《流体力学基础》-第四章

4.1流体的系统与控制体4.1.1流体的系统在流体力学中，流体的系统是指某一确定的流体团，不管大小如何，在连续介质假设下，它们都是由确定的连续分布的流体质点所组成。系统以外的环境称为外界，分隔系统与外界的界面称为系统的边界。系统通常就是作为直接研究对象的流体本身，边界往往是实在的流体界面，而外界则可以是其他流体或固体。流体的系统有两个主要的特点：第一，系统随流体的运动而运动，其占有的体积和边界形状虽可随运动而变化，但系统内的流体质点始终包含在系统内；第二，系统与外界虽无流体质量的交换，但它们既可以有力的相互作用，也可以有能量（例如热和功）的交换。下一页返回4.1流体的系统与控制体以系统为着眼点来研究流体的运动，其优点是，可以直接应用物理学的基本定律及其原始的数学表达式，在物理上直观易懂；其缺点是，所得到的运动方程是用拉格朗日变量来描述的，应用起来并不方便，因为在大多数流体力学问题中，人们感兴趣的往往是流体物理量的空间分布，而不是单个流体系统。4.1.2流场中的控制体在流体所在或流过的空间中，即在流场中，取一个相对于某参考（坐标）系固定不动的空间体积，这个空间体积称为控制体，其形状可以是规则的或任意的，体积大小可以是有限小或有限大。控制体的封闭表面称为控制面，控制面外的空间也称为外界。上一页下一页返回4.1流体的系统与控制体显然，控制面可以是实在的流体面（例如过流断面、自由液面、固体与流体的接触界面等），也可以是任意假想的几何面。换言之，在控制体内并不要求处处充满要研究的流体。4.1.3流体运动应遵循的基本定律流体力学主要研究流体的宏观机械运动和热运动，因此，应遵循的基本物理定律包括两部分：1.反应物质运动普适特性的基本定律①质量守恒定律——又称物质不灭定律；②牛顿运动定律——包括动量平衡律、动量矩平衡律；上一页下一页返回4.1流体的系统与控制体③能量守恒定律——常用热力学第一定律。2.反应流体本身物质特性的基本定律①流体的本构方程——反映运动流体中应力张量之间固有关系的方程，在本书中，主要使用牛顿流体的本构方程；②流体的状态方程——反映运动流体固有的热力学性质方程。4.1.4基本方程表达形式的选择所谓基本方程就是流体运动时应遵循的基本物理定律的数学表达式。由于考虑问题的角度、描述问题的方法以及要求不同，所以基本方程的数学表达形式是多种多样的。上一页下一页返回4.1流体的系统与控制体在本书的基本方程叙述中，有时会提到着眼于质点或系统的拉格朗日观点，但流体物理量都是用空间坐标和时间表示。换言之，在本书中没有拉格朗日型的基本方程。坐标系主要是惯性系。需要用到非惯性系时会特别加以说明。基本方程的积分形式和微分形式都是需要的，因为它们既互有联系又各有用途。对于那些只要求流体的总体特性的量，如果求流体与固体间的总作用力、总作用力矩、总体的能量交换情况，则采用积分形式方程比较简单；如果要求流场细节，例如求速度和压力等物理量的分布，则必须用微分形式的方程。上一页下一页返回4.1流体的系统与控制体至于方程的标量形式、矢量形式或张量形式，在本章中是这样选择的：在基本方程的推导过程中尽量采用矢量形式（含张量物理量）；在正文中主要给出基本方程在直角坐标系中的表达式；为了便于读者记忆，同时给出了笛卡尔张量的指标表达式。上一页返回4.2连续方程

运动流体的质量守恒定律可表述为：对于确定的流体，其质量在运动过程中不生不灭。把它表示成数学形式，则称为连续性方程。4.2.1积分形式的连续方程在流体力学中，导出积分形式的基本方程时，通常采用有限体积控制体的分析方法。如图4-1所示，t时刻在流场中任取一个控制体，其体积为τ，封闭表面积为A，在τ中的微元体积dτ中，可假定其密度ρ和速度V相同，则dτ内流体质量dm=ρdτ，τ内流体的总质量下一页返回4.2连续方程

单位时间内控制体内流体的质量变化量为：单位时间内从控制体的表面A流出的流体质量为：由于流体质量守恒，单位时间内从控制体表面流出的流体质量应等于单位时间内控制体内流体减少的质量，因此有上式可写为上一页下一页返回4.2连续方程

这就是积分形式的连续性方程的一般表达式。在式（4-1）或式（4-2）中，允许控制体内流体分布不连续。4.2.2微分形式的连续方程微分形式的流体运动基本方程的导出有两种常用的方法：一种是采用微元体积控制体的分析方法；另一种是采用有限体积控制体的分析方法，也就是由积分形式转换到微分形式的方法。采用微元控制体分析法的前提是要求流场中流体物理量时时处处连续可微，而且须在选定的坐标系下取相应的微元控制体的形状。例如，要得到在直角坐标系中的运动微分方程，则应选择正六面形状的微元控制体。上一页下一页返回4.2连续方程

在t时刻的流场中，任选一点A(x,y,z)，以A为角点作一个微元六面体，各面都与相应的坐标面平行，边长分别为dx,dy,dz，如图4-3所示。设A点的速度为V=(u,v,w)，密度为ρ，由于dx,dy,dz很小，因此，可以认为以A点为交点的三个面上的速度和密度都是均匀相等的；在相对应的其他三个面上的速度和密度值则可通过多元函数泰勒展开取一阶小量得到。例如，如果面ABCD上的速度u=(x,y,z,t)，则同一时刻，在面EFGH上的速度则为。上一页下一页返回4.2连续方程

现在来考察通过微元六面体的流体质量。在x方向上，单位时间从左面进入六面体的流体质量为ρudydz，而同时从右面流出六面体的流体质量为这样，在x方向上，单位时间内通过控制体净流出的流体质量为同样可以得到在y和z方向上，单位时间内通过控制体净流出的流体质量分别为上一页下一页返回4.2连续方程

三者之和为因为控制体的体积是不变的，控制体内流体质量的流失必然造成控制体密度的减小。在单位时间内，密度减小可使控制体内的质量减小，即根据质量守恒定律，式（4−6）和式（4−7）应该相等，即上一页下一页返回4.2连续方程

这就是在直角坐标系中微分形式的连续性方程，它适用于任何流体的三维非定常可压缩流动。式（4-8）可写成笛卡儿坐标系形式，即把式（4−8）左边后三项展开，引用对ρ的随体导数的概念，该方程可改写为上一页下一页返回4.2连续方程

由矢量场论中散度的定义及基本运算公式可得这样式（4−8）和式（4−9）便可表示为与坐标系无关的矢量表达式上一页下一页返回4.2连续方程

式中，ρV=ρui+ρvj+ρwk可被看作流过单位面积的质量流量，它的散度▽·(ρV)表示流出单位体积控制体的质量流量。V可被看作流过单位面积的体积流量，速度散度则表示流出单位体积控制体的体积流量。微分形式的方程在每一时刻对流场的每一点上成立。它在应用过程中，也可根据实际流动条件作适当简化，例如：（1）对定常流动，式（4−10）变为上一页下一页返回4.2连续方程

（2）对于不可压缩流体的流动，则不管定常与否，微分形式的连续性方程均为上一页返回4.3动量方程4.3.1积分形式的动量方程参照图4−1所示有限体积的控制体，微元体dτ中流体所具有的动量为dk=Vdm=ρVd单位时间内控制体内流体的动量变化量为单位时间内从控制体表面流出的流体的动量为。单位时间内总的动量变化量为下一页返回4.3动量方程作用在控制体上的体积力与表面力之和为根据动量定理，有将式（4−14）和式（4−15）代入式（4−16），可得上一页下一页返回4.3动量方程式（4-17）就是积分形式的运动方程，习惯上称它为动量方程或动量定理。方程的左边是控制体内的总动量随时间的局部变化率加上单位时间内净流出控制体的动量通量。与积分形式的连续性方程式（4-2）一样，式（4-17）并不要求所有的流体物理量在τ内连续。在实际应用中，动量定理主要用于定常流动，此时，式（4-17）变为上一页下一页返回4.3动量方程4.3.2微分形式的动量方程采用与导出连续性方程相同的方法，从连续的流场中取出一个微元六面体（控制体）。根据应力张量表达式，相交于A(x,y,z)点的三个面上各有三个应力分量，由于dx、dy和dz是微小量，所以可以认为同一面上的应力分量的值相同，其余三个面上的应力分量可以通过多元函数泰勒展开取一阶小量的方法来得到。另外，由于表面力的大小与面积成正比，而体积力的大小与体积成正比，当微元体很小时，面积力是dx、dy或dz的二阶无穷小，而体积力则为三阶无穷小，所以可以认为在整个微元体中，体积力密度是相同的，即单位体积中的体积力均为ρf。在x方向上的体积力分量及各面上的应力如图4−4所示，共有6个表面力分量和一个体积力分量。上一页下一页返回4.3动量方程根据牛顿运动定律：ma=ΣF，在x方向上可以整理成即同理得上一页下一页返回4.3动量方程和这就是在直角坐标系中微分形式的动量方程，通常称为运动方程。式（4−19）可写成笛卡儿坐标系形式，即对于工程中遇到的大多数流体，式（4−19）中的各应力分量可以用流体的变形速率及物性分别表示如下上一页下一页返回4.3动量方程上一页下一页返回4.3动量方程上述表示应力和变形速度关系的方程式（4−20），称作本构方程，它的推导可参阅有关学书籍。由式（4−20）可知，切应力与流体质点的角变形率大小成正比，且流体的法向应力与流体的相对体积膨胀率∇·V及相应方向的线变形速率有关。因此在运动黏性流中，法向应力在不同方向上大小可能不相等。这里将压强p定义为3个法向应力平均值的负值，即上一页下一页返回4.3动量方程由上式可知，在理想流体或静止流体中，不同方向的法向应力相等。值得注意的是：对弹性体来说，应力和应变速率呈线性关系，如式（4-20）中流体应力与应变速率（变形速率）成正比。应力和应变速率之间的关系满足式（4-20）的流体称为牛顿流体，如空气、水等都是牛顿流体。但也有一些流体其应力和应变速率之间的关系不能用式（4-20）来描述，这类流体称为非牛顿流体，如油漆、颜料、橡胶、血液、高分子聚合物的熔体或溶液，以及某些混合物。这里仅限于研究牛顿流体。上一页下一页返回4.3动量方程将式（4-20）代入式（4-19），得上一页下一页返回4.3动量方程式（4-21）称作纳维—斯托克斯（Navier.Stokes）方程，简称N.S方程，适合于可压缩黏性流体的运动。对于不可压缩流体，当其黏性系数μ可看作常数时，式（4-21）可简化为上一页下一页返回4.3动量方程对于不可压缩流体有连续方程引入拉普拉斯算子，则式（4.22）右边第三项可分别表示为▽2u、▽2v、▽2w。因此，式（4.22）的三个方程可用矢量形式统一表示为上一页下一页返回4.3动量方程式中，压强梯度对于不可压缩流体的流动，需求解的未知数有4个，即u，v，w，p；而运动方程式（4−22）和连续方程式（4−13）也有4个方程，故对于不可压缩流体来说可形成一个封闭的方程组。对绝大多数流动问题还无法求出解析解。将少数情形的精确解和实验测量结果相比，其结果是完全符合的。这里还需指出，在求解某一具体流动问题时，除了要应用式（4−22）和式（4−13）外，还需给出具体的流动问题的初始条件和边界条件。上一页下一页返回4.3动量方程对于无黏性流体，μ=0，故式（4−22）可简化为但方程式（4−22）是非线性的二阶偏微分方程，目前只在极少数情形下可以得到精确解，而上一页下一页返回4.3动量方程写成矢量形式，则为式（4−24）或式（4−25）即为无黏性流体的动量微分方程，称为欧拉方程，可压缩流动和不可压缩流动的欧拉方程在形式上是相同的，只要忽略流体黏性即可。上一页返回4.4能量方程流体在运动过程中，如果热效应不能忽略，或者流体与固体间存在热与功的交换，则运动流体不仅要满足连续性方程和运动方程，还要满足能量方程。4.4.1积分形式的能量方程参照图4−1所示的控制体τ，设微元体积dτ内单位质量流体所具有的能量式中，返回下一页4.4能量方程e为热力学内能，为动能。则在t时刻，τ内流体所具有的总能量E有下列表达式。ΣQh包括辐射热和传导热，可写成上一页下一页返回4.4能量方程

式中，q是由于热辐射或流动伴随的燃烧、化学反应等在单位时间内传给τ内单位质量流体的热量，也称为热源项；右边第二项是由于越过面A的热传导传给τ内流体的热量，以流体吸热为正，它遵循傅里叶热传导定律式，n是面A的外法线方向单位矢量，k为流体的导热系数。ΣN是单位时间内由外力对τ内流体所做的功。如果控制体τ内没有其他物体，则ΣN仅包括体积力f和表面力pn所做的功，可表示为上一页下一页返回4.4能量方程

把式（4−27）、式（4−28）和式（4−29）代入式（4−26），可得这就是积分形式的能量方程，与积分形式的连续方程和动量方程一样，并不要求所有流体物理量在控制体τ内连续。上一页下一页返回4.4能量方程

4.4.2微分形式的能量方程与前面相同，微分形式能量方程的建立可以采用微元控制体分析法或有限体积控制体分析法，只要在τ内流体物理量的分布函数连续可微，两者就殊途同归。为简单起见，这里只用有限控制体分析法。1.能量方程的一般表达式体积分的随体导数可表示为上一页下一页返回4.4能量方程

由于pn

=n·P，则由奥高公式得到从而，可把式（4−30）改写为根据被积函数的连续性和控制体τ选取的任意性，得到运动流体中最一般的微分形式能量方程上一页下一页返回4.4能量方程

2.动能方程一般的微分形式运动方程式为若此方程两边点乘V，则有上一页下一页返回4.4能量方程

这个方程称为运动流体中的一般动能方程，它与运动方程式（4-32）等价，因而不独立。3.内能方程把式（4-31）与式（4-33）两边分别相减，可得到根据应力张量P和应变张量E的矢量并积表达式和关于张量的基本运算分式，可以演算得到上一页下一页返回4.4能量方程

代入式（4−34）得到这就是对任何流体的任意运动都适用的用内能表示的能量方程，简称内能方程。上一页返回4.5流体的热力学状态方程4.5.1流体的热动平衡假设在热力学中，一般把所研究的物体（无论是气体、液体或固体）称为热力学系统或简称为系统，这个系统的概念与4.1节中所述流体系统的概念是一致的。系统可大可小，在连续介质的假设下，流体中最小的热力学系统就是流体质点。系统的情况或外貌称为状态。表征一个流体质点热力学状态的参量有很多，在前面的基本方程已出现或提到过的如压力、温度、密度、内能、焓、熵，甚至动力黏度和导热系数等都是热力学参量。其中最基本的状态参量是三个：密度ρ（或比体积v）、压强p和温度T。下一页返回4.5流体的热力学状态方程

对于一个确定的系统，如果没有外界环境的影响，无论时间多长，其表征热力学状态的参量各有一固定的值，则这个状态称为平衡态。或者说，这个系统的热力学特征达到均匀状态，并且不随时间发生变化。在平衡态下，所有热力学参量中只有两个是独立变量。换言之，给定任意两个热力学参量的值就对应于一个热力学的平衡状态。热力学所研究的系统是不考虑系统整体机械运动的，因此，它所揭示的规律，确切地说，是“热静力学”。对于运动的流体，其热力学参量（如温度、密度、压强等）经常会出现不均匀分布，也会随时间不断地发生变化。因此，运动流体的热力学状态一般不是严格的平衡态，热力学过程也不会是可逆过程。上一页下一页返回4.5流体的热力学状态方程

但幸运的是，大量实践都表明，在连续介质假设下，对大多数流动问题（即使是超声速的流动）而言，其流场中每一瞬间每一点上的热力学状态仍无限接近平衡态，这是因为每一个流体质点内仍包含足够多的分子，它们的热运动和相应碰撞很快（1×10-6秒），可使质点内的热力学参量均匀且有确定的值。这就是流体的热动平衡假设。在流体的连续介质和热动平衡假设下，流场中任一时刻任一点上，表征热力学状态的各参量均有唯一的定值，且只有两个热力学参量是独立变量。在1.2节中讨论流体的可压缩性时已用过这个假设的结果。上一页下一页返回4.5流体的热力学状态方程

4.5.2流体的状态方程从热力学的角度看，前面得到的基本方程的一般形式，如式（4−11）、式（4−23）等，既适用于平衡态系统，也适用于非平衡态系统，只要能给出各自的状态方程即可。在本书中，只给出平衡态的状态方程。1.状态方程的一般形式只要选择两个热力学量作为独立变量，把其余热力学参量都写成这两个变量的函数关系，即为状态方程的一般形式。2.液体的状态方程上一页下一页返回4.5流体的热力学状态方程

一般情况下，液体的ρ=常数，内能e=c

V

T，且cV≈cp=常数。cV，cp分别为比定容热容与比定压热容。3.气体的状态方程在常温常压下（如压强不大于20MPa，温度不低于253K），一般气体如空气、蒸汽、燃气及各种工业气体，都可以近似地认为是完全气体。所谓完全气体是指满足克拉珀龙（Clapeyron）状态方程且比热容为常数的气体。不要将其与理想气体混淆。在流体力学中，理想气体是指忽略黏性的气体，而完全气体是可以有黏性的。克拉珀龙状态方程一般写成上一页下一页返回4.5流体的热力学状态方程

式中，R称为气体常数，不同的气体R值不同，可按下式计算：式中，R0=8314J/（kmol·K）称为普适气体常数，M为某种气体的摩尔质量（克分子量）。当流体处于高压或超低温状态时，应该使用更精确的状态方程。上一页下一页返回4.5流体的热力学状态方程

4.5.3常比热容完全气体的热力学关系式为了便于在气体的运动方程和能量方程中进行热力学之间的转换和应用，特将常用的完全气体的热力学关系罗列如下。上一页下一页返回4.5流体的热力学状态方程

比定压热容、比定容热容及相互关系γ称为比热比或绝热指数。热力学第一定律的另一种表达式：上一页下一页返回4.5流体的热力学状态方程

4.5.4正压流体与斜压流体这是从流体的状态方程角度对流体进行的一种分类。如前所述，在一般情况下，ρ=ρ(p,T)，这种流体称为斜压流体。若ρ=ρ(p)，即密度只是压强的函数时，这种流体称为正压流体。广义地说，正压流体是一种力学特征与热力学特征无关的流体，正压流体运动速度的求解不需要用能量方程，而且动力黏性μ=常数。对于作为完全气体处理的气体运动，在一些特定条件下，可使状态方程简化，例如：①不可压缩流动，ρ=常数；②等温流动，p=Cρ；③绝热流动，p=Cργ。式中，C为常数，γ为比热比。上一页下一页返回4.5流体的热力学状态方程

在这些情况下，流体压力只与密度有关，而与温度无关，因此，它们都是正压流体，把它们的运动流场称为正压流场。除了使基本方程组简化外，流体力学中有一些重要定理的证明，例如伯努利（Bernoulli）定理、涡旋运动的开尔文（Kelvin）定理等，经常需要假设流体满足正压条件。上一页返回4.6流体动力学基本方程组的封闭性及定解条件4.6.1流体力学分析方法的一般过程用微分形式的基本方程组去解决实际流动问题，即流体力学的主要分析方法，大致包括以下四个步骤：①对已发现或提出的实际流动问题，经过分析，抓住主要特征或主要矛盾，抽象为流体力学模型。这是因为，迄今为止尚未找到对任何流体运动都适用的微分方程组，现在能给出的微分方程组针对的都是在一定假设条件下的分块模型，包括介质模型与运动模型等。无论是在科学研究中还是在工程实际的应用中，建立流体力学模型这一步是最重要也是最困难的，需要不断地实践和总结才能使建立的流体力学模型既正确又简单。②根据已建立的流体力学模型来建立数学模型，也就是给出相应的微分方程组。下一页返回

4.6流体动力学基本方程组的封闭性及定解条件

为了能够求解，在给出基本方程组的同时要检查其封闭性并给出恰当的定解条件，包括初始条件和边界条件。检查封闭性是为了保证解的存在，给出恰当的定解条件是为了保证解的唯一性。③采用有效方法求解基本方程组，包括解析解法和数值解法或近似解法。④求解结果的分析与讨论。对于由解析解或数值解得到的结果经常需要与实验或实验结果作比较，如果两者偏差较大而又坚信实验或实验结果是正确的，则要从检查或修改流体力学模型入手重复以上步骤。4.6.2流体力学的理论模型在前面的章节中已陆续提到流体力学中的理论模型，包括介质模型和运动模型。为了便于正确地利用这些模型，特将本书中涉及的模型做简单汇总，其中包括后面将出现的部分模型。上一页下一页返回

4.6流体动力学基本方程组的封闭性及定解条件

1.介质模型总前提是单相的连续介质。上一页下一页返回

4.6流体动力学基本方程组的封闭性及定解条件

2.运动模型上一页下一页返回

4.6流体动力学基本方程组的封闭性及定解条件

4.6.3初始条件与边界条件为了使微分形式的基本方程组在封闭的前提下有确定的解，还必须给出恰当的定解条件——始条件及边界条件。所谓“恰当”，一是要物理上正确；二是要使定解条件的个数正好与待定积分常数的个数相等。由于流体运动问题的复杂性与多样性，描述流体运动的基本微分方程通常是一组拟线性的偏微分方程组，而且可能包含椭圆型、双曲型、抛物型及其混合型的全部类型，因此，要给出普遍适用的定解条件是不可能的。在这里，只是一般性地讨论定解条件，在以后的有关章节中，再结合具体问题给出特定的定解条件。上一页下一页返回

4.6流体动力学基本方程组的封闭性及定解条件

1.初始条件初始条件是指在某个确定的时刻（例如t=t0），给定所求解流场中每一点上的流动状态。由于在流体力学方程组中，只出现对时间的一阶偏导数，因此，只要给出初始时刻所求每个物理量的初始分布即可。例如给定t=t0时，则有当流动定常时，不需要初始条件。上一页下一页返回

4.6流体动力学基本方程组的封闭性及定解条件

2.边界条件所谓边界条件是指任一时刻，运动流体在所占据空间的边界上必须满足的条件。不同类的偏微分方程组，其边界条件有不同的提法。从流动物理量的角度来说，边界条件的提法主要有两种：一种是在边界上给出与力有关的条件，称为动力学边界条件；另一种是在边界上给出与速度有关的条件，称为运动学边界条件。下面按流体力学问题中常见的流场边界作一般性讨论。1）流—固界面上的边界条件假定流体不能穿过固