21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系（教学设计）2023-2024学年数学人教版九年级上学期

21.2.4一元二次方程的根与系数的关系（教学设计）2023-2024学年数学人教版九年级上学期课题XXX课时1教学内容分析1.本节课的主要教学内容是人教版数学九年级上册第二十一章21.2.4节“一元二次方程的根与系数的关系”，包括根与系数关系的公式推导、关系式（若一元二次方程ax²+bx+c=0的两根为x₁、x₂，则x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a）的记忆及简单应用，如已知方程一根求另一根、求两根之和与积等。

2.教学内容与学生已有知识的联系：学生已掌握一元二次方程的解法（配方法、公式法）及整式运算，本节基于公式法中的求根公式推导根与系数关系，为后续解决与方程根相关的问题奠定基础，同时深化对一元二次方程根的理解。核心素养目标分析二、核心素养目标分析本节课通过推导一元二次方程根与系数的关系式，发展学生的数学抽象与逻辑推理素养，从具体方程抽象出一般关系；运用关系式解决已知一根求另一根、求两根和积等问题，提升数学运算能力；结合实际问题建立方程模型，培养数学建模意识，深化对一元二次方程根的理解与应用，体会数学知识的内在联系。学习者分析三、学习者分析学生已经掌握了一元二次方程的解法（配方法、公式法）、整式运算及因式分解等知识，能通过公式法求出一元二次方程的根，为推导根与系数的关系奠定基础。九年级学生逻辑推理能力逐步发展，对探究数学规律有一定兴趣，但部分学生对抽象推导过程兴趣不足，更依赖直观实例；整体具备一定运算能力，但在综合应用和符号处理上易出错。学生可能遇到的困难包括：从求根公式推导关系式时的代数变形能力不足，对关系式中“两根之和为-b/a，两根之积为c/a”的符号理解不透彻，以及灵活运用关系式解决含参数方程或对称式求值问题时，综合分析能力欠缺。教学方法与手段教学方法：

1.问题驱动法：通过设问引导学生从求根公式推导根与系数关系，培养逻辑推理能力。

2.小组讨论法：组织学生合作探究关系式的应用场景，深化理解。

3.分层练习法：设计基础题与变式题，兼顾不同层次学生需求。

教学手段：

1.多媒体课件：动态展示推导过程，突出关键步骤。

2.几何画板：可视化呈现方程根与系数的关联，增强直观性。

3.希沃白板：实时反馈学生练习结果，提高课堂效率。教学过程**环节一：情境导入，激发兴趣（5分钟）**

师：同学们，请看黑板上的方程x²-5x+6=0。谁能快速求出它的两根？

生：用因式分解法，得(x-2)(x-3)=0，所以x₁=2，x₂=3。

师：很好！现在请大家计算这两个根的和与积：2+3=5，2×3=6。观察方程系数，你发现了什么？

生：和5是一次项系数的相反数，积6是常数项！

师：太棒了！今天我们就来探究一元二次方程根与系数的奥秘。

**环节二：公式推导，构建新知（15分钟）**

师：对于一般式ax²+bx+c=0（a≠0），两根为x₁、x₂。请用求根公式表示x₁+x₂和x₁x₂。

生：x₁=[-b+√(b²-4ac)]/2a，x₂=[-b-√(b²-4ac)]/2a。

师：现在计算x₁+x₂，注意分母相同，分子相加。

生：分子是[-b+√(b²-4ac)]+[-b-√(b²-4ac)]=-2b，所以x₁+x₂=-2b/2a=-b/a。

师：正确！再算x₁x₂，分子是[-b+√(b²-4ac)][-b-√(b²-4ac)]，这是什么公式？

生：平方差公式！结果是(-b)²-[√(b²-4ac)]²=b²-(b²-4ac)=4ac，所以x₁x₂=4ac/2a²=c/a。

师：总结得非常到位！这就是韦达定理：若ax²+bx+c=0有实数根x₁、x₂，则x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。（板书定理，强调"两根之和与一次项系数关系""两根之积与常数项关系"）

**环节三：分层应用，巩固深化（20分钟）**

**基础应用**

师：已知方程3x²-7x+2=0，不求根直接求x₁+x₂和x₁x₂。

生：a=3，b=-7，c=2，所以x₁+x₂=7/3，x₁x₂=2/3。

师：若已知方程一根为2，求另一根。

生：由x₁x₂=c/a=2/3，得2×x₂=2/3，所以x₂=1/3。

**变式训练**

师：若方程x²+kx+10=0的两根之差为3，求k值。

生：设x₁>x₂，则x₁-x₂=3。由韦达定理得x₁+x₂=-k，x₁x₂=10。

师：如何用和与积表示差？

生：平方差公式！(x₁-x₂)²=(x₁+x₂)²-4x₁x₂，即9=k²-40，解得k=±7。

**错误辨析**

师：有同学认为方程x²+3x-4=0中x₁+x₂=3，对吗？

生：不对！应该是-3，因为x₁+x₂=-b/a=-3/1=-3。

师：强调符号陷阱：一次项系数是+b时，和为-b/a！

**环节四：拓展提升，模型构建（10分钟）**

师：已知两数x₁、x₂满足x₁+x₂=5，x₁x₂=6，求以x₁、x₂为根的一元二次方程。

生：设方程为x²-(x₁+x₂)x+x₁x₂=0，即x²-5x+6=0。

师：这就是"根与系数关系的逆用"！现在解决实际问题：

>问题：一个矩形周长为20cm，面积为21cm²，求长和宽。

生：设长为x₁，宽为x₂，则x₁+x₂=10，x₁x₂=21。

师：根据今天所学，你能直接构造方程吗？

生：x²-10x+21=0，解得x=7或3，所以长7cm，宽3cm。

**环节五：课堂小结，提炼升华（5分钟）**

师：请用一句话总结本节课收获。

生：韦达定理揭示了根与系数的对称关系，可简化计算和构造方程。

师：补充关键点：

①定理适用条件：方程有实数根（Δ≥0）；

②逆用构造方程：x²-(和)x+积=0；

③注意符号：和=-b/a，积=c/a。

**作业设计**

1.基础题：教材P38练习第1、2题；

2.提升题：若方程2x²-3x+k=0的两根为x₁、x₂，且x₁²+x₂²=7.5，求k值；

3.拓展题：探究一元三次方程的根与系数关系（选做）。

**板书设计**

```

韦达定理：ax²+bx+c=0（a≠0）

x₁+x₂=-b/a

x₁x₂=c/a

应用：

1.求和与积→2.求未知根→3.求参数→4.构造方程

关键：符号！符号！符号！

```拓展与延伸1.**拓展阅读材料**

（1）教材P37-P39例题4及"探究"栏目：通过具体方程（如x²-6x+5=0）验证根与系数关系，理解定理的普适性。

（2）教材P39习题21.2第10题：已知方程x²+px+q=0的两根为α、β，求α²+β²的表达式，深化对根的对称式的应用。

（3）教材P38"思考"栏目：讨论当方程ax²+bx+c=0（a≠0）有等根时，根与系数关系的特殊形式（x₁=x₂=-b/2a）。

2.**课后自主学习与探究**

（1）**基础巩固**

完成教材P39习题21.2第1、2、3题，熟练应用定理求两根之和与积，及已知一根求另一根。

（2）**中档提升**

①已知方程2x²-5x-1=0，不求根求x₁²+x₂²（提示：利用(x₁+x₂)²-2x₁x₂）。

②若方程x²+kx+12=0的两根之差为1，求k值（提示：结合(x₁-x₂)²=(x₁+x₂)²-4x₁x₂）。

（3）**高阶挑战**

①探究：若关于x的方程x²-(m+2)x+m=0的两根均为正数，求m的取值范围（需结合判别式Δ≥0及x₁+x₂>0、x₁x₂>0）。

②建模应用：一个直角三角形的两直角边长是方程x²-7x+12=0的两根，求其面积（参考教材P37例题3的解题思路）。

（4）**思维拓展**

①阅读教材P39"阅读与思考"栏目：了解韦达定理的历史背景（法国数学家韦达的贡献），体会数学文化的价值。

②尝试证明：若x₁、x₂是方程ax²+bx+c=0的根，则ax₁²+bx₁+c=0与ax₂²+bx₂+c=0成立，从函数角度理解定理的几何意义。

（5）**实践任务**

小组合作：收集生活中可转化为一元二次方程的实际问题（如商品定价、运动轨迹），用根与系数关系简化求解过程，形成研究报告。

**设计说明**

-所有拓展内容均紧扣教材章节，覆盖定理的直接应用（求和、积、根）、变形应用（对称式求值）、逆向应用（构造方程）及综合应用（参数范围、几何问题）。

-分层任务满足不同学生需求：基础题巩固公式，中档题培养转化能力，高阶题发展逻辑推理，实践任务强化数学建模。

-强调与教材例题、习题的衔接（如P37例3、P39第10题），确保知识连贯性，避免超纲或偏离教学实际。典型例题讲解例1：已知方程2x²-3x+1=0的两根为x₁、x₂，求x₁+x₂和x₁x₂的值。

答案：x₁+x₂=3/2，x₁x₂=1/2。

例2：若方程x²+4x+k=0的两根之差为2，求k的值。

答案：设两根为x₁、x₂，则(x₁-x₂)²=(x₁+x₂)²-4x₁x₂=16-4k=4，解得k=3。

例3：已知方程x²-5x+6=0的两根为x₁、x₂，求x₁²+x₂²的值。

答案：x₁²+x₂²=(x₁+x₂)²-2x₁x₂=25-12=13。

例4：不解方程，判断方程3x²-2x+1=0的根的符号情况。

答案：Δ=4-12=-8<0，方程无实数根。

例5：已知两数之和为7，积为12，求这两个数。

答案：设两数为x₁、x₂，则x₁+x₂=7，x₁x₂=12，构造方程x²-7x+12=0，解得x=3或4。板书设计八、板书设计

①定理核心公式

-一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根为x₁、x₂

-两根之和：x₁+x₂=-b/a

-两根之积：x₁x₂=c/a

②定理推导关键步骤

-求根公式：x₁=[-b+√(b²-4ac)]/2a，x₂=[-b-√(b²-4ac)]/2a

-和：x₁+x₂=[-b+√(b²-4ac)-b-√(b²-4ac)]/2a=-2b/2a=-b/a

-积：x₁x₂=[(-b)²-(√(b²-4ac))²]/(2a)²=(b²-b²+4ac)/4a²=4ac/4a²=c/a

③定理应用方向

-求两根之和与积（直接代入公式）

-已知一根求另一根（利用x₁x₂=c/a或x₁+x₂=-b/a）

-求对称式（如x₁²+x₂²=(x₁+x₂)²-2x₁x₂）

-构造新方程（x²-(和)x+积=0）

-求参数值（结合判别式及根的关系）作业布置与反馈作业布置：

1.基础巩固：教材P39习题21.2第1题（求两根之和与积）、第2题（已知一根求另一根）；

2.能力提升：已知方程x²-6x+m=0的两根满足x₁²+x₂²=20，求m值；

3.应用拓展：一个两位数，十位数字与个位数字之和为7，十位数字与个位数字之积为12，求这个两位数。

作业反馈：

1.批改时重点关注公式应用的