函数的极值课件2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第二册

人教A版选择性必修第二册5.3.2函数的极值第五章

一元函数的导数及其应用单调性与导数的关系设函数y=f(x)在区间(a,b)内的导数为f′(x).如果f′(x)>0，如果f′(x)<0，如果f′(x)=0，如果f(x)在(a,b)内为增函数，如果f(x)在(a,b)内为减函数，则f(x)在(a,b)内为单调递增；则f(x)在(a,b)内为单调递减；则f(x)在(a,b)内为常数函数；则f′(x)≥0在(a,b)内恒成立；则f′(x)≤0在(a,b)内恒成立.知识回顾1.了解函数的极大值、极小值的概念；2.会用导数求函数的极大值、极小值；3.会根据函数的极值求参数.学习目标自学指导阅读课本90--91页，完成以下问题：问题1：极值点与极值。问题2：函数极值的求法。

思考1在用导数研究函数的单调性时，我们发现利用导数的正负可以判断函数的增减.如果函数在某些点的导数为0，那么在这些点处函数有什么性质呢?xyOab(1)放大t=a附近的图象,如图(2)所示.(2)思考2对于一般的函数y=f(x)，是否也有同样的性质呢?探究如图示，函数y=f(x)在x=a,b,c,d,e等点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系?y=f(x)在这些点的导数值是多少?在这些点附近，y=f(x)的导数的正负性有什么规律?a叫做函数y=f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y=f(x)的极小值;b叫做函数y=f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y=f(x)的极大值.

xyOabcde极值反映了函数在某一点附近的大小情况，刻画了函数的局部性质.极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值.若函数y=f(x)在点x=a的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点的函数值都小,且在点x=a附近的左侧f′(x)<0(单减),右侧f′(x)>0(单增),f′(a)=0,我们把a叫做函数y=f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y=f(x)的极小值.如图(1).

若函数y=f(x)在点x=b的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点的函数值都大,且在点x=b附近的左侧f′(x)>0(单增),右侧f′(x)<0(单减),f′(b)=0,我们把b叫做函数y=f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y=f(x)的极大值.如图(2).

(1)b(2)教师点拨

函数的极值练习函数f(x)的定义域为开区间(a,b),其导函数f'(x)在区间(a,b)上的图象如图所示,则函数f(x)在开区间(a,b)上有极小值点(

)A.1个

B.2个

C.3个

D.4个A小组互助1.下图是导函数y=f′(x)的图象，试找出函数y=f(x)的极值点，并指出哪些是极大值点，哪些是极小值点.abxyx1Ox2x3x4x5x6注意：对于可导函数，若x0是极值点，则f

'(x0)=0;

反之，若f

'(x0)=0，则x0不一定是极值点.思考3

极大值一定大于极小值吗?Oax1x2x3x4bxyy=f(x)思考4

导数值为0的点一定是函数的极值点吗？即

f

′(x0)=0是函数f(x)在x0处取得极值的__________________条件.必要不充分(3)极大值与极小值没有必然关系，极大值可能比极小值还小.强调：(1)极值是某一点附近的小区间而言的，是函数的局部性质，不是整体的最值；(2)函数的极值不唯一，在整个定义区间内可能有多个极大值和极小值；即f′(x0)=0是函数f(x)在x0处取得极值的必要不充分条件.(4)对于可导函数，若x0是极值点，则f

'(x0)=0;

反之，若f

'(x0)=0，则x0不一定是极值点.Oa

x0bxy

xx0左侧

x0x0右侧f′(x)

f(x)

Oax0bxy

xx0左侧

x0x0右侧f′(x)

f(x)增f′(x)>0f′(x)=0f′(x)<0极大值减f′(x)<0f′(x)=0增减极小值f′(x)>0判断f

(x0)是极大值或是极小值的方法：左正右负为极大，左负右正为极小左增右减为极大，左减右增为极小例1xyO-22小组互助求可导函数f(x)极值的步骤：(2)

求导数f

′(x)；(3)

求方程f

′(x)=0的根；(4)

把定义域划分为部分区间，并列成表格：检查f

′(x)在方程根左右的符号：如果左正右负（左增右减），那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正（左减右增），那么f(x)在这个根处取得极小值；(1)确定函数的定义域；教师点拨小组互助小组互助变式2

设函数f(x)=x3+ax2-9x的导函数为f'(x),且f'(2)=15.(1)求函数f(x)的图象在点(0,f(0))处的切线方程;(2)求函数f(x)的极值.xf′(x)f(x)无极大值x(－∞,－3)－3(－3,3)3(3,＋∞)f′(x)f(x)x(－∞,－2)－2(－2,2)2(2,＋∞)f′(x)f(x)x(－∞,－1)－1(－1,1)1(1,＋∞)f′(x)f(x)小组互助例2（424）

已知a>0,函数f(x)=x2-(a+1)x+a(1+lnx).求函数f(x)的极值点和极值.小组互助例3

已知函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1处取得极值10,求f(2)的值.小组互助变式3（1）已知f(x)=x3+ax2+bx+b2在x=-1处取得极值8,则a+b=

.

（2）

函数f(x)=x3+3ax2+3(a+2)x+3既有极大值，又有极小值，则a的取值范围_______________.小组互助小组互助例4

已知函数f(x)=x3+bx2+cx+2.(1)若f(x)在x=1处有极值-1,求b,c的值;(2)在(1)的条件下,若函数y=f(x)的图象与直线y=k恰有三个不同的交点,求实数k的取值范围.小组互助变式5

已知a为实数,函数f(x)=-x3+3x+a.(1)求函数f(x)的极值,并画出其大致图象;(2)当a为何值时,方程f(x)=0恰有两个实数根?课后反思1.函数极值：2.求可导函数f(x)极值的步骤：左正右负为极大，左负右正为极小左增右减为极大，左减右增