2025北京八十中高三10月月考数学试题及答案

高中2025北京八十中高三10月月考数学2025年10月（考试时间120分钟满分150分）提示：试卷答案请一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效.在答题卡上，选择题用铅笔作答，其他试题用黑色签字笔作答.一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1.已知集合，，则（）A. B. C. D.2.下列函数中，既是偶函数，又在上单调递增的是（）A. B. C. D.3.若，则下列不等式成立的是（）A. B.C. D.4.要得到函数的图象，只需将的图象（）A.向右平移个单位 B.向右平移个单位C.向左平移个单位 D.向左平移个单位5.已知，且，则（）A.有最大值 B.有最小值C.有最大值 D.有最小值6.某纯净水制造厂在净化水的过程中，每增加一次过滤可使水中杂质减少50%，若要使水中杂质减少到原来的5%以下，则至少需要过滤（）（参考数据：）A.2次 B.3次 C.4次 D.5次7.在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，它们的终边关于轴对称.若，则的最大值为（）A.0 B. C. D.18.在等比数列中，．则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件9.在正方体中，为棱上的动点，为线段的中点.给出下列四个①；②直线与平面所成角不变；③点到直线的距离不变；④点到四点的距离相等.其中，所有正确结论的序号为（）A.②③ B.③④C.①③④ D.①②④10.已知中，，，且（）的最小值为，若P为边AB上任意一点，则的最小值为（）A.0 B. C. D.二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分.请把正确答案填在答题卡上）11.若复数满足，则的虚部为________.12.已知是等比数列，且公比为，为其前项和，若是、的等差中项，，则___________，___________.13.已知函数．若在区间上单调递减，则的一个取值可以为_________．14.已知函数的定义域为，且对任意的都满足.当时，若函数与的图像恰有两个交点，则实数的取值范围是________.15.已知无穷数列的前项和满足，其中为常数，且．给出下列四个结论：①实数；②数列为等差数列；③当时，对任意，存在，当时，；④当恒成立时，一定为递减数列．其中所有正确结论的序号是_____．三、解答题（本大题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）16.已知函数的一个零点为．（1）求是值及的最小正周期；（2）若对恒成立，求的最大值和的最小值．17.如图，在正方体中，为的中点.（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值；（3）若正方体的棱长为2，求点到平面的距离.18.在中，内角的对边分别为，为钝角，，．（1）求；（2）从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求的面积．条件①：；条件②：；条件③：．注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．19.已知函数，（1）直接写出曲线与曲线的公共点坐标，并求曲线在公共点处的切线方程；（2）已知直线分别交曲线和于点，.当时，设的面积为，其中O是坐标原点，求的最大值.20.已知函数，曲线在处的切线方程为.（1）求a，b的值：（2）①求证：只有一个零点；②记的零点为，曲线在处的切线l与x轴的交点横坐标为.若，求u的取值范围.21.已知数列的项数均为m，且的前n项和分别为，并规定．对于，定义，其中，表示数集M中最大的数.（1）若，求的值；（2）若，且，求；（3）证明：存在，满足使得．

参考答案一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）12345678910CDCABDBBCC二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分.请把正确答案填在答题卡上）1112131415①.②.（不唯一）或①②④三、解答题（本大题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）16.【答案】（1）由题设，化简得解得．故则的最小正周期为；（2）由，可得．故得，即．当，即时，取得最大值1；当，即时，取得最小值．由对恒成立，可得，且．即的最大值是，的最小值是1．17.【答案】（1），平面为平行四边形，，平面，平面，平面．（2）设正方体边长为2，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立如图所示空间直角坐标系，则，，设平面的法向量为，则，令，则，，设直线与平面所成角为，则．（3）正方体棱长为2，同（2）中假设，，平面的法向量，点到平面的距离．18.【答案】（1）由题意得，因为为钝角，则，则，则，解得，因为为钝角，则.（2）选择①，则，因为，则为锐角，则，此时，不合题意，舍弃；选择②，因为为三角形内角，则，则代入得，解得，,则.选择③，则有，解得，则由正弦定理得，即，解得，因为为三角形内角，则，则，则19.【答案】（1）由即可得，所以，所以公共点坐标为，因为，所以在公共点处切线的斜率为，所以曲线在公共点处的切线方程为，即（2）的面积为，因为，所以，，所以，所以，，由即可得；由即可得；所以在上单调递增，在上单调递减，所以，所以当时，的最大值为.20.【答案】（1）由题意知，，所以曲线在处的切线的斜率为，又曲线在处的切线方程为，所以，解得；（2）①：由（1）知，，令，所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以，且当时，，当时，，所以函数在R上存在唯一，使得，即函数在R上存在唯一零点.②：由①知，切线的斜率为，又，所以，令，得，设，则，令或，或，所以函数在和上单调递减，在和上单调递增，当时，，即，由①知，故不符合题意；当时，由，得，即，符合题意，故实数的取值范围为.【点睛】关键点点睛：本题考查导数的几何意义、函数的零点等，解题关键是找到的大小关系．本题中，利用导数研究函数的单调性是关键，当时，当时，即为所要求的大小关系．21.【答案】（1）由题意可知：，当时，则，故；当时，则，故；当时，则故；当时，则，故；综上所述：，，，.（2）由题意可知：，且，因为，且，则对任意恒成立，所以，又因为，则，即，可得，反证：假设满足的最小正整数为，当时，则；当时，则，则，又因为，则，假设不成立，故，即数列是以首项为1，公差为1的等差数列，所以.（3）因为均为正整数，则均为递增数列，（ⅰ）若，则可取，满足使得；（ⅱ）若，则，构建，由题意可得：，且为整数，反证，假设存在正整数，使得，则，可得，这与相矛盾，故对任意，均有.①若存在正整数，使得，即，可取，满足，使得；②若不存在正整数，使得，因为，且，所以必