北师大版八年级下学期数学第一章三角形的证明及其应用第3节直角三角形知识点+练习题以及答案

三角形的证明及其应用第3节：直角等三角形知识点：（1）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。（2）直角三角形的两个锐角互余。（3）有两个角互余的三角形是直角三角形。（4）直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。（5）如果三角形的两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。（6）在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，如果其中一个命题称为原命题，那么另一个命题称为逆命题。（7）斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（HL）。练习题第1课时直角三角形的性质与判定1.在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A-∠B=10°,则∠A的度数为 ()A.50°

B.60°C.70°

D.802.下列条件:①∠A+∠B=∠C;②∠A∶∠B∶∠C=3∶7∶4;③∠A=90°-∠B;④∠A=∠B=12A.①③

B.①④C.①②③

D.①②③④3.已知一个直角三角形两直角边的长分别为1和22,则其斜边的长为_________.4.一个三角形的三边长的比为3∶4∶5,且其周长为24cm,则其面积为_____________.5.如图1,小明按照体育老师教的方法确定适合自己的绳长:一脚踩住绳子的中央,手肘靠近身体,两肘弯曲90°,小臂水平转向两侧,两手将绳拉直,绳长即为合适的长度.将图1抽象成图2,若两手握住的绳柄两端距离约为1米,小臂到地面的距离约为1.2米,则适合小明的绳长为__________米.6.如图所示,在△ABC中,AD是BC边上的高,E是AB边上一点,CE交AD于点M,且∠DCM=∠MAE,求证:△AEM是直角三角形.7.下列说法中正确的是 ()A.任何一个命题都有逆命题B.若原命题是假命题,则它的逆命题也是假命题C.任何一个定理都有逆定理D.若原命题是真命题,则它的逆命题也是真命题8.写出下列各命题的逆命题,并判断其真假.(1)全等三角形的对应角相等.(2)如果两个数相等,那么它们的绝对值相等.(3)两直线平行,内错角相等.(4)如果两个角的度数都是45°,那么这两个角相等.9.如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AC≠AB,AD是斜边BC上的高,DE⊥AC,DF⊥AB,垂足分别为点E,F,则图中与∠C相等的角(∠C除外)的个数是 ()A.3

B.4

C.5

D.610.如图,在△ABC中,AB=AC,E是边AB上一点,连接CE,在BC的右侧作BF∥AC,且BF=AE,连接CF.若AC=13,BC=10,则四边形EBFC的面积为_______.11.研学实践:某校组织学生到当地乡村振兴示范点进行参观游学.如图,在点A处有一个游客饮水点,近期计划在点B处新建一个游客饮水点.需在原有供水管道AC的基础上新建供水管道BP,点P在AC上,因障碍物阻挡,BP的长度不能直接测得,现将测量BP长的任务交于参观游学的学生完成.数据采集:小林和他的同学利用测距仪和测角仪测得部分数据.在直线AB上选取一点Q,且∠AQP=90°,AB=25m,AP=20m,PQ=12m.数据应用:请根据以上数据,求BP的长.12.综合与探究.定义:如图,点M,N把线段AB分割成AM,MN,NB三部分.若以AM,

MN,NB为边的三角形是一个直角三角形,则称点M,N是线段AB的“勾股分割点”.数学思考:(1)已知点M,N把线段AB分割成AM,MN,NB三部分.若AM=2,MN=3,NB=4,点M,N是线段AB的“勾股分割点”吗?请说明理由.深入探究:(2)已知点M,N是线段AB的“勾股分割点”.①“善思小组”提出问题:若MN为以AM,MN,NB为边的直角三角形的最长边,且AM=BN=1,求AB的长.②“智慧小组”提出问题:若AM为以AM,MN,NB为边的直角三角形的直角边,且AM=4,AB=12,请直接写出BN的长.第2课时直角三角形全等的判定1.下列条件中,不能判定两个直角三角形全等的是 ()A.斜边和一条直角边分别相等B.一个锐角和斜边分别相等C.两条直角边分别相等D.两个锐角分别相等2.如图,在△ABO和△DCO中,AB⊥BO,CD⊥CO,AO=DO,若用“HL”判定Rt△ABO≌Rt△DCO,则需要添加的条件是 ()A.AB=DCB.∠A=∠DC.∠AOB=∠DOC

D.OB=OD3.如图,在△ABC中,AD是BC边上的高,E是AD上一点,且DE=DC,AC=BE,若BD=4,则AD=_____.4.如图,△ABC中,AB=AC,BD⊥AC于点D,CE⊥AB于点E,BD和CE交于点O,则图中全等的直角三角形有________对.5.如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,AD⊥BC于点D,EC⊥BC于点C,且AB=BE,CD=CE.求证:(1)AB=AC.(2)Rt△ABD≌Rt△BEC.6.已知:如图,在Rt△ABC和Rt△DFE中,∠ACB=∠DEF=90°,CG⊥AB于点G,EH⊥DF于点H,AC=DE,CG=EH.求证:Rt△ABC≌Rt△DFE. 

 7.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=10,BC=5,线段PQ=AB,P,Q两点分别在AC和过点A且垂直于AC的射线AO上运动,当AP的长为何值时,△ABC与△PQA全等?8.如图,∠D=∠E=∠ACB=90°,下列条件中,能使Rt△ADC≌Rt△CEB的有 ()①∠ABC=45°;②AD=CE;③AC=2AD;④CD=BE.A.1个

B.2个

C.3个

D.4个9.勾股定理是数学史上的一颗璀璨明珠.被誉为清代“历算第一名家”的著名数学家梅文鼎先生给出了多种勾股定理的证法.其中一种是在下图的基础上,运用“出入相补”原理完成的,即把一个几何图形分割成若干部分后,面积的总和保持不变.在△ABC中,∠ACB=90°,四边形ABDE、四边形ACFG、四边形BCHI均为正方形,HI与AE相交于点J,点D在直线HI上.若△AHJ,△DEJ的面积分别为2和6,则直角边AC的长为____.10.数学兴趣小组在解答一道数学题:如图,AC⊥BC,BD⊥AD,AD=BC.求证:BD=AC.小丽说:“我可以根据全等三角形的判定定理AAS证明两个三角形全等,进而推得BD=AC.”小贾说:“我可以根据直角三角形全等的判定定理HL证明两个三角形全等,从而得到BD=AC.”小雨说:“我可以根据三角形的面积相等,来证明BD=AC.”你认为他们的方法可行吗?并试着选择一种方法给出证明.11.如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点D是AC边上一点,连接BD,EC⊥AC,且AE=BD,AE与BC交于点F,与BD交于点O.(1)求证:CE=AD.(2)BD与AE有怎样的位置关系?证明你的结论.(3)若BD平分∠ABC,求证:AD=CF.答案第1课时直角三角形的性质与判定1.A2.D3.34.24cm25.2.66.证明∵AD是BC边上的高,∴∠DMC+∠DCM=90°,∵∠DCM=∠MAE,∠DMC=∠AME,∴∠AME+∠MAE=90°,∴△AEM是直角三角形.7.A8.(1)逆命题:角分别相等的两个三角形全等(假命题).(2)逆命题:如果两个数的绝对值相等,那么这两个数相等(假命题).(3)逆命题:内错角相等,两直线平行(真命题).(4)逆命题:如果两个角相等,那么这两个角的度数都是45°(假命题).9.A10.6011.解析在Rt△APQ中,∠AQP=90°,AP=20m,PQ=12m,由勾股定理得AQ=AP2∴BQ=AB-AQ=25-16=9(m),在Rt△BPQ中,由勾股定理得BP= BQ212.(1)点M,N不是线段AB的“勾股分割点”.理由:∵AM=2,MN=3,NB=4,∴AM2+MN2=22+32=13≠NB2,∴以AM,MN,NB为边的三角形不是直角三角形,∴点M,N不是线段AB的“勾股分割点”.①由题意可知MN2=AM2+NB2,∵AM=BN=1,∴MN=2,∴AB=AM+BN+MN=2+2.②BN的长为3或5.详解:设BN=x,则MN=AB-AM-BN=12-4-x=8-x,根据题意分情况讨论:当BN为直角三角形的斜边时,BN2=MN2+AM2,∴x2=(8-x)2+42,解得x=5,即BN=5.当BN为直角三角形的直角边时,MN2=AM2+BN2,∴(8-x)2=42+x2,

解得x=3,即BN=3.综上所述,BN的长为3或5.第2课时直角三角形全等的判定1.D2.A3.44.35.证明

(1)∵AD平分∠BAC,∴∠BAD=∠CAD.∵AD⊥BC,∴∠ADB=∠ADC=90°.在△ADB和△ADC中,∠BAD=∠CAD,AD=AD,∠ADB=∠ADC,∴△ADB≌△ADC(ASA),∴AB=AC.（2）∵△ADB≌△ADC,∴BD=CD,∵CD=CE,∴BD=CE.∵EC⊥BC,∴∠BCE=90°.在Rt△ABD和Rt△BEC中,AB=BE,BD=EC,∴Rt△ABD≌Rt△BEC(HL).6.证明:∵EH⊥DF,CG⊥AB,∴∠DHE=∠AGC=90°.在Rt△ACG与Rt△DEH中,AC=DE,CG=EH,∴Rt△ACG≌Rt△DEH(HL),∴∠A=∠D,在Rt△ABC与Rt△DFE中,∠A=∠D,AC=DE,∠ACB=∠DEF,

∴Rt△ABC≌Rt△DFE(ASA).7.∵AO⊥AC,∴∠PAQ=90°=∠C,当AP=BC=5时,∵PQ=AB,AP=BC,∴Rt△QAP≌Rt△ACB(HL).当AP=AC=10时,∵PQ=AB,AP=AC,∴Rt△PAQ≌Rt△ACB(HL).综上,当AP的长为5或10时,△ABC与△PQA全等.8.C9.210.他们的方法都可行.选择小丽的方法,证明:∵AC⊥BC,BD⊥AD,∴∠D=∠C=90°.在△AOD和△BOC中,∠D=∠C,∠AOD=∠BOC,AD=BC,∴△AOD≌△BOC(AAS),∴AO=BO,DO=CO,∴AO+CO=BO+DO,∴BD=AC.选择小贾的方法,证明:如图,连接AB,∵AC⊥BC,BD⊥AD,∴∠D=∠C=90°.在Rt△ABD和Rt△BAC中,AB=BA,AD=BC,∴Rt△ABD≌Rt△BAC(HL),∴BD=AC.选择小雨的方法,证明:如图,连接AB,∵AC⊥BC,BD⊥AD,∴∠D=∠C=90°.在△AOD和△BOC中,∠D=∠C,∠AOD=∠BOC,AD=BC,∴△AOD≌△BOC(AAS),∴S△AOD=S△BOC,∴S△AOD+S△AOB=S△BOC+S△AOB,∴S△ABD=S△ABC,∴12AD·BD=1∵AD=BC,∴BD=AC.11.

(1)证明:∵EC⊥AC,∴∠ACE=90°,在Rt△ABD与Rt△CAE中,BD=AE,A