人教版2024-2025年全国九年级数学2年中考真题汇编 4.3 等腰三角形与直角三角形

试卷第=page11页，共=sectionpages33页4.3等腰三角形与直角三角形一、选择题1．（2024·海南）设直角三角形中一个锐角为x度（0<x<90），另一个锐角为y度，则y与x的函数关系式为（

）A．y=180+x B．y=180−x C．y=90+x D．y=90−x2．（2024·辽宁）如图，在矩形ABCD中，点E在AD上，当△EBC是等边三角形时，∠AEB为（

）A．30° B．45° C．60° D．120°3．（2024·天津）如图，△ABC中，∠B=30∘，将△ABC绕点C顺时针旋转60∘得到△DEC，点A,B的对应点分别为D,E，延长BA交DE于点FA．∠ACB=∠ACD B．AC∥DEC．AB=EF D．BF⊥CE4．（2024·四川自贡）如图，等边△ABC钢架的立柱CD⊥AB于点D，AB长12m．现将钢架立柱缩短成DE，∠BED=60°．则新钢架减少用钢（

A．24−123m B．24−83m C．5．（2024·云南）已知AF是等腰△ABC底边BC上的高，若点F到直线AB的距离为3，则点F到直线AC的距离为（

）A．32 B．2 C．3 D．6．（2024·甘肃临夏）如图，在△ABC中，AB=AC=5，sinB=45，则BCA．3 B．6 C．8 D．97．（2024·青海）如图，在Rt△ABC中，D是AC的中点，∠BDC=60°，AC=6，则BC的长是（

A．3 B．6 C．3 D．38．（2024·四川）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，OA=1，则AB的长为（

）A．2 B．3 C．1 D．19．（2024·山东泰安）如图，直线l∥m，等边三角形ABC的两个顶点B，C分别落在直线l，m上，若∠ABE=21°，则∠ACD的度数是（A．45° B．39° C．29° D．21°10．（2024·甘肃兰州）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=130°，DA⊥AC，则∠ADB=（

）A．100° B．115° C．130° D．145°11．（2025·甘肃甘南）如图，AB是⊙O的直径，DB，DE分别切⊙O于点B、C，若∠ACE=18°，则∠D的度数是（

）A．18° B．36° C．48° D．72°12．（2025·四川巴中）如图，A、B、C是⊙O上的点，BC是圆的直径，在BA延长线上取一点D，使AD=AC，连接CD，则∠ACD为（

）A．70° B．50° C．45° D．40°13．（2025·贵州）如图，在▱ABCD中，AB=3,BC=5,∠ABC=60°，以A为圆心，AB长为半径作弧，交BC于点E，则EC的长为（

）A．5 B．4 C．3 D．214．（2025·江苏盐城）七巧板具有深厚的文化底蕴，由正方形、平行四边形和大小不一的等腰直角三角形组成，小明用七巧板拼成的丹顶鹤如图所示，且过点C作直线AB∥DE，若∠1=20°，则∠2的度数是（A．15° B．20° C．25° D．30°15．（2025·四川德阳）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，将△ABC沿CB方向向右平移至△EGF处，使EF恰好过边AB的中点D，连接CD，若CD=1，则GE=（

A．3 B．2 C．1 D．116．（2025·海南）如图，在△ABC中，∠C=30°，AB=1，以AB为直径的半圆O交AC于点D，若BC与半圆O相切于点B，则BD的长为（

）A．π5 B．π4 C．π317．（2024·四川广安）如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC=10，∠C=70°，以AB为直径作半圆，与AC，BC分别相交于点D，E，则DE的长度为（

）

A．π9 B．5π9 C．1018．（2024·福建）小明用两个全等的等腰三角形设计了一个“蝴蝶”的平面图案．如图，其中△OAB与△ODC都是等腰三角形，且它们关于直线l对称，点E，F分别是底边AB，CD的中点，OE⊥OF．下列推断错误的是（

）A．OB⊥OD B．∠BOC=∠AOBC．OE=OF D．∠BOC+∠AOD=180°19．（2024·四川广元）如图，将△ABC绕点A顺时针旋转90°得到△ADE，点B，C的对应点分别为点D，E，连接CE，点D恰好落在线段CE上，若CD=3，BC=1，则AD的长为（

）A．5 B．10 C．2 D．220．（2024·内蒙古呼伦贝尔）如图，在△ABC中，∠C=90°,∠B=30°，以点A为圆心，适当长为半径画弧分别交AB,AC于点M和点N，再分别以点M,N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长交BC于点D．若△ACD的面积为8，则△ABD的面积是（A．8 B．16 C．12 D．2421．（2024·陕西）如图，在△AOB中，∠AOB=90°，OA=OB=6．将△AOB绕点O顺时针旋转45°，得到△A′OB′，A′BA．22 B．32 C．2322．（2025·浙江）如图，在Rt△ABC中，∠A=35°,CD是斜边AB上的中线，以点C为圆心，CD长为半径作弧，与AB的另一个交点为点E．若AB=2，则DE的长为（

A．19π B．29π C．23．（2025·福建）如图，PA与⊙O相切于点A，PO的延长线交⊙O于点C．AB∥PC，且交⊙O于点B．若∠P=30°，则∠BCP的大小为（

）A．30° B．45° C．60° D．75°24．（2025·安徽）如图，在△ABC中，∠A=120°，AB=AC，边AC的中点为D，边BC上的点E满足ED⊥AC．若DE=3，则AC的长是（

A．43 B．6 C．2325．（2025·江苏扬州）在如图的房屋人字梁架中，AB=AC，点D在BC上，下列条件不能说明AD⊥BC的是（

）A．∠ADB=∠ADC B．∠B=∠C C．BD=CD D．AD平分∠BAC26．（2025·黑龙江大庆）如图，△ABC中，AB=BC=2，∠CBA=120°，将△ABC绕点A顺时针旋转120°得到△ADE，点B，点C的对应点分别为点D．点E连接CE．点D恰好落在线段CE上，则CD的长为（

）A．23 B．4 C．3227．（2024·安徽）如图，在Rt△ABC中，AC=BC=2，点D在AB的延长线上，且CD=AB，则BD的长是（

A．10−2 B．6−2 C．28．（2024·四川巴中）如图，在△ABC中，D是AC的中点，CE⊥AB，BD与CE交于点O，且BE=CD．下列说法错误的是（

）

A．BD的垂直平分线一定与AB相交于点EB．∠BDC=3∠ABDC．当E为AB中点时，△ABC是等边三角形D．当E为AB中点时，S二、填空题29．（2025·福建）某房梁如图所示，立柱AD⊥BC，E，F分别是斜梁AB，AC的中点．若AB=AC=8m，则DE的长为30．（2024·黑龙江大兴安岭地）如图，△ABC内接于⊙O，AD是直径，若∠B=25°，则∠CAD°．31．（2024·黑龙江哈尔滨）△ABC是直角三角形，AB=23，∠ABC=30°，则AC的长为32．（2025·江苏南通）南通是“建筑之乡”，工程建筑中经常采用三角形的结构．如图是屋架设计图的一部分，E是斜梁AC的中点，立柱AD,EF垂直于横梁BC．若AC=4.8m，∠C=30°，则EF的长为m33．（2024·重庆）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于点D．若BC=2，则AD的长度为．34．（2024·浙江）如图，D，E分别是△ABC边AB，AC的中点，连接BE，DE．若∠AED=∠BEC,DE=2，则BE的长为

35．（2024·甘肃兰州）如图，四边形ABCD为正方形，△ADE为等边三角形，EF⊥AB于点F，若AD=4，则EF=．36．（2024·江苏镇江）等腰三角形的两边长分别为6和2，则第三边长为．37．（2024·湖南）等腰三角形的一个底角为40°，则它的顶角的度数是．38．（2025·新疆）如图，在▱ABCD中，∠BCD的平分线交AB于点E，若AD=2，则BE=．39．（2025·四川宜宾）如图，已知∠BAC是⊙O的圆周角，∠BAC=40°，则∠OBC=°．40．（2025·四川德阳）等宽曲线是指在任何方向上的直径都相等的一种几何图形，它在我们的日常生活中应用比较广泛，例如可以利用等宽曲线设计自行车的车轮等．如图，分别以等边三角形ABC的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，得到的封闭图形就是等宽曲线（图中阴影部分），如果AB=1，那么这个等宽曲线的周长是．41．（2025·四川广安）如图，在等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=4，D是BC边上的一个动点，连接AD，则AD的最小值为42．（2025·四川南充）如图，∠AOB=90°，在射线OB上取一点C，以点O为圆心，OC长为半径画弧；再以点C为圆心，OC长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点D，连接并延长CD交射线OA于点E．设OC=1，则OE的长是．43．（2025·广西）如图，点A,D在BC同侧，AB=BC=CA=2，BD=CD=2，则

44．（2025·江苏淮安）若等腰三角形的一个底角为50°，则它的顶角的度数是°．45．（2025·甘肃）如图，把平行四边形纸片ABCD沿对角线AC折叠，点B落在点B′处，B′C与AD相交于点E，此时△CDE恰为等边三角形．若AB=6cm，则46．（2025·江苏扬州）如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，BC的中点，点F在线段DE的延长线上，且∠BFC=90°，若AC=4，BC=8，则DF的长是．47．（2024·四川内江）如图，在△ABC中，∠DCE=40°，AE=AC，BC=BD，则∠ACB的度数为；

48．（2024·江苏盐城）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=22，点D是AC的中点，连接BD，将△BCD绕点B旋转，得到△BEF．连接CF，当CF∥AB时，49．（2024·甘肃临夏）如图，等腰△ABC中，AB=AC=2，∠BAC=120°，将△ABC沿其底边中线AD向下平移，使A的对应点A′满足AA′50．（2024·四川雅安）如图，在△ABC和△ADE中，AB=AC，∠BAC=∠DAE=40°，将△ADE绕点A顺时针旋转一定角度，当AD⊥BC时，∠BAE的度数是．51．（2024·江苏镇江）如图，四边形ABCD为平行四边形，以点A为圆心，AB长为半径画弧，交BC边于点E，连接AE，AB=1，∠D=60°，则BE的长l=（结果保留π）．52．（2024·江苏南京）如图，在边长为4的等边三角形ABC中，AD是中线，将DA绕点D顺时针旋转60°得到DE，连接BE，则S△BDE=53．（2025·甘肃平凉）如图，把平行四边形纸片ABCD沿对角线AC折叠，点B落在点B′处，B′C与AD相交于点E，此时△CDE恰为等边三角形，若AB=6cm54．（2025·江苏盐城）一种遮阳伞如图，遮阳伞支架AB垂直于地面BC，D在AB上，AD=0.6m，D、E、F三点共线，DF=3DE=3AE．当太阳光线与DF垂直时，它与地面的夹角正好为60°，则DF落在地面上的投影GH=m55．（2025·四川资阳）如图，在四边形ABCD中，∠A=∠B，点E在线段AB上，CE∥DA．若使△BCE成为等边三角形，可增加的一个条件是．

56．（2025·江苏镇江）如图，在等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=BC=8，D是AB的中点，M是边AC上的动点，作DN⊥DM，交BC于点N，延长MD到点P，使得DP=12MD．当△PNB面积最大时，AM57．（2025·黑龙江绥化）在边长为7的等边三角形ABC中，点D在AB上，BD=2．点M是直线BC上的一个动点，连接MD，以MD为边在MD的左侧作等边三角形MND，连接BN，当△BND为直角三角形时，则CM的长是．三、解答题58．（2024·湖南长沙）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=25，AC=2，分别以点A，B为圆心，大于12AB的长为半径画弧，两弧分别交于点M和N，作直线MN分别交AB，BC于点D，(1)求CD的长；(2)求△ACE的周长．59．（2025·四川达州）归纳与应用归纳是学好数学的敲门砖，尤其对几何而言．例如，我们看到图1是平行四边形，就会联想到：从边的角度，平行四边形对边平行且相等；从角的角度，平行四边形对角相等，邻角互补；从对角线的角度，平行四边形对角线互相平分；从对称性的角度，平行四边形是中心对称图形通过如此归纳形成知识体系的学习方法，成为我们解决相关问题的金钥匙：(1)尝试归纳：请你根据图2，写出3条直角三角形的性质①____________________________________________________________________________；②____________________________________________________________________________；③____________________________________________________________________________．(2)实践应用：小明同学在思考直角三角形的性质时，作出如图3，∠ABC=90°，点D是AC的中点，BE∥AC，AE∥60．（2024·四川自贡）如图，在△ABC中，DE∥BC，(1)求证：∠BDF=∠A；(2)若∠A=45°，DF平分∠BDE，请直接写出△ABC的形状．61．（2024·湖南长沙）如图，点C在线段AD上，AB=AD，∠B=∠D，BC=DE．(1)求证：△ABC≌△ADE；(2)若∠BAC=60°，求∠ACE的度数．62．（2024·江苏常州）如图，B、E、C、F是直线l上的四点，AC、DE相交于点G，AB=DF，AC=DE，BC=EF．(1)求证：△GEC是等腰三角形；(2)连接AD，则AD与l的位置关系是________．63．（2025·湖南）如图，△ABC的顶点A，C在⊙O上，圆心O在边AB上，∠ACB=120°，BC与⊙O相切于点C，连接OC．(1)求∠ACO的度数；(2)求证：AC=BC．64．（2025·湖南长沙）如图，在△ABC中，AB=AC,∠B=72°，以点C为圆心，适当长为半径作弧，交CA于点M，交CB于点N，再分别以点M，N为圆心，大于12MN的长度为半径作弧，两弧相交于点P，作射线CP交AB于点(1)求∠BCD的度数；(2)若BC=2.5，求AD的长．65．（2024·黑龙江大兴安岭地）已知△ABC是等腰三角形，AB=AC，∠MAN=12∠BAC，∠MAN在∠BAC的内部，点M、N在BC上，点M在点N

（1）如图①，当∠BAC=90°时，探究如下：由∠BAC=90°，AB=AC可知，将△ACN绕点A顺时针旋转90°，得到△ABP，则CN=BP且∠PBM=90°，连接PM，易证△AMP≌△AMN，可得MP=MN，在Rt△PBM中，BM2（2）当∠BAC=60°时，如图②：当∠BAC=120°时，如图③，分别写出线段BM、66．（2024·湖北武汉）如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AC与半圆O相切于点D，底边BC与半圆O交于E，F两点．(1)求证：AB与半圆O相切；(2)连接OA．若CD=4，CF=2，求sin∠OAC67．（2024·甘肃兰州）观察发现：劳动人民在生产生活中创造了很多取材简单又便于操作的方法，正如木匠刘师傅的“木条画直角法”，如图1，他用木条能快速画出一个以点A为顶点的直角，具体作法如下：①本条的两端分别记为点M，N，先将木条的端点M与点A重合，任意摆放木条后，另一个端点N的位置记为点B，连接AB；②木条的端点N固定在点B处，将木条绕点B顺时针旋转一定的角度，端点M的落点记为点C（点A，B，C不在同一条直线上）；③连接CB并延长，将木条沿点C到点B的方向平移，使得端点M与点B重合，端点N在CB延长线上的落点记为点D；④用另一根足够长的木条画线，连接AD，AC，则画出的∠DAC是直角．操作体验：（1）根据“观察发现”中的信息重现刘师傅的画法，如图2，BA=BC，请画出以点A为顶点的直角，记作∠DAC；推理论证：（2）如图1，小亮尝试揭示此操作的数学原理，请你补全括号里的证明依据：证明：∵AB=BC=BD，∴△ABC与△ABD是等腰三角形．∴∠BCA=∠BAC,∠BDA=∠BAD．（依据1______）∴∠BCA+∠BDA=∠BAC+∠BAD=∠DAC．∴∠DAC+∠BCA+∠BDA=180°，（依据2______）∴2∠DAC=180°，∴∠DAC=90°．依据1：______；依据2：______；拓展探究：（3）小亮进一步研究发现，用这种方法作直角存在一定的误差，用平时学习的尺规作图的方法可以减少误差．如图3，点O在直线l上，请用无刻度的直尺和圆规在图3中作出一个以O为顶点的直角，记作∠POQ，使得直角边OP（或OQ）在直线l上．（保留作图痕迹，不写作法）68．（2025·浙江）如图，在△ABC中，AB=AC，点O在边AB上，以点O为圆心，OB长为半径的半圆，交BC于点D，与AC相切于点E，连接OD,OE(1)求证：OD⊥OE．(2)若AB=BC,OB=3，求四边形ODCE69．（2025·福建）如图，△ABC是等边三角形，D是AB的中点，CE⊥BC，垂足为C，EF是由CD沿CE方向平移得到的．已知EF过点A，BE交CD于点G．(1)求∠DCE的大小；(2)求证：△CEG是等边三角形．70．（2025·江苏苏州）综合与实践小明同学用一副三角板进行自主探究．如图，△ABC中，∠ACB=90°,CA=CB，△CDE中，∠DCE=90°，【观察感知】（1）如图①，将这副三角板的直角顶点和两条直角边分别重合，AB，DE交于点F，求∠AFD的度数和线段【探索发现】（2）在图①的基础上，保持△CDE不动，把△ABC绕点C按逆时针方向旋转一定的角度，使得点A落在边DE上（如图②）．①求线段AD的长；（结果保留根号）②判断AB与DE的位置关系，并说明理由．71．（2025·广东深圳）综合与探究【探索发现】如图1，小军用两个大小不同的等腰直角三角板拼接成一个四边形．【抽象定义】以等腰三角形的一腰为边向外作三角形，使该边所对的角等于原等腰三角形的顶角，此时该四边形称为“双等四边形”，原等腰三角形称为四边形的“伴随三角形”．如图2，在△ABC中，AB=AC，AC=AD，∠D=∠BAC．此时，四边形ABCD是“双等四边形”，△ABC是“伴随三角形”．【问题解决】如图3，在四边形ABCD中，AB=AC，AD=CD，∠D=∠BAC．求：①AD与BC的位置关系为：__________：②AC2_____AD⋅BC．（填“>”，“<”或“【方法应用】①如图4，若AC=BC，将△ABC绕点A逆时针旋转至△ADE，点D恰好落在BC边上，求证：四边形ABDE是双等四边形．②如图5，在等腰三角形ABC中，AC=BC，cosB=35，AB=5，在平面内找一点D，使四边形ABCD是以△ABC72．（2025·广东）如图，点O是Rt△ABC斜边AC边上的一点，以OA为半径的⊙O与边BC相切于点D．求证：AD平分∠BAC73．（2024·北京）已知∠MAN=α0°<α<45°，点B，C分别在射线AN，AM上，将线段BC绕点B顺时针旋转180°−2α得到线段BD，过点D作AN的垂线交射线AM于点E

(1)如图1，当点D在射线AN上时，求证：C是AE的中点；(2)如图2，当点D在∠MAN内部时，作DF∥AN，交射线AM于点F，用等式表示线段EF与AC的数量关系，并证明。74．（2024·四川广元）数学实验，能增加学习数学的乐趣，还能经历知识“再创造”的过程，更是培养动手能力，创新能力的一种手段．小强在学习《相似》一章中对“直角三角形斜边上作高”这一基本图形（如图1）产生了如下问题，请同学们帮他解决．在△ABC中，点D为边AB上一点，连接CD．(1)初步探究如图2，若∠ACD=∠B，求证：AC(2)尝试应用如图3，在（1）的条件下，若点D为AB中点，BC=4，求CD的长；(3)创新提升如图4，点E为CD中点，连接BE，若∠CDB=∠CBD=30°，∠ACD=∠EBD，AC=27，求BE75．（2024·吉林）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AC=3cm，AD是△ABC的角平分线．动点P从点A出发，以3cm/s的速度沿折线AD−DB向终点B运动．过点P作PQ∥AB，交AC于点Q，以PQ为边作等边三角形PQE，且点C，E在PQ同侧，设点P的运动时间为tst>0，

(1)当点P在线段AD上运动时，判断△APQ的形状（不必证明），并直接写出AQ的长（用含t的代数式表示）．(2)当点E与点C重合时，求t的值．(3)求S关于t的函数解析式，并写出自变量t的取值范围．

参考答案与解析一、选择题1．（2024·海南）设直角三角形中一个锐角为x度（0<x<90），另一个锐角为y度，则y与x的函数关系式为（

）A．y=180+x B．y=180−x C．y=90+x D．y=90−x【答案】D【分析】本题考查了函数关系式．利用直角三角形的两锐角互余可得到y与x的关系式．【详解】解：∵直角三角形中一个锐角的度数为x度，另一个锐角为y度，∴y=90−x．故选：D．2．（2024·辽宁）如图，在矩形ABCD中，点E在AD上，当△EBC是等边三角形时，∠AEB为（

）A．30° B．45° C．60° D．120°【答案】C【分析】本题考查了矩形的性质，等边三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键．由矩形ABCD得到AD∥BC，继而得到∠AEB=∠EBC，而△EBC是等边三角形，因此得到∠AEB=∠EBC=60°．【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠AEB=∠EBC，∵△EBC是等边三角形，∴∠EBC=60°，∴∠AEB=60°，故选：C．3．（2024·天津）如图，△ABC中，∠B=30∘，将△ABC绕点C顺时针旋转60∘得到△DEC，点A,B的对应点分别为D,E，延长BA交DE于点FA．∠ACB=∠ACD B．AC∥DEC．AB=EF D．BF⊥CE【答案】D【分析】本题考查了旋转性质以及两个锐角互余的三角形是直角三角形，平行线的判定，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据旋转性质得∠BCE=∠ACD=60°，结合∠B=30∘，即可得证BF⊥CE，再根据同旁内角互补证明两直线平行，来分析【详解】解：记BF与CE相交于一点H，如图所示：∵△ABC中，将△ABC绕点C顺时针旋转60∘得到△DEC∴∠BCE=∠ACD=60°∵∠B=30°∴在△BHC中，∠BHC=180°−∠BCE−∠B=90°∴BF⊥CE故D选项是正确的，符合题意；设∠ACH=x°∴∠ACB=60°−x°∵∠B=30°∴∠EDC=∠BAC=180°−30°−∴∠EDC+∠ACD=90°+x°+60°=150°+x°∵x°不一定等于30°∴∠EDC+∠ACD不一定等于180°∴AC∥DE不一定成立，故B选项不正确，不符合题意；∵∠ACB=60°−x°，∠ACD=60°∴∠ACB=∠ACD不一定成立，故A选项不正确，不符合题意；∵将△ABC绕点C顺时针旋转60∘得到△DEC∴AB=ED=EF+FD∴BA>EF故C选项不正确，不符合题意；故选：D4．（2024·四川自贡）如图，等边△ABC钢架的立柱CD⊥AB于点D，AB长12m．现将钢架立柱缩短成DE，∠BED=60°．则新钢架减少用钢（

A．24−123m B．24−83m C．【答案】D【分析】本题考查了等边三角形的性质，解直角三角形的应用．利用三角函数的定义分别求得DE=23，BE=43=AE，CD=6【详解】解：∵等边△ABC，CD⊥AB于点D，AB长12m∴AD=BD=1∵∠BED=60°，∴tan60°=∴DE=23∴BE=D∵∠CBD=60°，∴CD=BD·tan∠CBD=3∴新钢架减少用钢=AC+BC+CD−AE−BE−DE=24+63故选：D．5．（2024·云南）已知AF是等腰△ABC底边BC上的高，若点F到直线AB的距离为3，则点F到直线AC的距离为（

）A．32 B．2 C．3 D．【答案】C【分析】本题考查了等腰三角形的性质，角平分线的性质定理，熟练掌握知识点是解题的关键．由等腰三角形“三线合一”得到AF平分∠BAC，再角平分线的性质定理即可求解．【详解】解：如图，∵AF是等腰△ABC底边BC上的高，∴AF平分∠BAC，∴点F到直线AB，AC的距离相等，∵点F到直线AB的距离为3，∴点F到直线AC的距离为3．故选：C．6．（2024·甘肃临夏）如图，在△ABC中，AB=AC=5，sinB=45，则BCA．3 B．6 C．8 D．9【答案】B【分析】本题考查解直角三角形，等腰三角形的性质，勾股定理．正确作出辅助线是解题关键．过点A作AD⊥BC于点D．由等腰三角形三线合一的性质得出BD=CD=12BC．根据sinB=ADAB=【详解】解：如图，过点A作AD⊥BC于点D．∵AB=AC=5，∴BD=CD=1在Rt△ABD中，sin∴AD=4∴BD=A∴BC=2BD=6．故选B．7．（2024·青海）如图，在Rt△ABC中，D是AC的中点，∠BDC=60°，AC=6，则BC的长是（

A．3 B．6 C．3 D．3【答案】A【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等边三角形的判定和性质．根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半结合等边三角形的判定得到△BDC等边三角形，据此求解即可．【详解】解：∵在Rt△ABC中，∠ABC=90°，D是AC∴BD=1∵∠BDC=60°，∴△BDC等边三角形，∴BC=CD=1故选：A．8．（2024·四川）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，OA=1，则AB的长为（

）A．2 B．3 C．1 D．1【答案】C【分析】本题考查了正六边形的性质，等边三角形的判定和性质，由正六边形的性质得到∠AOB=60°，得到△AOB为等边三角形，进而得到OA=AB=1，判断出△AOB为等边三角形是解题的关键．【详解】解：∵ABCDEF是正六边形，∴∠AOB=360°∵OA=OB，∴△AOB为等边三角形，∴OA=AB=1，故选：C．9．（2024·山东泰安）如图，直线l∥m，等边三角形ABC的两个顶点B，C分别落在直线l，m上，若∠ABE=21°，则∠ACD的度数是（A．45° B．39° C．29° D．21°【答案】B【分析】本题考查平行线的性质、等边三角形的性质，根据平行线的性质可得∠EBC+∠DCB=180°，从而可得∠EBA+∠ABC+∠ACB+∠ACD=180°，再根据等边三角形的性质可得∠ABC=∠ACB=60°，即可求解．【详解】解：∵l∥∴∠EBC+∠DCB=180°，即∠EBA+∠ABC+∠ACB+∠ACD=180°，∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=∠ACB=60°，又∵∠ABE=21°，∴21°+60°+60°+∠ACD=180°，∴∠ACD=39°，故选：B．10．（2024·甘肃兰州）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=130°，DA⊥AC，则∠ADB=（

）A．100° B．115° C．130° D．145°【答案】B【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质．根据等腰三角形的性质，可得∠C=180°−∠BAC【详解】解：∵AB=AC，∠BAC=130°，∴∠C=180°−∠BAC∵DA⊥AC，∴∠CAD=90°，∴∠ADB=∠C+∠CAD=115°．故选：B11．（2025·甘肃甘南）如图，AB是⊙O的直径，DB，DE分别切⊙O于点B、C，若∠ACE=18°，则∠D的度数是（

）A．18° B．36° C．48° D．72°【答案】B【分析】本题主要考查了切线长定理，等腰三角形的性质，圆周角定理，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质．连接BC，由圆周角定理的推论得∠ACB=90°，再由切线长定理得BD=DC，从而得∠DBC=∠DCB=90°−18°=72°，进而即可求解．【详解】解：连接BC，∵DB，DE分别切⊙O于点B、C，∴BD=DC，∴∠DBC=∠DCB，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠DBC=∠DCB=90°−18°=72°，∴∠D=180°−72°×2=36°．故选：B．12．（2025·四川巴中）如图，A、B、C是⊙O上的点，BC是圆的直径，在BA延长线上取一点D，使AD=AC，连接CD，则∠ACD为（

）A．70° B．50° C．45° D．40°【答案】C【分析】本题考查了直径所对的圆周角为直角，等腰三角形的性质，根据题意可得∠BAC=∠CAD=90°，再利用等腰三角形的性质即可解答．【详解】解：∵BC是圆的直径，∴∠BAC=90°，∴∠CAD=90°，∵AD=AC，∴∠D=∠ACD=180°−∠CAD故选：C．13．（2025·贵州）如图，在▱ABCD中，AB=3,BC=5,∠ABC=60°，以A为圆心，AB长为半径作弧，交BC于点E，则EC的长为（

）A．5 B．4 C．3 D．2【答案】D【分析】本题考查等边三角形的判定和性质，根据作图得到AB=AE，进而推出△ABE为等边三角形，得到BE=AB=3，再根据线段的和差关系进行求解即可．【详解】解：根据作图可知：AB=AE，∵∠ABC=60°，∴△ABE为等边三角形，∴BE=AB=3，∴CE=BC−BE=5−3=2；故选D．14．（2025·江苏盐城）七巧板具有深厚的文化底蕴，由正方形、平行四边形和大小不一的等腰直角三角形组成，小明用七巧板拼成的丹顶鹤如图所示，且过点C作直线AB∥DE，若∠1=20°，则∠2的度数是（A．15° B．20° C．25° D．30°【答案】B【分析】此题重点考查等腰直角三角形的性质、平行线的性质等知识，推导出∠ACD=∠CDE是解题的关键．由等腰直角三角形的性质得∠FDE=∠E=∠HCD=∠HDC=45°，由AB∥DE，得∠ACD=∠CDE，而∠1=20°，则20°+45°=∠2+45°，所以∠2=20°，于是得到问题的答案．【详解】解：如图，∵△DEF和△DCH都是等腰直角三角形，∠F=∠DHC=90°，∴DF=EF，DH=CH，∴∠FDE=∠E=∠HCD=∠HDC=45°，∵AB∥DE，∴∠ACD=∠CDE，∴∠1+∠HDC=∠2+∠FDE，∵∠1=20°，∴20°+45°=∠2+45°，∴∠2=20°，故选：B．15．（2025·四川德阳）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，将△ABC沿CB方向向右平移至△EGF处，使EF恰好过边AB的中点D，连接CD，若CD=1，则GE=（

A．3 B．2 C．1 D．1【答案】B【分析】本题考查直角三角形斜边中线性质和平移的性质，熟练掌握直角三角形斜边中线的性质是解题的关键．根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，结合CD=1，得AB=2CD=2，由△ABC平移得到△EGF，根据平移对应线段相等，可知GE=AB，进而得GE=2．【详解】在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB∴CD=1∵CD=1，∴AB=2CD=2，∵△ABC沿CB方向向右平移至△EGF，∴GE=AB=2，故选：B．16．（2025·海南）如图，在△ABC中，∠C=30°，AB=1，以AB为直径的半圆O交AC于点D，若BC与半圆O相切于点B，则BD的长为（

）A．π5 B．π4 C．π3【答案】C【分析】先根据切线的性质得出∠ABC=90°，再利用直角三角形两个锐角互余求得∠A，然后利用圆周角定理求得∠BOD，再利用弧长公式求解即可．【详解】解：连结OD，∵AB=1，以AB为直径的半圆O交AC于点D，∴OD=1∵BC与半圆O相切于点B，∴∠ABC=90°，∵∠C=30°，∴∠A=90°−∠C=60°，∴∠BOD=2∠A=120°，∴BD的长为120π×1故选：C．【点睛】本题考查了圆周角定理，切线的性质，弧长公式，直角三角形两个锐角互余，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解．17．（2024·四川广安）如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC=10，∠C=70°，以AB为直径作半圆，与AC，BC分别相交于点D，E，则DE的长度为（

）

A．π9 B．5π9 C．10【答案】C【分析】本题考查了求弧长．根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求得∠A的度数，证明OE∥AC，再由OA=OD，再由等腰三角形的性质和平行线的性质求得【详解】解：连接OD，OE，

∵AB=AC，∴∠ABC=∠C=70°，∵OE=OB，∴∠OEB=∠B=70°，∴∠OEB=∠C=70°∴OE∥在△ABC中，∠A+∠ABC+∠C=180°，∴∠A=180°−∠ABC−∠C=180°−70°−70°=40°，又OA=OD=1∵OE∴∠A=∠ADO=40°=∠DOE，∴DE的长度为40π故选：C．18．（2024·福建）小明用两个全等的等腰三角形设计了一个“蝴蝶”的平面图案．如图，其中△OAB与△ODC都是等腰三角形，且它们关于直线l对称，点E，F分别是底边AB，CD的中点，OE⊥OF．下列推断错误的是（

）A．OB⊥OD B．∠BOC=∠AOBC．OE=OF D．∠BOC+∠AOD=180°【答案】B【分析】本题考查了对称的性质，等腰三角形的性质等；A.由对称的性质得∠AOB=∠DOC，由等腰三角形的性质得∠BOE=12∠AOBB.∠BOC不一定等于∠AOB，即可判断；C.由对称的性质得△OAB≌△ODC，由全等三角形的性质即可判断；D.过O作GM⊥OH，可得∠GOD=∠BOH，由对称性质得∠BOH=∠COH同理可证∠AOM=∠BOH，即可判断；掌握轴对称的性质是解题的关键．【详解】解：A.∵OE⊥OF，∴∠BOE+∠BOF=90°，由对称得∠AOB=∠DOC，∵点E，F分别是底边AB，CD的中点，△OAB与△ODC都是等腰三角形，∴∠BOE=12∠AOB∴∠BOF+∠DOF=90°，∴OB⊥OD，结论正确，故不符合题意；B.∠BOC不一定等于∠AOB，结论错误，故符合题意；C.由对称得△OAB≌△ODC，∵点E，F分别是底边AB，CD的中点，∴OE=OF，结论正确，故不符合题意；D.过O作GM⊥OH，∴∠GOD+∠DOH=90°，∵∠BOH+∠DOH=90°，∴∠GOD=∠BOH，由对称得∠BOH=∠COH，∴∠GOD=∠COH，同理可证∠AOM=∠BOH，∴∠AOD+∠BOC=∠AOD+∠AOM+∠DOG=180°，结论正确，故不符合题意；故选：B．19．（2024·四川广元）如图，将△ABC绕点A顺时针旋转90°得到△ADE，点B，C的对应点分别为点D，E，连接CE，点D恰好落在线段CE上，若CD=3，BC=1，则AD的长为（

）A．5 B．10 C．2 D．2【答案】A【分析】此题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，由旋转得AC=AE，∠CAE=90°，DE=BC=1，推出△ACE是等腰直角三角形，CE=4，过点A作AH⊥CE于点H，得到HD=1，利用勾股定理求出AD的长．【详解】解：由旋转得△ABC≌△ADE，∴AC=AE，∠CAE=90°，DE=BC=1，∴△ACE是等腰直角三角形，CE=CD+DE=3+1=4，过点A作AH⊥CE于点H，∴AH=1∴HD=HE−DE=2−1=1，∴AD=A故选：A．20．（2024·内蒙古呼伦贝尔）如图，在△ABC中，∠C=90°,∠B=30°，以点A为圆心，适当长为半径画弧分别交AB,AC于点M和点N，再分别以点M,N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长交BC于点D．若△ACD的面积为8，则△ABD的面积是（A．8 B．16 C．12 D．24【答案】B【分析】本题考查了尺规作图，含30°的直角三角形的性质，等腰三角形的判定等知识，由作图知AD平分∠BAD，则可求∠CAD=∠DAB=30°，利用含30°的直角三角形的性质得出CD=12AD，利用等角对等边得出AD=BD【详解】解：∵∠C=90°,∠B=30°，∴∠CAB=60°，由作图知：AD平分∠BAD，∴∠CAD=∠DAB=30°，∴CD=12AD∴AD=BD，∴CD=1∴S△ACD又△ACD的面积为8，∴△ABD的面积是2×8=16，故选B．21．（2024·陕西）如图，在△AOB中，∠AOB=90°，OA=OB=6．将△AOB绕点O顺时针旋转45°，得到△A′OB′，A′BA．22 B．32 C．23【答案】B【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的判断和性质，勾股定理，掌握旋转的性质是解题的关键．由旋转的性质可得OA=OA′=OB=OB′=6，∠A【详解】解：将△AOB绕点O顺时针旋转45°，得到△A∴OA=OA′=OB=OB′∴∠A′=∠∴∠A∴△A∴OD=A∵OD∴2OD∴OD=32故选：B．22．（2025·浙江）如图，在Rt△ABC中，∠A=35°,CD是斜边AB上的中线，以点C为圆心，CD长为半径作弧，与AB的另一个交点为点E．若AB=2，则DE的长为（

A．19π B．29π C．【答案】B【分析】本题考查求弧长，斜边上的中线，根据斜边上的中线求出得到CD=12AB=AD，进而得到∠DAC=∠ACD，三角形的外角得到∠CDE的度数，作图可知CD=CE【详解】解：∵Rt△ABC，CD是斜边AB上的中线，AB=2∴CD=1∴∠DAC=∠ACD=35°，∴∠CDE=∠DAC+∠ACD=70°，由作图可知CD=CE，∴∠CDE=∠CED=70°，∴∠DCE=180°−2×70°=40°，∴DE的长为40π180故选B．23．（2025·福建）如图，PA与⊙O相切于点A，PO的延长线交⊙O于点C．AB∥PC，且交⊙O于点B．若∠P=30°，则∠BCP的大小为（

）A．30° B．45° C．60° D．75°【答案】C【分析】本题考查切线的性质，等边三角形的判定和性质，连接OA，OB，切线得到OA⊥AP，求出∠POA=90°−30°=60°，平行，得到∠POA=∠OAB=60°，进而得到△AOB为等边三角形，推出△BOC为等边三角形，即可得出结果．【详解】连接OA，OB，则：OA=OB=OC，∵PA与⊙O相切于点A，∴OA⊥AP，∵∠P=30°，∴∠POA=90°−30°=60°，∵AB∥PC，∴∠POA=∠OAB=60°，∴△AOB为等边三角形，∴∠AOB=60°，∴∠BOC=180°−∠POA−∠AOB=60°，∴△BOC为等边三角形，∴∠BCP=60°，故选C．24．（2025·安徽）如图，在△ABC中，∠A=120°，AB=AC，边AC的中点为D，边BC上的点E满足ED⊥AC．若DE=3，则AC的长是（

A．43 B．6 C．23【答案】B【分析】本题主要考查了等腰三角形性质、含30∘角的直角三角形性质及勾股定理，熟练掌握这些性质定理，通过设未知数，利用勾股定理建立方程求解是解题的关键．先根据等腰三角形性质求出∠C的度数，再利用中点得到线段关系，最后在Rt△EDC中，结合含30∘【详解】解：∵在△ABC中，AB=AC，∠A=120°∴∠∵D是AC中点，∴设AC=2x，则CD=x．∵ED⊥AC，∴△EDC是直角三角形，且∠C=30°∴EC=2DE，∵DE=3，则EC=23．在Rt△EDC∴(2312=3+xx2解得x=3（x>0）．∵AC=2x，∴AC=6．故选：B．25．（2025·江苏扬州）在如图的房屋人字梁架中，AB=AC，点D在BC上，下列条件不能说明AD⊥BC的是（

）A．∠ADB=∠ADC B．∠B=∠C C．BD=CD D．AD平分∠BAC【答案】B【分析】本题考查三线合一，根据三线合一，进行判断即可．【详解】解：当∠ADB=∠ADC时，∵点D在BC上，∴∠ADB+∠ADC=180°，∴∠ADB=∠ADC=90°，∴AD⊥BC；故选项A不符合题意；∵AB=AC，∴∠B=∠C，不能得到AD⊥BC；故选项B符合题意；∵AB=AC，∴当BD=CD或AD平分∠BAC时，AD⊥BC；故选项C，D均不符合题意；故选B26．（2025·黑龙江大庆）如图，△ABC中，AB=BC=2，∠CBA=120°，将△ABC绕点A顺时针旋转120°得到△ADE，点B，点C的对应点分别为点D．点E连接CE．点D恰好落在线段CE上，则CD的长为（

）A．23 B．4 C．32【答案】B【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，直角三角形的性质以及旋转的性质，由等腰三角形的性质得∠BAC=30°；再由旋转的性质得∠CAD=90°,AD=AB=2,∠ADE=120°，从而得∠ADC=60°,∠ACD=30°，故可得CD=2AD，从而可求出结论．【详解】解：在△ABC中，AB=BC=2,∠ABC=120°，∴∠BAC=1由旋转可知∠BAD=120°，∴∠CAD=90°，由旋转得：AD=AB=2,∠ADE=120°，∴∠ADC=60°，∴∠ACD=30°，∴CD=2AD=2×2=4，故选：B．27．（2024·安徽）如图，在Rt△ABC中，AC=BC=2，点D在AB的延长线上，且CD=AB，则BD的长是（

A．10−2 B．6−2 C．【答案】B【分析】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，对顶角的性质，勾股定理，过点D作DE⊥CB的延长线于点E，则∠BED=90°，由∠ACB=90°，AC=BC=2，可得AB=22，∠A=∠ABC=45°，进而得到CD=22，∠DBE=45°，即得△BDE为等腰直角三角形，得到DE=BE，设DE=BE=x，由勾股定理得2+x2【详解】解：过点D作DE⊥CB的延长线于点E，则∠BED=90°，∵∠ACB=90°，AC=BC=2，∴AB=22+∴CD=22，∠DBE=45°∴△BDE为等腰直角三角形，∴DE=BE，设DE=BE=x，则CE=2+x，在Rt△CDE中，C∴2+x2解得x1=3∴DE=BE=3∴BD=3故选：B．

28．（2024·四川巴中）如图，在△ABC中，D是AC的中点，CE⊥AB，BD与CE交于点O，且BE=CD．下列说法错误的是（

）

A．BD的垂直平分线一定与AB相交于点EB．∠BDC=3∠ABDC．当E为AB中点时，△ABC是等边三角形D．当E为AB中点时，S【答案】D【分析】连接DE，根据CE⊥AB，点D是AC的中点得DE=AD=CD=12AC，则BE=DE，进而得点D在线段BD的垂直平分线上，由此可对选项Ａ进行判断；设∠ABD=α，根据BE=DE得∠EDB=∠ABD=α，的∠AED=∠EDB+∠ABD=2α，再根据DE=AD得∠A=∠AED=2α，则∠BDC=∠A+∠ABD=3α，由此可对选项Ｂ进行判断；当E为AB中点时，则BE=12AB，CE是线段AB的垂直平分线，由此得AC=BC，然后根据BE=12AB，CD=12AC，BE=CD得AB=AC，由此可对选项Ｃ进行判断；连接AO并延长交BC于F，根据△ABC是等边三角形得∠OBC=∠OAC=30°，则OA=OB，进而得OB=2OF，【详解】解：连接DE，如图1所示：

∵CE⊥AB，点D是AC的中点，∴DE为Rt△AEC∴DE=AD=CD=1∵BE=CD，∴BE=DE，∴点D在线段BD的垂直平分线上，即线段BD的垂直平分线一定与AB相交于点E，故选项A正确，不符合题意；设∠ABD=α，∵BE=DE，∴∠EDB=∠ABD=α，∴∠AED=∠EDB+∠ABD=2α，∵DE=AD，∴∠A=∠AED=2α，∴∠BDC=∠A+∠ABD=3α，即∠BDC=3∠ABD，故选B正确，不符合题意；当E为AB中点时，则BE=1∵CE⊥AB，∴CE是线段AB的垂直平分线，∴AC=BC，∵BE=12AB，CD=∴AB=AC，∴AC=BC=AB，∴△ABC是等边三角形，故选C正确，不符合题意；连接AO，并延长交BC于F，如图2所示：

当E为AB中点时，∵点D为AC的中点，∴根据三角形三条中线交于一点得：点F为BC的中点，∵当E为AB中点时，△ABC是等边三角形，∴∠ABC=∠BAC=60°，AF⊥BC，AF平分∠OAC，BD平分∠ABC，∴∠OBC=∠OAC=30°，∴OA=OB，在Rt△OBF中，OB=2OF∴OA=OB=2OF，∴AF=OA+OF=3OF，∴SΔOBC∵E为AB中点，∴S∴SΔOBCS故选：D．【点睛】此题主要考查了直角三角形斜边上的中线，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定和性质，理解直角三角形斜边上的中线，线段垂直平分线的性质，熟练掌握等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定和性质是解决问题的关键．二、填空题29．（2025·福建）某房梁如图所示，立柱AD⊥BC，E，F分别是斜梁AB，AC的中点．若AB=AC=8m，则DE的长为【答案】4【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，是解题的关键．根据AD⊥BC，得出△ABD为直角三角形，根据直角三角形的性质得出DE=1【详解】解：∵AD⊥BC，∴△ABD为直角三角形，∵E是斜梁AB的中点，∴DE=1故答案为：4．30．（2024·黑龙江大兴安岭地）如图，△ABC内接于⊙O，AD是直径，若∠B=25°，则∠CAD°．【答案】65【分析】本题考查了圆周角定理，直角三角形的两个锐角互余，连接CD，根据直径所对的圆周角是直角得出∠ACD=90°，根据同弧所对的圆周角相等得出∠D=∠B=25°，进而根据直角三角形的两个锐角互余，即可求解．【详解】解：如图所示，连接CD，∵△ABC内接于⊙O，AD是直径，∴∠ACD=90°，∵AC=AC,∴∠D=∠B=25°∴∠CAD=90°−25°=65°，故答案为：65．31．（2024·黑龙江哈尔滨）△ABC是直角三角形，AB=23，∠ABC=30°，则AC的长为【答案】2或3【分析】本题考查了含30°角的直角三角形的性质和勾股定理，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键根据直角三角形的性质，我们需要分情况讨论哪个角是直角，从而求出AC的长度．【详解】解：在Rt△ABC中，当∠A=90°∵∠ABC=30°，∴BC=2AC．∵BC2=A∴2AC解得AC=2或AC=−2（舍去）；在Rt△ABC中，当∠C=90°∵AB=23，∠ABC=30°∴AC=1故答案为∶2或3．32．（2025·江苏南通）南通是“建筑之乡”，工程建筑中经常采用三角形的结构．如图是屋架设计图的一部分，E是斜梁AC的中点，立柱AD,EF垂直于横梁BC．若AC=4.8m，∠C=30°，则EF的长为m【答案】1.2【分析】本题考查了含30°角的直角三角形，根据含30°角的直角三角形的性质即可得到结论．【详解】解：∵E是斜梁AC的中点，AC=4.8m∴CE=1∵EF⊥BC，∴∠EFC=90°，∵∠C=30°，∴EF=1故答案为：1.2．33．（2024·重庆）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于点D．若BC=2，则AD的长度为．【答案】2【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，三角形外角的性质，先根据等边对等角和三角形内角和定理求出∠C=∠ABC=72°，再由角平分线的定义得到∠ABD=∠CBD=36°，进而可证明∠A=∠ABD，∠BDC=∠C，即可推出【详解】解：∵在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，∴∠C=∠ABC=180°−∠A∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD=1∴∠A=∠ABD，∴AD=BD，∴AD=BC=2,故答案为：2．34．（2024·浙江）如图，D，E分别是△ABC边AB，AC的中点，连接BE，DE．若∠AED=∠BEC,DE=2，则BE的长为

【答案】4【分析】本题主要考查三角形中位线定理和等腰三角形的判定，由三角形中位线定理得DE∥BC,BC=2DE=4,得出∠C=∠AED=∠BEC,【详解】解：∵D，E分别是△ABC边AB，AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE∴∠AED=∠C,∵∠AED=∠BEC,∴∠C=∠BEC,∴BE=BC=4,故答案为：435．（2024·甘肃兰州）如图，四边形ABCD为正方形，△ADE为等边三角形，EF⊥AB于点F，若AD=4，则EF=．【答案】2【分析】本题考查正方形的性质，等边三角形的性质，含30度角的直角三角形，根据正方形和等边三角形的性质，得到△AFE为含30度角的直角三角形，AE=AD=4，根据含30度角的直角三角形的性质求解即可．【详解】解：∵四边形ABCD为正方形，△ADE为等边三角形，EF⊥AB，AD=4，∴∠FAD=90°,∠EAD=60°,∠AFE=90°,AD=AE=4，∴∠FAE=30°，∴EF=1故答案为：2．36．（2024·江苏镇江）等腰三角形的两边长分别为6和2，则第三边长为．【答案】6【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形三边关系，熟练掌握分类讨论思想是解题的关键．分两种情况讨论：当6为一腰长时；当2为一腰长时；分别求出第三条边长，并根据三角形三边关系判断是否能构成三角形，即可得出答案．【详解】解：当6为一腰长时，则另一腰长为6，底边长为2，∵6+6>2，∴能构成三角形，∴第三边长为6；当2为一腰长时，则另一腰长为2，底边长为6，∵2+2<6，∴不能构成三角形，舍去；综上，第三边长为6，故答案为：6．37．（2024·湖南）等腰三角形的一个底角为40°，则它的顶角的度数是．【答案】100°/100度【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识点，掌握等腰三角形两底角相等是解题的关键．根据三角形内角和定理结合等腰三角形两底角相等，求出它的顶角度数即可．【详解】解：∵等腰三角形的一个底角的度数为40°，∴它的顶角度数为：180°−40°×2=100°．故答案为：100°．38．（2025·新疆）如图，在▱ABCD中，∠BCD的平分线交AB于点E，若AD=2，则BE=．【答案】2【分析】本题考查平行四边形的性质，等角对等边，根据平行四边形的性质，得到AB∥CD,AD=BC=2，得到∠DCE=∠CEB，角平分线的定义，得到∠DCE=∠BCE，进而得到∠BCE=∠BEC，进而得到BE=BC即可．【详解】解：∵▱ABCD，AD=2，∴AB∥CD,AD=BC=2，∴∠DCE=∠CEB，∵∠BCD的平分线交AB于点E，∴∠DCE=∠BCE，∴∠BCE=∠BEC，∴BE=BC=2；故答案为：2．39．（2025·四川宜宾）如图，已知∠BAC是⊙O的圆周角，∠BAC=40°，则∠OBC=°．【答案】50【分析】本题考查了圆周角定理，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键．先由圆周角定理求出∠BOC=2∠BAC=80°，再由等边对等角以及三角形内角和定理即可求解．【详解】解：∵∠BAC是⊙O的圆周角，∠BAC=40°，∴∠BOC=2∠BAC=80°，∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB=180°−80°故答案为：50．40．（2025·四川德阳）等宽曲线是指在任何方向上的直径都相等的一种几何图形，它在我们的日常生活中应用比较广泛，例如可以利用等宽曲线设计自行车的车轮等．如图，分别以等边三角形ABC的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，得到的封闭图形就是等宽曲线（图中阴影部分），如果AB=1，那么这个等宽曲线的周长是．【答案】π【分析】本题考查了弧长的计算，等边三角形的性质，利用弧长计算公式计算即可．【详解】解：∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB=∠ABC=∠BAC=60°，BC=AC=AB=1∴AB=∴这个等宽曲线的周长为13故答案为：π41．（2025·四川广安）如图，在等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=4，D是BC边上的一个动点，连接AD，则AD的最小值为【答案】2【分析】本题主要考查了勾股定理，直角三角形的性质，垂线段最短，由勾股定理可得BC=42，由垂线段最短可得，当AD⊥BC时，AD有最小值，则此时点D为BC的中点，则由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得AD=【详解】解：∵在等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=4∴BC=A由垂线段最短可知，当AD⊥BC时，AD有最小值，∵AB=AC，∴当AD⊥BC时，点D为BC的中点，∴此时AD=1故答案为：2242．（2025·四川南充）如图，∠AOB=90°，在射线OB上取一点C，以点O为圆心，OC长为半径画弧；再以点C为圆心，OC长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点D，连接并延长CD交射线OA于点E．设OC=1，则OE的长是．【答案】3【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，解直角三角形，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键．先确定△OCD是等边三角形，则∠OCD=60°，再解直角三角形即可求解．【详解】解：连OD，由作图可得OD=OC=CD，∴△OCD是等边三角形，∴∠OCD=60°，∴OE=OC×tan故答案为：3．43．（2025·广西）如图，点A,D在BC同侧，AB=BC=CA=2，BD=CD=2，则

【答案】3−1/【分析】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定以及勾股定理，过点D作BC垂线交于点H，先证明△BDH≌△CDH，得到BH=HC=1，证明A,D,H在同一线上，根据勾股定理得到AH,DH，最后通过线段和和差即可求．【详解】解：过点D作BC垂线交于点H，即DH⊥BC∴∠DHB=∠DHC=90°∵BD=CD,DH=DH∴△BDH≌△CDH∴BH=HC=12BC=1，即DH∵AB=AC，∴A,D,H在同一线上，∴DH=BD∴AD=AH−DH=故答案为：3−1

44．（2025·江苏淮安）若等腰三角形的一个底角为50°，则它的顶角的度数是°．【答案】80【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，根据等腰三角形两底角相等，结合三角形的内角和定理，进行求解即可．【详解】解：∵等腰三角形的一个底角为50°，∴另一个底角的度数也为50°，∴它的顶角的度数是180°−50°−50°=80°；故答案为：80．45．（2025·甘肃）如图，把平行四边形纸片ABCD沿对角线AC折叠，点B落在点B′处，B′C与AD相交于点E，此时△CDE恰为等边三角形．若AB=6cm，则【答案】12【分析】本题考查平行四边形的性质，等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，折叠得到∠BCA=∠ECA，平行线的性质，得到∠EAC=∠BCA，进而得到∠EAC=∠ECA，等边三角形的性质，结合三角形的外角推出∠ACE=∠CAE=30°，进而得到∠ACD=90°，再根据含30度角的直角三角形的性质，得到AD=2CD即可．【详解】解：∵折叠，∴∠BCA=∠ECA，∵平行四边形纸片ABCD，∴AD∥BC,CD=AB=6cm∴∠EAC=∠BCA，∴∠EAC=∠ECA，∵△CED为等边三角形，∴∠CED=∠ECD=60°，∵∠EAC=∠ECA，∠CED=∠EAC+∠ACE=60°，∴∠ACE=∠CAE=30°，∴∠ACD=∠ACE+∠DCE=90°，∴AD=2CD=12cm故答案为：1246．（2025·江苏扬州）如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，BC的中点，点F在线段DE的延长线上，且∠BFC=90°，若AC=4，BC=8，则DF的长是．【答案】6【分析】本题考查了三角形的中位线定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，熟练掌握三角形的中位线定理是解题关键．先根据三角形的中位线定理可得DE=12AC=2，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得EF=【详解】解：∵在△ABC中，点D，E分别是边AB，BC的中点，AC=4，∴DE=1∵∠BFC=90°，BC=8，∴EF=1∴DF=DE+EF=6，故答案为：6．47．（2024·四川内江）如图，在△ABC中，∠DCE=40°，AE=AC，BC=BD，则∠ACB的度数为；

【答案】100°/100度【分析】本题考查三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，角的和差．根据三角形的内角和可得∠CDE+∠CED=140°，根据AE=AC，BC=BD得到∠ACE=∠AEC，∠BCD=∠BDC，从而∠ACE+∠BCD=140°，根据角的和差有∠ACB=∠ACE+∠BCD−∠CDE，即可解答．【详解】解：∵∠DCE=40°，∴∠CDE+∠CED=180°−∠DCE=140°，∵AE=AC，BC=BD，∴∠ACE=∠AEC，∠BCD=∠BDC，∴∠ACE+∠BCD=∠CDE+∠CED=140°∴∠ACB=∠ACE+∠BCE=∠ACE+∠BCD−∠CDE=140°−40°=100°．故答案为：100°48．（2024·江苏盐城）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=22，点D是AC的中点，连接BD，将△BCD绕点B旋转，得到△BEF．连接CF，当CF∥AB时，【答案】2+6或【分析】本题主要考查等腰直角三角形的性质，勾股定理，平行线的性质，全等三角形的性质的综合，掌握等腰直角三角形的性质，勾股定理，旋转的性质是解题的关键．根据等腰直角三角形的性质可得AB，CD，BD，BF的值，作BG⊥CF，根据平行线的性质可得△BCG是等腰直角三角形，可求出【详解】解：∵在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=22∴∠CAB=∠CBA=45°，AB=2∵点D是AC的中点，∴AD=CD=1∴在Rt△BCD中，BD=C∵将△BCD绕点B旋转得到△BEF，∴△BCD≌△BEF，∴BD=BF=10，EF=CD=2，分情况讨论：①如图所示，过点B作BG⊥CF，垂足为点G，∵CF∥AB，∴∠FCB=∠CBA=45°，∴△BCG是等腰直角三角形，且BC=22∴CG=BG=2在Rt△BFG中，FG=B∴CF=CG+FG=2+6②如图所示，当点D运动到点F′时，此时CF同理可得，GF∴C故答案为：2+6或649．（2024·甘肃临夏）如图，等腰△ABC中，AB=AC=2，∠BAC=120°，将△ABC沿其底边中线AD向下平移，使A的对应点A′满足AA′【答案】439【分析】本题考查平移的性质，相似三角形的判定和性质，三线合一，根据平移的性质，推出△A′EF∽△A′【详解】解：∵等腰△ABC中，AB=AC=2，∠BAC=120°，∴∠ABC=30°，∵AD为中线，∴AD⊥BC，BD=CD，∴AD=12AB=1∴BC=23∵将△ABC沿其底边中线AD向下平移，∴B′C′∴△A∴EFB∵AA∴DA∴EFB∴EF=2∴S阴影故答案为：4350．（2024·四川雅安）如图，在△ABC和△ADE中，AB=AC，∠BAC=∠DAE=40°，将△ADE绕点A顺时针旋转一定角度，当AD⊥BC时，∠BAE的度数是．【答案】60°或120°【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，旋转的性质，分两种情况分别画出图形，再结合等腰三角形的性质与角的和差运算可得答案；【详解】解：如图，当AD⊥BC时，延长AD交BC于J，∵AB=AC，∠BAC=∠DAE=40°，∴∠BAJ=∠CAJ=20°,∴∠BAE=20°+40°=60°；如图，当AD⊥BC时，延长DA交BC于J，∵AB=AC，∠BAC=∠DAE=40°，∴∠BAJ=∠CAJ=20°,∴∠BAE=180°−20°−40°=120°，故答案为：60°或120°51．（2024·江苏镇江）如图，四边形ABCD为平行四边形，以点A为圆心，AB长为半径画弧，交BC边于点E，连接AE，AB=1，∠D=60°，则BE的长l=（结果保留π）．【答案】13π【分析】本题考查弧长的计算，平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质，关键是判定ΔABE是等边三角形，得到∠BAE=60°由平行四边形的性质推出∠B=∠D=60°，判定△ABE是等边三角形，得到∠BAE=60°，由弧长公式即可求出BE⏜【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B=∠D=60°，由题意得：AB=AE，∴△ABE是等边三角形，∴∠BAE=60°，∵AB=1，∴l=60π×1故答案为：1352．（2024·江苏南京）如图，在边长为4的等边三角形ABC中，AD是中线，将DA绕点D顺时针旋转60°得到DE，连接BE，则S△BDE=【答案】3【分析】过点E作EH⊥BC交BC延长线于点H，由等边三角形的性质得到AB=BC=AC=4，继而由三线合一得到AD⊥BC，BD=CD=2，由勾股定理得到AD=23，旋转得到DE=DA=23，∠ADE=60°，则∠EDC=30°，继而【详解】解：过点E作EH⊥BC交BC延长线于点H，∵△ABC为等边三角形∴AB=BC=AC=4，∵AD是中线，∴AD⊥BC，BD=CD=2，∴由勾股定理得：AD=A由旋转得：DE=DA=23，∠ADE=60°∴∠EDC=30°，∵EH⊥BC，∴EH=1∴S△BDE故答案为：3．【点睛】本题考查了等边三角形的性质，勾股定理，30°角直角三角形的性质，旋转的性质，正确构造辅助线是解题的关键．53．（2025·甘肃平凉）如图，把平行四边形纸片ABCD沿对角线AC折叠，点B落在点B′处，B′C与AD相交于点E，此时△CDE恰为等边三角形，若AB=6cm【答案】12【分析】本题考查了平行四边形的性质、折叠的性质、等边三角形的性质和30度角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握相关图形的性质定理是解题的关键；根据等边三角形的性质可得∠D=∠DCE=∠CED=60°，根据折叠的性质和平行四边形的性质可得∠EAC=∠ECA，结合三角形的外角性质可得∠EAC=∠ECA=30°，进而得到∠DCA=90°，再利用30度角的直角三角形的性质即可得解．【详解】解：∵△CDE为等边三角形，∴∠D=∠DCE=∠CED=60°，∵折叠，∴∠BCA=∠ECA，∵ABCD是平行四边形，∴AB=CD=6,AD∥BC，∴∠EAC=∠BCA，∴∠EAC=∠ECA，∵∠EAC+∠ECA=∠DEC=60°，∴∠EAC=∠ECA=30°，∴∠DCA=90°，∴AD=2CD=12cm故答案为：12．54．（2025·江苏盐城）一种遮阳伞如图，遮阳伞支架AB垂直于地面BC，D在AB上，AD=0.6m，D、E、F三点共线，DF=3DE=3AE．当太阳光线与DF垂直时，它与地面的夹角正好为60°，则DF落在地面上的投影GH=m【答案】6【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，平行线的性质、解直角三角形，解题时要熟练掌握并能灵活运用勾股定理是关键．依据题意，作EM⊥AD于M，GN⊥FH于N，则∠MED+∠MDE=90°，然后求出∠MED=∠BDG=90°−∠DGB=30°，故DM=12AD=0.3m，从而得到DE=2DM=0.6m，可得DF=3DE=1.8m，再证明四边形DGNF是矩形，故【详解】解：由题意，作EM⊥AD于M，GN⊥FH于N，∴∠MED+∠MDE=90°．∵∠EDG=90°，∴∠MDE+∠BDG=90°．∴∠MED=∠BDG．∵DG∥FH，∴∠DGB=∠FHG=60°．∴∠MED=∠BDG=90°−∠DGB=30°．∵DF=3DE=3AE．∴AE=DE，∴DM=1∴DE=2DM=0.6m∴DF=3DE=1.8m∵∠FDG=∠F=∠GNF=90°，∴四边形DGNF是矩形．∴GN=DF=1.8m在Rt△GNH∵∠GHN=60°，∴GH=GN故答案为：6555．（2025·四川资阳）如图，在四边形ABCD中，∠A=∠B，点E在线段AB上，CE∥DA．若使△BCE成为等边三角形，可增加的一个条件是．

【答案】∠B=60°，（答案不唯一）【分析】本题考查等边三角形的判定，根据两直线平行，同位角相等得到∠A=∠BEC=∠B，然后增加∠B=60°，即可根据三个角是60°的三角形是等边三角形．【详解】解：增加∠