专题13 相似三角形模型之一线三等角模型、手拉手模型、十字架模型解读与提分精练（原卷版）

专题13相似三角形模型之一线三等角模型、手拉手模型、十字架模型目录TOC\o"1-3"\h\u 1模型1.相似三角形模型之一线三等角模型 1模型2.相似三角形模型之手拉手模型 10模型3.相似三角形模型之十字架模型 18 27模型1.相似三角形模型之一线三等角模型1）一线三等角模型（同侧型）（锐角型）（直角型）（钝角型）条件：如图，∠1=∠2＝∠3，结论：△ACE∽△BED。证明：∵∠1+∠C=∠2+∠DEB（外角定理），∠1=∠2∴∠C=∠DEB，∵∠1=∠3，∴△ACE∽△BED。2）一线三等角模型（异侧型）条件：如图，∠1=∠2＝∠3，结论：△ADE∽△BEC.证明：∵∠1=∠2，∴∠CBE=∠EAD（等角的补角相等），∴∠C=∠DEB，∵∠1=∠3，∴△ACE∽△BED。∵∠2=∠C+∠CEB（外角定理），∠3=∠DEA+∠CEB，∠2＝∠3∴∠C=∠DEA，∴△ADE∽△BEC.3）一线三等角模型（变异型）图1图2图3①特殊中点型：条件：如图1，若C为AB的中点，且∠1=∠2＝∠3，结论：△ACE∽△BED∽△ECD.证明：∵∠1+∠C=∠2+∠DEB（外角定理），∠1=∠2，∴∠C=∠DEB，∵∠1=∠3，∴△ACE∽△BED。∴，∵C为AB的中点，∴AE=EB，∴，∴，∵∠2=∠3，∴△BED∽△ECD②一线三直角变异型1：条件：如图2，∠ABD=∠AFE=∠BDE=90°.结论：△ABC∽△BDE∽△BFC∽△AFB.证明：∵∠ABD=∠AFE=90°，∴∠ABF+∠CBF=90°，∠A+∠ABF=90°，∴∠CBF=∠A，∵∠ABD=∠BDE=90°，∴△ABC∽△BDE，∵∠ABD=∠AFE=90°，∴∠ABC=∠BFC=90°，∴△ABC∽△BFC，同理可证：△ABC∽△AFB°，故△ABC∽△BDE∽△BFC∽△AFB.③一线三直角变异型2：条件：如图3，∠ABD=∠ACE=∠BDE=90°.结论：△ABM∽△NDE∽△NCM.证明：∵∠ABD=∠ACE=90°，∴∠ABM=∠MCN=90°，∵∠AMB=∠NMC（对顶角相等）∴△ABM∽△NCM.同理可证：△NDE∽△NCM故：△ABM∽△NDE∽△NCM.例1．（24-25九年级上·辽宁沈阳·期末）已知：在中，E是边上动点，连接，F为直线上方一点，连接，．问题探究：（1）如图1，当为正方形时，若，请直接写出的值；（2）如图2，当为矩形时，若求的值；应用拓展：（3）如图3，当为菱形时，交于点G，且求的长．例2．（2024·甘肃天水·二模）综合与实践感知：数学课上，老师给出了一个模型：如图，点M在直线上，且（可以是直角、锐角或者钝角），像这种一条直线上的三个顶点含有三个相等的角的模型，我们把它称为“一线三等角”模型．应用：(1)如图1，在矩形中，M，N分别为边上的点，，且，则的数量关系是_____；(2)如图2，在中，，，M是上的点（），且，，求的长；(3)如图3，在四边形中，，，，，求的值．模型2.相似三角形模型之手拉手模型“手拉手”旋转型定义：如果将一个三角形绕着它的项点旋转并放大或缩小(这个顶点不变)，我们称这样的图形变换为旋转相似变换，这个顶点称为旋转相似中心，所得的三角形称为原三角形的旋转相似三角形。手拉手模型有以下特点：1）两个三角形相似；2）这两个三角形有公共顶点，且绕顶点旋转并缩放后2个三角形可以重合；3）图形是任意三角形（只要这两个三角形是相似的）。1）手拉手相似模型（任意三角形）条件:如图，∠BAC=∠DAE=，；结论：△ADE∽△ABC，△ABD∽△ACE；；∠BFC=∠BAC.证明：∵，∴，∵∠BAC=∠DAE=，∴△ADE∽△ABC，∵∠BAC=∠DAE=，∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，∴∠BAD=∠CAE，∵，∴△ABD∽△ACE，∴，∠ABD=∠ACE，∴∠BFC=∠BAC=∠DAE=，2）手拉手相似模型（直角三角形）条件:如图，，；结论：△AOC∽△BOD；，AC⊥BD，.证明：∵，∴∠AOB-∠BOC=∠COD-∠BOC，∴∠AOC=∠BOD，∵，∴△AOC∽△BOD，∴，∠OAB=∠OBD，∴∠AEB=∠AOB=90°，∴AC⊥BD，∴.例1．（24-25九年级上·河南新乡·期末）我们常把在同一顶点处存在对应相等线段的图形称为“手拉手”模型，用该模型解决问题时重点在“构建”模型、证明相似以及用相似来解决问题．(1)等腰直角三角形和等腰直角三角形如图1放置，，点M、N分别为的中点，则_________；(2)将图1的等腰直角三角形绕点C逆时针旋转至如图2所示的位置，那么的值是否发生改变？说明理由；(3)正方形和正方形如图3放置，其中正方形的边长是正方形边长的一半，连结，请直接写出与之间的数量关系以及直线与直线所夹锐角的度数．例2．（2024·黑龙江齐齐哈尔·一模）综合与实践“手拉手”模型是初中几何图形的一种全等变形的重要模型，可以借助旋转和全等形的相关知识结合勾股定理等，来解决有关线段的长、角的度数等问题，在学习和生活中应用广泛，有着十分重要的地位和作用．某校数学活动小组进行了有关旋转的系列探究：如图①，已知和均是等腰直角三角形，，且，，易证：，．深入探究：（1）如图②，将图①中绕点A逆时针旋转，连接、，并延长分别与、相交于点、，求证：，．解决问题：（2）如图③，将图①中绕点逆时针旋转，使与重合，其他条件不变，若，，则_______，_______．拓展应用：（3）如图④，将图①中绕点逆时针旋转，连接、，若，，，则______，______．（提示：求时，可过点作于点）模型3.相似三角形模型之十字架模型1）条件：如图1，在矩形ABCD中，若E是AB上的点，且DE⊥AC，结论：.证明：四边形为矩形，，；DE⊥AC，，，，，.2）条件：如图2，在矩形ABCD中，若E、F分别是AB、CD上的点，且EF⊥AC，结论：.证明：如图，过点F作于点G，则；四边形为矩形，，四边形为矩形，；；EF⊥AC，，；，，，易证：DC=AB，FG=BC，.3）条件：如图3，矩形ABCD中，若E、F、M、N分别是AB、CD、AD、BC上的点，EF⊥MN，结论：.证明：如图：过点N、F作、垂直，；四边形为矩形，，四边形为矩形，；∵EF⊥MN，，∴；又∵（对顶角相等），∴；∴，，易证：NH=AB，FG=BC，.例1．（24-25九年级下·安徽安庆·开学考试）在矩形中，E为上的一点，过B作的垂线，垂足为点G，交于点F．(1)求证：；(2)若，，，求四边形的面积．例2．（24-25九年级上·海南省直辖县级单位·期末）某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究：(1)如图1，在正方形中，、分别是、上两点，连接、，若，求证：．(2)在（1）的条件下，求证：；(3)如图2，在矩形中，过点作交于点，若，求的值；(4)如图3，在四边形中，，为上一点，连接，过点作的垂线交的延长线于点，交的延长线于，且，，，求的长．例3．（24-25九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）综合与实践已知矩形，点在边上，点在边上，点在边上，，垂足为点．(1)如图1，当时，点与点重合时，则与的数量关系是：_______（填“>”、“=”、“<”号）．(2)如图2，若，求与的数量关系；(3)应用（2）中的结论解决问题：①如图2，若，，，则的最小值为________；②如图3，在中，，，，点是的中点，连接，过作的垂线，交直线于，垂足是点，请直接写出的长．1．（23-24九年级上·安徽安庆·期末）如图，E、分别为矩形的边、上的点，，则图中①、②、③、④四个三角形中一定相似的是（

）A．①③ B．②③ C．①②③ D．①④2．（23-24九年级上·甘肃张掖·期末）如图，已知，则图中相似三角形是．

3．（24-25九年级上·江苏南京·期末）在综合与实践课上，老师让同学们以“三角形与旋转”为主题开展数学活动．如图，已知在直角三角形中，，，边的长为4．(1)操作发现操作：如图（1），分别取边、的中点D、E，连接，则的值为_______．(2)变换探究如图（2），将绕点A逆时针旋转得到，连接、，直线与直线相交于点F.（Ⅰ）在旋转过程中的值是否发生变化？请说明理由．（Ⅱ）直线与直线相交所形成的夹角（不超过）的大小是否发生变化？请说明理由．(3)拓展应用在旋转过程中，直线与直线相交于点F，当为等腰三角形时，请直接写出的面积．4．（24-25九年级上·辽宁丹东·期末）［问题情景］（1）如图1，小红把三角板放置到矩形中，使得顶点、、分别落在、、上，则线段与的数量关系为______（直接写出结果）［变式探究］（2）如图2．小红把三角板放置到矩形中，使得顶点、、分别在、、边上，若，，求的长．［拓展应用］（3）如图3，小红把三角形放到平行四边形中，使得顶点、、分别在、、边上，，，，求的值．5．（23-24九年级下·江西赣州·阶段练习）如图1，在中，，点D，E分别在边上，且，将绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为α．(1)问题发现：①当时，________；②当时，________；(2)拓展研究：试判断，当时，的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明；(3)问题解决：当旋转至A，D，C三点共线时，直接写出线段的长．6．（24-25九年级上·河南周口·阶段练习）问题发现（1）如图1，在四边形中，，，是上一点，若，则_____；拓展探究：（2）如图2，在四边形中，是上一点，当时，求证：；解决问题：（3）如图3，在中，，，点以的速度从点出发，沿边向点运动，点以的速度从点出发，沿边向点运动，当一个点停止运动时，另一个点也随之停止运动．连接，在的右侧作，交射线于点，连接．设运动时间为秒，当（点与点重合除外）是等腰三角形时，直接写出的值．7．（2024·江西景德镇·二模）【问题情境】在数学活动课上，同学们在课上用两张矩形纸片进行探究活动.小组同学准备了两张矩形纸片和，其中，，将它们按如图1所示的方式放置，点E，G分别落在，边上时，点E，G恰好为边，的中点.然后将矩形纸片绕点B按顺时针方向旋转，旋转角为，连接与．【观察发现】（1）如图2所示，当时，小组成员发现与存在的数量关系为_________；位置关系为_________；【探索猜想】（2）如图3所示，当时，（1）中发现的结论是否仍然成立?请说明理由；【拓展延伸】（3）在矩形的旋转过程中，交于点P，交于点O，连接，，是否为定值；如果是，请直接写出此定值，如果不是，请你说明理由.8．（24-25九年级上·四川眉山·期末）【基础巩固】（1）如图1，在中，，，D是边上一点，F是边上一点，．求证：；

【尝试应用】（2）如图2，在四边形中，点D是边的中点，，若，，求线段的