教学材料《概率论》-第二章

第一节随机变量在第一章，我们学习过随机事件及其概率等概念.从概率的公理化定义中，我们看到概率Ｐ可以认为是事件Ａ的“函数”，只是“函数”的定义域不是数集.为了全面地研究随机试验的结果，揭示随机现象的统计规律性，我们把随机试验的结果与实数对应起来，将随机试验的结果数量化，引入随机变量的概念.在随机试验完成时，人们常常不是关心试验结果本身，而是对与试验结果联系着的某个数感兴趣.在随机现象中有很多样本点本身就是用数表示的.例如，掷一颗骰子，观察出现的点数的试验中，试验的结果就可分别由数１，２，３，４，５，６来表示.在另一些随机试验中，试验结果看起来虽然与数无关，但可以指定一个数来表示.下一页返回第一节随机变量例如，在抛掷一枚硬币观察其出现正面或反面的试验中，若规定“出现正面”对应数１，“出现反面”对应数－１，则该试验的每一种可能结果都有唯一确定的实数与之对应.上述例子表明，随机试验的结果都可用一个实数来表示，这个数随着试验的结果不同而变化，因而，它是样本点的函数，这个函数就是我们要引入的随机变量.定义２.１设随机试验的样本空间为Ω，若对Ω中每一个元素ω，有唯一实数Ｘ(ω)与之对应，这样就得到一个定义在样本空间Ω上的实值单值函数Ｘ＝Ｘ(ω)，称为随机变量.本书中，我们常用大写英文字母Ｘ，Ｙ，Ｚ，Ｗ，表示随机变量，而用小写英文字母ｘ，ｙ，ｚ，ｗ，表示其取值.上一页下一页返回第一节随机变量【例２－１】在抛掷一枚硬币进行打赌时，若规定出现正面Ｈ时抛掷者赢１元钱，出现反面Ｔ时输１元钱，则其样本空间为Ω＝{Ｈ，Ｔ}.记赢钱数为随机变量Ｘ，则Ｘ作为样本空间Ω的实值函数定义为【例２－２】在将一枚硬币抛掷三次，观察正面Ｈ、反面Ｔ出现情况的试验中，其样本空间为Ω＝{ＨＨＨ，ＨＨＴ，ＨＴＨ，ＴＨＨ，ＨＴＴ，ＴＨＴ，ＴＴＨ，ＴＴＴ}.记试验中出现正面的次数为随机变量Ｘ，则Ｘ作为样本空间Ω的实值函数定义如表２.１所示.上一页下一页返回第一节随机变量易知，使Ｘ取值为２的样本点构成的子集为随机变量的引入使随机试验中的各种事件都可通过随机变量的关系式表达出来.例如，某城市的１２０急救电话每小时收到的呼叫次数Ｘ是一个随机变量.事件“收到恰好１０次呼叫”可表示为{Ｘ＝１０}；事件“收到不少于２０次呼叫”可表示为{Ｘ≥２０}.引入随机变量后，对随机现象统计规律的研究，就由对事件及事件概率的研究转化为对随机变量及其取值规律的研究，使我们有可能利用数学分析的方法对随机试验的结果进行深入广泛的研究和讨论.上一页下一页返回第一节随机变量随机变量因取值方式不同，通常分为离散型和非离散型两类.而非离散型随机变量中最重要的是连续型随机变量.本章我们主要讨论离散型随机变量和连续型随机变量.上一页返回第二节离散型随机变量及其分布如果随机变量所有可能的取值为有限个或可数无穷多个，则称这种随机变量为离散型随机变量.容易知道，要全面掌握一个离散型随机变量Ｘ的统计规律，必须且只需知道Ｘ的所有可能的取值以及取每一个可能值的概率.一、离散型随机变量的分布律定义２.２设离散型随机变量Ｘ的所有可能取值为ｘ１，ｘ２，，ｘｎ，，Ｘ取ｘｋ的概率Ｐ{Ｘ＝ｘｋ

}＝ｐｋ

，ｋ＝１，２，

，ｎ，

.(２－１)我们称式(２－１)为离散型随机变量Ｘ的概率分布律或分布列.也常用表格形式来表示Ｘ的概率分布律，如表２.２所示.下一页返回第二节离散型随机变量及其分布由概率的性质容易推得，离散型随机变量分布律{ｐｋ

}，ｋ＝１，２，，ｎ，，都具有下述两个基本性质:(１)非负性.ｐｋ≥０，ｋ＝１，２，.以上两条基本性质是分布律必须具有的性质，也是判别某个数列是否能成为分布律的充要条件.【例２－３】社会上定期发行某种彩票，中奖率为ｐ.某人每次购买１张彩票，如果没有中奖下次再购买一张，直至中奖为止.求该人购买次数Ｘ的分布律.解{Ｘ＝１}表示第一次购买的彩票中奖，依题意Ｐ{Ｘ＝１}＝ｐ；上一页下一页返回第二节离散型随机变量及其分布{Ｘ＝２}表示购买两次彩票，但第一次未中奖，其概率为１－ｐ，而第二次中奖，其概率为ｐ.由于各期彩票中奖与否是相互独立的，因此Ｐ{Ｘ＝２}＝(１－ｐ)ｐ；{Ｘ＝ｋ}表示购买ｋ次彩票，但前ｋ－１次未中奖，而第ｋ次中奖，则上一页下一页返回第二节离散型随机变量及其分布【例２－４】某超市根据以往零售某种蔬菜的经验知道，第一天售出的概率为５０％，每１千克的毛利为３元；第二天售出的概率为３０％，每１千克的毛利为１元；第三天清仓售出的概率为２０％，每１千克的毛利为－１元.求:(１)每千克所得毛利Ｘ的分布律；(２)Ｐ{１<Ｘ≤３}，Ｐ{１≤Ｘ≤３}.解(１)由题意知，Ｘ的分布律如表２.３所示.(２)Ｐ{１<Ｘ≤３}＝Ｐ{Ｘ＝３}＝０.５；Ｐ{１≤Ｘ≤３}＝Ｐ{Ｘ＝１}＋Ｐ{Ｘ＝３}＝０.８.上一页下一页返回第二节离散型随机变量及其分布二、几种常见的离散型随机变量及其概率分布１.两点分布如果随机变量Ｘ的分布律如表２.４所示，其中ｐ＋ｑ＝１，０<ｐ<１，则称Ｘ服从两点分布.特别地，当ａ＝０，ｂ＝１时，称Ｘ服从０－１分布.为了纪念瑞士科学家雅各布伯努利，人们也称两点分布为伯努利分布，它可以用来刻画只有两个试验结果的随机试验.２.二项分布若随机变量Ｘ的分布律为上一页下一页返回第二节离散型随机变量及其分布其中０<ｐ<１，则称Ｘ服从参数为ｎ，ｐ的二项分布，记作Ｘ~ｂ(ｎ，ｐ).我们知道，ｎ重伯努利试验中事件Ａ出现ｋ次的概率为可知，若Ｘ~ｂ(ｎ，ｐ)，Ｘ就可以用来表示ｎ重伯努利试验中事件Ａ出现的次数.因此，二项分布可以作为描述ｎ重伯努利试验中事件Ａ出现的次数的数学模型.比如，射手进行ｎ次独立射击的试验中，“中靶”次数的概率分布；随机抛掷硬币ｎ次，落地时出现“正面”次数的概率分布；从一批足够多的产品中任意抽取ｎ件，其中“废品”件数的概率分布.不难看出，０－１分布就是二项分布在当ｎ＝１时的特殊情形，故０－１分布的分布律为上一页下一页返回第二节离散型随机变量及其分布【例２－５】已知一批产品１００个，其中有１０个次品，现从中有放回地抽取１０次，每次任取１个，问:在所抽取的１０个中出现ｋ个次品的概率?解因为是有放回地抽取，所以这１０次试验的条件完全相同且独立，它是伯努利试验.依题意，每次试验取到次品的概率为０.１.设Ｘ为所取的１０次中的次品数，则Ｘ~ｂ(１０，０.１).故上一页下一页返回第二节离散型随机变量及其分布【例２－６】在参加人寿保险的某一年龄组中，每人每年死亡的概率为０.００５.现有２０００个属于这一年龄组的人参加人寿保险，试求在某一年里，在这些投保人中:(１)有２０人死亡的概率；(２)死亡人数不超过２５人的概率.解考察投保人中一个人在未来一年里的死亡情况是一个随机试验；考察２０００人的死亡情况是２０００重伯努利试验，设未来一年中投保人死亡人数为Ｘ，则Ｘ~ｂ(２０００，０.００５).故显然，直接计算上面的式子非常麻烦，在后面我们将给出其近似值的计算方法.上一页下一页返回第二节离散型随机变量及其分布３.泊松分布如果随机变量Ｘ可能的取值为０，１，２，，它的分布律为其中，λ>０为常数，则称Ｘ服从参数为λ的泊松分布，记作Ｘ~Ｐ(λ).服从泊松分布的随机现象在社会生活和物理学领域中非常普遍.在社会生活中，泊松分布尤其适用于各种服务的需求现象或排队现象.如纺织厂生产的一批布匹上疵点的点数，某售票窗口接待的顾客数等都服从泊松分布.泊松分布也是概率论中的一种重要分布.在历史上，作为二项分布的近似，是泊松分布由法国的数学家泊松于１８３７年引入的，下面介绍用泊松分布来逼近二项分布的定理.上一页下一页返回第二节离散型随机变量及其分布定理２.１(泊松定理)设ｎｐｎ＝λ(λ>０)，其中λ是一常数，ｎ是任意正整数，则对任意一固定的非负整数ｋ，有证由ｐｎ＝λ/ｎ，有对于任意固定的ｋ，当ｎ→时，

上一页下一页返回第二节离散型随机变量及其分布由于λ＝ｎｐｎ是常数，因此当ｎ很大时，ｐｎ必定很小，因此上述定理表明，当ｎ很大，而ｐｎ很小时，二项分布近似地可用泊松分布来描述(我们称之为二项分布的泊松近似)，此时λ＝ｎｐｎ，实际计算中，ｎ≥１００，ｎｐｎ≤１０时近似效果较好.【例２－７】用泊松分布公式近似计算例２－６中的有关概率.解因为ｎ＝２０００≥１００，ｐｎ＝０.００５，λ＝ｎｐｎ＝２０００×０.００５＝１０≤１０，故可近似计算为注:关于二项分布概率的近似计算在后续的学习中还将介绍其正态近似.上一页返回第三节随机变量的分布函数对于非离散型随机变量Ｘ，由于其可能取的值不能一个一个地列举出来，因而不能像离散型随机变量那样可以用分布律来描述.另外，通常所遇到的非离散型随机变量取任一指定的实数值的概率都等于０(这一点在下一节将会讲到).再者，在实际中，对于这样的随机变量，我们往往并不会对随机变量在某一点处取值的概率感兴趣，而是考虑它落在某个区间内的概率.因而我们转而去研究随机变量落在某区间(ｘ１，ｘ２

]上的概率，即求Ｐ{ｘ１

<Ｘ≤ｘ２}，但由于Ｐ{ｘ１

<Ｘ≤ｘ２}＝Ｐ{Ｘ≤ｘ２}－Ｐ{Ｘ≤ｘ１

}，则只需研究形如Ｐ{Ｘ≤ｘ}的概率问题就可以了.下面引入随机变量的分布函数的概念.定义２.３设Ｘ是一个随机变量，ｘ为任意实数，称Ｆ(ｘ)＝Ｐ{Ｘ≤ｘ}，－<ｘ<＋(２－７)为Ｘ的分布函数，记作Ｘ~Ｆ(ｘ).下一页返回第三节随机变量的分布函数如果将Ｘ看成数轴上的随机点的坐标，那么分布函数Ｆ(ｘ)在ｘ处的函数值就表示Ｘ落在区间(－，ｘ]上的概率.由分布函数定义可知，对于任意实数ｘ１，ｘ２(ｘ１<ｘ２)，有Ｐ{ｘ１<Ｘ≤ｘ２}＝Ｐ{Ｘ≤ｘ２}－Ｐ{Ｘ≤ｘ１}＝Ｆ(ｘ２)－Ｆ(ｘ１).因此，若已知Ｘ的分布函数，我们就能知道Ｘ落在任一区间(ｘ１，ｘ２]上的概率.从这个意义上说，分布函数完整地描述了随机变量的统计规律性.分布函数具有如下性质:(２)Ｆ(ｘ)为单调不减的函数.事实上，由式(２－７)，对于任意实数ｘ１，ｘ２(ｘ１

<ｘ２)，有Ｆ(ｘ２)－Ｆ(ｘ１)＝Ｐ{ｘ１

<Ｘ≤ｘ２}≥０.上一页下一页返回第三节随机变量的分布函数(３)Ｆ(ｘ)在ｘ处是右连续的，即Ｆ(ｘ＋０)＝Ｆ(ｘ).这三个基本性质是分布函数必须具有的性质，而且可以证明出，满足这三个基本性质的函数一定是某个随机变量的分布函数.从而这三个基本性质成为判别某个函数是否能成为分布函数的充要条件.概率论主要是利用随机变量来描述和研究随机现象，而利用分布函数就能很好地表示各事件的概率.例如，上一页下一页返回第三节随机变量的分布函数【例２－８】设随机变量Ｘ的分布函数为Ｆ(ｘ)＝Ａ＋Ｂａｒｃｔａｎｘ，求:(１)常数Ａ，Ｂ；(２)Ｐ{－１<Ｘ≤１}.上一页下一页返回第三节随机变量的分布函数【例２－９】求上一节【例２－４】中Ｘ的分布函数.上一页下一页返回第三节随机变量的分布函数Ｆ(ｘ)的图形如图２.１所示.概率分布与分布函数都可以描述随机变量的分布状况，但概率分布看上去更直观，而分布函数的优点在于由它可以很容易地计算任一事件的概率.如【例２－４】中(２)Ｐ{１<Ｘ≤３}＝Ｆ(３)－Ｆ(１)＝０.５；Ｐ{１≤Ｘ≤３}＝Ｆ(３)－Ｆ(１－０)＝０.８.上一页下一页返回第三节随机变量的分布函数一般地，设离散型随机变量Ｘ的分布律为由概率的可列可加性得Ｘ的分布函数它的图形是有限级或无穷级的阶梯函数.【例２－１０】设一个靶子半径为２米的圆盘，击中靶上任一同心圆的概率与该同心圆的面积成正比，并设射击都能中靶，以Ｘ表示弹着点与圆心的距离，试求Ｘ的分布函数上一页下一页返回第三节随机变量的分布函数故Ｘ的分布函数为Ｆ(ｘ)的图形如图２.２所示，它是一条连续曲线.Ｘ可以取区间[０，２]上的任何值，就是说它的取值可充满区间[０，２]，换言之，Ｘ可以在区间[０，２]上连续取值.另外，容易看到本例中，分布函数Ｆ(ｘ)可以写成如下形式:上一页下一页返回第三节随机变量的分布函数其中这就是说，Ｆ(ｘ)恰是非负函数ｆ(ｔ)在区间(－，ｘ]上的积分，在这种情况下，我们称Ｘ为连续型随机变量.下一节我们将给出连续型随机变量的一般定义.上一页返回第四节连续型随机变量及其分布一、连续型随机变量及其概率密度函数定义２.４一般地，若对于随机变量Ｘ的分布函数为Ｆ(ｘ)，存在非负的可积函数ｆ(ｘ)(－<ｘ<＋)，使对于任意实数ｘ有则称Ｘ为连续型随机变量，称ｆ(ｘ)为Ｘ的概率密度函数，简称概率密度或密度函数.与离散型随机变量的分布律类似，连续型随机变量的概率密度也有如下性质:下一页返回第四节连续型随机变量及其分布(４)若ｆ(ｘ)在ｘ点处连续，则有Ｆ′(ｘ)＝ｆ(ｘ).由(２)知，介于曲线ｙ＝ｆ(ｘ)与ｙ＝０之间的面积为１；由(３)知，Ｘ落在区间(ｘ１，ｘ２

]上的概率Ｐ{ｘ１

<Ｘ≤ｘ２}等于区间(ｘ１，ｘ２

]上曲线ｙ＝ｆ(ｘ)之下的曲边梯形面积；由(４)进一步分析可得这表明，ｆ(ｘ)不是Ｘ取值ｘ的概率，而是它在ｘ点处概率分布的密集程度，但它能反映出Ｘ在ｘ点处附近取值概率的大小.事实上，连续型随机变量的概率密度与分布函数的关系类似于变速直线运动的速度与距离的关系.因此，对于连续型随机变量，用概率密度描述它的分布比分布函数直观.上一页下一页返回第四节连续型随机变量及其分布

这就是说连续型随机变量取某个值ｘ的概率为０，即Ｐ{Ｘ＝ｘ}＝０，所以，计算连续型随机变量取值在某个区间上的概率时不区分开区间和闭区间.事实上，对于连续型随机变量，讨论它在某一点处的概率实际意义不大.例如飞机向地面投掷物品，是指向地面某个区域投掷，而一般不是某个点.【例２－１１】设Ｘ为连续型随机变量，其概率密度为求:(１)系数Ａ；(２)分布函数Ｆ(ｘ)；(３)Ｐ{０.５<Ｘ<１.５}.上一页下一页返回第四节连续型随机变量及其分布解(１)由概率密度的规范性可知，上一页下一页返回第四节连续型随机变量及其分布二、几种常见的连续型随机变量及其概率分布１.均匀分布若随机变量Ｘ的概率密度为则称Ｘ在区间(ａ，ｂ)内服从均匀分布，记作Ｘ~Ｕ(ａ，ｂ).若Ｘ~Ｕ(ａ，ｂ)，可求得Ｘ的分布函数为上一页下一页返回第四节连续型随机变量及其分布对任一区间(ｃ，ｄ)⊂(ａ，ｂ)，有这说明Ｘ落在(ａ，ｂ)内任一小区间的概率与区间的长度有关，而与小区间在(ａ，ｂ)内的位置无关.例如在区间(ａ，ｂ)内任意投掷一个质点，用Ｘ表示质点与坐标原点的距离，则Ｘ在区间(ａ，ｂ)内服从均匀分布；再如一个数的舍入误差也是服从均匀分布的.上一页下一页返回第四节连续型随机变量及其分布【例２－１２】设某市公交车站上，某路公共汽车每５分钟有一辆车到达，而乘客在５分钟内任一时间到达是等可能的，计算在车站候车的１０位乘客中只有一位等待时间超过４分钟的概率.解设Ｘ为每位乘客的候车时间，则Ｘ服从(０，５)内的均匀分布.设Ｙ表示车站上１０位候车乘客中等待时间超过４分钟的人数，由于每人到达时间相互独立，因此这是１０重伯努利概型.Ｙ服从二项分布，其参数ｎ＝１０，这说明Ｘ落在(ａ，ｂ)内任一小区间的概率与区间的长度有关，而与小区间在(ａ，ｂ)内的位置无关.例如在区间(ａ，ｂ)内任意投掷一个质点，用Ｘ表示质点与坐标原点的距离，则Ｘ在区间(ａ，ｂ)内服从均匀分布；再如一个数的舍入误差也是服从均匀分布的.上一页下一页返回第四节连续型随机变量及其分布【例２－１２】设某市公交车站上，某路公共汽车每５分钟有一辆车到达，而乘客在５分钟内任一时间到达是等可能的，计算在车站候车的１０位乘客中只有一位等待时间超过４分钟的概率.解设Ｘ为每位乘客的候车时间，则Ｘ服从(０，５)内的均匀分布.设Ｙ表示车站上１０位候车乘客中等待时间超过４分钟的人数，由于每人到达时间相互独立，因此这是１０重伯努利概型.Ｙ服从二项分布，其参数ｎ＝１０，所以，Ｐ{Ｙ＝１}＝上一页下一页返回第四节连续型随机变量及其分布２.指数分布若随机变量Ｘ的概率密度为其中，θ>０，则称Ｘ服从参数为θ的指数分布.易知ｆ(ｘ)≥０，ｆ(ｘ)图形如图２.３所示.参数为θ的指数分布的分布函数为上一页下一页返回第四节连续型随机变量及其分布服从指数分布的随机变量Ｘ具有以下有趣的性质:对于任意的ｓ，ｔ>０，有式(２－１１)表明指数分布具有“无记忆性”.如果Ｘ是某一元件的寿命，则式(２－１１)表明，已知元件已使用ｓ小时，它总共能使用至少ｓ＋ｔ小时的条件概率，与从开始使用时算起它至少能使用ｔ小时的概率相等.这就是说，元件对它已使用过ｓ小时没有记忆.具有这一性质是指数分布有广泛应用的重要原因.上一页下一页返回第四节连续型随机变量及其分布在实际应用中，随机服务系统中的服务时间、电话问题中的通话时间、电子元件的寿命等都近似地服从指数分布.【例２－１３】某元件寿命Ｘ服从参数为θ＝１０００的指数分布.３个这样的元件使用１０００小时后，都没有损坏的概率是多少?解由指数分布可得一个元件没有损坏的概率为各元件寿命相互独立，因此由伯努利概型知，３个这样的元件使用１０００小时后都没有损坏的概率为上一页下一页返回第四节连续型随机变量及其分布３.正态分布若随机变量Ｘ的概率密度为则称Ｘ服从参数为μ和σ２的正态分布[亦称高斯(Ｇａｕｓｓ)分布]，记作Ｘ~Ｎ(μ，σ２)，其中μ和σ２(σ>０)都是常数，其分布函数为特别地，当参数μ＝０，σ＝１时，称之为标准正态分布，它的概率密度和分布函数分别记作φ(ｘ)和Φ(ｘ)，即上一页下一页返回第四节连续型随机变量及其分布正态分布的概率密度ｆ(ｘ)和标准正态分布的概率密度φ(ｘ)如图２.４、图２.５所示.正态分布的图形特征:(１)如图２.６所示，参数μ反映了图形的位置(图形关于ｘ＝μ对称)，而σ则反映了图形的陡峭程度.(２)曲线在ｘ＝μ处达到最大值(３)曲线在ｘ＝μ±σ处有拐点且以ｘ轴为渐近线.标准正态分布的重要性在于任何一个一般的正态分布都可以通过线性变换转换为标准正态分布.上一页下一页返回第四节连续型随机变量及其分布式(２－１３)中，作变换则所以，一般正态分布的有关运算都可以化为标准正态分布的计算.上一页下一页返回第四节连续型随机变量及其分布【例２－１４】设Ｘ~Ｎ(０，１).求:(１)Ｐ{Ｘ≤１.９６}；(２)Ｐ{Ｘ>１.９６}；(３)Ｐ{｜Ｘ｜≤１.９６}；(４)Ｐ{Ｘ≤５.９}.解查标准正态分布表知，(１)Ｐ{Ｘ≤１.９６}＝Φ(１.９６)＝０.９７５.(２)由标准正态分布对称性有Ｐ{Ｘ>１.９６}＝１－Ｐ{Ｘ≤１.９６}＝１－Φ(１.９６)＝０.０２５.上一页下一页返回第四节连续型随机变量及其分布(３)Ｐ{｜Ｘ｜≤１.９６}＝Ｐ{－１.９６≤Ｘ≤１.９６}＝Φ(１.９６)－Φ(－１.９６)＝２Φ(１.９６)－１＝０.９５.(４)Ｐ{Ｘ≤５.９}＝Φ(５.９)≈１.【例２－１５】已知企业生产的螺栓长度Ｘ(单位:厘米)服从Ｎ(１０.０５，０.０６２)，规定长度在１０.０５±０.１２内的为合格品，试求螺栓为合格品的概率.解根据条件可知，{Ｘ－１０.０５≤０.１２}表示合格品.于是Ｐ{Ｘ－１０.０５≤０.１２}＝Ｐ{１０.０５－０.１２≤Ｘ≤１０.０５＋０.１２}上一页下一页返回第四节连续型随机变量及其分布即螺栓为合格品的概率等于０.９５４４.三倍标准差原则:上一页下一页返回第四节连续型随机变量及其分布如图２.７所示，尽管正态分布随机变量Ｘ的取值范围是－<ｘ<＋，但它的值几乎全部集中在(μ－３σ，μ＋３σ)内，超出这个范围的可能性不到０.３％.这在统计学上称为三倍标准差原则(３σ准则).为了便于今后在数理统计中的应用，对于标准正态随机变量，我们引入上α分位点的定义.设Ｘ~Ｎ(０，１)，若ｚα

满足条件Ｐ{Ｘ>ｚα}＝α，０<α<１，则称点ｚα

为标准正态分布的上α分位点，如图２.８所示.对于不同的α值，表２.５给出了几个常用的ｚα

的值.另外，由φ(ｘ)图形的对称性可知，ｚ１－α＝－ｚα.上一页下一页返回第四节连续型随机变量及其分布在自然现象和社会现象中，大量随机变量都服从或近似服从正态分布.例如，一个地区的男性成年人的身高、测量某零件长度的误差、海洋波浪的高度、半导体器件中的热燥或电压等都服从正态分布.在概率论与数理统计的理论研究和实际应用中，正态随机变量起着特别重要的作用.在第五章我们将进一步说明正态随机变量的重要性.上一页返回第五节随机变量函数的分布在实际中，我们常对某些随机变量的函数更感兴趣.例如，在一些试验中，所关心的随机变量往往不能直接测量得到，而它却是某个能直接测量的随机变量的函数.比如我们能测量圆轴截面的直径ｄ，而关心的却是截面面积πｄ２.这里，随机变量Ａ是随机变量ｄ的函数.在这一节中，我们将讨论如何由已知随机变量Ｘ的分布去求它的函数Ｙ＝ｇ(Ｘ)的概率分布.一、离散型随机变量函数的分布离散型随机变量函数的分布是比较容易求得的.设Ｘ是离散型随机变量，Ｘ的分布律如表２.６所示.那么Ｙ＝ｇ(Ｘ)也是一个离散型随机变量，此时Ｙ的分布律就可很简单地表示出来，如表２.７所示.当ｇ(ｘ１)，ｇ(ｘ２)，，ｇ(ｘｎ

)，中有某些值相等时，则把那些相等的值分别合并，并把对应的概率加起来即可.下一页返回第五节随机变量函数的分布【例２－１６】设离散型随机变量Ｘ的分布律如表２.８所示.求:(１)Ｙ＝Ｘ－１的分布律；(２)Ｙ＝－２Ｘ２的分布律.解(１)由随机变量函数的概念，可由Ｘ的可能值求出Ｙ的可能值，如表２.９所示.故可得Ｙ的分布律，如表２.１０所示.(２)Ｙ＝Ｘ２的可能值由表２.１１给出.最后，得Ｙ的分布律，如表２.１２所示.上一页下一页返回第五节随机变量函数的分布二、连续型随机变量函数的分布一般地，连续型随机变量的函数不一定是连续型随机变量，但我们主要讨论连续型随机变量的函数还是连续型随机变量的情形.此时，我们不仅希望求出随机变量的分布函数，而且希望求出其概率密度.下面先来介绍“分布函数法”———先求Ｙ＝ｇ(ｘ)的分布函数，然后求导，便可得到Ｙ的概率密度.【例２－１７】设随机变量Ｘ具有概率密度ｆＸ(ｘ)(－<ｘ<＋)，求随机变量Ｙ＝Ｘ２的概率密度.上一页下一页返回第五节随机变量函数的分布上一页下一页返回第五节随机变量函数的分布【例２－１８】设随机变量Ｘ~Ｎ(０，１)，Ｙ＝ｅＸ，求Ｙ的概率密度