人教版2024-2025年全国九年级数学中考真题汇编 2.2 分式方程及其应用

试卷第=page11页，共=sectionpages33页2.2分式方程及其应用一、选择题1．（2024·四川德阳）分式方程1x=5A．3 B．2 C．32 D．2．（2024·甘肃临夏）端午节期间，某商家推出“优惠酬宾”活动，决定每袋粽子降价2元销售．细心的小夏发现，降价后用240元可以比降价前多购买10袋，求：每袋粽子的原价是多少元？设每袋粽子的原价是x元，所得方程正确的是（

）A．240x−240C．240x−2−2403．（2025·江苏苏州）一只不透明的袋子中，装有3个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出一个球，摸到白球的概率为35，则红球的个数为（

A．1 B．2 C．3 D．44．（2025·甘肃甘南）《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到800里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少2天，已知快马的速度是慢马的52倍，求规定时间．设规定时间为x天，则下列分式方程正确的是（

A．800x−2=5C．800x−1=25．（2025·海南）分式方程x−2025x+3=0的解是（A．x=−3 B．x=3 C．x=2025 D．x=−20256．（2024·四川达州）甲乙两人各自加工120个零件，甲由于个人原因没有和乙同时进行，乙先加工30分钟后，甲开始加工．甲为了追赶上乙的进度，加工的速度是乙的1.2倍，最后两人同时完成．求乙每小时加工零件多少个？设乙每小时加工x个零件．可列方程为（

）A．1201.2x−120C．1201.2x−1207．（2024·四川泸州）分式方程1x−2−3=2A．x=−73 B．x=−1 C．x=58．（2024·山东）为提高生产效率，某工厂将生产线进行升级改造，改造后比改造前每天多生产100件，改造后生产600件的时间与改造前生产400件的时间相同，则改造后每天生产的产品件数为（

）A．200 B．300 C．400 D．5009．（2024·新疆）某校九年级学生去距学校20km的科技馆研学，一部分学生乘甲车先出发，5min后其余学生再乘乙车出发，结果同时到达．已知乙车的速度是甲车速度的1.2倍，设甲车的速度为xkmA．201.2x−20x=5 B．20x10．（2024·黑龙江绥化）一艘货轮在静水中的航速为40km/h，它以该航速沿江顺流航行120km所用时间，与以该航速沿江逆流航行A．5km/h B．6km/h11．（2024·四川广元）我市把提升城市园林绿化水平作为推进城市更新行动的有效抓手，从2023年开始通过拆违建绿、见缝插绿等方式在全域打造多个小而美的“口袋公园”．现需要购买A、B两种绿植，已知A种绿植单价是B种绿植单价的3倍，用6750元购买的A种绿植比用3000元购买的B种绿植少50株．设B种绿植单价是x元，则可列方程是（

）A．67503x−50=3000C．67503x+50=300012．（2024·内蒙古呼伦贝尔）A，B两种机器人都被用来搬运化工原料，A型机器人比B型机器人每小时多搬运30千克，A型机器人搬运900千克所用时间与B型机器人搬运600千克所用时间相等．A，B两种机器人每小时分别搬运多少千克化工原料？（

）A．60，30 B．90，120 C．60，90 D．90，6013．（2024·山东济宁）解分式方程1−13x−1=−A．2−6x+2=−5 B．6x−2−2=−5C．2−6x−1=5 D．6x−2+1=514．（2024·四川巴中）某班学生乘汽车从学校出发去参加活动，目的地距学校60km，一部分学生乘慢车先行0.5h，另一部分学生再乘快车前往，他们同时到达．已知快车的速度比慢车的速度每小时快20km，求慢车的速度？设慢车的速度为xkm/A．60x−60C．60x+20−6015．（2024·江苏无锡）分式方程1x=2A．x=1 B．x=−2 C．x=12 16．（2024·海南）分式方程1x−2=1的解是（A．x=3 B．x=−3 C．x=2 D．x=−217．（2024·宁夏）数学活动课上，甲，乙两位同学制作长方体盒子．已知甲做6个盒子比乙做4个盒子少用10分钟，甲每小时做盒子的数量是乙每小时做盒子的数量的2倍．设乙每小时做x个盒子，根据题意可列方程（）A．4x−62x=10 B．6x18．（2024·黑龙江哈尔滨）方程1x−4=3A．x=0 B．x=5 C．x=7 D．x=119．（2025·湖南）将分式方程1x=2A．x+1=2x B．x+2=1 C．1=2x D．x=220．（2025·黑龙江）已知关于x的分式方程x+kx−4−2k4−x=3A．k<−4 B．k>−4 C．k<−4且k≠−43 D．k>−421．（2025·广东深圳）某社区植树60棵，实际种植人数是原计划人数的2倍，实际平均每人种植棵数比原计划少了3棵．若设原计划人数为x人，则下列方程正确的是（

）A．60x−602x=3 B．602x22．（2024·四川遂宁）分式方程2x−1=1−mx−1的解为正数，则A．m>−3 B．m>−3且m≠−2C．m<3 D．m<3且m≠−223．（2024·黑龙江齐齐哈尔）如果关于x的分式方程1x−mx+1=0A．m<1且m≠0 B．m<1 C．m>1 D．m<1且m≠−124．（2024·黑龙江大兴安岭地）已知关于x的分式方程kxx−3−2=33−x无解，则A．k=2或k=−1 B．k=−2 C．k=2或k=1 D．k=−125．（2025·四川遂宁）若关于x的分式方程3−ax2−x=ax−2−1A．2 B．3 C．0或2 D．−1或326．（2025·黑龙江齐齐哈尔）如果关于x的分式方程mx1−x+xx−1=2A．m=1 B．m=−1 C．m=1或m=−1 D．m≠1且m≠−127．（2025·黑龙江绥化）用A，B两种货车运输化工原料，A货车比B货车每小时多运输15吨，A货车运输450吨所用时间与B货车运输300吨所用时间相等．若设B货车每小时运输化工原料x吨，则可列方程为（

）A．30015+x=450x B．30015−x=28．（2025·江苏无锡）小亮与小红周末去十里明珠堤的环湖绿道上骑行，小亮的速度是小红速度的1.2倍，两人各自骑行了6km，小亮骑行时间比小红少用了4min．设小红的骑行速度为A．61.2x+4C．61.2x−4二、填空题29．（2024·四川宜宾）分式方程x+1x−1−3=0的解为30．（2024·辽宁）方程5x+2=1的解为31．（2021·江苏淮安）方程2x+1=1的解为32．（2025·江苏徐州）分式方程3x=233．（2024·内蒙古通辽）分式方程3x−2=234．（2024·四川达州）若关于x的方程3x−2−kx−1x−2=135．（2024·四川泸州）在一个不透明的盒子中装有6个白球，若干个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同．若从中随机摸出一个球是白球的概率是23，则黄球的个数为36．（2024·北京）方程12x+3+137．（2024·浙江）若2x−1=1，则38．（2024·山东东营）水是人类赖以生存的宝贵资源，为节约用水，创建文明城市，某市经论证从今年1月1日起调整居民用水价格，每立方米水费上涨原价的14．小丽家去年5月份的水费是28元，而今年5月份的水费则是24.5元．已知小丽家今年5月份的用水量比去年5月份的用水量少3m3．设该市去年居民用水价格为x39．（2024·江苏南京）方程1x−240．（2025·四川凉山）若关于x的分式方程x+mx−2+12−x41．（2025·江西）小美家有一辆燃油汽车和一辆纯电汽车，燃油汽车耗费6000元油费行驶的路程与纯电汽车耗费1000元电费行驶的路程相同，且每百公里的耗油费比耗电费约多50元，求纯电汽车每百公里的耗电费．设纯电汽车每百公里的耗电费为x元，可列分式方程为42．（2025·甘肃）方程2xx−1=1的解是x=43．（2025·四川宜宾）分式方程1x−2+144．（2025·甘肃平凉）方程2xx−1=1的解是x=45．（2025·北京）方程2x−6+146．（2025·四川资阳）方程3x+1=5x+347．（2024·黑龙江牡丹江）若分式方程xx−1=3−mx1−x的解为正整数，则整数48．（2024·江苏徐州）分式方程3x+1=349．（2025·湖南长沙）分式方程3x+1=2三、解答题50．（2024·四川自贡）为传承我国传统节日文化，端午节前夕，某校组织了包粽子活动．已知七（3）班甲组同学平均每小时比乙组多包20个粽子，甲组包150个粽子所用的时间与乙组包120个粽子所用的时间相同．求甲，乙两组同学平均每小时各包多少个粽子．51．（2024·江苏扬州）为了提高垃圾处理效率，某垃圾处理厂购进A、B两种机器，A型机器比B型机器每天多处理40吨垃圾，A型机器处理500吨垃圾所用天数与B型机器处理300吨垃圾所用天数相等．B型机器每天处理多少吨垃圾？52．（2024·山东威海）某公司为节能环保，安装了一批A型节能灯，一年用电16000千瓦·时．后购进一批相同数量的B型节能灯，一年用电9600千瓦·时．一盏A型节能灯每年的用电量比一盏B型节能灯每年用电量的2倍少32千瓦·时．求一盏A型节能灯每年的用电量．53．（2024·陕西）解方程：2x54．（2024·广东广州）解方程：12x−555．（2024·山东泰安）随着快递行业的快速发展，全国各地的农产品有了更广阔的销售空间，某农产品加工企业有甲、乙两个组共35名工人．甲组每天加工3000件农产品，乙组每天加工2700件农产品，已知乙组每人每天平均加工的农产品数量是甲组每人每天平均加工农产品数量的1.2倍，求甲、乙两组各有多少名工人？56．（2024·黑龙江大庆）为了健全分时电价机制，引导电动汽车在用电低谷时段充电，某市实施峰谷分时电价制度，用电高峰时段（简称峰时）：7：00—23：00，用电低谷时段（简称谷时）：23：00—次日7：00，峰时电价比谷时电价高0.2元/度．市民小萌的电动汽车用家用充电桩充电，某月的峰时电费为50元，谷时电费为30元，并且峰时用电量与谷时用电量相等，求该市谷时电价．57．（2024·内蒙古包头）（1）先化简，再求值：x+12−2x+1（2）解方程：x−2x−458．（2025·四川自贡）去年暑假，小张与小李同学主动帮刘大爷掰玉米，他们各掰了36筐和30筐，两人劳动时间相同，小张平均每小时比小李多掰2筐，请问小李平均每小时掰玉米多少筐？59．（2025·江苏连云港）解方程2x+160．（2025·云南）某化工厂采用机器人A，机器人B搬运化工原料，机器人A比机器人B每小时少搬运20千克，机器人A搬运800千克所用时间与机器人B搬运1000千克所用时间相等．求机器人A，机器人B每小时分别搬运多少千克化工原料．61．（2025·山西）我国自主研发的HGCZ−2000型快速换轨车，采用先进的自动化技术、能精准高效地完成更换铁路钢轨的任务．一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨的公里数是一个工作队人工更换钢轨的2倍，它更换116公里钢轨比一个工作队人工更换80公里钢轨所用时间少22小时．求一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨多少公里．62．（2025·浙江）解分式方程：3x+163．（2025·江苏扬州）某文创商店推出甲、乙两款具有纪念意义和实用价值的书签，已知甲款书签价格是乙款书签价格的5464．（2025·广东）在解分式方程1−xx−2第一步：1−xx−2第二步：1−x=−1−2，第三步：−x=−1−2−1，第四步：x=4．第五步：检验：当x=4时，x−2≠0．第六步：∴原分式方程的解为x=4．小李的解法中哪一步是去分母？去分母的依据是什么？判断小李的解答过程是否正确．若不正确，请写出你的解答过程．65．（2025·吉林长春）小吉和小林从同一地点出发跑800米，小吉的平均速度是小林的1.25倍，结果小吉比小林少用40秒到达终点．求小林跑步的平均速度．66．（2025·江苏常州）某块绿地改进浇水方式，将漫灌方式全部改为喷灌方式，平均每天用水量减少1吨，20吨水可以使用的天数是原来的2倍．问浇水方式改进后平均每天用水多少吨？67．（2024·重庆）某工程队承接了老旧小区改造工程中1000平方米的外墙粉刷任务，选派甲、乙两人分别用A、B两种外墙漆各完成总粉刷任务的一半．据测算需要A、B两种外墙漆各300千克，购买外墙漆总费用为15000元，已知A种外墙漆每千克的价格比B种外墙漆每千克的价格多2元．(1)求A、B两种外墙漆每千克的价格各是多少元？(2)已知乙每小时粉刷外墙面积是甲每小时粉刷外墙面积的4568．（2024·重庆）为促进新质生产力的发展，某企业决定投入一笔资金对现有甲、乙两类共30条生产线的设备进行更新换代．(1)为鼓励企业进行生产线的设备更新，某市出台了相应的补贴政策．根据相关政策，更新1条甲类生产线的设备可获得3万元的补贴，更新1条乙类生产线的设备可获得2万元的补贴．这样更新完这30条生产线的设备，该企业可获得70万元的补贴．该企业甲、乙两类生产线各有多少条？(2)经测算，购买更新1条甲类生产线的设备比购买更新1条乙类生产线的设备需多投入5万元，用200万元购买更新甲类生产线的设备数量和用180万元购买更新乙类生产线的设备数量相同，那么该企业在获得70万元的补贴后，还需投入多少资金更新生产线的设备？69．（2024·云南）某旅行社组织游客从A地到B地的航天科技馆参观，已知A地到B地的路程为300千米，乘坐C型车比乘坐D型车少用2小时，C型车的平均速度是D型车的平均速度的3倍，求D型车的平均速度．70．（2024·福建）解方程：3x+271．（2024·广西）综合与实践在综合与实践课上，数学兴趣小组通过洗一套夏季校服，探索清洗衣物的节约用水策略．【洗衣过程】步骤一：将校服放进清水中，加入洗衣液，充分浸泡揉搓后拧干；步骤二：将拧干后的校服放进清水中，充分漂洗后拧干．重复操作步骤二，直至校服上残留洗衣液浓度达到洗衣目标．假设第一次漂洗前校服上残留洗衣液浓度为0.2%，每次拧干后校服上都残留0.5浓度关系式：d后=0.5d前0.5+w．其中d前【洗衣目标】经过漂洗使校服上残留洗衣液浓度不高于0.01【动手操作】请按要求完成下列任务：(1)如果只经过一次漂洗，使校服上残留洗衣液浓度降为0.01%(2)如果把4kg(3)比较（1）和（2）的漂洗结果，从洗衣用水策略方面，说说你的想法．72．（2024·江苏常州）书画装裱，是指为书画配上衬纸、卷轴以便张贴、欣赏和收藏，是我国具有民族传统的一门特殊艺术．如图，一幅书画在装裱前的大小是1.2m×0.8m，装裱后，上、下、左、右边衬的宽度分别是am、bm、cm、dm．若装裱后AB与AD的比是16:10，且a=b，c=d73．（2024·内蒙古）（1）计算：3（2）解方程：374．（2024·江苏南通）（1）计算：2m1（2）解方程xx+175．（2024·青海西宁）解方程：xx−176．（2025·甘肃兰州）解方程：3x+177．（2025·重庆）列方程解下列问题：某厂生产甲、乙两种文创产品．每天生产甲种文创产品的数量比每天生产乙种文创产品的数量多50个，3天时间生产的甲种文创产品的数量比4天时间生产的乙种文创产品的数量多100个．(1)求该厂每天生产的甲、乙文创产品数量分别是多少个？(2)由于市场需求量增加，该厂对生产流程进行了改进．改进后，每天生产乙种文创产品的数量较改进前每天生产的数量增加同样的数量，且每天生产甲种文创产品的数量较改进前每天增加的数量是乙种文创产品每天增加数量的2倍．若生产甲、乙两种文创产品各1400个，乙比甲多用10天，求每天生产的乙种文创产品增加的数量．78．（2025·上海）解方程：x−3x−279．（2025·黑龙江大庆）某公司开发了两款AI模型，分别为模型A和模型B．由于工作需要，公司同时使用这两款模型处理数据．已知模型B比模型A每小时多处理10GB数据，模型B处理300GB数据的时间与模型A处理200GB数据的时间相同，求模型A每小时能处理多少GB80．（2025·广东广州）智能机器人广泛应用于智慧农业．为了降低成本和提高采摘效率，某果园引进一台智能采摘机器人进行某种水果采摘．(1)若用人工采摘的成本为a元，相比人工采摘，用智能机器人采摘的成本可降低30%．求用智能机器人采摘的成本是多少元；（用含a(2)若要采摘4000千克该种水果，用这台智能采摘机器人采摘比4个工人同时采摘所需的天数还少1天，已知这台智能采摘机器人采摘的效率是一个工人的5倍，求这台智能采摘机器人每天可采摘该种水果多少千克．

参考答案与解析一、选择题1．（2024·四川德阳）分式方程1x=5A．3 B．2 C．32 D．【答案】D【分析】本题考查分式方程的解法，掌握分式方程的解法与步骤是解题关键．先去分母化分式方程为整式方程，求出方程的解后再检验即可．【详解】解：1x去分母，得x+3=5x，解得x=3当x=34时，∴x=3故选D2．（2024·甘肃临夏）端午节期间，某商家推出“优惠酬宾”活动，决定每袋粽子降价2元销售．细心的小夏发现，降价后用240元可以比降价前多购买10袋，求：每袋粽子的原价是多少元？设每袋粽子的原价是x元，所得方程正确的是（

）A．240x−240C．240x−2−240【答案】C【分析】本题考查由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的分式方程．根据降价后用240元可以比降价前多购买10袋，可以列出相应的分式方程．【详解】解：由题意可得，240x−2故选：C．3．（2025·江苏苏州）一只不透明的袋子中，装有3个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出一个球，摸到白球的概率为35，则红球的个数为（

A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】本题考查了根据概率求数量，熟练掌握概率公式是解题的关键．设红球有x个，根据摸到白球的概率公式列方程求解．【详解】解：设红球有x个，则袋中总球数为x+3个，∴摸到白球的概率为33+x根据题意得：33+x解得：x=2，因此，红球的个数为2个．故选：B．4．（2025·甘肃甘南）《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到800里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少2天，已知快马的速度是慢马的52倍，求规定时间．设规定时间为x天，则下列分式方程正确的是（

A．800x−2=5C．800x−1=2【答案】A【分析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．设规定时间为天，则慢马所需时间为x+1天，速度为800x+1里/天；快马所需时间为x−2天，速度为800x−2里/天．根据快马速度是慢马的【详解】解：由题意，快马速度为800x−2，慢马速度为800根据题意得：800x−2故选：A5．（2025·海南）分式方程x−2025x+3=0的解是（A．x=−3 B．x=3 C．x=2025 D．x=−2025【答案】C【分析】本题主要考查了解分式方程．先去分母，把分式方程化为整式方程，再解出整式方程，然后检验，即可求解．【详解】解：x−2025x+3去分母得：x−2025=0，解得：x=2025．检验：当x=2025时，x+3≠0，∴原方程的解为x=2025．故选：C6．（2024·四川达州）甲乙两人各自加工120个零件，甲由于个人原因没有和乙同时进行，乙先加工30分钟后，甲开始加工．甲为了追赶上乙的进度，加工的速度是乙的1.2倍，最后两人同时完成．求乙每小时加工零件多少个？设乙每小时加工x个零件．可列方程为（

）A．1201.2x−120C．1201.2x−120【答案】D【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，设乙每小时加工x个零件，则甲每小时加工1.2x个零件，再根据时间=工作总量÷工作效率结合甲的工作时间比乙的工作时间少30分钟列出方程即可．【详解】解：设乙每小时加工x个零件，则甲每小时加工1.2x个零件，由题意得120x故选：D．7．（2024·四川泸州）分式方程1x−2−3=2A．x=−73 B．x=−1 C．x=5【答案】D【分析】本题考查解分式方程，根据解分式方程方法和步骤（去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，检验）求解，即可解题．【详解】解：1x−21x−21−3x−21−3x+6=−2，−3x=−9，x=3，经检验x=3是该方程的解，故选：D．8．（2024·山东）为提高生产效率，某工厂将生产线进行升级改造，改造后比改造前每天多生产100件，改造后生产600件的时间与改造前生产400件的时间相同，则改造后每天生产的产品件数为（

）A．200 B．300 C．400 D．500【答案】B【分析】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．设改造后每天生产的产品件数为x，则改造前每天生产的产品件数为x−100，根据“改造后生产600件的时间与改造前生产400件的时间相同”列出分式方程，解方程即可．【详解】解：设改造后每天生产的产品件数为x，则改造前每天生产的产品件数为x−100，根据题意，得：600x解得：x=300，经检验x=300是分式方程的解，且符合题意，答：改造后每天生产的产品件数300．故选：B．9．（2024·新疆）某校九年级学生去距学校20km的科技馆研学，一部分学生乘甲车先出发，5min后其余学生再乘乙车出发，结果同时到达．已知乙车的速度是甲车速度的1.2倍，设甲车的速度为xkmA．201.2x−20x=5 B．20x【答案】D【分析】本题考查了分式方程的应用，正确理解题意是解决本题的关键．先把时间化为小时，设甲车的速度为xkm/h【详解】解：5min=120x故选：D．10．（2024·黑龙江绥化）一艘货轮在静水中的航速为40km/h，它以该航速沿江顺流航行120km所用时间，与以该航速沿江逆流航行A．5km/h B．6km/h【答案】D【分析】此题主要考查了分式方程的应用，利用顺水速=静水速+水速，逆水速=静水速−水速，设未知数列出方程，解方程即可求出答案．【详解】解：设江水的流速为x km/h12040+x解得：x=8，经检验：x=8是原方程的根，答：江水的流速为8km/h故选：D．11．（2024·四川广元）我市把提升城市园林绿化水平作为推进城市更新行动的有效抓手，从2023年开始通过拆违建绿、见缝插绿等方式在全域打造多个小而美的“口袋公园”．现需要购买A、B两种绿植，已知A种绿植单价是B种绿植单价的3倍，用6750元购买的A种绿植比用3000元购买的B种绿植少50株．设B种绿植单价是x元，则可列方程是（

）A．67503x−50=3000C．67503x+50=3000【答案】C【分析】本题主要考查了分式方程的应用，设B种绿植单价是x元，则A种绿植单价是3x元，根据用6750元购买的A种绿植比用3000元购买的B种绿植少50株，列出方程即可．【详解】解：设B种绿植单价是x元，则A种绿植单价是3x元，根据题意得：67503x故选：C．12．（2024·内蒙古呼伦贝尔）A，B两种机器人都被用来搬运化工原料，A型机器人比B型机器人每小时多搬运30千克，A型机器人搬运900千克所用时间与B型机器人搬运600千克所用时间相等．A，B两种机器人每小时分别搬运多少千克化工原料？（

）A．60，30 B．90，120 C．60，90 D．90，60【答案】D【分析】本题考查了分式方程的应用，设B型机器人每小时搬运x千克，则A型机器人每小时搬运x+30千克，根据“A型机器人搬运900千克所用时间与B型机器人搬运600千克所用时间相等”列分式方程求解即可．【详解】解：设B型机器人每小时搬运x千克，则A型机器人每小时搬运x+30千克，根据题意，得900x+30解得x=60，经检验，x=60是原方程的解，∴x+30=90，答：A型机器人每小时搬运90千克，B型机器人每小时搬运60千克．故选：D．13．（2024·山东济宁）解分式方程1−13x−1=−A．2−6x+2=−5 B．6x−2−2=−5C．2−6x−1=5 D．6x−2+1=5【答案】A【分析】本题考查通过去分母将分式方程转化为整式方程，方程两边同乘各分母的最简公分母，即可去分母．【详解】解：方程两边同乘2−6x，得2−6x−2−6x整理可得：2−6x+2=−5故选：A．14．（2024·四川巴中）某班学生乘汽车从学校出发去参加活动，目的地距学校60km，一部分学生乘慢车先行0.5h，另一部分学生再乘快车前往，他们同时到达．已知快车的速度比慢车的速度每小时快20km，求慢车的速度？设慢车的速度为xkm/A．60x−60C．60x+20−60【答案】A【分析】本题主要考查了分式方程的应用．设慢车的速度为xkm/h【详解】解：设慢车的速度为xkm/h60x故选：A．15．（2024·江苏无锡）分式方程1x=2A．x=1 B．x=−2 C．x=12 【答案】A【分析】本题考查了解分式方程，先去分母，将分式方程化为整式方程，再进行计算，最后验根即可．【详解】解：1xx+1=2x，x=1，检验，当x=1时，xx+1∴x=1是原分式方程的解，故选：A．16．（2024·海南）分式方程1x−2=1的解是（A．x=3 B．x=−3 C．x=2 D．x=−2【答案】A【分析】本题主要考查了解分式方程，先把分式方程去分母化为整式方程，再解方程，最后检验即可．【详解】解：1去分得：1=x−2，解得x=3，检验，当x=3时，x−2≠0，∴x=3是原方程的解，故选：A．17．（2024·宁夏）数学活动课上，甲，乙两位同学制作长方体盒子．已知甲做6个盒子比乙做4个盒子少用10分钟，甲每小时做盒子的数量是乙每小时做盒子的数量的2倍．设乙每小时做x个盒子，根据题意可列方程（）A．4x−62x=10 B．6x【答案】C【分析】本题考查了分式方程的实际应用，设乙每小时做x个盒子，根据“甲每小时做盒子的数量是乙每小时做盒子的数量的2倍”，则甲每小时做2x个盒子，根据“甲做6个盒子比乙做4个盒子少用10分钟”，列出方程4x【详解】解：设乙每小时做x个盒子，则甲每小时做2x个盒子，由题意得：4x故选：C．18．（2024·黑龙江哈尔滨）方程1x−4=3A．x=0 B．x=5 C．x=7 D．x=1【答案】C【分析】本题考查解分式方程，去分母，将分式方程转化为整式方程，求解后，进行检验即可．【详解】解：1去分母，得：x+2=3x−4解得：x=7；经检验，x=7是原方程的解，故选C．19．（2025·湖南）将分式方程1x=2A．x+1=2x B．x+2=1 C．1=2x D．x=2【答案】A【分析】本题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．将分式方程两边同时乘以最简公分母，消去分母，转化为整式方程．【详解】解：1x方程两边同时乘以xx+1，得：x+1=2x故选：A．20．（2025·黑龙江）已知关于x的分式方程x+kx−4−2k4−x=3A．k<−4 B．k>−4 C．k<−4且k≠−43 D．k>−4【答案】A【分析】本题考查了分式方程，首先将分式方程转化为整式方程，求出解关于k的表达式，再结合解为负数及分母不为零的条件确定k的范围．【详解】解：x+kx−4得x+3kx−4得x+3k=3x−12，解得：x=3k+12根据题意，解x=3k+12即3k+12<0，解得：k<−4，∵分母x−4≠0，即x≠4，即3k+122解得：k≠−4∴k<−4，故选：A．21．（2025·广东深圳）某社区植树60棵，实际种植人数是原计划人数的2倍，实际平均每人种植棵数比原计划少了3棵．若设原计划人数为x人，则下列方程正确的是（

）A．60x−602x=3 B．602x【答案】A【分析】本题考查由实际问题抽象出分式方程，设原计划人数为人，则实际人数为2x人，原计划平均每人种树60x棵，实际平均每人种树60【详解】解：由题意可得，60x故选：A．22．（2024·四川遂宁）分式方程2x−1=1−mx−1的解为正数，则A．m>−3 B．m>−3且m≠−2C．m<3 D．m<3且m≠−2【答案】B【分析】本题考查了解分式方程及分式方程的解，先解分式方程，求出分式方程的解，再根据分式方程解的情况解答即可求解，正确求出分式方程的解是解题的关键．【详解】解：方程两边同时乘以x−1得，2=x−1−m，解得x=m+3，∵分式方程2x−1∴m+3>0，∴m>−3，又∵x≠1，即m+3≠1，∴m≠−2，∴m的取值范围为m>−3且m≠−2，故选：B．23．（2024·黑龙江齐齐哈尔）如果关于x的分式方程1x−mx+1=0A．m<1且m≠0 B．m<1 C．m>1 D．m<1且m≠−1【答案】A【分析】本题考查了根据分式方程的解的情况求参数，解分式方程求出分式方程的解，再根据分式方程的解是负数得到m−1<0，并结合分式方程的解满足最简公分母不为0，求出m的取值范围即可，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键．【详解】解：方程两边同时乘以xx+1得，x+1−mx=0解得x=1∵分式方程的解是负数，∴m−1<0，∴m<1，又∵xx+1∴x+1≠0，∴1m−1∴m≠0，∴m<1且m≠0，故选：A．24．（2024·黑龙江大兴安岭地）已知关于x的分式方程kxx−3−2=33−x无解，则A．k=2或k=−1 B．k=−2 C．k=2或k=1 D．k=−1【答案】A【分析】本题考查了解分式方程无解的情况，理解分式方程无解的意义是解题的关键．先将分式方程去分母，化为整式方程，再分两种情况分别求解即可．【详解】解：去分母得，kx−2(x−3)=−3，整理得，(k−2)x=−9，当k=2时，方程无解，当k≠2时，令x=3，解得k=−1，所以关于x的分式方程kxx−3−2=33−x无解时，故选：A．25．（2025·四川遂宁）若关于x的分式方程3−ax2−x=ax−2−1A．2 B．3 C．0或2 D．−1或3【答案】D【分析】本题考查了分式方程无解问题，掌握求解的方法是解题的关键；将分式方程转化为整式方程，分析无解的两种情况：整式方程无解或解为增根（使分母为零），分别求解即可．【详解】解：原方程两边同乘x−2，得：−化简得：ax−3=a−x+2，即a+1x=a+5当整式方程无解时：即当a+1=0且a+5≠0时，即a=−1，此时方程无解；当解为增根时：即当解x=a+5解得a=3，此时x=2使原方程分母为零，无意义；综上，a的值为−1或3；故选：D．26．（2025·黑龙江齐齐哈尔）如果关于x的分式方程mx1−x+xx−1=2A．m=1 B．m=−1 C．m=1或m=−1 D．m≠1且m≠−1【答案】C【分析】本题考查分式方程无解，分式方程无解的情况有两种：解为增根或变形后整式方程无解．需将原方程化简，分别讨论这两种情况对应的m值即可．【详解】解：方程去分母，得：mx−x=21−x整理，得：m+1x=2∵原方程无解，∴①整式方程无解，则：m+1=0，解得：m=−1；②分式方程有增根，则：x−1=0，解得：x=1；把x=1代入m+1x=2，得：m+1=2，解得：m=1综上：m=1或m=−1故选C．27．（2025·黑龙江绥化）用A，B两种货车运输化工原料，A货车比B货车每小时多运输15吨，A货车运输450吨所用时间与B货车运输300吨所用时间相等．若设B货车每小时运输化工原料x吨，则可列方程为（

）A．30015+x=450x B．30015−x=【答案】C【分析】本题考查了分式方程的应用．熟练掌握工作量与工作效率和工作时间的关系，是解题的关键．设B货车每小时运输x吨，则A货车每小时运输x+15吨．根据A运输450吨的时间等于B运输300吨的时间，列方程450x+15【详解】解：设B货车每小时运输x吨，则A货车每小时运输x+15吨．∵A货车运输450吨的时间为450x+15，B货车运输300吨的时间为300∴450x+15即45015+x故选：C．28．（2025·江苏无锡）小亮与小红周末去十里明珠堤的环湖绿道上骑行，小亮的速度是小红速度的1.2倍，两人各自骑行了6km，小亮骑行时间比小红少用了4min．设小红的骑行速度为A．61.2x+4C．61.2x−4【答案】A【分析】本题主要考查了分式方程的应用，理解题意，弄清数量关系是解题关键．设小红的骑行速度为xkm/h，则小亮的速度为1.2xkm/【详解】解：设小红的骑行速度为xkm/h根据题意，可得61.2x故选：A．二、填空题29．（2024·四川宜宾）分式方程x+1x−1−3=0的解为【答案】x=2【分析】本题考查的是分式方程的解法，掌握解法步骤是解本题的关键；先去分母，化为整式方程，再解方程并检验即可．【详解】解：x+1x−1∴x+1−3x−1∴−2x=−4，解得：x=2，经检验：x=2是原方程的根，∴方程的根为x=2，故答案为：x=2．30．（2024·辽宁）方程5x+2=1的解为【答案】x=3【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键．先去分母，再解一元一次方程，最后再检验．【详解】解：5x+2x+2=5，解得：x=3，经检验：x=3是原方程的解，∴原方程的解为：x=3，故答案为：x=3．31．（2021·江苏淮安）方程2x+1=1的解为【答案】x=1【分析】本题考查分式方程的解法，熟知分式方程的解法是解题的关键，最后要记得检验．先去分母化成一元一次方程再解整式方程最后再检验即可．【详解】解：2去分母得，2=x+1，解得x=1，经检验，x=1是原分式方程的解．故答案为：x=1．32．（2025·江苏徐州）分式方程3x=2【答案】x=9【分析】本题考查了解分式方程，解题的关键是将分式方程化为整式方程求解，最后要检验所得的根是否为增根．通过交叉相乘将分式方程化为整式方程，然后解整式方程，最后检验所得的根．【详解】解：3x去分母得：3x−3去括号得：3x−9=2x，移项：3x−2x=9，∴x=9，检验：当x=9时，xx−3所以x=9是原分式方程的解．故答案为：x=9．33．（2024·内蒙古通辽）分式方程3x−2=2【答案】x=−4【分析】本题考查了解分式方程，先化为整式方程，然后求解并检验即可求解．【详解】解：33x=2解得：x=−4经检验x=−4是原方程的解，故答案为：x=−4．34．（2024·四川达州）若关于x的方程3x−2−kx−1x−2=1【答案】−1或2【分析】本题主要考查了分式方程无解问题，先解分式方程得到x=6k+1，再根据分式方程无解得到k+1=0或6k+1【详解】解：3去分母得：3−kx+1=x−2，解得：x=6∵关于x的方程3x−2∴当k+1=0或6k+1解得：k=−1或k=2（经检验是原方程的解），即k=−1或k=2，3x−2故答案为：−1或2．35．（2024·四川泸州）在一个不透明的盒子中装有6个白球，若干个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同．若从中随机摸出一个球是白球的概率是23，则黄球的个数为【答案】3【分析】此题考查了分式方程的应用，以及概率公式的应用．设黄球的个数为x个，然后根据概率公式列方程，解此分式方程即可求得答案．【详解】解：设黄球的个数为x个，根据题意得：6x+6解得：x=3，经检验，x=3是原分式方程的解，∴黄球的个数为3个．故答案为：3．36．（2024·北京）方程12x+3+1【答案】x=−1【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的方法和步骤是解题的关键．先去分母，转化为解一元一次方程，注意要检验是否有增根．【详解】解：1x+2x+3=0，解得：x=−1，经检验：x=−1是原方程的解，所以，原方程的解为x=−1，故答案为：x=−1．37．（2024·浙江）若2x−1=1，则【答案】3【分析】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【详解】解：去分母得：2=x−1，移项合并得：−x=−3，解得：x=3，经检验，x=3是分式方程的解，故答案为：338．（2024·山东东营）水是人类赖以生存的宝贵资源，为节约用水，创建文明城市，某市经论证从今年1月1日起调整居民用水价格，每立方米水费上涨原价的14．小丽家去年5月份的水费是28元，而今年5月份的水费则是24.5元．已知小丽家今年5月份的用水量比去年5月份的用水量少3m3．设该市去年居民用水价格为x【答案】28【分析】本题主要考查了分式方程的应用，设该市去年居民用水价格为x元/m3，则今年居民用水价格为【详解】解：设该市去年居民用水价格为x元/m28x故答案为：28x39．（2024·江苏南京）方程1x−2【答案】x=1【分析】此题考查了解分式方程，分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【详解】解：1去分母得：x+1−2=0解得：x=1，经检验当x=1时，xx+1∴原分式方程的解为∶x=1故答案为：x=140．（2025·四川凉山）若关于x的分式方程x+mx−2+12−x【答案】−1【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握分式方程无解时，方程有增根的情况是解答本题的关键．根据题意，解分式方程，得到x=5+m2，由题意得到原方程无解，故x=5+m2是原方程的增根，由【详解】解：x+mx−2去分母：方程两边同时乘以x−2，得：x+m−1=3x−6，x−3x=−6−m+1，−2x=−5−m，x=5+m∵原方程无解，∴x=5+m由x−2=0，x=2，∴5+m2∴m=−1，故答案为：−1．41．（2025·江西）小美家有一辆燃油汽车和一辆纯电汽车，燃油汽车耗费6000元油费行驶的路程与纯电汽车耗费1000元电费行驶的路程相同，且每百公里的耗油费比耗电费约多50元，求纯电汽车每百公里的耗电费．设纯电汽车每百公里的耗电费为x元，可列分式方程为【答案】6000【分析】本题考查分式方程的应用．设纯电汽车每百公里的耗电费为x元，由每百公里的耗油费为x+50元，根据“燃油汽车耗费6000元油费行驶的路程与纯电汽车耗费1000元电费行驶的路程相同”列出分式方程即可．【详解】解：设纯电汽车每百公里的耗电费为x元，由每百公里的耗油费为x+50元，根据题意得，6000x+50故答案为：6000x+5042．（2025·甘肃）方程2xx−1=1的解是x=【答案】−1【分析】本题考查解分式方程，将分式方程转化为整式方程，求解后，进行检验即可．【详解】解：2xx−1去分母，得：2x=x−1，解得：x=−1；经检验x=−1是原方程的解，故答案为：−1．43．（2025·四川宜宾）分式方程1x−2+1【答案】x=1【分析】本题主要考查解分式方程，原方程去分母后得整式方程，求出整式方程的解，再进行检验判断即可．【详解】解：1x−2去分母得，x+x−2=0，解得x=1，经检验，x=1是原方程的解，所以，原分式方程的解为x=1，故答案为：x=1．44．（2025·甘肃平凉）方程2xx−1=1的解是x=【答案】−1【分析】本题考查解分式方程，去分母，将分式方程转化为整式方程，求解后，进行检验即可．【详解】解：2xx−1去分母，得：2x=x−1，解得：x=−1；检验，当x=−1时，x−1≠0，∴x=−1是原方程的解；故答案为：−1．45．（2025·北京）方程2x−6+1【答案】x=2【分析】本题主要考查了解分式方程，先把原方程去分母化为整式方程，再解方程并检验即可得到答案．【详解】解：2去分母得：2x+x−6=0，移项，合并同类项得：3x=6，系数化为1得：x=2，检验，当x=2时，xx−6∴x=2是原方程的解，故答案为：x=2．46．（2025·四川资阳）方程3x+1=5x+3【答案】2【分析】本题考查解分式方程，去分母，将方程化为整式方程，求解后，进行检验即可．【详解】解：3x+1去分母，得：3x+3解得：x=2；经检验，x=2是原方程的解，故答案为：2．47．（2024·黑龙江牡丹江）若分式方程xx−1=3−mx1−x的解为正整数，则整数【答案】−1【分析】此题考查了分式方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．表示出方程的解，由解是正整数，确定出整数m的值即可．【详解】解：xx−1化简得：xx−1去分母得：x=3x−1移项合并得：2+mx=3解得：x=3由方程的解是正整数，得到x为正整数，即2+m=1或2+m=3，解得：m=−1或m=1（舍去，会使得分式无意义）．故答案为：−1．48．（2024·江苏徐州）分式方程3x+1=3【答案】x=1【分析】本题考查解分式方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键．利用去分母将原方程化为整式方程，解得x的值后进行检验即可．【详解】解：原方程去分母得：6x=3x+1，即解得：x=1，检验：当x=1时，2xx+1故原方程的解为x=1，故答案为：x=1．49．（2025·湖南长沙）分式方程3x+1=2【答案】x=【分析】本题考查了解分式方程，首先去分母把分式方程化为整式方程，解整式方程求出未知数的值，再把求出的值代入最简公分母检验是否增根即可．【详解】解：3x+1去分母得：32x−1去括号得：6x−3=2x+2，移项得：6x−2x=3+2，合并同类项得：4x=5，系数化为1得：x=5检验：当x=5可得：x+12x−1∴x=5故答案为：x=5三、解答题50．（2024·四川自贡）为传承我国传统节日文化，端午节前夕，某校组织了包粽子活动．已知七（3）班甲组同学平均每小时比乙组多包20个粽子，甲组包150个粽子所用的时间与乙组包120个粽子所用的时间相同．求甲，乙两组同学平均每小时各包多少个粽子．【答案】甲组平均每小时包100个粽子，乙组平均每小时包80个粽子．【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用．设乙组每小时包x个粽子，则甲组每小时包x+20个粽子，根据时间等于总工作量除以工作效率，即可得出关于x的分式方程，解之并检验后即可得出结果．【详解】解：设乙组平均每小时包x个粽子，则甲组平均每小时包x+20个粽子，由题意得：150x+20=120经检验：x=80是分式方程的解，且符合题意，∴分式方程的解为：x=80，∴x+20=100答：甲组平均每小时包100个粽子，乙组平均每小时包80个粽子．51．（2024·江苏扬州）为了提高垃圾处理效率，某垃圾处理厂购进A、B两种机器，A型机器比B型机器每天多处理40吨垃圾，A型机器处理500吨垃圾所用天数与B型机器处理300吨垃圾所用天数相等．B型机器每天处理多少吨垃圾？【答案】B型机器每天处理60吨垃圾【分析】本题考查分式方程的应用，解题的关键是正确找出题中的等量关系，本题属于基础题型．设B型机器每天处理x吨垃圾，则A型机器每天处理(x+40)吨垃圾，根据题意列出方程即可求出答案．【详解】解：设B型机器每天处理x吨垃圾，则A型机器每天处理(x+40)吨垃圾，根据题意，得500x+40解得x=60．经检验，x=60是所列方程的解．答：B型机器每天处理60吨垃圾．52．（2024·山东威海）某公司为节能环保，安装了一批A型节能灯，一年用电16000千瓦·时．后购进一批相同数量的B型节能灯，一年用电9600千瓦·时．一盏A型节能灯每年的用电量比一盏B型节能灯每年用电量的2倍少32千瓦·时．求一盏A型节能灯每年的用电量．【答案】160千瓦·时【分析】本题考查分式方程的应用，根据题意列方程是关键，并注意检验．根据两种节能灯数量相等列式分式方程求解即可．【详解】解：设一盏B型节能灯每年的用电量为x千瓦·时，则一盏A型节能灯每年的用电量为2x−32千瓦·时16000整理得5x=3(2x−32)解得x=96经检验：x=96是原分式方程的解．2x−32=160答：一盏A型节能灯每年的用电量为160千瓦·时.53．（2024·陕西）解方程：2x【答案】x=−3【分析】本题主要考查了解分式方程，先去分母变分式方程为整式方程，然后再解整式方程，最后对方程的解进行检验即可．【详解】解：2x去分母得：2+xx+1去括号得：2+x移项，合并同类项得：x=−3，检验：把x=−3代入x+1x−1得：−3+1∴x=−3是原方程的解．54．（2024·广东广州）解方程：12x−5【答案】x=3【分析】本题考查的是解分式方程，掌握分式方程的解法是解题关键，注意检验．依次去分母、去括号、移项、合并同类项求解，检验后即可得到答案．【详解】解：12x−5去分母得：x=32x−5去括号得：x=6x−15，移项得：x−6x=−15，合并同类项得：−5x=−15，解得：x=3，经检验，x=3是原方程的解，∴该分式方程的解为x=3．55．（2024·山东泰安）随着快递行业的快速发展，全国各地的农产品有了更广阔的销售空间，某农产品加工企业有甲、乙两个组共35名工人．甲组每天加工3000件农产品，乙组每天加工2700件农产品，已知乙组每人每天平均加工的农产品数量是甲组每人每天平均加工农产品数量的1.2倍，求甲、乙两组各有多少名工人？【答案】甲组有20名工人，乙组有15名工人【分析】本题考查了分式方程的实际应用，设甲组有x名工人，则乙组有35−x名工人．根据题意得270035−x【详解】解：设甲组有x名工人，则乙组有35−x名工人．根据题意得：270035−x解答：x=20，经检验，x=20是所列方程的解，且符合题意，∴35−x=35−20=15．答：甲组有20名工人，乙组有15名工人．56．（2024·黑龙江大庆）为了健全分时电价机制，引导电动汽车在用电低谷时段充电，某市实施峰谷分时电价制度，用电高峰时段（简称峰时）：7：00—23：00，用电低谷时段（简称谷时）：23：00—次日7：00，峰时电价比谷时电价高0.2元/度．市民小萌的电动汽车用家用充电桩充电，某月的峰时电费为50元，谷时电费为30元，并且峰时用电量与谷时用电量相等，求该市谷时电价．【答案】该市谷时电价0.3元/度【分析】本题考查了分式方程的应用，设该市谷时电价为x元/度，则峰时电价x+0.2元/度，根据题意列出分式方程，解方程并检验，即可求解．【详解】解：设该市谷时电价为x元/度，则峰时电价x+0.2元/度，根据题意得，50x+0.2解得：x=0.3，经检验x=0.3是原方程的解，答：该市谷时电价0.3元/度．57．（2024·内蒙古包头）（1）先化简，再求值：x+12−2x+1（2）解方程：x−2x−4【答案】（1）x2−1【分析】本题考查了整式的运算，二次根式的运算，解分式方程等知识，解题的关键是：（1）先利用完全平方公式、去括号法则化简，然后把x的值代入计算即可；（2）先去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化1，检验，解分式方程即可．【详解】解：（1）x+1==x当x=22时，原式=（2）x−2去分母，得x−2−2x−4解得x=3，把x=3代入x−4=3−4=−1≠0，∴x=3是原方程的解．58．（2025·四川自贡）去年暑假，小张与小李同学主动帮刘大爷掰玉米，他们各掰了36筐和30筐，两人劳动时间相同，小张平均每小时比小李多掰2筐，请问小李平均每小时掰玉米多少筐？【答案】10筐【分析】本题考查的是分式方程的应用，设小李平均每小时掰玉米x筐，则小张平均每小时掰玉米x+2筐．根据题意，两人劳动时间相同，所以掰的玉米筐数之比等于他们的速度之比，可得：36x+2【详解】解：设小李平均每小时掰玉米x筐，则小张平均每小时掰玉米x+2筐．36方程两边同乘x(x+2)得：36x=30x+2展开并化简：36x=30x+60，移项：6x=60，解得：x=10，经检验：x=10是原方程的根且符合题意；所以，小李平均每小时掰玉米10筐．59．（2025·江苏连云港）解方程2x+1【答案】x=−3【分析】本题考查解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键．利用解分式方程的步骤求解即可，注意验根．【详解】解：去分母，得：2x=3x+1解得：x=−3，检验：当x=−3时，xx+1∴x=−3是原方程的解．60．（2025·云南）某化工厂采用机器人A，机器人B搬运化工原料，机器人A比机器人B每小时少搬运20千克，机器人A搬运800千克所用时间与机器人B搬运1000千克所用时间相等．求机器人A，机器人B每小时分别搬运多少千克化工原料．【答案】机器人A每小时搬运80千克化工原料，机器人B每小时搬运100千克化工原料【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，设机器人A每小时搬运x千克化工原料，则机器人B每小时搬运x+20千克化工原料，根据机器人A搬运800千克所用时间与机器人B搬运1000千克所用时间相等建立方程求解即可．【详解】解；设机器人A每小时搬运x千克化工原料，则机器人B每小时搬运x+20千克化工原料，由题意得，800x解得x=80，经检验，x=80是原方程的解，且符合题意，∴x+20=100，答；机器人A每小时搬运80千克化工原料，机器人B每小时搬运100千克化工原料．61．（2025·山西）我国自主研发的HGCZ−2000型快速换轨车，采用先进的自动化技术、能精准高效地完成更换铁路钢轨的任务．一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨的公里数是一个工作队人工更换钢轨的2倍，它更换116公里钢轨比一个工作队人工更换80公里钢轨所用时间少22小时．求一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨多少公里．【答案】一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨2公里【分析】本题考查了分式方程的应用，正确理解题意，找到等量关系并列出分式方程是解题的关键，注意要检验；设一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨x公里；根据等量关系：快速换轨车更换116公里钢轨比一个工作队人工更换80公里钢轨所用时间少22小时，列出分式方程，求解并检验即可．【详解】解：设一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨x公里．

根据题意得：800.5x−解得：x=2．

经检验，x=2是原方程的根，且符合题意．

答：一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨2公里．62．（2025·浙江）解分式方程：3x+1【答案】x=2【分析】本题主要考查了解分式方程，按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程并检验即可得到答案．【详解】解：3方程两边同时乘以x−1x+1得：3去括号得：3x−3−x−1=0，移项，合并同类项得：2x=4，系数化为1得：x=2，检验，当x=2时，x−1x+1∴x=2是原方程的解．63．（2025·江苏扬州）某文创商店推出甲、乙两款具有纪念意义和实用价值的书签，已知甲款书签价格是乙款书签价格的54【答案】乙款书签价格为16元，甲款书签价格为20元【分析】本题考查了分式方程的实际应用，正确理解题意，找到等量关系是解题的关键．设乙款书签价格为x（元），则甲款书签价格为54【详解】解：设乙款书签价格为x（元），则甲款书签价格为54由题意得：1005解得：x=16，经检验：x=16是原方程的解，且符合题意，∴则甲款书签价格为54答：乙款书签价格为16元，甲款书签价格为20元．64．（2025·广东）在解分式方程1−xx−2第一步：1−xx−2第二步：1−x=−1−2，第三步：−x=−1−2−1，第四步：x=4．第五步：检验：当x=4时，x−2≠0．第六步：∴原分式方程的解为x=4．小李的解法中哪一步是去分母？去分母的依据是什么？判断小李的解答过程是否正确．若不正确，请写出你的解答过程．【答案】见解析【分析】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程时要注意不要漏乘，解完后要检验．先去分母，化为一元一次方程，再解一元一次方程，最后进行检验即可．【详解】解：第一步是去分母，去分母的依据是：等式两边同时乘以一个不为0的数（或式子），等式仍然成立；小李的解答过程不正确，正确解答如下：1−xx−21−x=−1−21−x=−1−2x+4−x+2x=−1+4−1，解得：x=2，经检验，x=2是增根，∴原方程无解．65．（2025·吉林长春）小吉和小林从同一地点出发跑800米，小吉的平均速度是小林的1.25倍，结果小吉比小林少用40秒到达终点．求小林跑步的平均速度．【答案】小林跑步的平均速度为4米每秒【分析】本题考查了分式方程的实际应用，正确理解题意，找到等量关系是解题的关键．设小林跑步的平均速度为x米每秒，则小吉的平均速度为1.25x米每秒，分别表示出时间，根据“小吉比小林少用40秒到达终点”建立分式方程求解，再检验即可．【详解】解：设小林跑步的平均速度为x米每秒，则小吉的平均速度为1.25x米每秒，由题意得：8001.25x解得：x=4，经检验，x=4是原方程的解，且符合题意，∴原方程的解为：x=4，答：小林跑步的平均速度为4米每秒．66．（2025·江苏常州）某块绿地改进浇水方式，将漫灌方式全部改为喷灌方式，平均每天用水量减少1吨，20吨水可以使用的天数是原来的2倍．问浇水方式改进后平均每天用水多少吨？【答案】浇水方式改进后平均每天用水1吨【分析】本题考查分式方程的应用．理解题意，找准等量关系，列出方程是解题的关键．设浇水方式改进后平均每天用水x吨，则浇水方式改进前平均每天用水x+1吨，根据“20吨水可以使用的天数是原来的2倍”列出方程求解即可．【详解】设浇水方式改进后平均每天用水x吨，则浇水方式改进前平均每天用水x+1吨，根据题意，得20解得：x=1，经检验，x=1是原方程的解，且符合题意，答：浇水方式改进后平均每天用水1吨．67．（2024·重庆）某工程队承接了老旧小区改造工程中1000平方米的外墙粉刷任务，选派甲、乙两人分别用A、B两种外墙漆各完成总粉刷任务的一半．据测算需要A、B两种外墙漆各300千克，购买外墙漆总费用为15000元，已知A种外墙漆每千克的价格比B种外墙漆每千克的价格多2元．(1)求A、B两种外墙漆每千克的价格各是多少元？(2)已知乙每小时粉刷外墙面积是甲每小时粉刷外墙面积的45【答案】(1)A种外墙漆每千克的价格为26元，则B种外墙漆每千克的价格为24元．(2)甲每小时粉刷外墙的面积是25平方米．【分析】本题考查的是分式方程的应用，一元一次方程的应用，理解题意建立方程是解本题的关键；（1）设A种外墙漆每千克的价格为x元，则B种外墙漆每千克的价格为x−2元，再根据总费用为15000元列方程求解即可；（2）设甲每小时粉刷外墙面积为y平方米，则乙每小时粉刷外墙面积是45【详解】（1）解：设A种外墙漆每千克的价格为x元，则B种外墙漆每千克的价格为x−2元，∴300x+300x−2解得：x=26，∴x−2=24，答：A种外墙漆每千克的价格为26元，B种外墙漆每千克的价格为24元．（2）设甲每小时粉刷外墙面积为y平方米，则乙每小时粉刷外墙面积是45∴5004解得：y=25，经检验：y=25是原方程的根且符合题意，答：甲每小时粉刷外墙的面积是25平方米．68．（2024·重庆）为促进新质生产力的发展，某企业决定投入一笔资金对现有甲、乙两类共30条生产线的设备进行更新换代．(1)为鼓励企业进行生产线的设备更新，某市出台了相应的补贴政策．根据相关政策，更新1条甲类生产线的设备可获得3万元的补贴，更新1条乙类生产线的设备可获得2万元的补贴．这样更新完这30条生产线的设备，该企业可获得70万元的补贴．该企业甲、乙两类生产线各有多少条？(2)经测算，购买更新1条甲类生产线的设备比购买更新1条乙类生产线的设备需多投入5万元，用200万元购买更新甲类生产线的设备数量和用180万元购买更新乙类生产线的设备数量相同，那么该企业在获得70万元的补贴后，还需投入多少资金更新生产线的设备？【答案】(1)该企业甲类生产线有10条，则乙类生产线各有20条；(2)需要更新设备费用为1330万元【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，分式方程的应用，理解题意，确定相等关系是解本题的关键．（1）设该企业甲类生产线有x条，则乙类生产线各有30−x条，再利用更新完这30条生产线的设备，该企业可获得70万元的补贴，再建立方程求解即可；（2）设购买更新1条甲类生产线的设备为m万元，则购买更新1条乙类生产线的设备为m−5万元，利用用200万元购买更新甲类生产线的设备数量和用180万元购买更新乙类生产线的设备数量相同，再建立分式方程，进一步求解．【详解】（1）解：设该企业甲类生产线有x条，则乙类生产线各有30−x条，则3x+230−x解得：x=10，则30−x=20；答：该企业甲类生产线有10条，则乙类生产线各有20条；（2）解：设购买更新1条甲类生产线的设备为m万元，则购买更新1条乙类生产线的设备为m−5万元，则200m解得：m=50，经检验：m=50是原方程的根，且符合题意；则m−5=45，则还需要更新设备费用为10×50+20×45−70=1330（万元）；69．（2024·云南）某旅行社组织游客从A地到B地的航天科技馆参观，已知A地到B地的路程为300千米，乘坐C型车比乘坐D型车少用2小时，C型车的平均速度是D型车的平均速度的3倍，求D型车的平均速度．【答案】D型车的平均速度为100【分析】本题考查分式方程的应用，设D型车的平均速度为xkm/h，则C型车的平均速度是3xkm/【详解】解：设D型车的平均速度为xkm/h，则C根据题意可得，300x整理得，6x=600，解得x=100，经检验x=100是该方程的解，答：D型车的平均速度为100km70．（2024·福建）解方程：3x+2【答案】x=10．【分析】本题考查解分式方程,掌握解分式方程的步骤和方法，将分式方程化为整式方程求解，即可解题．【详解】解：3x+2方程两边都乘x+2x−2，得3去括号得：3x−6+x解得x=10．经检验，x=10是原方程的根．71．（2024·广西）综合与实践在综合与实践课上，数学兴趣小组通过洗一套夏季校服，探索清洗衣物的节约用水策略．【洗衣过程】步骤一：将校服放进清水中，加入洗衣液，充分浸泡揉搓后拧干；步骤二：将拧干后的校服放进清水中，充分漂洗后拧干．重复操作步骤二，直至校服上残留洗衣液浓度达到洗衣目标．假设第一次漂洗前校服上残留洗衣液浓度为0.2%，每次拧干后校服上都残留0.5浓度关系式：d后=0.5d前0.5+w．其中d前【洗衣目标】经过漂洗使校服上残留洗衣液浓度不高于0.01【动手操作】请按要求完成下列任务：(1)如果只经过一次漂洗，使校服上残留洗衣液浓度降为0.01%(2)如果把4kg(3)比较（1）和（2）的漂洗结果，从洗衣用水策略方面，说说你的想法．【答案】(1)只经过一次漂洗，使校服上残留洗衣液浓度降为0.01%，需要9.5(2)进行两次漂洗，能达到洗衣目标；(3)两次漂洗的方法值得推广学习【分析】本题考查的是分式方程的实际应用，求解代数式的值，理解题意是关键；（1）把d后=0.01%，d（2）分别计算两次漂洗后的残留洗衣液浓度，即可得到答案；（3）根据（1）（2）的结果得出结论即可．【详解】（1）解：把d后=0.01%，得0.01%解得w=9.5．经检验符合题意；∴只经过一次漂洗，使校服上残留洗衣液浓度降为0.01%，需要9.5（2）解：第一次漂洗：把w=2kg，d前=0.2∴d后第二次漂洗：把w=2kg，d前=0.04∴d后而0.008%∴进行两次漂洗，能达到洗衣目标；（3）解：由（1）（2）的计算结果发现：经过两次漂洗既能达到洗衣目标，还能大幅度节约用水，∴从洗衣用水策略方面来讲，采用两次漂洗的方法值得推广学习．72．（2024·江苏常州）书画装裱，是指为书画配上衬纸、卷轴以便张贴、欣赏和收藏，是我国具有民族传统的一门特殊艺术．如图，一幅书画在装裱前的大小是1.2m×0.8m，装裱后，上、下、左、右边衬的宽度分别是am、bm、cm、dm．若装裱后AB与AD的比是16:10，且a=b，c=d【答案】上、下、左、右边衬的宽度分别是0.1【分析】本题考查分式方程的应用，分别表示出AB,AD