雨课堂学堂在线学堂云《简明线性代数（清华）》单元测试考核答案

第1题在下面的式子中哪些是自由未知量：{x1=−x4+2x2=2x3=−x4+1A.x1B.x2C.x3D.x4ABCD第1题下面哪些矩阵是阶梯型矩阵：A.[1000]B.[150102001]C.[018010]D.[180001]ABCD第2题二、下面哪些矩阵是阶梯型矩阵：A.[1000]B.[150002001]C.[018001]D.[180001]ABCD正确答案：AC第3题三、下面方程组有解：{2x1−3x2+x3+5x4=6−3x1+x2+2x3−4x4=5−x1−2x2+3x3+x4=−2A正确B错误第4题四、当a为何值时，下述线性方程组有解？{x1−4x2+2x3=−1−x1+11x2−x3=33x1−5x2+7x3=aA.−1B.0C.1D.2ABCD第5题五、下述线性方程组有多少个解？{x+y=1x−3y=−110x−4y=3A.无解B.一个C.二个D.无数个ABCD第6题六、a为何值时下述方程组无解？{x1+x2+x3=3x1+2x2−ax3=92x1−x2+3x3=6A.23B.1C.−23D.−1ABCD第7题七、a为何值时下述方程组有无穷组解？{2x1+ax2−x3=1ax1−x2+x3=24x1+5x2−5x3=−1A.45B.−45C.1D.不等于1且不等于−45的任何数ABCD第1章线性方程组--1-4齐次线性方程组第1题一、齐次线性方程组一定有解。A正确B错误第2题二、齐次线性方程组的解的情况可能有：A.无解B.有唯一解C.恰有两个解D.有无穷多解ABCD正确答案：BD第3题有四个方程的五元齐次线性方程组的解的情况为：A.无解B.有唯一解C.恰有两个解D.有无穷多解ABCD第4题七、a取何值时方程组有非零解？其中n≥2{(1+a)x1+x2+⋯+xn=02x1+(2+a)x2+⋯+2xn=0⋮nx1+nx2+⋯+(n+a)xn=0A.0B.只要不为0C.n(n+1)2D.−n(n+1)2ABCD正确答案：AD第2章行列式--2-1二阶、三阶行列式的性质第1题十、行列式|abcbcacab|=____A.abc−a3−b3−c3B.abc+a3+b3+c3C.3abc−a3−b3−c3D.3abc+a3+b3+c3ABCD第2章行列式--2-2n元排列第1题四、排列i+1,i+2,⋯,n,1,2,⋯,i的逆序数是____A.12i(n−i)B.12n(n−i)C.i(n−i)D.n(n−i)ABCD第2题二、排列n,n−1,⋯,2,1的逆序数是____A.n(n−1)B.12n(n−1)C.n(n+1)D.12n(n+1)ABCD第3题三、排列1,3,5,⋯,(2n−1),2,4,6,⋯,2n的逆序数是____A.12n(n−1)B.12n(2n−1)C.n(2n−1)D.n(n−1)ABCD第2章行列式--2-3n阶行列式的定义第1题五、计算行列式|a00b0ab00ba0b00a|=____A.a4−b4B.(a2−b2)2C.b4−a4D.a2b2ABCD第2题六、计算行列式|−a−4000−a−4000−a−4400−a|=____A.a4−4B.a4+4C.a4−256D.a4+256ABCD第2章行列式--2-4行列式的性质第1题一、设A=|a1b1c1a2b2c2a3b3c3|，B=|a1b1+d1c1a2b2+d2c2a3b3+d3c3|，P=B−A，则下面等式正确的是____A.P=|0b100b200b30|B.P=|0d100d200d30|C.P=|a1b1c1a2b2c2a3b3c3|D.P=|a1d1c1a2d2c2a3d3c3|ABCD第2题五、计算行列式|1+x11111−x11111+y11111−y|=____A.x2+y2B.(x2+y2)2C.x2y2D.(x2−y2)2ABCD第2章行列式--2-5行列式的计算1-利用性质第1题七、计算行列式|a100b10a2b200b3a30b400a4|=____A.a1a2a3a4−b1b2b3b4B.a1a2a3a4+b1b2b3b4C.(a1a2−b1b2)(a3a4−b3b4)D.(a2a3−b2b3)(a1a4−b1b4)ABCD第2章行列式--2-6行列式的展开公式第1题五、下面n阶行列式A中展开式为正的项的个数为____A=|1−1−1⋯−111−1⋯−1111⋯−1⋮⋮⋮⋱⋮111⋯1|A.2n−2+12n!B.2n−1+12n!C.2n−2+n!D.2n−1+n!ABCD第2题下面哪个是n阶实行列式非零的充分条件____A.行列式中所有元素非零B.行列式中至少有n个元素非零C.行列式中任意两行元素之间不成比例D.非零行的各元素的代数余子式与对应元素相等ABCD第2章行列式--2-7行列式的计算2-综合第1题六、计算行列式|a2(a+1)2+1(a+2)2b2(b+1)2+1(b+2)2c2(c+1)2+1(c+2)2|=____A.a2b2c2B.0C.(a+1)2(b+1)2(c+1)2D.(a2+1)(b2+1)(c2+1)ABCD第2题七、计算行列式|a1−b1a1−b2a1−b3a2−b1a2−b2a2−b3a3−b1a3−b2a3−b3|=____A.∏i=13∏j=13(ai−bj)B.−∏i=13∏j=13(ai−bj)C.(a1+a2+a3)(b1+b2+b3)D.0ABCD第3题八、计算行列式|1+x1y11+x1y21+x1y31+x1y41+x2y11+x2y21+x2y31+x2y41+x3y11+x3y21+x3y31+x3y41+x4y11+x4y21+x4y31+x4y4|=____A.0B.∏i=14∏j=14(1+xiyj)C.1+∏i=14∏j=14xiyjD.∏i=14∏j=14(1+xi)(1+yj)ABCD第4题九、计算行列式|0y0xx0y00x0yy0x0|=____A.(x2−y2)2B.−(x2−y2)2C.(x2+y2)2D.0ABCD第2章行列式--2-8Cramer法则第1题下列哪个是n阶行列式等于零的必要条件____A.行列式中有两行(或列)元素对应成比例B.行列式中有一行(或列)元素均为零C.行列式中各列元素之和为零D.以该行列式为系数的齐次线性方程组有非零解ABCD第3章矩阵--3-1矩阵及其线性运算第1题一、设线性方程组由n个未知数和m个方程构成，则它的系数矩阵的规格是____A.m行n列B.n行m列C.m行n+1列D.n+1行m列ABCD第2题二、下列矩阵中是方阵的是____A.[12]B.[1234]C.[12]D.[123]ABCD第3题三、下列矩阵中是上三角矩阵的是____A.[123045106]B.[123145016]C.[123045006]D.[100230456]ABCD第4题四、下列矩阵中是对角矩阵的是____A.[101020003]B.[100020103]C.[001020300]D.[100020003]ABCD第5题五、下列矩阵中是同型矩阵的是____A.[1221]与[212121]B.[12]与[21]C.[121212]与[212121]D.[12]与[212]ABCD第6题六、[12−30]+[2−201]=____A.[30−31]B.[3031]C.[30−3−1]D.[−30−31]ABCD第7题七、3[120−4]=____A.[332012]B.[3320−12]C.[3−320−12]D.[−3320−12]ABCD第8题八、[123401−103415]−12[240202424280]=____A.[0033003−113−35]B.[003300−3113−35]C.[003300−3−11335]D.[003300−3−113−35]ABCD第9题九、2[1234−12]−3[13100−1−2]=____A.[1186152]B.[1118652]C.[1168152]D.[1861152]ABCD第10题十、设A=[1302−21],B=[1−1−202−1]，若4(X−A)+B=2(X+B)−3A，则X=____A.[111100]B.[11−1100]C.[1−1−1100]D.[11−1101]ABCD第3章矩阵--3-2矩阵的乘法第1题十、设A=[12x−1],B=[1y10]，若AB=BA，则(x,y)=____A.(1,2)B.(2,1)C.(1,1)D.(2,2)ABCD第2题一、下列矩阵可乘的是____A.[12]和[123]B.[12]和[1221]C.[1221]和[12]D.[123]和[12]ABCD第3题二、设A=(aij)r×n,B=(bij)m×r，则BA的(i,j)元素为____A.∑k=1rakibjkB.∑k=1raikbkjC.∑k=1rakjbikD.∑k=1rajkbkiABCD第4题三、[2001][−11−20]=____A.[−2−220]B.[02−2−2]C.[−22−20]D.[−20−22]ABCD第5题四、[1201−11][13011−1]=____A.[1251]B.[2511]C.[1125]D.[1521]ABCD第6题五、[01−13−1210][11−143012]=____A.[7100−1]B.[−11007]C.[−10107]D.[−17010]ABCD第7题六、[21−2104−310011][310001−120]=____A.[8−21−190−9−31−121]B.[8−21−120−9−31−191]C.[8−21−191−9−30−121]D.[8−21190−9−31121]ABCD第8题七、[12−1−210103][331−124]=____A.[3−3−57915]B.[3−3−5−7915]C.[33−5−7915]D.[3−35−7915]ABCD第9题八、[130−2−11][13−100−1212401]=____A.[10350−100]B.[−10530100]C.[10530−100]D.[10530100]ABCD第10题九、与[1101]可交换的矩阵是____A.[1202]B.[2201]C.[1211]D.[1201]ABCD第3章矩阵--3-3矩阵的其他运算第1题一、设A=[1b01]，则An等于A.[1nb01]B.[1bn01]C.[nb01]D.[1b0n]ABCD第2题二、设A,B∈Mn(R)，则(A+B)2=____A.A2+2AB+B2B.A2+AB+BA+B2C.A2+2BA+B2D.A2+B2ABCD第3题三、设A,B∈Mn(R)，则(AB)2=____A.A2B2B.B2A2C.ABABD.BABAABCD第4题四、设A,B∈Mn(R)，则(A−B)2=____A.A2−2AB+B2B.A2−2BA+B2C.A2−B2D.(B−A)2ABCD第5题五、上三角矩阵的乘积是上三角矩阵A正确B错误第6题六、对角矩阵的乘积是对角矩阵A正确B错误第7题七、对称矩阵的乘积是对称矩阵A正确B错误第8题八、反对称矩阵的乘积是反对称矩阵A正确B错误第9题九、若AAT=0，则A=0A正确B错误第10题十、det(A+B)=det(A)+det(B)A正确B错误第3章矩阵--3-4分块矩阵第1题一、[ABCD]T=____A.[ATCTBTDT]B.[ATBTCTDT]C.[ACBD]D.[ATCBDT]ABCD第2题二、分块矩阵[A00B][C00D]可乘的必要条件是____A.A的列数等于C的列数B.A的列数等于C的行数C.A的行数等于C的列数D.A的行数等于C的行数ABCD第3题三、[0II0]2=____A.0B.[02I2I0]C.ID.−IABCD第4题四、A,B为n阶方阵，则[A+BBAA−B][A−BABA+B]=____A.[A2−AB+BAA2+2BA+B2(A+B)(A−B)2A2−BA+AB−B2]B.[A2−AB+BA(A+B)2A2−B22A2−BA+AB−B2]C.[A2A2+2BA+B2A2−B22A2−BA+AB−B2]D.[A2−AB+BAA2+2BA+B2A2−B22A2−BA+AB−B2]ABCD第5题五、分块矩阵乘法的结果与普通矩阵乘法的结果一致A正确B错误第6题六、分块对角阵的乘积是分块对角阵A正确B错误第7题七、A,B为n阶方阵，则det[A00B]=detA⋅detBA正确B错误第8题八、A,B,C为n阶方阵，则det[AC0B]=detA⋅detBA正确B错误第9题九、A,B,C,D为n阶方阵，则det[ACDB]=det(AB−CD)A正确B错误第10题十、A,B,C,D为n阶方阵，则det[ACDB]=det(AB−DC)A正确B错误第3章矩阵--3-5初等矩阵第1题一、初等矩阵是指____A.单位矩阵做一次初等变换后得到的矩阵B.单位矩阵做若干次初等变换后得到的矩阵C.方阵做一次初等变换后得到的矩阵D.方阵做若干次初等变换后得到的矩阵ABCD第2题二、左乘对换矩阵的作用是____A.将矩阵的两列对换B.将矩阵的两行对换C.将矩阵的一列变为0D.将矩阵的一行变为0ABCD第3题三、右乘倍乘矩阵的作用是____A.将矩阵的一列变为0B.将矩阵的一行变为0C.将矩阵的一列统一乘上一个非0实数D.将矩阵的一行统一乘上一个非0实数ABCD第4题四、倍加矩阵的行列式____A.可以是任意实数B.可以是任意非零实数C.一定是0D.一定是1ABCD第5题五、[0110][abcd]=____A.[cdab]B.[cadb]C.[bdac]D.[cbad]ABCD第6题六、[abcd][1002]=____A.[2ab2cd]B.[a2bc2d]C.[2a2bcd]D.[ab2c2d]ABCD第7题七、[1021][abcd]=____A.[a+2cb+2dcd]B.[a+2bbc+2dd]C.[ab2a+c2b+d]D.[a2a+bc2c+d]ABCD第8题八、[ABCD][I0PI]=____A.[PA+BBPC+DD]B.[AP+BBCP+DD]C.[A+PBBC+PDD]D.[A+BPBC+DPD]ABCD第9题九、乘以初等矩阵和对矩阵做初等变换是等价的A正确B错误第10题十、分块初等矩阵是对初等矩阵进行分块得到的A正确B错误第3章矩阵--3-6逆矩阵及矩阵可逆条件第1题二、k为非零实数，A为可逆阵，则det(kA)−1=____A.kndetAB.k−ndetAC.k−ndetAD.kndetAABCD第2题三、(A∗)∗=____A.(detA)nAB.(detA)n−1AC.(detA)n−2AD.AABCD第3题四、detA∗=____A.(detA)−1B.(detA)−nC.(detA)nD.(detA)n−1ABCD第4题五、消去律AB=AC⇒B=C在A为可逆阵时成立A正确B错误第5题六、初等矩阵都是可逆矩阵A正确B错误第6题七、(A+B)−1=A−1+B−1A正确B错误第7题八、满足方程A2−A−3I=0的矩阵A一定使得A−2I可逆A正确B错误第8题九、满足方程A2=A的矩阵A一定使得A+I不可逆A正确B错误第9题十、满足方程Am=0的矩阵A一定使得I−A可逆A正确B错误第10题一、A,B为可逆阵，则[AB]−1=____A.[A−1B−1]B.[A−1A−1B−1]C.[A−1B−1B−1]D.[B−1A−1]ABCD第3章矩阵--3-7逆矩阵的求法第1题一、设A=[21−21222−21]，则9A−1=____A.[212122−221]B.[21212−2−221]C.[21212−2221]D.[212122221]ABCD第2题二、设A=[12021−1311]，则8A−1=____A.[2225−1−11−53]B.[−2225111−53]C.[−2225−1−11−53]D.[−2225−1−1153]ABCD第3题三、设A=[12−1310−10−2]，则9A−1=____A.[2416−3−312−5]B.[−2416331−2−5]C.[−2416−3−31−25]D.[−2416−3−31−2−5]ABCD第4题四、设A=[2−100−3200003−400−23]，则A−1=____A.[2300120000340023]B.[2100320000320043]C.[2100320000340023]D.[2300120000320043]ABCD第5题五、设A=[0012002121001300]，则15A−1=____A.[009−300−3−6−5100010500]B.[009−300−36−5100010−500]C.[00930036−5100010−500]D.[009300365100010500]ABCD第6题六、设A=[1−204−2−2−312],B=[−14251−3]，则AX=B的解X=____A.[704−29−12]B.[70429−12]C.[704−2912]D.[7042912]ABCD第7题七、设2A−1B=B−4I,B=[1−20120002]，则A=____A.[020−1−1000−2]B.[0201−1000−2]C.[020−11000−2]D.[020−1−10002]ABCD第8题八、设A=[0−1010000−1],B=P−1AP，其中P为可逆阵，则(B2016−2A2)−1=____A.[13131]B.[1313−1]C.[33−1]D.[−3−3−1]ABCD第9题九、[A11A120A22]−1=____A.[A22−1−A11−1A12A22−10A11−1]B.[A11−1A11−1A12A22−10A22−1]C.[A11−1−A11−1A12A22−10A22−1]D.[A11−1−A22−1A21A11−10A22−1]ABCD第10题十、设A2−2A+5I=0，则A−1=____A.A−5I2B.5I−A2C.A−2I5D.2I−A5ABCD第4章向量空间--4-1n维向量空间第1题二、设α→=(3,−1),β→=(−1,2)，则向量x→=(1,3)____A.可由α→,β→线性表出，且表出唯一B.可由α→,β→线性表出，表出不唯一C.不可由α→,β→线性表出D.以上都不对ABCD第2题三、设α→=(1,2,0),β→=(−1,0,2),γ→=(0,1,1)，则向量x→=(1,1,3)____A.可由α→,β→,γ→线性表出，且表出唯一B.可由α→,β→,γ→线性表出，表出不唯一C.不可由α→,β→,γ→线性表出D.以上都不对ABCD第3题四、设α→=(4,1,−2),β→=(6,3,3),γ→=(0,1,4)，则向量x→=(1,−6,−5)____A.可由α→,β→,γ→线性表出，且表出唯一B.可由α→,β→,γ→线性表出，表出不唯一C.不可由α→,β→,γ→线性表出D.以上都不对ABCD第4题五、在三维空间R3中，一个非零向量生成的子空间L(α→1)对应什么图形？A.线段B.射线C.直线D.平面ABCD第5题六、在三维空间R3中，两个非零向量生成的子空间L(α→1,α→2)对应什么图形？A.射线B.直线C.平面D.直线或平面ABCD第6题七、在三维空间R3中，三个非零向量生成的子空间L(α→1,α→2,α→3)对应什么图形？A.直线B.平面C.整个空间D.以上都有可能ABCD第7题一、判断下列集合W是否为Rn的子空间。W={(x,x,0,0,⋯,0)|x∈R}A正确B错误第8题W={ax→+by→|a,b∈R}A正确B错误第9题W=W1∪W2，其中W1,W2为Rn的子空间A正确B错误第10题W=W1∩W2，其中W1,W2为Rn的子空间A正确B错误第4章向量空间--4-2向量组的线性相关性第1题一、判断下列向量组是否线性无关。1.α→=(0,0,0)A线性无关B线性相关第2题α→1=(0,4),α→2=(−1,7),α→3=(5,3)A线性无关B线性相关第3题α→1=(1,2,4),α→2=(5,−1,3),α→3=(1,0,2)A线性无关B线性相关第4题α→1=(2,−3,6,0,7),α→2=(9,1,−4,5,0),α→3=(0,0,0,0,0),α→4=(1,0,1,3,5)A线性无关B线性相关第5题二、已知α→1,α→2,⋯,α→n线性无关，n为大于等于4的偶数，判断下列向量组的线性相关性。1.α→1,α→1+α→2,⋯,α→1+α→2+⋯+α→nA线性无关B线性相关第6题α→1+α→2,α→2+α→3,⋯,α→n+α→1A线性无关B线性相关第7题五、已知α→1,α→2,⋯,α→n线性无关，{β→1=a11α→1+a12α→2+⋯+a1nα→nβ→2=a21α→1+a22α→2+⋯+a2nα→n⋮β→n=an1α→1+an2α→2+⋯+annα→n，则β→1,β→2,⋯,β→n线性无关当且仅当det(A)≠0，其中A=(aij)A正确B错误第4章向量空间--4-3线性相关性的更多理论第1题一、若向量组中有一部分向量线性无关，则该向量组线性无关A正确B错误第2题二、若向量组中有一部分向量线性相关，则该向量组线性相关A正确B错误第3题三、若向量组线性相关，则把每个向量去掉相同位置的分量，得到的截短向量组仍线性相关A正确B错误第4题四、若向量组线性无关，则把每个向量去掉相同位置的分量，得到的截短向量组仍线性无关A正确B错误第5题五、向量组线性相关当且仅当存在一个向量可由其他向量线性表出且表出唯一A正确B错误第6题六、向量组线性相关当且仅当任意一个向量可由其他向量线性表出A正确B错误第7题七、向量组线性无关当且仅当任意一个向量均不能由其他向量线性表出A正确B错误第8题八、向量组α→1,α→2,⋯,α→s线性相关，则对任意实数k，向量组kα→1,kα→2,⋯,kα→s线性相关A正确B错误第9题九、向量组α→1,α→2,⋯,α→s线性无关，则对任意实数k，向量组kα→1,kα→2,⋯,kα→s线性无关A正确B错误第10题十、向量组α→1,α→2,⋯,α→s线性相关，β→1,β→2,⋯,β→s线性相关，则向量组α→1+β→1,α→2+β→2,⋯,α→s+β→s线性相关A正确B错误第4章向量空间--4-4极大线性无关组第1题一、设α→1=(1,0),α→2=(0,1),β→1=(1,−1),β→2=(2,3),β→3=(4,1)，则向量组α→1,α→2和β→1,β→2,β→3等价A正确B错误第2题二、设向量组α→1,α→2,⋯,α→s可由β→1,β→2,⋯,β→t线性表出，则下列命题中正确的是_____A.若s<t，则α→1,α→2,⋯,α→s线性无关B.若s>t，则α→1,α→2,⋯,α→s线性相关C.若α→1,α→2,⋯,α→s线性无关，则s<tD.若α→1,α→2,⋯,α→s线性相关，则s>tABCD第3题三、设向量组α→1,α→2,⋯,α→s和β→1,β→2,⋯,β→t等价，则下列命题中正确的是_____A.若α→1,α→2,⋯,α→s线性无关，则β→1,β→2,⋯,β→t线性无关B.若α→1,α→2,⋯,α→s线性相关，则β→1,β→2,⋯,β→t线性相关C.向量组α→1,α→2,⋯,α→s,β→1,β→2,⋯,β→t线性相关D.以上都不对ABCD第4题四、下列命题中不正确的是_____A.若向量组α→1,α→2,⋯,α→s有极大线性无关组，则该向量组中一定有非零向量B.若向量组α→1,α→2,⋯,α→s有极大线性无关组，则其极大线性无关组一定是唯一的C.若向量组α→1,α→2,⋯,α→s有极大线性无关组，则它与它的极大线性无关组等价D.若向量组α→1,α→2,⋯,α→s有极大线性无关组，则它的任意两个极大线性无关组等价ABCD第5题五、向量组α→1,α→2,⋯,α→s，α→k1,α→k2,⋯,α→km是它的部分组，则下列命题中不正确的是_____A.若α→1,α→2,⋯,α→s中任意一个向量都可由α→k1,α→k2,⋯,α→km线性表出，则α→k1,α→k2,⋯,α→km是α→1,α→2,⋯,α→s的极大线性无关组B.若α→k1,α→k2,⋯,α→km是α→1,α→2,⋯,α→s的极大线性无关组，则α→1,α→2,⋯,α→s中任意一个向量都可以由α→k1,α→k2,⋯,α→km线性表出C.若α→k1,α→k2,⋯,α→km是α→1,α→2,⋯,α→s的极大线性无关组，则α→1,α→2,⋯,α→s中任意一个向量都可以由α→k1,α→k2,⋯,α→km唯一的线性表出D.以上不都对ABCD第6题六、下列命题中正确的是_____A.矩阵A经过初等变换化为矩阵B，则A与B的列向量组的任何对应部分组有相同的线性相关性B.矩阵A经过初等变换化为矩阵B，则A与B的行向量组的任何对应部分组有相同的线性相关性C.矩阵A经过初等行变换化为矩阵B，则A与B的列向量组的任何对应部分组有相同的线性相关性D.矩阵A经过初等列变换化为矩阵B，则A与B的列向量组的任何对应部分组有相同的线性相关性ABCD第4章向量空间--4-5向量组的秩第1题四、下列命题中正确的是____A.若两个向量组等价，则它们的秩相同B.若两个向量组秩相同，则它们等价C.两个向量组等价当且仅当它们的秩相同D.以上都不对ABCD第2题五、设V是Rn的子空间，α→1,α→2,⋯,α→s是V的一组基，则下列命题中不正确的是____A.s=dim⁡VB.V中任一向量均可由α→1,α→2,⋯,α→s唯一的线性表出C.α→1,α→2,⋯,α→s是V中唯一的一组基D.以上不都对ABCD第3题六、下列命题中不正确的是____A.矩阵的行空间的维数等于行向量组的秩B.矩阵的行向量组的极大线性无关组是矩阵的行空间的基C.矩阵的行向量组的极大线性无关组的向量个数等于矩阵的行数D.以上不都对ABCD第4题一、向量组α→1,α→2,⋯,α→s的秩为r，α→k1,α→k2,⋯,α→km是它的部分组，则下列命题中正确的是____A.若α→k1,α→k2,⋯,α→km线性无关，则m=rB.若m=r，则α→k1,α→k2,⋯,α→km线性无关C.若α→k1,α→k2,⋯,α→km线性相关，则m=rD.以上都不对ABCD第5题二、向量组α→1,α→2,⋯,α→s，α→k1,α→k2,⋯,α→km是它的部分组，则下列命题中正确的是____A.若α→k1,α→k2,⋯,α→km是α→1,α→2,⋯,α→s的极大无关组，则α→k1,α→k2,⋯,α→km,β→是α→1,α→2,⋯,α→s,β→的极大无关组B.若α→k1,α→k2,⋯,α→km,β→是α→1,α→2,⋯,α→s,β→的极大无关组，则α→k1,α→k2,⋯,α→km是α→1,α→2,⋯,α→s的极大无关组C.若α→k1,α→k2,⋯,α→km是α→1,α→2,⋯,α→s的极大无关组，β→与α→k1,α→k2,⋯,α→km线性相关，则α→k1,α→k2,⋯,α→km是α→1,α→2,⋯,α→s,β→的极大无关组D.以上都不对ABCD第6题三、设向量组α→1,α→2,⋯,α→s可由β→1,β→2,⋯,β→t线性表出，r1=r(α→1,α→2,⋯,α→s)，r2=r(β→1,β→2,⋯,β→t)，则____A.r1<r2B.r1=r2C.r1≤r2D.以上都不对ABCD第4章向量空间--4-6矩阵的秩第1题一、下列命题中正确的是____A.若矩阵A的所有k阶子式均为0，则A的所有k−1阶子式也为0B.若矩阵A的所有k阶子式均不为0，则A的所有k−1阶子式也不为0C.若矩阵A的所有k阶子式均为0，则A的所有k+1阶子式也为0D.若矩阵A的所有k阶子式均不为0，则A的所有k+1阶子式也不为0ABCD第2题二、下列命题中正确的是____A.若矩阵A有一个k阶子式为0，则其所有的k阶子式均为0B.若矩阵A有一个k阶子式不为0，则其所有的k阶子式均不为0C.矩阵A的所有k阶子式可能有一部分为0，有一部分不为0D.以上都不对ABCD第3题三、设A是n阶方阵，I是n阶单位阵，则下列命题中不正确的是____A.r(A)=r(AT)B.r(A)=r(A+I)C.r(A)=r(−A)D.以上都对ABCD第4题四、设A是n阶方阵，k是实数，则det(kA)=____A.detAB.k⋅detAC.kn⋅detAD.以上都不对ABCD第5题五、设A是n阶方阵，k是实数，则r(kA)=____A.r(A)B.k⋅r(A)C.kn⋅r(A)D.以上都不对ABCD第6题六、对矩阵A进行如下操作，使A的秩保持不变的是____A.将A的第i行与第j行对换B.左乘可逆矩阵PC.将A的第i列的k倍加到第j列上D.以上都对ABCD第4章向量空间--4-7矩阵秩的运算律与相关结论第1题一、A是n阶可逆阵，B是n阶方阵，则下列命题正确的是____A.r(A)=r(A−1)B.r(AB)=r(A)C.r(A+B)=r(B)D.以上都不对ABCD第2题二、A,B是n阶方阵，则r(AB)=r(A)当且仅当____A.A是可逆阵B.B是可逆阵C.A,B均是可逆阵D.以上都不对ABCD第3题三、A,B为n阶方阵，则r(AB)≥____A.r(A)+r(B)B.max(r(A),r(B))C.r(A)+r(B)−nD.以上都不对ABCD第4题三、A,B,C为n阶方阵，则r(A0CB)≥____A.r(A00B)B.r(A)+r(B)C.r(A|B)D.以上都对ABCD第5题四、A,B,C为n阶方阵，则r(A|B)≥____A.r(A00B)B.r(A0CB)C.r(AB)D.以上都不对ABCD第6题五、r(A|B)=r(A)，则____A.B的列向量可由A的列向量线性表出B.A的列向量可由B的列向量线性表出C.r(A)≤r(B)D.以上都不对ABCD第7题六、A是n阶方阵，r(A)=n−1，则r(A∗)=____A.nB.1C.0D.以上都不对ABCD第8题七、A=[101101−122−2a3]，则A的秩____A.等于1B.等于2C.等于3D.在a取不同的值时可以不同ABCD第5章线性方程组的解理论--5-1齐次线性方程组的解理论第1题思考题：体会自由变量的作用：自由变量个数是否固定为t；是否任意t个变量都能是自由变量。对于下列四元方程组：{x1+x2−x4=0x3+3x4=0我们记S={x1,x2,x3,x4}是变量的集合，U,V是S的一个非平凡的划分，即U∪V=S,U∩V=∅,U≠∅,V≠∅。我们称U使方程有解，如果对U中的变量任意取定实数值，都能使V中的变量可以取实数值，使得此时变量集S取的值适合方程。我们称U使方程解唯一，如果对U中的变量任意取定实数值，都能使V中的变量至多只有一种取法适合方程（可能无解），也即对U的任意取值，V若能取值适合方程，则只有一种取法。例：设U={x1}，x1取任意实数值t，有解(t,−t,0,0)T，故U使方程有解；(t,0,−3t,−t)T也是该方程的解，从而U不使方程解唯一。以下说法正确的是____A.只要|U|=1，就有U使方程有解B.存在一个U，|U|=1，U使方程有解C.只要|U|=1，就有U使方程解唯一D.存在一个U，|U|=1，U使方程解唯一ABCD正确答案：AB第2题（接上题）以下说法正确的是____A.只要|U|=2，就有U使方程有解B.存在一个U，|U|=2，U使方程有解C.只要|U|=2，就有U使方程解唯一D.存在一个U，|U|=2，U使方程解唯一ABCD正确答案：BD第3题（接上题）以下说法正确的是____A.只要|U|=3，就有U使方程有解B.存在一个U，|U|=3，U使方程有解C.只要|U|=3，就有U使方程解唯一D.存在一个U，|U|=3，U使方程解唯一ABCD正确答案：CD第4题（接上题）下列说法正确的是____A.U是视频中提到的主变量，V是视频中提到的自由变量B.U是视频中提到的自由变量，V是视频中提到的主变量C.以上都不对ABC第5章线性方程组的解理论--5-2非齐次线性方程组的解理论第1题当λ,μ取何值时，下列方程组有无穷多组解{x1+x2+x3+x4=1x1+x2+λx3+x4=1x1+λx2+x3+x4=1λx1+x2+x3+x4=μA.λ=1,μ=1B.λ=−1,μ=1C.λ=1,μ=−1D.λ=−1,μ=−1ABCD第2题（接上题）将三维空间R3视为三维列向量空间，a→,b→,c→∈R3，记是由仿射生成的Γ={d→|d→是由a→,b→,c→仿射生成的}，则Γ可能是一个____A.点B.过原点的直线C.不过原点的直线D.椭圆E.过原点的平面F.不过原点的平面G.球面H.抛物面ABCDEFGH正确答案：ABCEF第3题思考题：我们称列向量c→是由一组列向量{a→1,a→2,⋯,a→s}仿射生成的，如果存在一组实数{u1,u2,⋯,us}满足{∑i=1sui=1∑i=1suia→i=c→对于非齐次线性方程组Ax→=b→，A是一个3×5阶矩阵，秩为2；b→是一个3维列向量，解集合N(A,b→)非空。回答下列问题。四、若列向量c→是由一组列向量{a→1,a→2,⋯,a→s}仿射生成的，{a→1,a→2,⋯,a→s}⊂N(A,b→)，则c→∈N(A,b→)。A正确B错误第4题（接上题）若s≥2，则必有{a→2−a→1,a→3−a→1,⋯,a→n−a→1}是齐次线性方程组Ax→=0→的基础解系。A正确B错误第5章线性方程组的解理论--5-3线性方程组的几何意义第1题已知直线方程L1:2x−3y=−1和L2:9y−6x=3，下列判断正确的是____A.直线L1与直线L2相交B.直线L1与直线L2重合C.直线L1与直线L2平行D.直线L1与直线L2垂直ABCD第2题已知直线方程L1:15x−10y=20和L2:9x−6y=15，下列判断正确的是____A.直线L1与直线L2相交B.直线L1与直线L2重合C.直线L1与直线L2平行D.直线L1与直线L2垂直ABCD第3题设2<m<n，已知n条过原点的直线，方程为Li:aix+biy=0，设矩阵D=[a1b1a2b2⋮⋮anbn]。若这n条直线只有m条彼此不重合，则____A.r(D)=mB.存在D的一个m+1行子矩阵E，E的任意一个二阶子式都不等于0C.对于D的任意m行子矩阵E，总存在E的一个二阶子式等于0D.对于D的任意m+1行子矩阵E，总存在E的一个二阶子式等于0ABCD第4题已知平面方程π1:x−y+3z=−1和π2:3x+3y−4z=3，下列判断正确的是____A.平面π1与平面π2相交B.平面π1与平面π2重合C.平面π1与平面π2平行D.以上都不正确ABCD第5题三个平面若两两有交点，则这三个平面必有公共交点A正确B错误第6题（接上题）下面哪一组平面印证/反驳了上述命题？A.{π1:z=−1π2:z=2π3:z=1B.{π1:y=1π2:y=2π3:x+z=3C.{π1:x+y=1π2:y+z=2π3:2x+3y+z=1D.{π1:x+z=−1π2:2x+2z=2π3:−x−z=1ABCD第7题设\(3A.r(D)=mB.存在D的一个m行子矩阵E，E的任意一个二行子阵行满秩C.对于D的任意m行子矩阵E，总存在E的一个三行子阵秩为2D.对于D的任意m+1行子矩阵E，总存在E的一个三行子阵秩为1ABCD第8题已知平面方程π1:2x−y+3z=−1,π2:3x+ay+4z=3,π3:4x+y+6z=0，下列判断正确的是____A.存在实数a，使得三个平面两两平行B.存在实数a，使得三个平面两两相交，但没有公共交点C.存在实数a，使得三个平面有无穷多个交点D.无论a取何值，三个平面必有唯一交点ABCD第5章线性方程组的解理论--5-4矩阵方程第1题设矩阵方程AX=B，如果矩阵[ABBT0]的秩等于矩阵A的秩，则矩阵方程有解。A正确B错误第2题判断以下矩阵方程的解的情况。[1234]X=[2467]A无解B有唯一解C有无穷多解第3题判断以下矩阵方程的解的情况。[1224]X=[2468]A无解B有唯一解C有无穷多解第4题判断以下矩阵方程的解的情况。[1224]X=[2448]A无解B有唯一解C有无穷多解第5题判断以下矩阵方程的解的情况。[1224]X=[242040]A无解B有唯一解C有无穷多解第6题设A是一个m×n型矩阵且r(A)=n，则X=Y是AX=AY的____条件A.充分不必要B.必要不充分C.充分必要D.既不充分也不必要ABCD第7题设X=(x1,x2),B=(b1,b2)，其中x1,x2,b1,b2为列向量。考虑线性方程组E1:Ax1=b1,E2:Ax2=b2与矩阵方程E:AX=B。若矩阵方程E有唯一解，则下列说法可能正确的是____A.线性方程组E1与E2均有唯一解B.线性方程组E1有唯一解，E2有无穷多解C.线性方程组E1有唯一解，E2无解ABC第8题若矩阵方程E无解，则下列说法可能正确的是____A.线性方程组E1与E2均无解B.线性方程组E1无解，E2有唯一解C.线性方程组E1无解，E2有无穷多解ABC正确答案：ABC第9题若矩阵方程E有无穷多解，则下列说法可能正确的是____A.线性方程组E1与E2均有无穷多解B.线性方程组E1有无穷多解，E2有唯一解C.线性方程组E1有无穷多解，E2无解ABC正确答案：AB第10题矩阵方程E____当且仅当线性方程组E1与E2均____A.有唯一解，有唯一解B.有无穷多解，有无穷多解C.无解，无解ABC第6章内积空间--6-1向量空间中的内积与度量第1题(x,y)=x1y1+2x2y2+x3y3+x2y3A正确B错误第2题(x,y)=x1y1+2x2y2+x3y3+x2y3+x3y2A正确B错误第3题(x,y)=x1y1+x2y2+x3y3+x2y3+x3y2A正确B错误第4题四、向量的加法具有交换律。A正确B错误第5题五、向量的加法具有结合律。A正确B错误第6题六、向量的内积具有交换律。A正确B错误第7题七、向量的内积具有结合律。A正确B错误第8题八、两个向量若在一种内积下平行，则在另一种内积下必然平行。A正确B错误第9题九、两个向量若在一种内积下正交，则在另一种内积下必然正交。A正确B错误第10题十、R4中的向量α1=(2,−2,2,−1),α2=(1,3,0,−2),α3=(−3,1,1,0)。α1,α2,α3按照模长从小到大排序为____A.α1,α2,α3B.α2,α1,α3C.α3,α2,α1D.α3,α1,α2ABCD第11题β=(1,1,1,1)，则α1,α2,α3按照与β所成的角度从小到大排序为____A.α1,α2,α3B.α2,α1,α3C.α3,α2,α1D.α3,α1,α2ABCD第12题十一、以下定义在R3上的运算是否构成内积？其中x=(x1,x2,x3),y=(y1,y2,y3)为行向量。(x,y)=ax1y1+bx2y2+cx3y3，其中a,b,c>0A正确B错误第13题(x,y)=x1y1+x2y2−x3y3A正确B错误第6章内积空间--6-2标准正交基与正交矩阵第1题三、对任意正整数n，n维空间Rn中的标准正交基有无穷多组。A正确B错误第2题四、行列式为1的方阵必然为正交矩阵。A正确B错误第3题五、若Q的列向量构成一组标准正交基，则Q的行向量也构成一组标准正交基。A正确B错误第4题六、若(α1,α2,⋯,αn)为Rn中的一组标准正交基，其中αi为列向量，Q为正交矩阵，则(Qα1,Qα2,⋯,Qαn)也为标准正交基。A正确B错误第5题七、若(α1,α2,⋯,αn)为Rn中的一组标准正交基，其中αi为列向量，A为n阶方阵，(Aα1,Aα2,⋯,Aαn)也为标准正交基，则A必为正交矩阵。A正确B错误第6章内积空间--6-3Schmidt正交化与QR分解第1题三、Schmidt正交化方法的正交化过程是归纳的进行的。A正确B错误第2题四、对一组单位向量进行Schmidt正交化方法，只需进行正交化过程即可。A正确B错误第3题五、设α1,α2,⋯,αn为Rn的一组线性无关的列向量，矩阵A=(α1,α2,⋯,αn)T，其QR分解为A=Q1R1，矩阵B=(ασ(1),ασ(2),⋯,ασ(n))T，其中σ为一个n元置换，其QR分解为B=Q2R2，则一定有R1=R2。A正确B错误第6章内积空间--6-4正交投影与正交分解第1题一、向量α在非零向量β方向上的正交投影向量为(α,β)|β|2β。A正确B错误第2题二、若子空间W具有一组基β1,β2,⋯,βt，则α在W上的正交投影向量为(α,β1)(β1,β1)β1+⋯+(α,βt)(βt,βt)βt。A正确B错误第3题三、若向量α在子空间W上的正交投影向量为β，则α−β就是α在W⊥上的正交投影向量。A正确B错误第6章内积空间--6-5最小二乘问题第1题三、线性方程组的法方程总是有解。A正确B错误第2题四、若原方程有解，则法方程的解与原方程的解未必相同。A正确B错误第3题一、最小二乘法的原理是：对线性方程组Ax=b，找出使得|Ax−b|最小的x。A正确B错误第4题二、最小二乘法通过解原方程的法方程获得近似解。A正确B错误第7章矩阵的特征值理论--7-1矩阵的特征值与特征向量第1题一、下列向量不是矩阵[22−225−4−2−45]的特征向量的是____A.[12−2]B.[011]C.[−122]D.[201]ABCD第2题四、下列哪项不是矩阵[012121−12121−1212]的特征值？A.−1B.0C.1D.2ABCD第3题八、设A为n阶方阵，若AAT=I，则1是A的一个特征值。A正确B错误第4题设A为n阶方阵，若A2=I，则1是A的一个特征值。A正确B错误第5题设A为n阶方阵，若A2=A且A≠0，则1是A的一个特征值。A正确B错误第7章矩阵的特征值理论--7-2特征多项式与特征子空间第1题四、设A为n阶方阵，且A有n个不同的正特征值，由大到小记为λ1,λ2,⋯,λn，设Sn表示n个特征值的算术平均数，Tn表示n个特征值的几何平均数，则limk→∞tr⁡(Ak)k=____A.λ1B.SnC.TnD.λnABCD第2题五、设λ=2是可逆阵A的一个特征值，则(13A)−1必有特征值____A.12B.32C.23D.2ABCD第3题七、设2是矩阵[223x2−1−21x]的一个特征值，则正整数x为____A.1B.2C.3D.4ABCD第4题二、设A为n阶方阵，若A2=I，则A−2I是可逆阵。A正确B错误第7章矩阵的特征值理论--7-3相似矩阵第1题六、若矩阵A=[0a10204b0]相似于对角阵，则有____A.a+2b=0B.2a+b=0C.a−2b=0D.2a−b=0ABCD第2题七、设A为m×n阶矩阵，B为n×m阶矩阵，则AB与BA的特征值相同。A正确B错误第3题八、设A,B均为n阶方阵，则AB与BA相似，进而它们的特征值相同。A正确B错误第4题九、已知A=[12−14]，则tr⁡(An)=____A.2n+3nB.2n+1+3nC.2n+3n+1D.2n+1+3n+1ABCD第7章矩阵的特征值理论--7-4矩阵的对角化问题第1题二、[a11a12⋯a1na22⋯a2n⋱⋮ann]，其中a11=a22，对其余i≠j有aii≠ajj，且a12=0。A正确B错误第2题三、[a11a12⋯a1na22⋯a2n⋱⋮ann]，其中a11=a22，对其余i≠j有aii≠ajj，且a12≠0。A正确B错误第3题四、[A1A2⋱An]，其中Ai为可对角矩阵。A正确B错误第4题五、A为n阶方阵，r(A)=2，A2+A=0。A正确B错误第5题六、[211121112]A正确B错误第6题七、[22−1−101−102]A正确B错误第7题八、[2−115a3−1b2]，已知它具有一个特征向量[11−1]。A正确B错误第8题九、A为n阶非零方阵，且存在某一正整数m使得Am=0。A正确B错误第9题判断下列矩阵是否可以对角化。一、[a11a12⋯a1na22⋯a2n⋱⋮ann]，其中当i≠j时aii≠ajj。A正确B错误第7章矩阵的特征值理论--7-5实对称阵的对角化第1题二、设A=[111−111−111−111−1111]，则A可以对角化为____A.diag⁡(−2,2,2,2)B.diag⁡(−2,−2,2,2)C.diag⁡(−2,−2,−2,2)D.diag⁡(−2,−2,−2,−2)ABCD第2题设三阶实对称矩阵A有特征值1，对应有特征向量(1,−1,1)T。记B=A5−4A3+I，则B可能为____A.[011101110]B.[01−1101−110]C.[0−1−1101−1−10]D.[01−110101−1]ABCD第3题设A=[11a1a1a11],β=[11−2]\)，已知线性方程组Ax=β有解，但解不唯一。则使得Q−1AQ为对角阵的正交矩阵Q可能为____A.[13121613026131216]B.[131216130−26131216]C.[1312161302613−1216]D.[131216130−2613−1216]ABCD第7章矩阵的特征值理论--7-6特征值理论的几个应用第1题设A,B∈Mn，A有n个互不相同的特征值。若AB=BA，则A的特征向量也是B的特征向量。A正确B错误第2题设A,B∈Mn，A有n个互不相同的特征值。若A的特征向量也是B的特征向量，则AB=BA。A正确B错误第3题设A=(aij)n×n，且∑j=1nai,j=a≠0对任意i=1..n成立，则A必有特征值____A.aB.−aC.a−1D.a2ABCD第4题设A=[212122221]，则A10−6A9+5A8=____A.[22−4−2−24−4−48]B.[22−422−444−8]C.[22−422−4−4−48]D.[−2−2422−4−4−48]ABCD第5题经统计，某地区兔子和狐狸数量有如下规律：每年兔子的数量会增加10%，而狐狸只有40%可以存活；如果兔子数量充足，则下一年狐狸的数量还会增加上年兔子数量的20%，同时由于狐狸的捕杀下一年兔子的数量会减少上年狐狸数量的30%。若初始有兔子100只，狐狸50只，则经过长期发展后该地区狐狸和兔子数量如何？A.兔子和狐狸数量趋于稳定在0和0B.兔子数量趋于膨胀溢出，狐狸数量趋于稳定在0C.兔子和狐狸数量趋于稳定在90和30D.兔子和狐狸数量趋于膨胀溢出ABCD第6题若初始有狐狸100只，兔子50只，则经过长期发展后该地区狐狸和兔子数量如何？A.兔子和狐狸数量趋于稳定在0和0B.兔子数量趋于膨胀溢出，狐狸数量趋于稳定在0C.兔子和狐狸数量趋于稳定在90和30D.兔子和狐狸数量趋于膨胀溢出ABCD第8章矩阵与变换--8-1矩阵映射与矩阵变换第1题一、以下哪个矩阵对应的矩阵变换可以将二维向量映射为关于直线x1=−x2对称的向量？A.[0110]B.[01−10]C.[0−1−10]D.[0−110]ABCD第2题二、以下哪个矩阵对应的矩阵变换可以将二维向量映射为关于y轴对称的向量？A.[0−110]B.[−100−1]C.[−1001]D.[0−1−10]ABCD第3题三、以下哪个矩阵对应的矩阵变换可以将二维向量映射为顺时针旋转90度之后得到的向量？A.[0110]B.[01−10]C.[0−1−10]D.[0−110]ABCD第4题四、以下哪个矩阵对应的矩阵变换可以将二维向量映射为顺时针旋转45度之后得到的向量？A.[22222222]B.[2222−2222]C.[22−22−2222]D.[22−222222]ABCD第5题五、以下哪个矩阵对应的矩阵变换可以将二维向量映射为逆时针旋转90度之后得到的向量？A.[0110]B.[01−10]C.[0−1−10]D.[0−110]ABCD第6题六、以下哪个矩阵对应的矩阵变换可以将二维向量映射为它在x轴上的投影？A.[10−10]B.[1000]C.[0−101]D.[0010]ABCD第7题七、以下哪种变换不是矩阵变换？A.旋转变换B.平移变换C.对称变换D.投影变换ABCD第8章矩阵与变换--8-2二维三维空间中几类特殊的矩阵变换