四随机变量的数字特征

四、随机变量数字特性第1页第1页考试内容（一）随机变量数学盼望1.离散型随机变量数学盼望（均值）设X分布律为(级数绝对收敛)则2.连续型随机变量数学盼望设连续型随机变量X密度函数为f(x),则（绝对收敛）第2页第2页3.随机变量函数数学盼望（1）X为随机变量，y=g(x)为实变量x函数.离散型：连续型：(2)(X,Y)为二维随机变量,z=g(x,y)为x,y二元函数.离散型：连续型：第3页第3页4.数学盼望性质(1)E(C)=C;(2)E(aX+b)=aE(X)+b;(3)E(X1+X2+‥+Xn)=E(X1)+E(X2)+‥+E(Xn);(4)若X1,X2,‥,Xn互相独立,则E(X1

X2‥Xn)=E(X1)E(X2)‥E(Xn);(5)第4页第4页（二）方差1.定义

D(X)=E{[X-E(X)]2}均方差或原则差：2.计算(1)离散型：(2)连续型：(3)惯用计算公式：D(X)=E(X2)-E2(X).第5页第5页3.方差性质(1)D(X)=E(X2)-E2(X)，E2(X)=D(X)+E(X2)(2)

D(C)=0;(3)E(aX+b)=a2D(X);(4)D(X±Y)=D(X)+D(Y)±2Cov(X,Y);若X,Y互相独立,则D(X±Y)=D(X)+D(Y).(5)D(X)=0P(X=C)=1.第6页第6页（三）协方差、协方差矩阵与相关系数Cov(X,Y)=E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}1.协方差2.相关系数用来表征随机变量X,Y之间线性关系紧密程度.当较大时，阐明X,Y线性关系程度较强；当较小时，阐明X,Y

线性关系程度较弱；当时，称X与Y不相关（线性）.第7页第7页3.协方差矩阵设(X1,X2,‥,Xn)是n维随机变量,若cij=Cov(Xi,Yj),存在，则称矩阵为n维随机变量(X1,X2,‥,Xn)协方差矩阵.第8页第8页4.协方差及相关系数性质Cov(X,X)=D(X);(2)Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y);(3)Cov(X,Y)=Cov(Y,X）;(4)Cov(X1+X2,Y)=Cov(X1,Y)+Cov(X2,Y);(5)Cov(aX+c,bY+d)=abCov(X,Y);(6)

(7)X与Y以概率1线性相关,即存在a,b,且a≠0,使(8)第9页第9页（四）矩与混合矩1.随机变量Xk阶原点矩：随机变量Xk阶中心矩：2.设(X,Y)为二维随机变量,X和Yk+l阶混合原点矩为：X和Yk+l阶混合中心矩为：

数学盼望是一阶原点矩；方差是二阶中心矩，协方差是1+1阶混合中心矩.第10页第10页（五）常见分布数学盼望与方差分布数学盼望方差0-1分布B(1,p)pp(1-p)二项分布B(1,p)npnp(1-p)泊松分布几何分布G(p)(1-p)/p2超几何分布H(N,M,n)均匀分布正态分布指数分布第11页第11页（六）主要结论5个等价条件：注意：X,Y互相独立为上述5个条件中任何一个成立充足条件，但非必要条件.第12页第12页考点与例题分析考点一：数学盼望和方差计算考点二：随机变量函数数学盼望与方差考点三：协方差、相关系数，独立性与相关性第13页第13页考点一：数学盼望和方差计算1.对分布已知情形，按定义求；2.对由随机试验给出随机变量，先求出分布，再按定义计算；3.利用盼望、方差性质以及常见分布盼望和方差计算；4.对较复杂随机变量,将其分解为简朴随机变量,尤其是分解为(0,1)分布随机变量和进行计算.第14页第14页例1一台设备由三大部件构成,在设备运转中各部件需要调试整概率相应为0.1,0.2,0.3,假设各部件状态互相独立,以X表示同时需要调整部件数,试求XE(X)和D(X).解法1先求出分布律：设事件Ak={第k个部件要调整}（k=1,2,3),则第15页第15页即X含有分布律为：从而有E(X)=0.6，D(X)=E(X2)-E2(X)=0.46.解法2用分解法：引进随机变量X~0-1分布，且X=X1+X2+X3，E(X)=E(X1)+E(X2)+E(X3)

=0.6

D(X)=D(X1)+D(X2)+D(X3)=0.46第16页第16页注:1.将一个“复杂”随机变量分解成若干个“简朴”随机变量之和是研究随机变量一个基本办法，但必须注意：求方差时，应先判断Xi是否互相独立.若独立,则D(X)易求(和),不然不易求出.2.求离散型随机变量盼望和方差时,会用到无穷级数求和，下列例:第17页第17页例2对某目的连续射击,直到命中n次为止,设每次射击命中率为p，求消耗子弹数学盼望.解设Xi表示第i-1次命中至第i次命中之间所消耗子弹数(含第i次命中不含第i-1次命中),则于是有故第18页第18页例3设随机变量概率密度求数学盼望和方差.解注：若已知分布函数，则需先求出密度函数.第19页第19页例4设X密度函数则E(X)_______,D(X)_________.第20页第20页考点二：随机变量函数数学盼望与方差1.先求概率密度或分布函数,再按盼望定义计算,如2.直接利用函数盼望公式计算：3.利用数学盼望、方差性质以及常见分布数学盼望与方差计算.第21页第21页例5设X~E(1),则数学盼望解先利用盼望线性性质，再用随机变量函数盼望公式求得.因X~E(1),于是E(X)=1,并且X密度函数为指数分布第22页第22页例6设X密度函数求解直接利用函数盼望公式计算第23页第23页注：在求多个随机变量函数数学盼望时,若直接用公式计算,则需求多重积分.故不如先求出随机变量函数概率分布,再用定义计算盼望,比如设随机变量X1,X2,…Xn独立同分布,其密度函数试求数学盼望和方差.为常数（自行完毕）第24页第24页例7设是两个互相独立且均服从正态分布随机变量，则解令Z=X-Y，则E(Z)=0,D(Z)=1,即故积分，得注：利用正态分布性质、随机变量函数盼望公式第25页第25页例8一工厂生产某种设备寿命X（年）服从指数分布,概率密度函数为要求发售设备若在售出一年内损坏可予以调换,若工厂售出一台设备赢利100元,调换一台设备厂方需花费300元，试求厂方发售一台设备赢利数学盼望.解设发售一台赢利为Y,则Y所有也许取值为100,-200.因分析：先求出赢利分布.第26页第26页Y分布律为Y100-200因此，注：Y是X函数.X是连续型,而Y是离散型.第27页第27页考点三：协方差、相关系数，独立性与相关性1.协方差、相关系数计算事实上是随机变量函数盼望计算，办法见考点二；X,Y互相独立若(X,Y)服从二维正态分布，则X,Y互相独立2.独立性与相关性关系第28页第28页例9将一枚硬币重复掷n次,以X,Y分别表示正面向上和反面向上次数,则X和Y相关系数为__.解因X+Y=n,即Y=n-X.法1用定义求：D(Y)=D(n-X)=D(X)因此，法2用性质(7)：因Y=n-X，Y是X线性函数,且X系数为-1<0,故X和Y相关系数为-1.第29页第29页例10设其中且(1)求E(Z),D(Z)；（2）求X,Z相关系数；（3）X与Z是否互相独立？为何？解（1）由盼望和方差性质有第30页第30页（3）X,Y均服从正态分布,但不独立,故不能认为Z服从正态分布，从而二维随机变量(X,Y)不一定服从二维正态分布,故尽管X与Z不相关,X与Z仍不一定互相独立.（2）故注：X与Z均服从正态分布，且X与Z互相独立，则(X,Z)服从二维正态分布.第31页第31页例11.(08)设随机变量且则考察：相关系数性质：存在a,b,使以及正态分布数字特性性质.解选D.由正态分布有

EX=0,DX=1,EY=1,DY=4,故存在a,b,使从而EY=aEX+b,得b=1.而第32页第32页考研题及练习题1.设随机变量(X,Y)在区域D:0<x<1,-x<y<x内服从均匀分布，求Z=2X+1方差.(两种办法)答案：E(Z)=2/3,D(Z)=2/9.第33页第33页2.(08）设随机变量X服从参数为1泊松分布,则P{X=EX2}______.考察：泊松分布数字特性及其概率分布.参数为1泊松分布EX=DX=1,从而EX2=DX+(EX)2=2,P{X=EX2}=P{x=2}=1/2e.3.(04134)设随机变量X服从参数为指数分布,则第34页第34页4.(041)设随机变量X1,X2,…Xn独立同分布,且其方差为令则提醒：用方差和协方差运算性质直接计算即可,注意到利用独立性有：第35页第35页5.（0634）设二维随机变量(X,Y)概率分布为-1a0

0.200.1

b0.2

100.1

cYX-101其中a,b,c为常数，且X数学盼望EX=-0.2，记Z=X+Y，求（1）a,b,c值；（2）Z概率分布；（3）P(X=Z).第36页第36页答案:(1)a=0.2,b=0.1,c=0.1(2)

-2-1012

0.20.10.30.30.1(3)P(X=Z)=P