1.1.3积的乘方（教学设计）- -北师大版七年级数学下册

1.1.3积的乘方（教学设计）--北师大版七年级数学下册主备人备课成员教学内容分析1.本节课的主要教学内容：北师大版七年级数学下册第一章“整式的乘除”1.1.3节“积的乘方”，包括积的乘方法则（(ab)^n=a^nb^n）的推导过程，以及运用法则进行单项式乘积的化简与计算。

2.教学内容与学生已有知识的联系：本节课以学生已掌握的同底数幂乘法法则（a^m·a^n=a^{m+n}）、幂的乘方法则（(a^m)^n=a^{mn}）为基础，通过乘法结合律推导积的乘方法则，是幂的运算体系的重要组成部分，为后续学习整式的乘除运算及多项式乘法奠定基础。核心素养目标二、核心素养目标培养数学运算能力，运用积的乘方法则进行单项式乘积的化简与计算；发展逻辑推理素养，通过乘法结合律推导积的乘方法则；增强数学抽象意识，理解积的乘方的结构特征与本质。学习者分析三、学习者分析学生已掌握同底数幂乘法（a^m·a^n=a^{m+n}）、幂的乘方（(a^m)^n=a^{mn}）及单项式乘法基础，能完成简单幂运算。七年级学生抽象思维初步形成，对具体运算兴趣浓厚，具备基础计算能力，但灵活应用法则能力较弱，偏好直观演示与小组互动学习。可能遇到的困难：积的乘方与幂的乘方混淆，如(ab)^n与a^nb^n的结构区分；系数与字母分别处理时忽略符号或指数运算；综合化简中步骤混乱，导致计算错误，尤其涉及负数或多项式时更易出错。学具准备多媒体课型新授课教法学法讲授法课时第一课时师生互动设计二次备课教学资源软硬件资源：多媒体投影仪、电子白板、学生练习本、草稿纸

课程平台：希沃白板、班级优化大师

信息化资源：北师大版七年级数学下册配套课件、积的乘方推导微课视频、在线练习题库

教学手段：讲授法、小组合作探究、例题讲解、课堂练习、错题分析教学过程环节一：情境导入，引发思考（5分钟）

同学们，早上好！今天我们先来观察一个实际问题：一个正方体的棱长为2ab（单位：厘米），你能求出这个正方体的体积吗？（停顿，给学生思考时间）对，正方体体积等于棱长的立方，也就是(2ab)³。那这个式子该怎么计算呢？我们之前学过幂的乘方，比如(a²)³=a⁶，还有同底数幂乘法，比如a²·a³=a⁵，但这里是三个因式的积再乘方，你能用学过的知识试试吗？（引导学生思考，预设学生可能会尝试展开计算：2ab·2ab·2ab）非常好！那展开后怎么整理呢？这就是我们今天要学习的内容——积的乘方。（板书课题：1.1.3积的乘方）

环节二：探究新知，推导法则（15分钟）

请同学们拿出练习本，先计算下面三个式子，看看有什么规律：（1）(ab)²；（2）(ab)³；（3）(ab)⁴。（学生独立计算，教师巡视，请三位学生板演）

（1）(ab)²=ab·ab=a·a·b·b=a²b²；

（2）(3ab)³=3ab·3ab·3ab=3·3·3·a·a·a·b·b·b=27a³b³；

（3）(-2xy)⁴=(-2xy)·(-2xy)·(-2xy)·(-2xy)=(-2)⁴·x·x·x·x·y·y·y·y=16x⁴y⁴。

同学们观察这三个结果，左边都是积的乘方，右边有什么共同点呢？（引导学生发现：底数是积的形式，右边等于积中每个因式分别乘方，再把所得幂相乘）比如(ab)²=a²b²，(3ab)³=3³a³b³，(-2xy)⁴=(-2)⁴x⁴y⁴。那是不是所有积的乘方都满足这个规律呢？我们再来用字母表示一下：(ab)ⁿ等于什么呢？（小组讨论，代表发言）

根据乘法结合律，(ab)ⁿ=ab·ab·…·ab（n个ab相乘）=a·a·…·a·b·b·…·b（n个a和n个b相乘）=aⁿbⁿ。所以积的乘方法则是：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。（板书法则：(ab)ⁿ=aⁿbⁿ，特别强调：这里的a、b可以是数、字母或式子）

同学们注意看，这个法则和我们之前学的幂的乘方((aᵐ)ⁿ=aᵐⁿ）有什么区别呢？（举例说明：(ab)²是a和b先相乘再平方，而(a²)²是a先平方再平方，前者是积的乘方，后者是幂的乘方，不要混淆哦！）

环节三：例题讲解，应用法则（20分钟）

现在我们来看例1：计算下列各题：（1）(2a²)³；（2）(-3xy²)²；（3）(0.5ab²c)³。

（1）请同学们先尝试计算，注意系数和字母都要分别乘方。（学生计算，教师巡视，找一名学生板演：解：(2a²)³=2³·(a²)³=8·a²×³=8a⁶）对吗？对！这里系数2的立方是8，a²的立方是a⁶，根据积的乘方法则，分别乘方再相乘。

（2）(-3xy²)²，这里要注意负数的平方是正数，解：(-3)²·x²·(y²)²=9x²y⁴。有没有同学算错符号的？（预设可能有学生忘记负号平方得正，强调：负数的偶次幂是正数，奇次幂是负数，这里指数是2，偶数次，所以结果是正的）

（3）(0.5ab²c)³，这个式子有三个因式，0.5、a、b²、c，都要分别乘方，解：0.5³·a³·(b²)³·c³=0.125a³b⁶c³。0.5的立方是多少？0.5×0.5=0.25，0.25×0.5=0.125，没错！

（1）请你说说对不对？（学生回答：不对，因为积的乘方要每个因式分别乘方，a的平方是a²，b³的平方是b⁶，所以应该是a²b⁶）对！这里漏了a的平方，是常见的错误，同学们要记住，每个因式都不能漏掉。

（2）(-2a²b)³，错在哪里？（学生回答：系数-2的立方是-8，不是-6；a²的立方是a⁶，b的立方是b³，所以应该是-8a⁶b³）完全正确！系数也要单独乘方，不要和字母的指数相乘哦！

例3：先化简，再求值：(2xy)³·(-x²y)，其中x=1，y=-2。

这个题目有两步，先算积的乘方，再算乘法。解：(2xy)³=8x³y³，所以原式=8x³y³·(-x²y)=-8x³⁺²y³⁺¹=-8x⁵y⁴。当x=1，y=-2时，-8×1⁵×(-2)⁴=-8×1×16=-128。同学们注意，求值前要先把式子化简到最简形式，再代入数值计算，这样更简便。

环节四：巩固练习，深化理解（15分钟）

现在请同学们完成课本P10练习题1、2、3，独立完成后同桌互评，有疑问举手示意。（学生练习，教师巡视，重点关注易错点：系数处理、符号、每个因式是否分别乘方）

练习1：计算（1）(3m)²=9m²；（2）(-2a²)³=-8a⁶；（3）(ab²)³=a³b⁶；（4）(-0.1xy)³=-0.001x³y³。这几道题都做对了吗？第（2）题系数是-2，立方是-8，没错；第（4）题0.1的立方是0.001，负号保留，正确！

练习2：判断（1）(a+b)²=a²+b²（错，积的乘方适用于因式相乘，不是相加）；（2）(xy)³=x³y³（对）。这里要特别提醒，(a+b)²不能直接用积的乘方法则，应该用完全平方公式，我们后面会学到，现在先记住积的乘方是“积”的乘方，因式之间是相乘关系。

练习3：化简（1）(2a²b)³·a=8a⁶b³·a=8a⁷b³；（2）(-3xy²)²·(-x²y)=9x²y⁴·(-x²y)=-9x⁴y⁵。这两道题综合了积的乘方和同底数幂乘法，步骤对吗？第一步先算积的乘方，第二步用同底数幂乘法法则，指数相加，正确！

环节五：课堂小结，梳理提升（5分钟）

同学们，今天我们学习了积的乘方，谁能说说积的乘方法则是什么？（学生回答：积的乘方等于积中每个因式分别乘方，再把所得幂相乘，即(ab)ⁿ=aⁿbⁿ）非常好！那应用法则时要注意什么呢？（引导学生总结：1.系数、字母都要分别乘方；2.负数的乘方要确定符号；3.每个因式都不能漏掉；4.与幂的乘方区分开，幂的乘方是底数不变，指数相乘）

环节六：作业布置（5分钟）

作业：课本P11习题1.3第1、2、4题（必做），第5题（选做）。必做题是基础巩固，选做是提升拓展，同学们根据自己的情况完成。下课！拓展与延伸六、拓展与延伸

拓展阅读材料：

1.数学历史故事：积的乘方法则最早由古希腊数学家欧几里得在《几何原本》中隐含提出，用于计算面积和体积。17世纪，牛顿在微积分研究中进一步应用了幂运算，简化了复杂计算。学生可阅读教材附录中的数学家传记，了解幂运算的发展历程。

2.实际应用案例：在建筑领域，计算长方体体积时，若棱长为3ab（单位：米），则体积为(3ab)^3=27a³b³立方米。在物理学中，计算电功率时，电压和电流的乘积平方（(VI)^2）涉及积的乘方。学生可参考科普读物《生活中的数学》相关章节，探索幂运算在日常中的应用。

鼓励学生进行课后自主学习和探究：

1.探究活动：尝试推导积的乘方法则在多项式中的应用，如计算(2x+3y)^2与(2x)^2+(3y)^2的区别，验证是否适用法则。记录发现，并撰写简短报告。

2.问题解决：解决实际问题——一个正方体棱长为4ab厘米，求表面积和体积，并比较积的乘方与幂的乘方的计算效率。

3.扩展练习：完成以下题目，深化理解：

-化简：(3a²b)³·(-a)

-比较：(ab)^4与a^4b^4的关系

-探究负数情况：(-2xy)^3与(-2)^3x^3y^3的计算

4.创新思考：研究积的乘方在指数增长中的应用，如人口模型P(t)=P0(1+r)^t，其中(1+r)^t可视为积的乘方扩展。

5.小组合作：与同学讨论积的乘方在科学实验数据简化中的作用，如计算面积时避免重复乘法运算。教学反思与总结七、教学反思与总结

教学反思：这节课通过生活情境导入，学生能快速进入状态。探究环节让学生自主计算(ab)²、(ab)³等式子，再通过乘法结合律推导法则，过程顺利。但发现部分学生在处理系数时容易漏算，比如(2a²)³会误算成2a⁶，下次需强化系数单独乘方的训练。例题讲解时对比了积的乘方与幂的乘方，但仍有学生混淆(ab)²与a²b²的结构，需增加辨析练习。小组合作中，学生互评环节参与度高，但时间把控稍紧，压缩了部分练习时间。

教学总结：学生基本掌握了积的乘方法则，能正确化简(3xy²)²、(-0.5ab)³等式子，尤其在系数和符号处理上进步明显。通过例题和练习，多数学生能区分积的乘方与幂的乘方，应用能力提升。情感态度上，生活化问题激发了兴趣，小组讨论增强了合作意识。但不足在于综合运算时步骤易混乱，如(2a²b)³·(-x)的化简中，部分学生漏掉指数相加。改进措施：后续增加分层练习，设计“系数处理专项”“符号判断小测”；在课堂小结中强化“每个因式分别乘方”的口诀；下次课引入积的乘方在几何体积计算中的拓展应用，深化理解。作业布置与反馈八、作业布置与反馈

作业布置：

基础巩固：完成课本P11习题1.3第1题（计算(2a³)²、(-3xy²)³等6道小题），重点巩固积的乘方法则的基本应用；

能力提升：完成第2题（化简(3a²b)³·(-a)和(-0.5xy²)²·x³y，其中x=2,y=-1），强化综合运算与求值能力；

拓展探究：思考题“