广东省惠州市五校2024-2025学年高二下学期第二次联考数学试题

广东省惠州市五校2024-2025学年高二下学期第二次联考数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知C12x+2=A．4 B．5 C．6或7 D．5或72．将6本不同的书（包括1本物理书和1本历史书）平均分给甲、乙两人，其中物理书和历史书不能分给同一个人，则不同的分配种数是（）A．6 B．12 C．18 D．243．函数fx=2x2−aA．16 B．6 C．4 D．24．今天是星期四，经过8100A．三 B．四 C．五 D．六5．目前新能源汽车越来越受到人们的关注与喜爱，其中新能源汽车所配备电池的充电量及正常使用年限是人们购车时所要考虑的重要因素之一.某厂家生产的某一型号的新能源汽车配备了两组电池，且两组电池能否正常使用相互独立.电池的正常使用年限ξ（单位：年）服从正态分布，Pξ>10=0.8，A．49 B．34 C．126．若函数fx=xA．−∞,43 B．−∞,7．已知甲箱中有2个红球和3个黑球，乙箱中有1个红球和3个黑球（所有球除颜色外完全相同），某学生先从甲箱中随机取出2个球放入乙箱，再从乙箱中随机取出1个球，记“从乙箱中取出的球是黑球”为事件B，则PBA．114 B．17 C．5188．若函数f(x)在定义域内给定区间a,b上存在x0a≤x0≤b，使得fx0=f(b)−f(a)b−a，则称函数f(x)是区间A．5e3 B．7e3 C．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9．下列说法正确的是（）A．若随机变量X服从两点分布且P(X=0)=14B．若随机变量X∼N(μ,σ2)满足P(X<1)=0.22，C．若随机变量X∼B(6,12D．设随机变量X∼B(n,p)，若D(X)≤3恒成立，则n的最大值为1210．有款小游戏．规则如下：一小球从数轴上的原点O出发，通过扔骰子决定向左或者向右移动，扔出骰子，若是奇数点向上，则向左移动一个单位．若是偶数点向上，则向右移动一个单位，则扔出n次骰子后，下列结论正确的是（）A．第二次扔骰子后，小球位于原点O的概率为1B．第一次扔完骰子小球位于－1且第五次位于1的概率1C．设三次后小球的坐标为随机变量X，则DD．设n次后小球的坐标为随机变量Y，则E11．已知函数fx是定义在R上的奇函数，当x＞0时，fA．当x<0时，fB．函数fx在RC．若关于x的方程fx=m有解，则实数mD．∀x1三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．函数fx=lnxx+a，若13．某班4名同学去学校食堂就餐，他们在一号、二号、三号食堂都可能就餐，如果他们中有同学在一号食堂就餐，则他们在三个食堂就餐情况有种（用数字作答）14．马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，为状态空间中经过从一个状态到另一个状态的转换的随机过程，该过程要求具备“无记忆”的性质：下一状态的概率分布只能由当前状态决定，在时间序列中它前面的事件均与之无关.甲口袋中各装有1个黑球和2个白球，乙口袋中装有2个黑球和1个白球，现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复进行n（n∈N∗）次这样的操作，记口袋甲中黑球的个数为Xn，恰有1个黑球的概率为pn，则p1的值是；X四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.15．现有两种投资方案，一年后投资盈亏的情况如下：方案一：投资股市：投资结果获利40不赔不赚亏损20概率113方案二：购买基金：投资结果获利20不赔不赚亏损10概率p1q（1）当p=14时，求（2）若要将10万元钱进行投资，决定在“投资股市”和“购买基金”这两种方案中选择一种，已知p=12，16．已知2x−1xn（1）求n的值；（2）求展开式的常数项；（3）求展开式中系数绝对值最大的项.17．已知函数f(x)=ln（1）当a=1，b=3时，求f(x)的单调区间；（2）若函数f(x)在x=2处取得极值ln2，求曲线y=f(x)在点(1,f(1))18．DeepSeek是由中国杭州的DeepSeek公司开发的人工智能模型，其中文名“深度求索”反映了其探索深度学习的决心．DeepSeek主要功能为内容生成、数据分析与可视化、代码辅助、多模态融合、自主智能体等，在金融领域、医疗健康、智能制造、教育领域等多个领域都有广泛的应用场景．为提高DeepSeek的应用能力，某公司组织A，B两部门的50名员工参加DeepSeek培训．（1）此次DeepSeek培训的员工中共有6名部门领导参加，恰有3人来自A部门．从这6名部门领导中随机选取2人，记X表示选取的2人中来自A部门的人数，求X的分布列和数学期望；（2）此次DeepSeek培训分三轮进行，每位员工第一轮至第三轮培训达到“优秀”的概率分别为23（ⅰ）求每位员工经过培训合格的概率；（ⅱ）经过预测，开展DeepSeek培训后，合格的员工每人每年平均为公司创造利润30万元，不合格的员工每人每年平均为公司创造利润20万元，且公司需每年平均为每位参加培训的员工支付3万元的其他成本和费用．试估计该公司A,B两部门培训后的年利润（公司年利润=员工创造的利润-其他成本和费用）．19．定义：x1，x2是函数fx的两个极值点，若x（1）若fx（2）已知函数fx①求a的取值范围；②证明：fx

答案解析部分1．【答案】D2．【答案】B3．【答案】A4．【答案】C5．【答案】D6．【答案】D7．【答案】D8．【答案】B9．【答案】B,D10．【答案】A,C,D11．【答案】B,D12．【答案】213．【答案】6514．【答案】49；15．【答案】（1）解：“购买基金”后，投资结果有“获利”、“不赔不赚”和“亏损”三种，

且三种投资结果相互独立，

则p+13+q=1，且p=14，

所以1（2）解：假设选择“投资股票”方案进行投资，

且记X为投资股票的获利金额(单位：万元)，

则随机变量X的分布列为：X40−2P113所以E(X)=4×12+0×18+(−2)×38=54；

假设选择“购买基金”方案进行投资，

Y20−1P111则E(Y)=2×12+0×13+(−1)×116．【答案】（1）解：依题意，可得第2项的二项式系数为Cn1，第3项的二项式系数为所以Cn1Cn2=25，则nn(n−1)2×1（2）解：因为2x−1x6展开式的通项公式为：Tr+1=令6−32r=0，解得r=4，

所以T（3）解：因为系数的绝对值为C6所以C6r×2所以1r≥27−r26−r≥1r+1因此，系数绝对值最大的项是T317．【答案】（1）解：当a=1，b=3时，f(x)=lnx+x则f'令f'(x)=0，则x1=12，x2=1，当12<x<1时，因此，f(x)的单调递增区间为0,12，(1,+∞（2）解：依题意，知f(x)的定义域为(0,+∞)，

对f(x)求导，得由已知条件，得f'2=1所以f'当0<x<2时，f'(x)>0；当x>2时，所以f(x)在(0,2)上单调递增，在(2,+∞)上单调递减，

满足f(x)在则f(x)=ln因为切点(1,f(1))为1,14，所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y−14=1x−1，18．【答案】（1）解：由题意，X的所有可能取值为0，1，2，且X服从超几何分布，则P所以，X的分布列为：X012P131则X的数学期望EX（2）解：（ⅰ）记C=“每位员工经过培训合格”，

Ai=“每位员工第i轮培训达到优秀”（i=1,2,3），C=A1A2A3∪A1A2A3∪A1A2A3∪A1A2A3，

根据互斥事件加法求概率公式和事件相互独立的定义，

得：P(C)=P19．【答案】（1）解：由fx=x3+mx2−2，

求导可得f'x=3x2+2mx，

令f'x=0，解得x1=0,（2）①解：由fx=ex−12x2−ax−1，

则由题意，可得函数gx存在两个不同的变号零点，

则g令g'x=0，解得x=0，

当x<0时，g'x当x>0时，g'x>0，则gx在0,+∞由gln2a=a−ln2a求导可得y'=1−1x=x−1x当0<x<1时，y'<0，则y=x−ln当x>1时，y'>0，则y=x−ln所以ymin=1−ln2=ln由g−a=e−a>0，

可得1−a<0，

解得a>1.②证明：由①可得gx=f'x=ex−x−a，

易知方程gx=0存在两个不相等的实数根，

设为x3,x4，

由①不妨设x3<0<x4，

令hx=gx