六年级数学下册《钟面上的行程问题》探究式教学设计

六年级数学下册《钟面上的行程问题》探究式教学设计

一、教材分析

本课内容隶属于人教版六年级下册数学“整理与复习”模块中的“综合与实践”领域，是对小学阶段“时间单位认识”、“角的度量”、“行程问题”等知识的深度融合与拓展应用。【基础】【重要】教材在六年级下册并未单独设立“时钟问题”的新授课，而是将其作为一道经典的数学思考题或奥数拓展题散见于练习中。本设计将这一知识点提炼整合为一节专题探究课，旨在引导学生透过钟面上的指针运转，发现其背后隐藏的“追及问题”数学模型。

从知识体系上看，学生已在三年级上册学习了“时、分、秒”的认识，能熟练认读钟面上的时刻；在四年级上册学习了“角的度量”，掌握了角度的测量与计算；在六年级上册掌握了“行程问题”中速度、时间和路程的关系。时钟问题正是将这些分散的知识点串联起来，形成一个具有挑战性的综合性学习任务。它不仅是知识的简单复现，更是对学生建模思想、数形结合思想以及逻辑推理能力的综合考验。【难点】【高频考点】

本节课的教学内容聚焦于两类基本问题：其一是求时针与分针重合或成特定角度（如直角、平角）的时刻；其二是利用指针转动的角速度来求解经过的时间。通过对这些问题的探究，学生将深刻体会到“化动态为静态”、“化曲为直”的数学思想，为初中物理中学习“相对运动”奠定基础。

二、学情分析

六年级学生已经具备了较为完备的知识基础和一定的抽象思维能力。【基础】他们对钟面结构烂熟于心，对角度概念有了清晰的认识，且能熟练运用“速度×时间=路程”这一基本数量关系式。然而，面对指针的匀速转动，学生往往习惯于用“格”来描述（如分针每分钟走1小格，时针每分钟走1/12小格），而较少从“角度”的视角去审视指针的运动。

学生的认知难点在于如何将指针的转动视为两个物体在环形跑道上的运动。【难点】具体表现为：第一，难以将指针的“格”转化为“度”，建立统一的度量标准；第二，难以理解时针和分针的相对速度；第三，在求解成角问题时，容易忽略时针也在缓缓移动这一事实，导致计算出错。因此，本课的教学设计必须借助直观的钟面模型和动态课件，帮助学生完成从“具象”到“抽象”的思维跨越。

三、教学目标

1.知识与技能【基础】：使学生理解并掌握将钟面上的指针转动转化为“追及问题”的解题思路。掌握用“角度”作为统一单位，计算时针和分针的转动速度；能熟练运用“路程差÷速度差=追及时间”的模型解决钟面上的重合、成角问题。

2.过程与方法【重要】：通过观察、操作、小组合作等探究活动，引导学生经历“发现问题—分析问题—建立模型—解决问题”的全过程。渗透“数形结合”、“化动为静”和“建模”的数学思想，培养学生的几何直观和逻辑推理能力。

3.情感态度与价值观：感受数学知识的内在联系和奥妙，体会用数学模型解决实际问题的简洁与优美，激发学生探究数学奥秘的兴趣，培养严谨求实的科学态度。

四、教学重难点

1.教学重点：理解时针与分针的转动速度（角速度），建立“追及问题”的数学模型。

2.教学难点【难点】：正确分析初始时刻两针的角度差（路程差），并能根据“成角”的不同情况（如分针在前还是时针在前）进行分类讨论。

五、教学准备

多媒体课件（含动态钟面演示）、实物钟面模型（师生人手一个）、导学单。

六、教学过程

（一）创设情境，激趣导入

上课伊始，教师通过多媒体展示一个古老的钟表，并播放滴答滴答的音效。随后提出问题：“同学们，我们每天都看钟表，但你们是否仔细观察过，在钟面上，分针和时针就像两个赛跑的运动员。它们你追我赶，永不停歇。你们知道它们每天会相遇多少次吗？它们什么时候会互相垂直，形成一个直角呢？”

学生们根据生活经验会纷纷猜测，有的说12次，有的说11次。教师不急于揭示答案，而是引导：“大家的猜测都不太一样，这里面藏着怎样的数学规律呢？今天，我们就一起来研究《钟面上的行程问题》。”【板书课题】这一导入环节从学生熟悉的生活情境切入，利用认知冲突激发学生的探究欲望，为后续学习做好心理铺垫。【重要】

（二）铺垫孕伏，探究“速度”

要解决追及问题，首先必须知道两个“运动员”的速度。这一环节是整节课的基石，必须扎实有效。【基础】【重要】

1.观察感知，建立参照系。

教师引导学生观察手中的钟面模型，并提问：“我们通常把钟面看成一个环形跑道，这个跑道的总路程是多少？”引导学生回顾钟面知识：钟面是一个圆，共360度；或者按格数计算，共60个小格，12个大格。教师指出，为了统一计算，本节课我们主要采用“角度”作为路程单位。因为角度更精确，也便于与以后的学习衔接。

2.计算分针的角速度。

教师提问：“分针跑得快，它走一圈（60分钟）是多少度？那么它每分钟跑多少度？”学生很容易得出：360°÷60=6°。教师板书：分针速度：6°/分钟。【重要】并强调，这就是分针的“转速”，也就是它的速度。

3.计算时针的角速度。

这是本环节的难点。教师引导学生思考：“时针走得慢，它走一圈（12小时）是多少度？也就是720分钟走一圈。那么它每分钟走多少度？”

学生计算：360°÷（12×60）=360°÷720=0.5°。

教师板书：时针速度：0.5°/分钟。【重要】

为了帮助学生理解，教师可以借助动态课件演示：分针转动一圈（360°），时针才缓缓移动一大格（30°），正好验证了0.5°/分钟（因为30°÷60分钟=0.5°）。这一直观演示能有效突破学生对“速度”感知的难点。

4.归纳相对速度。

既然两针是同向而行，那么在钟面上的追及问题中，它们的相对速度就是速度差。教师引导学生口答：速度差=6°-0.5°=5.5°/分钟。【基础】这是一个极其重要的常数，它表示每分钟分针能追上时针5.5度。教师可以幽默地称之为“魔法数字”，提醒学生在后续计算中灵活运用。

（三）合作探究，建立“追及”模型

本环节是核心，通过层层递进的问题链，引导学生建立数学模型。【核心】【高频考点】

1.探究问题一：从12点开始，第一次重合是什么时刻？

1.2.分析“路程差”：教师用课件定格在12点整，此时分针和时针完美重合，都在12的位置。提问：“现在它们重合了，分针想再一次追上时针，它需要比时针多跑多少度？”通过动态演示分针跑一圈后回到12，而时针已经跑到1的位置，学生恍然大悟：原来从一次重合到下一次重合，分针需要比时针多跑一整圈，也就是360°！【重要】

2.3.套用模型求解：

路程差=360°

速度差=5.5°/分钟

追及时间=路程差÷速度差=360÷5.5=720/11分钟≈65又5/11分钟。

3.4.结论：教师总结，从12点开始，经过720/11分钟，也就是大约1小时5分27秒，两针再次重合。因此，它们一天之中重合的次数是22次（因为一天24小时，24÷（12/11）=22次）。这个结论打破了学生“重合12次”的惯性思维，极大地激发了学生的探究热情。

5.探究问题二：从12点开始，第一次成直角（90°）是什么时刻？

1.6.变式分析“路程差”：教师提问：“现在两针重合，要想它们互相垂直，形成90度角，分针需要比时针多跑多少度？”（动态演示）

引导学生观察：要使重合的两针变成90°，分针必须比时针多跑90°。【重要】

2.7.套用模型求解：

路程差=90°

速度差=5.5°/分钟

追及时间=90÷5.5=180/11分钟≈16又4/11分钟。

3.8.结论：所以在12点过16又4/11分钟时，时针和分针第一次互相垂直。

4.9.拓展延伸【难点】：教师追问：“如果分针继续跑，还会再出现90°吗？那第二次成直角时，路程差是多少？”引导学生思考，第二次成直角，意味着分针不仅追上了第一次差的90°，还超出了90°，实际上它比时针多跑了（90°+180°?）这里需要仔细辨析。通过课件演示，学生可以看到，从重合到第二次成直角，分针实际上比时针多跑了270°（即一圈360°减去90°，或者说多跑了90°后又跑了一圈，但更直观的理解是：分针领先时针90°后继续跑，直到领先270°时，此时两针的夹角也是90°。因此，路程差可能是90°，也可能是270°）。教师引导学生总结：在解决成角问题时，路程差=初始角度差±目标角度（需根据分针能否追上时针来判断）。

（四）变式练习，深化模型应用

在学生初步掌握了从重合状态出发的追及问题后，教师提供更具挑战性的非整点起始问题，培养学生思维的严谨性。【热点】【难点】

1.出示例题：在3点至4点之间，时针和分针在什么时刻重合？

1.2.确定初始路程差：教师引导学生观察，3:00时，分针指向12，时针指向3。此时两针的夹角是多少度？（30°×3=90°）。这说明分针落后时针90°。【重要】

2.3.确定追及目标：问什么时刻重合，意味着分针要追上时针，它需要比时针多跑这落后的90°。因此，路程差=90°。

3.4.列式求解：90°÷5.5°/分钟=900/55=180/11分钟≈16又4/11分钟。

4.5.结论：所以在3点16又4/11分时，两针重合。

6.出示例题：在3点至4点之间，时针和分针在什么时刻成直角？

1.7.讨论与分类【难点】【高频考点】：这是本课的最高潮，也是区分学生思维层次的关键。

1.2.8.教师启发：“在3点整时，两针已经成90°了（时针在3，分针在12）。但问题是，3点整算不算？题目通常问的是‘第一次成直角’或‘从3点开始，第一次再成直角’，那就要排除起始点。”

2.3.9.第一次再成直角：3点后，分针要追上时针，它们之间的夹角会先变小（从90°变小），然后变大。当夹角再次变成90°时，实际上是分针已经追上并超过了时针90°。那么，它比时针多跑了多少？初始落后90°，现在领先90°，因此路程差=初始落后角度+目标领先角度=90°+90°=180°。【重要】

列式：180°÷5.5°/分钟=360/11分钟≈32又8/11分钟。即3点32又8/11分。

3.4.10.第二次再成直角：当分针继续跑，与时针的夹角从90°逐渐变大到180°，再缩小，当它再次变成90°时，实际上是分针领先了时针270°（因为领先90°和领先270°时，两针夹角都是90°）。那么路程差=270°（因为初始落后90°，现在领先270°，总共多跑了360°？准确说，是从落后90°到领先270°，路程差=90+270=360°？）。通过动态演示或引导学生画图，可以得出此时分针比时针多跑了（90°+270°？）不，严谨推导：从落后90°到领先270°，分针需要先追上这90°（使夹角为0），再多跑270°，所以总路程差=90°+270°=360°。360°÷5.5=720/11分钟≈65又5/11分钟，这已经超过了4点（60分钟），所以不在3-4点之间。因此，在3-4点间，只有一个成直角的时刻（32又8/11分）。加上3点整，一共有两次成直角。

通过这样细致的分类讨论，学生不仅学会了公式，更学会了如何分析问题，思维的严密性得到极大提升。

（五）拓展升华，回归生活

教师引导学生回顾本课所学，并展示一些生活中的实际应用，如：为什么钟表设计师要这样设计指针的转速？在调度火车、飞机时，如何利用角度来计算时间？将数学知识与科技、生活联系起来，拓宽学生的视野。最后，布置一道开放性作业：观察你家里的钟表，计算一下从下午5:00到5:30之间，分针和时针一共形成了多少次直角？并写出你的思考过程。

七、板书设计

钟面上的行程问题

一、速度：

分针：360°÷60=6°/分钟

时针：360°÷(12×60)=0.5°/分钟

速度差：6°-0.5°=5.5°/分钟

二、模型：追及时间=路程差÷速度差

三、案例：

1.重合：路程差=初始角度差

例：3点重合90°÷5.5°=180/11分钟

2.成角：路程差=初始角度差±目标角度

例：3点成直角(领先90°)(90°+90°)÷5.5°=360/11分钟

八、教学反思

本课设计打破了传统复习课“做题—讲评”的模