专题16 最值模型之胡不归模型、阿氏圆模型与瓜豆模型解读与提分精练（原卷版）

专题16最值模型之胡不归模型、阿氏圆模型与瓜豆模型目录TOC\o"1-3"\h\u 1模型1.最值模型之胡不归模型 1模型2.最值模型之阿氏圆模型 6模型3.最值模型之瓜豆轨迹模型 9 17模型1.最值模型之胡不归模型从前有个少年外出求学，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家．根据“两点之间线段最短”，虽然从他此刻位置A到家B之间是一片砂石地，但他义无反顾踏上归途，当赶到家时，老人刚咽了气，小伙子追悔莫及失声痛哭．邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？”看到这里很多人都会有一个疑问，少年究竟能不能提前到家呢？假设可以提早到家，那么他该选择怎样的一条路线呢？这就是今天要讲的“胡不归”问题.一动点P在直线MN外的运动速度为V1，在直线MN上运动的速度为V2，且V1<V2，A、B为定点，点C在直线MN上，确定点C的位置使的值最小．（注意与阿氏圆模型的区分）。1），记，即求BC+kAC的最小值.2）构造射线AD使得sin∠DAN=k，，CH=kAC,将问题转化为求BC+CH最小值.3）过B点作BH⊥AD交MN于点C，交AD于H点，此时BC+CH取到最小值，即BC+kAC最小．【解题关键】在求形如“PA+kPB”的式子的最值问题中，关键是构造与kPB相等的线段，将“PA+kPB”型问题转化为“PA+PC”型．（若k>1，则提取系数，转化为小于1的形式解决即可）。【最值原理】垂线段最短。例1．（2024·四川德阳·二模）如图，已知抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点．若P为y轴上一个动点，连接，则的最小值为（）A． B．2 C．2 D．4例2．（2024·陕西渭南·二模）如图，在菱形中，对角线相交于点，，，是对角线上的动点，则的最小值为．例3．（2023·吉林长春·统考一模）（1）【问题原型】如图①，在，，，求点到的距离．（2）【问题延伸】如图②，在，，．若点在边上，点在线段上，连结，过点作于，则的最小值为______．（3）【问题拓展】如图（3），在矩形中，．点在边上，点在边上，点在线段上，连结．若，则的最小值为______．模型2.最值模型之阿氏圆模型动点到两定点距离之比为定值（即：平面上两点A、B，动点P满足PA/PB=k（k为常数，且k≠1）），那么动点的轨迹就是圆，因这个结论最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现的，故称这个圆称为阿波罗尼斯圆，简称为阿氏圆。如图1所示，⊙O的半径为r，点A、B都在⊙O外，P为⊙O上一动点，已知r=k·OB（即），连接PA、PB，则当“PA+k·PB”的值最小时，P点的位置如何确定？最小值是多少呢？如图2，在线段OB上截取OC使OC=k·r（即），∵，∴，∵∠POC=∠BOP，∴△POC∽△BOP，∴，即k·PB=PC。故本题求“PA+k·PB”的最小值可以转化为“PA+PC”的最小值。其中与A与C为定点，P为动点，故当A、P、C三点共线时，“PA+PC”值最小，如图3所示。阿氏圆求最值的本质就是通过构造母子相似，化去比例系数，转化为两定一动将军饮马型求最值，难点在于如何构造母子相似。阿氏圆最值问题常见考法：点在圆外：向内取点（系数小于1）；点在圆内：向外取点（系数大于1）；一内一外：提系数；隐圆型阿氏圆等。注意区分胡不归模型和阿氏圆模型：在前面的“胡不归”问题中，我们见识了“k·PA+PB”最值问题，其中P点轨迹是直线，而当P点轨迹变为圆时，即通常我们所说的“阿氏圆”问题．例1．（2024年广东深圳中考模拟试题）如图，矩形中，，点是矩形内部一个动点，且，连接，则23的最小值为（

）A． B． C． D．例2．（2024·广东·校考二模）（1）初步研究：如图1，在△PAB中，已知PA=2，AB=4，Q为AB上一点且AQ=1，证明：PB=2PQ；（2）结论运用：如图2，已知正方形ABCD的边长为4，⊙A的半径为2，点P是⊙A上的一个动点，求2PC+PB的最小值；（3）拓展推广：如图3，已知菱形ABCD的边长为4，∠A=60°，⊙A的半径为2，点P是⊙A上的一个动点，求2PC−PB的最大值．模型3.最值模型之瓜豆轨迹模型瓜豆原理：一个主动点，一个从动点（根据某种约束条件，跟着主动点动），当主动点运动时，从动点的轨迹相同。只要满足：则两动点的运动轨迹是相似的，运动轨迹长度的比和它们到定点的距离比相同。则两动点的运动轨迹是相似的，运动轨迹长度的比和它们到定点的距离比相同。1、两“动”，一“定”2、两动点与定点的连线夹角是定角3、两动点到定点的距离比值是定值动点轨迹基本类型为直线型和圆弧型，主动点叫瓜（豆），从动点叫瓜（豆），瓜在直线上运动，豆也在直线上运动；瓜在圆周上运动，豆的轨迹也是圆。模型1）如图，P是直线BC上一动点，A是直线BC外一定点，连接AP，取AP中点Q，当点P在直线上运动时，则Q点轨迹也是一条直线。证明：分别过A、Q向BC作垂线，垂足分别为M、N，在运动过程中，因为AP=2AQ，所以QN始终为AM的一半，即Q点到BC的距离是定值，故Q点轨迹是一条直线．模型2）如图，在△APQ中AP=AQ，∠PAQ=为定值，当点P在直线BC上运动时，则Q点轨迹也是一条直线。证明：在BC上任取一点P1，作三角形△AP1Q1，且满足∠P1AQ1=，AQ1=AP1，连结Q1Q交BC于点N，∵AP=AQ，AQ1=AP1，∠P1AQ1=∠PAQ=，，∴∠APP1=∠AQQ1，∵∠AMP=∠NMQ，∴∠MNQ=∠PAQ=，即Q点所在直线与BC的夹角为定值，故Q点轨迹是一条直线．模型3、运动轨迹为圆弧模型3-1.如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，Q为AP中点．Q点轨迹是？分析：如图，连接AO，取AO中点M，任意时刻，均有△AMQ∽△AOP，QM：PO=AQ：AP=1：2。则动点Q是以M为圆心，MQ为半径的圆。模型3-2.如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，作AQ⊥AP且AQ=AP，当点P在圆O上运动时，Q点轨迹是？分析：如图，连结AO，作AM⊥AO，AO=AM；任意时刻均有△APO≌△AQM，且MQ=PO。则动点Q是以M为圆心，MQ为半径的圆。模型3-3.如图，△APQ是直角三角形，∠PAQ=90°且AP=kAQ，当P在圆O运动时，Q点轨迹是？分析：如图，连结AO，作AM⊥AO，AO:AM=k:1；任意时刻均有△APO∽△AQM，且相似比为k。则动点Q是以M为圆心，MQ为半径的圆。模型1-4.为了便于区分动点P、Q，可称P为“主动点”，Q为“从动点”。此类问题的两个必要条件：①主动点、从动点与定点连线的夹角是定量（∠PAQ是定值）；②主动点、从动点到定点的距离之比是定量（AP：AQ是定值）。分析：如图，连结AO，作∠OAM=∠PAQ，AO:AM=AP：AQ；任意时刻均有△APO∽△AQM。则动点Q是以M为圆心，MQ为半径的圆。特别注意：很多题目中主动点的运动轨迹并未直接给出，这就需要我们掌握一些常见隐圆的轨迹求法。例1．（2023·浙江宁波·模拟预测）如图，中，，，点D是的中点，P是以A为圆心，以为半径的圆上的动点，连接，则的最大值为（）A． B． C． D．例2．（2024·四川达州·一模）如图，在矩形中，，，点P在线段上运动（含B，C两点），连接，以点A为中心，将线段逆时针旋转到，连接，则线段的最小值为.例3．（2024·四川泸州·二模）如图，正方形的边长为5，以为圆心，2为半径作，点为上的动点，连接，并将绕点逆时针旋转得到，连接，在点运动的过程中，长度的最大值是．

例4．（2024·山东济南·一模）【问题情境】：（1）如图1，四边形是正方形，点是边上的一个动点，以为边在的右侧作正方形，连接，则与的数量关系是______．【类比探究】：（2）如图2，四边形是矩形，，点是边上的一个动点，以为边在的右侧作矩形，且，连接．判断线段与有怎样的数量关系：______，并说明理由：【拓展提升】：（3）如图3，在（2）的条件下，连接，求的最小值．

一、单选题1．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）如图，在矩形中，，，E，F分别是，上的点．现将四边形沿折叠，点A、B的对应点分别为M、N，且点N恰好落在上．连接，过B作，垂足为G，则的最小值为（

）A． B．5 C． D．72．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，在半径为的上，为上一动点，将射线绕逆时针旋转交于，取的中点，求在的运动过程中的路径长为（

）A． B． C． D．3．（24-25九年级上·全国·课后作业）已知如图正方形的边长为4，点为边上一动点，于，将绕着点顺时针旋转得到，连接，当点从点运动到点时，点的运动路径长为（

）A．4 B． C． D．二、填空题4．（23-24九年级上·天津和平·期末）如图，在矩形中，，，点是线段上一动点，将线段绕点顺时针转得到线段，连接，则的最小值为．

5．（24-25九年级上·北京·期中）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，点P是以抛物线的顶点C为圆心，2为半径的圆上的动点，点Q是线段的中点，连接，则线段的最大值是．6．（24-25九年级上·陕西渭南·期中）如图，在矩形中，，，点为对角线的中点，点在边上，且，将绕点旋转，点的对应点为点，连接、，则面积的最小值为．三、解答题7．（24-25九年级上·山东威海·期末）在中，，，以B为圆心作．点P是上一动点，连接，将绕点C顺时针方向旋转90°得到线段，连接，．(1)求证：；(2)连接，若与相切，则的度数是；（直接写答案）(3)连接，，，求线段的最大长度．8．（2024·湖北·模拟预测）若抛物线交x轴于交y轴于(1)请求出抛物线的解析式并直接写出的解集．(2)在抛物线对称轴上有一点P．当三角形为直角三角形时请求出P点的坐标．(3)以B为圆心2为半径做圆，上有一点M，连接．请求出的最小值．9．（2024·吉林长春·二模）【问题呈现】数学兴趣小组遇到这样一个问题：如图①，的半径为2，点是外的一个定点，．点在上，作点关于点的对称点，连接、．当点在上运动一周时，试探究点的运动路径．【问题解决】经过讨论，小组同学想利用全等三角形的知识解决该问题；如图②，延长至点，使，连接，通过证明，可推出点的运动路径是以点为圆心、2为半径的圆．下面是部分证明过程：证明：延长至点，使，连接．1°当点在直线外时，证明过程缺失2°当点在直线上时，易知．综上，点的运动路径是以点为圆心、2为半径的圆．请你补全证明中缺失的过程．【结论应用】如图③，在矩形中，点分别为边的中点，连接，点是中点，点是线段上的任意一点，．点是平面内一点，，连接．作点关于点的对称点，连接．（