师准备：

1.2.多媒体课件（内含几何画板动态演示文件）。

2.3.导学案（包含探究记录表、分层练习题）。

3.4.三角板、直尺等教具。

5.学生准备：

1.6.复习相似多边形定义、比例性质。

2.7.直尺、量角器、计算器。

8.技术融合设计：

1.9.几何画板的核心作用：①动态演示平行线截线段长度变化而比值不变，直观验证基本事实；②动态展示“A字型”、“8字型”模型中，保持平行移动截线，对应角始终相等，对应边比例始终不变，强化“形”变而“性”不变的规律感知。③用于课堂即时生成性问题的验证。

2.10.互动反馈系统（如希沃白板）：用于关键选择题的即时投票，快速了解全班掌握情况，聚焦共性问题。

六、教学过程实施

环节一：创设情境，温故孕新（预计时间：5分钟）

教师活动：

1.展示一组图片：同一建筑物不同尺寸的照片、地图与实地、放大镜下的图案。提问：“这些图片中的图形有什么共同关系？”

2.引导学生回顾：相似多边形的定义是什么？（对应角相等，对应边成比例）。如何判断两个三角形相似？根据定义，需要验证几个条件？（六个：三对角，三对边比例）。追问：“定义法判相似，条件苛刻，操作繁琐。能否像判定全等三角形那样，找到更简便的判定方法？”

3.类比联想：全等三角形是相似比为1的特殊相似。全等判定有哪些？（SSS,SAS,ASA,AAS,HL）。我们是从最简单的条件（如SSS）开始研究的。那么，研究相似三角形的判定，你认为可以从什么简单的条件或图形关系入手？

4.（学生可能会想到“对应角相等”或“平行”等）揭示课题：“大家的想法很有价值。今天，我们就从图形中一种特殊的位置关系——‘平行’出发，探索它能否带来相似。”

学生活动：

观察图片，齐答“相似”。回顾并口述相似多边形定义。思考定义法的局限性。参与类比讨论，提出猜想。

设计意图：

从生活实例引入，感受数学源于生活。通过回顾定义，明确判定相似的原始依据及其操作上的不便，自然产生寻找简便判定的心理需求。类比全等三角形的判定研究路径，为学生指明探究方向，渗透类比的数学思想。将学生的注意力聚焦于“平行”这一关键元素上。

环节二：操作探究，发现事实（预计时间：15分钟）

核心任务一：从特殊到一般，发现“平行线分线段成比例”

教师活动：

1.唤醒旧知：在黑板上画出图1：一组平行线l1∥l2∥l3

，任意两条直线a,b

被它们所截。提问：“如果AB=BC

（即l1,l2,l3

等分线段AC

），那么DE

与EF

有什么关系？依据是什么？”（学生答：DE=EF

，依据是平行线等分线段定理）。

a:A———B———C

|||

l1:———...———...———

|||

l2:———...———...———

|||

l3:———...———...———

|||

b:D———E———F

(注：此处为示意图，实际课件中用标准图形)

2.提出驱动性问题：“如果AB≠BC

，即这组平行线不再‘等分’线段AC

，那么DE

与EF

还相等吗？它们之间还有没有确定的数量关系呢？”

3.组织探究：

1.4.将学生分为若干小组，分发探究记录表一。

2.5.利用几何画板，动态展示一组平行线l1∥l2∥l3

，被两条相交直线所截。固定直线a

，通过拖动直线b

改变其倾斜程度，从而改变被截线段AB,BC,DE,EF

的长度。

3.6.指令：各小组选择三种不同的b

线位置（如较陡、适中、较平缓），用软件测量功能或截图后用尺子测量（近似值）AB,BC,DE,EF

的长度，记录在表格中。并计算比值AB/BC

和DE/EF

，以及AB/AC

,DE/DF

等对应线段比。

7.引导归纳：

1.8.巡视指导，关注学生测量、计算的准确性。

2.9.请几个小组汇报数据，并将典型数据板书或投影。

3.10.提问：“观察这些数据，尽管AB,BC,DE,EF

的长度各不相同，但它们的比值AB/BC

与DE/EF

有什么关系？AB/AC

与DE/DF

呢？你发现了什么规律？”

4.11.引导学生用语言描述规律：一组平行线被两条直线所截，所得的对应线段成比例。

5.12.明确基本事实：教师给出精准表述：“实际上，这是一个经过长期实践检验的基本事实，我们称之为‘平行线分线段成比例定理’（基本事实）。”并用符号语言板书：

∵l1∥l2∥l3

∴AB/BC=DE/EF

,AB/AC=DE/DF

,BC/AC=EF/DF

等。

强调“对应”的含义：AB

对应DE

，BC

对应EF

，AC

对应DF

。

学生活动：

1.回忆并回答平行线等分线段定理。

2.积极思考驱动性问题，产生探究欲望。

3.小组合作：观察几何画板演示，分工进行测量、记录、计算，完成探究记录表。

4.小组代表汇报数据，全班共同观察、比较。

5.尝试归纳数据中的规律，初步形成“对应线段比值相等”的猜想。

6.聆听教师总结，理解并记录基本事实的内容和符号表示。

设计意图：

本环节是突破难点的关键。从学生熟悉的“等分”这一特殊情形出发，提出一般性问题，激发认知冲突。通过信息技术支持的动态测量与数据收集，将抽象的数学规律转化为可视、可测、可算的具体活动，让学生亲身经历规律的发现过程，印象更深刻，理解更透彻。小组合作促进了思维碰撞。最后将猜想明确为基本事实，既体现了数学的严谨性（不要求证明），又让学生体会到数学规律的客观存在。

环节三：推演迁移，形成定理（预计时间：12分钟）

核心任务二：从一般到特殊，得出三角形中的推论及判定预备定理

教师活动：

1.图形转化：利用几何画板，将上述图形中的直线b

保持与l1

平行，逐渐向直线a

靠拢，直至与a

相交于一点A

。动画演示形成三角形ABC

，其中l2,l3

分别交AB,AC

于D,E

，且DE∥BC

。提问：“当截线相交于一点，原来的平行线组l1,l2,l3

在三角形中变成了什么关系？”（l1

与BC

重合，l2

是DE

，l3

是过E

平行于BC

的线，但核心是DE∥BC

）。

A

/\

/\

D-----E

/\

/\

B-----------C

(其中，DE∥BC)

2.引导推理：

1.3.提问：“在△ABC中，DE∥BC

。根据刚才的基本事实，我们可以得到哪些比例式？”（引导学生将基本事实中的图形与当前三角形对应：原来的l1,l2,l3

可视为BC,DE,以及过E平行于BC的线

，但为简化，可直接应用推论）。

2.4.板书推导过程：

∵DE∥BC

∴AD/DB=AE/EC

（类比AB/BC=DE/EF

）

AD/AB=AE/AC

（类比AB/AC=DE/DF

）

DB/AB=EC/AC

。

3.5.强调：这就是“平行线分线段成比例基本事实”在三角形中的直接推论。我们称之为“三角形一边的平行线的性质”。

6.走向判定：

1.7.进一步提问：“在△ADE和△ABC中，除了由平行得到的∠ADE=∠ABC

,∠AED=∠ACB

（同位角相等），以及公共角∠A=∠A

之外，我们刚刚还得到了什么关系？”（边对应成比例：AD/AB=AE/AC=DE/BC?

）

2.8.追问：“DE/BC

是否也等于AD/AB

呢？如何说明？”引发学生思考证明DE/BC=AD/AB

。提示：可以过点D

作DF∥AC

交BC

于F

，构造平行四边形DFCE

，则DE=FC

，再利用基本事实可得AD/AB=CF/BC=DE/BC

。

3.9.（视学生接受情况，可教师简要讲解或利用几何画板测量验证）得出结论：∵DE∥BC

，∴∠ADE=∠B

,∠A=∠A

，且AD/AB=AE/AC=DE/BC

。

4.10.揭示判定预备定理：根据相似多边形的定义，满足“对应角相等，对应边成比例”，所以△ADE∽△ABC。教师用文字和符号语言完整板书定理：“平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。”

符号语言：在△ABC中，∵DE∥BC

，∴△ADE∽△ABC。

11.模型固化：

1.12.展示标准“A字型”（DE在三角形内部）和“8字型”（DE截两边延长线）图形，让学生指出对应角、对应边，并写出比例式。

2.13.强调模型特征：有一个公共角，且公共角的两边被平行线所截。

学生活动：

1.观察图形动态转化过程，理解三角形情境是平行线分线段成比例的一种特殊情况。

2.跟随教师引导，尝试将基本事实中的比例关系迁移到三角形图形中，理解推论的由来。

3.思考如何证明DE/BC

也与前面比值相等，理解证明思路。

4.综合角相等和边成比例的条件，理解判定预备定理的成立依据。

5.识别两种基本模型，练习比例式的书写。

设计意图：

本环节完成了从一般事实到特殊推论，再到判定定理的两次飞跃。动态图形转化建立了知识间的联系。引导学生主动应用基本事实进行推理，培养了演绎推理能力。对DE/BC

比值的探讨，虽证明略难，但点明了定义判定的完整性，也为学有余力的学生提供了思维深度。最后固化两种基本模型，为后续应用扫清障碍。

环节四：剖析例题，初步应用（预计时间：8分钟）

教师活动：

1.出示例1（教材例题变式）：如图，在△ABC中，DE∥BC

，AD=3

，DB=2

，EC=4

，求AE

的长。

A

/\

/\

D-----E

/\

/\

B-----------C

2.引导学生分析：

1.3.提问：“图中包含哪种基本模型？”（A字型）

2.4.“根据预备定理，可得哪两个三角形相似？”（△ADE∽△ABC）

3.5.“求AE

，需要利用哪个比例式？”（AD/AB=AE/AC

或AD/DB=AE/EC

）

4.6.对比两种选择：AD/AB=AE/AC

需要先求AC

，而AD/DB=AE/EC

直接涉及已知和未知。引导学生优选后者。

7.规范板书解题过程：

1.8.解：∵DE∥BC

，

2.9.∴AD/DB=AE/EC

（三角形一边平行线的性质推论）

3.10.即3/2=AE/4

4.11.解得AE=6

。

5.12.答：AE

的长为6。

13.强调解题关键步骤：①识模型（标记平行线，找出相似三角形）；②选比例（选择含已知量和未知量的合适比例式）；③列方程（准确代入数值，注意对应关系）；④求解并作答。

学生活动：

1.读题，观察图形。

2.回应教师提问，识别模型，说出相似三角形。

3.思考并比较不同比例式的优劣。

4.观看教师规范板书，学习解题格式。

5.总结解题步骤和注意事项。

设计意图：

通过一道基础例题，示范如何应用新知解决简单计算问题。重点不在于计算本身，而在于展示分析问题的完整思路和规范书写流程，特别是如何从定理走向具体应用，以及比例式的优化选择，培养学生的策略性思维。

环节五：变式训练，深化理解（预计时间：12分钟）

教师活动：

组织学生完成导学案上的分层训练组。

题组A（基础巩固，全员必做）：

1.（“8字型”识别）如图，DE∥BC

，交AB

、AC

的延长线于D

、E

，AB=5

，BD=3

，AC=6

，求CE

。

2.（比例式选择）如图，l1∥l2∥l3

，根据图中数据，求x

的值。

[提供简单数值的平行线截线段图]

题组B（能力提升，大部分学生挑战）：

3.（复杂图形中找模型）如图，平行四边形ABCD

中，E

是AB

延长线上一点，DE

交BC

于点F

。已知BE/AB=2/3

，BC=10

，求BF

的长。

*引导：图中是否有平行线？能否找到基本模型？（提示：由AD∥BC

，可得到△BEF∽△AED）

4.（简单构造）如图，在△ABC中，D

是AB

上一点，要使得△ACD∽△ABC，可以添加一个什么条件？（开放题，答案不唯一。引导与今天所学联系：如∠ADC=∠ACB

，或CD∥BC

，或AC^2=AD·AB

等）

题组C（拓展探究，供学有余力者）：

5.（定理的逆思考）在△ABC中，点D

、E

分别在AB

、AC

上，如果AD/AB=AE/AC

，那么DE

和BC

是否平行？请说明理由。（此为下一课时“三边成比例”判定的引子，鼓励学生尝试用反证法或面积法思考）

教师活动：

1.给予学生约8分钟独立或小组讨论完成时间。

2.巡视全班，重点关注B、C组题学生的思路，进行个别指导。发现共性错误或优秀解法。

3.针对A组题，请学生口答并简述理由，快速核对。

4.针对B组题，重点讲评第3题。请学生上台指出图形中的相似模型（可能需要用彩色笔描出），并讲解比例式的建立过程。教师点评并总结：在复杂图形中，要善于利用已知平行条件（如平行四边形对边平行）来构造基本模型。

5.针对C组题，简要交流思路，肯定学生的探究精神，明确这是下节课要继续研究的问题，留下悬念。

学生活动：

1.独立完成A组题。

2.尝试完成B组题，小组内可讨论。

3.学有余力的学生思考C组题。

4.听讲评，订正答案，学习他人优秀的解题思路。

设计意图：

通过分层变式训练，实现因材施教。A组题巩固两种基本模型的应用，确保基础达标。B组题将模型置于稍复杂的背景（平行四边形）中，并引入开放条件题，训练学生的模型识别、转化和逆向思维能力。C组题为后续学习埋下伏笔，激发持续探究的兴趣。讲评环节突出思维过程，而非简单对答案，促进学生反思与提升。

环节六：课堂小结，提炼升华（预计时间：5分钟）

教师活动：

1.知识结构梳理：引导学生以思维导图或提问方式共同回顾本课所学。

1.2.我们今天探索相似三角形判定的起点是什么？（平行）

2.3.我们首先发现了哪个基本事实？（平行线分线段成比例）

3.4.它在三角形中的直接推论是什么？（平行于三角形一边的直线截其他两边，所得对应线段成比例）

4.5.由此我们得到了相似三角形的第一个判定方法是什么？（平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似）

5.6.我们认识了哪两种基本图形？（“A字型”和“8字型”）

7.思想方法总结：提问：“回顾整个探究过程，我们运用了哪些重要的数学思想方法？”（引导学生说出：从特殊到一般、从一般到特殊、类比、转化、数形结合、模型思想等）。

8.应用价值提及：简要说明，这个判定方法虽然简单，但非常强大。它是证明其他判定定理的工具，也是解决许多实际测量问题（如利用标杆测高）的理论基础。

9.布置作业：见导学案“课后拓展”部分。

学生活动：

跟随教师提问，积极回顾、回答，构建本课知识框架。反思学习过程中用到的思想方法。聆听数学应用价值的介绍。

设计意图：

系统梳理本课知识要点，帮助学生形成结构化认知。提炼数学思想方法，提升学生的元认知水平。点明知识价值，增强学习内驱力。为课后学习提供明确指引。

环节七：布置作业，分层延伸

导学案“课后拓展”部分：

【必做题】

1.教材对应练习题。

2.导学案“基础闯关”练习（4道涉及基本模型识别和计算的题目）。

【选做题】

3.（综合应用）如图，某同学利用镜面反射原理测量树高。已知他身高1.6米，镜子放在离他2米、离树8米的地面上。他刚好能从镜子里看到树顶。请建立数学模型，并计算树高。（提示：利用“反射角等于入射角”得平行线）

4.（探究思考）尝试证明或查阅资料了解：“平行线分线段成比例定理”在欧几里得《几何原本》中是如何处理的？它为什么可以作为基本事实？（供有兴趣的学生了解数学史）。

【预习任务】

5.