【北师大版】五年级数学下册“长方体（二）”单元复习教学设计

【北师大版】五年级数学下册“长方体（二）”单元复习教学设计

一、单元整体设计概述

（一）单元课标解读与教材定位

本单元“长方体（二）”是北师大版小学数学五年级下册的核心空间与图形板块，承接四年级“认识方程”与五年级上册“多边形的面积”，并指向六年级“圆柱与圆锥”的学习。本单元并非对长方体特征的简单重复，而是将学生的认知从一维长度、二维面积提升至三维体积的系统建构。依据《义务教育数学课程标准（2022年版）》，本单元归属于“图形与几何”领域中的“图形的认识与测量”，其核心素养导向聚焦于空间观念、量感、推理意识及应用意识的培育。课标强调，要通过观察、操作、想象、推理等活动，引导学生理解体积（容积）的含义，掌握度量方法，并能够灵活运用公式解决实际问题，实现从“直观感知”到“度量认知”的跨越。

（二）学情精准研判与教学对策

五年级学生正处于形象思维向抽象逻辑思维过渡的关键期。他们已经掌握了长方形、正方形的特征及表面积的计算，具备了一定的观察与操作能力。然而，本单元涉及的核心概念如体积与容积的辨析、体积单位空间观念的建立、公式的逆向运用以及等积变形问题，对学生而言存在显著的认知跨度。学生易错点集中在：混淆体积与容积概念，单位换算率记忆不清（尤其是相邻单位间的进率混淆），无法在复杂情境中精准提取数据代入公式，以及缺乏解决“不规则物体体积”问题的转化思想。基于此，复习课的设计不能是简单的知识点罗列与刷题，而应立足单元整体，通过结构化梳理、关键问题突破和综合实践活动，帮助学生完善认知结构，打通知识经络。

（三）单元复习素养目标

1.核心概念深化：通过回顾与梳理，深刻理解体积和容积的实际意义，能在具体情境中准确辨析两者异同。【重要】【基础】

2.量感与单位观念：系统掌握常用的体积、容积单位，能结合实际物体建立清晰的单位表象（如1立方厘米、1立方分米、1立方米、1升、1毫升的实际大小），熟练掌握相邻单位间的进率与换算方法。【高频考点】【重要】

3.公式理解与应用：在理解推导过程的基础上，熟练掌握长方体、正方体的体积计算公式（包括通用公式V=Sh），并能熟练运用公式解决求体积、容积以及相关逆向问题（如已知体积和底面积求高）。【核心】【必考点】

4.转化思想与策略：掌握测量不规则物体体积的基本方法（排水法），初步建立“等积变形”的数学模型思想，提升解决问题的能力。【难点】【热点】

5.综合实践与表达：能灵活运用所学知识解决生活中的实际问题（如箱包容量、土石方计算、包装盒设计等），并用清晰、规范的语言表达思考过程。

二、教学准备

（一）教师教学资源

1.核心教具：棱长为1厘米、1分米的正方体模型若干；12条棱可拆卸的长方体框架；透明长方体容器（带刻度）；不规则物体（石块、土豆）；水槽；多媒体课件（动态演示体积概念、公式推导、排水法原理）。

2.教学资料：编制单元知识结构图谱，精选典型例题与变式练习，设计“复习导航单”。

（二）学生学习准备

3.知识储备：回顾本单元新授课内容，初步整理个人知识树。

4.学具准备：每人准备一个棱长1厘米的小正方体；小组准备一个长方体纸盒、一杯水、一块橡皮泥。

三、教学实施过程（核心环节）

（一）导图构建，唤醒记忆——结构化梳理

1.课前任务驱动：发放“单元复习导航单”，要求学生以“我眼中的长方体”为主题，用自己喜欢的方式（思维导图、知识树、表格等）初步整理本单元知识点，并标记出自己认为最核心的部分和最困惑的地方。

2.课堂交流碰撞

（1）小组分享，异质互补：学生在4人小组内展示自己的复习成果，轮流介绍自己梳理的知识脉络，并重点交流自己对核心概念（体积、容积）的理解。教师巡视，捕捉学生在梳理过程中暴露的典型问题（如单位进率混淆、概念辨析不清），为后续针对性讲解收集素材。

（2）集体构建，系统完善：邀请不同层次的小组代表上台，利用电子白板或实物投影展示并讲解本组的梳理成果。教师以主持人的身份引导学生对展示内容进行质疑、补充和评价。在此基础上，师生共同完善板书，形成如下图所示的单元知识结构图（以文字描述其逻辑关系）：

首先，从生活实例抽象出“物体占有空间”的概念，引出体积的定义；进而衍生到容器内部，理解容积的意义，并重点辨析两者的联系与区别。【非常重要】【概念基石】。

接着，为了精确度量体积，必须引入统一的体积单位，建立对立方厘米、立方分米、立方米及容积单位升、毫升的直观感受，掌握它们之间的十进关系与换算方法。【重要】【操作基础】。

随后，探究如何计算规则物体的体积。从度量单位累加的角度，推导出长方体和正方体的体积公式，并归纳出通用公式“底面积乘高”，这是解决一切直柱体体积问题的根本大法。【核心】【思维主线】。

最后，将知识应用于更广阔的情境，包括：已知体积反求棱长或高的逆向问题；利用“排水法”测量土豆、石块等不规则物体的体积；以及解决涉及土石方、包装盒容量等综合性实际问题。【难点】【能力延伸】。

（3）教师点睛，提炼核心：在师生互动的基础上，教师进行总结性梳理，用精炼的语言概括本单元知识的内在逻辑——“一个核心（体积概念）、两类量（体积与容积）、三级单位（立方厘米、分米、米）、四项应用（直接计算、逆向求解、等积变形、排水法）”，帮助学生构建宏观的知识框架。

（二）概念辨析，夯实根基——聚焦体积与容积

1.情境对比，深化理解

教师出示一组对比情境：①洗衣机包装箱所占空间的大小；②洗衣机包装箱所能容纳物体的空间大小。引导学生辨析前者是“体积”（物体外部所占空间），后者是“容积”（物体内部所能容纳的空间）。强调：有容积的物体必有体积，但体积大的物体容积不一定大（如壁厚很厚的箱子）。【重要】【易错辨析】

2.操作体验，内化概念

（1）活动一：哪个容器装得多？每组准备两个形状不同但看起来大小相近的容器（如水杯和矿泉水瓶）。让学生先猜测哪个容积大，再设计实验验证（用水测量）。通过操作，学生深刻体会到容积是指容器内部空间的“容纳能力”，且不能仅凭外部形状判断大小。

（2）活动二：橡皮泥变形记。取一块橡皮泥，先捏成一个长方体，再捏成一个球体。引导学生思考：橡皮泥的“体积”变了吗？为什么？（没变，因为还是同一块橡皮泥，所占空间的大小不变）。此活动初步渗透“等积变形”的思想，为后续解决不规则物体体积埋下伏笔。【难点突破】

3.即时诊断，针对练习

设计一组判断题，快速反馈：

（1）一个木箱的体积就是它的容积。（×，强调壁厚）

（2）游泳池里水的体积就是游泳池的容积。（×，强调“满”）

（3）冰箱的体积小于它的容积。（×，体积大于容积）

（4）两个体积一样大的盒子，它们的容积也一样大。（×，壁厚不同）

（三）单位统领，建立量感——聚焦单位与进率

1.单位表象的再激活

教师不直接出示定义，而是通过描述性语言引导学生联想：请用手势比划一下，多大是1立方厘米？1立方分米呢？生活中哪些物体的体积大约是1立方厘米（手指尖、骰子），哪些大约是1立方分米（粉笔盒、电灯泡），1立方米呢（一个洗衣机的大小，可以蹲下一个小朋友的空间）。对于容积单位，引导学生回忆：1升水大约有几瓶矿泉水（2瓶500ml），1毫升水大约有几滴。

2.进率关系的深度剖析

（1）长度、面积、体积单位进率的对比：在黑板上画出三条轴线，分别回顾长度单位米、分米、厘米间的进率（10），面积单位平方米、平方分米、平方厘米间的进率（100），引导学生通过推理得出体积单位相邻进率应为1000（因为体积是三维，10×10×10）。【基础】【高频考点】

（2）容积与体积单位的沟通：明确1立方分米=1升，1立方厘米=1毫升。这一关系是单位换算的枢纽。

3.单位换算实战演练

设计坡度递进的换算题组，强调规范写法。

（1）单名数转化：3.5立方米=（3500）立方分米；2400毫升=（2.4）升。

（2）复名数转化：5立方米80立方分米=（5.08）立方米=（5080）立方分米。

（3）比较大小：比较3.8立方米与3800升的大小。通过训练，使学生掌握“高化低乘进率，低化高除以进率”的基本法则，并特别注意单位是否统一。

（四）公式推导与应用，提升思维——聚焦体积计算

1.回顾推导，追本溯源

利用多媒体课件，再次演示长方体体积公式的推导过程：用棱长为1厘米的小正方体摆长方体，每行个数、行数、层数分别对应长方体的长、宽、高，所含小正方体的总个数即长方体的体积立方厘米数。由此抽象出公式：长方体的体积=长×宽×高。继而由正方体是长宽高相等的特殊长方体，推导出正方体体积=棱长×棱长×棱长。最后统一为：体积=底面积×高。【核心】【推导过程回顾】

2.层次练习，公式活用

（1）基础性练习（直接套用）：

一个长方体，长8厘米，宽5厘米，高4厘米，求体积。【基础】

一个正方体，棱长总和是36分米，求它的体积。【重要】【逆向思维第一步】

（2）变式性练习（逆向求解）：

一个长方体木箱，体积是0.24立方米，已知它的长是1.2米，宽是0.5米，求它的高是多少米？【高频考点】

引导学生回顾公式：高=体积÷（长×宽），即高=体积÷底面积。

（3）综合性练习（截断与拼接）：

一根长方体木料，长4米，横截面是边长为2分米的正方形。这根木料的体积是多少立方米？【重要】【注意单位统一】

一块正方体橡皮泥，棱长6厘米。如果把它捏成一个长9厘米、宽4厘米的长方体，这个长方体的高是多少厘米？【热点】【等积变形】

3.情境创设，解决真问题

出示真实任务：小明家要定制一个长2米、宽1.5米、高1.2米的无盖玻璃鱼缸。

（1）这个鱼缸的占地面积是多少？（求底面积）

（2）做这个鱼缸至少需要多少平方米的玻璃？（复习表面积，与体积对比，强化区别）

（3）这个鱼缸最多能装多少升水？（求容积，注意内部尺寸可能比外部尺寸略小，此处根据题意取近似或直接计算）

通过一个情境串，将底面积、表面积、容积（体积）的考查融为一体，培养学生综合运用知识的能力。【综合应用】

（五）难点攻关，策略建模——聚焦不规则物体体积

1.问题驱动，激发思考

教师出示一块形状不规则的土豆，提出问题：它的体积是多少？能用长×宽×高来计算吗？如何利用我们学过的知识来测量？引发学生的认知冲突和探究欲望。

2.实验演示，揭示原理

教师进行“排水法”实验演示：将量杯内装入一定量的水，记下水面刻度；将土豆完全浸没入水中（注意完全浸没且水不溢出），再次记下水面刻度。引导学生观察并思考：上升的水的体积与土豆的体积有什么关系？通过讨论，明确“上升的那部分水的体积就是不规则物体的体积”这一转化思想。【难点】【核心策略】

3.提炼方法，总结公式

引导学生总结出“排水法”求体积的一般公式：

（1）如果容器是长方体或正方体，放入物体前水的体积V1=a×b×h1，放入物体后（完全浸没）水的体积V2=a×b×h2，则物体体积V=V2-V1=a×b×（h2-h1）。【重要】

（2）也可以直接用水面上升的高度来计算：物体体积=容器的底面积×水面上升的高度。

4.变式训练，深化理解

创设多种变化情境，考察学生对排水法的灵活运用：

（1）溢出问题：在一个装满水的正方体容器中，放入一个铁块，水会溢出，溢出的水的体积等于什么？【等于铁块的体积】

（2）悬浮与沉底：如果放入的物体是浮在水面上的（如冰块），该如何测量？（需用细针压入水中）【拓展思考】

（3）逆向思维：已知放入物体的体积和容器的底面积，求水面上升了多少厘米。

通过变式，让学生理解“排水法”的本质是“把不规则转化为规则，把未知转化为已知”的“等积变换”。

（六）综合实践，拓展延伸——生活中的数学

1.包装盒中的学问

出示一个快递纸箱，外部尺寸长50cm、宽40cm、高30cm，纸箱厚度忽略不计。提出问题：

（1）这个纸箱的体积是多少立方厘米？合多少立方分米？

（2）如果用它来装棱长为10cm的正方体魔方，最多可以装多少个？引导学生先计算每层每行每列能装几个，再求总数。对比用总体积除以每个魔方体积的做法（此法不适用于“不切割”的装箱问题，可能存在空隙），让学生体会“去尾法”在现实中的应用。【热点】【生活应用】

2.土石方计算

出示修路情境：要修建一条长100米的路，路面宽5米，需要铺0.2米厚的三合土。需要多少立方米的土石？这实际上是求一个长100米、宽5米、高0.2米的长方体体积。此类问题常与“长方体体积公式”直接相关。

3.小小设计师

提供一张长30厘米、宽20厘米的长方形硬纸板，让学生设计一个无盖的长方体纸盒。要求：在四个角各剪去一个同样大小的正方形（设边长为x厘米），然后折起来。

（1）用含有x的式子表示纸盒的容积。

（2）探究x为多少时，做成的纸盒容积最大？这不仅是体积知识的应用，更是跨学科（代数思想、函数初步）的渗透，激发学生的探究兴趣。

四、板书设计

（一）主板书（左侧）

长方体（二）复习梳理

一、核心概念

体积：占空间大小

容积：容纳空间

（辨析：壁厚、外部内部）

二、单位与进率（量感）

立方厘米→立方分米→立方米

（1000）（1000）

毫升→升→立方米（特殊关系1L=1dm³）

三、体积公式

长方体：V=abh

正方体：V=a³

通用公式：V=Sh

逆向：h=V÷S

四、策略与方法

排水法：V物=V后-V前=S底×Δh

等积变形：形状变，体积不变

（二）副板书（右侧）

典型例题板演区（如排水法计算过程、单位换算过程）

五、作业设计

（一）基础性作业（面向全体，巩固双基）

1.填空：3.08立方米=（）立方米（）立方分米；4升50毫升=（）升。

2.一个长方体水池，长8米，宽6米，