2025北京东直门中学高三（上）开学考数学试题及答案

高中2025北京东直门中学高三（上）开学考数学一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1.已知集合，，则（）A. B.C. D.2.若（a，，i为虚数单位），则的值为（）A.2 B.1 C. D.3.已知，则（）A. B. C. D.4.在中，点是线段上一点，若，，则实数（）A. B. C. D.5.2024年全民健身运动的主题“全民健身与奥运同行”，为了满足群众健身需求，某健身房近几年陆续购买了几台型跑步机，该型号跑步机已投入使用的时间（单位：年）与当年所需要支出的维修费用（单位：千元）有如下统计资料：234562.23.85.56.57根据表中的数据可得到线性回归方程为，则（）A.与的样本相关系数B.C.表中维修费用的第60百分位数为6.5D.该型跑步机已投入使用的时间为10年时，当年所需要支出的维修费用一定是12.38万元6.已知曲线，设，q：曲线C是焦点在x轴上的椭圆，则p是q的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件7.在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知，，三角形ABC的面积为6，则（）A.65 B.17 C. D.8.已知函数，若总存在两条不同的直线与函数，图象均相切，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分）9.已知的展开式中共有7项，则（）A.所有项的二项式系数和为64 B.所有项的系数和为1C.二项式系数最大的项为第4项 D.有理项共4项10.已知动点P到定点的距离与到定直线的距离之和为4，记动点P的轨迹为曲线C，则下列结论正确的是（）A.曲线C的轨迹方程为B.曲线C的图象关于y轴对称C.若点在曲线C上，则D.曲线C上的点到直线的距离的最大值为1211.已知定义在R上的函数满足：对任意实数x，y，恒有，若，当时，，则下列结论正确的是（）A.B.函数的最小值为C.为R上的增函数D.关于x的不等式的解集为三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12.甲、乙两人向同一目标各射击1次，已知甲、乙命中目标的概率分别为，，则目标至少被击中1次的概率为______．13.已知函数的定义域为R，且，当时，，则的值为______．14.在三棱锥中，侧面PAC与底面ABC垂直，，，，．则三棱锥的外接球的表面积为___________．四、解答题（本大题共5小题，共77分）15.中国的非遗项目丰富多样，涵盖广泛，体现了中华民族的智慧和独特的文化魅力．春节期间某地为充分宣扬该地非遗物质文化，加大非遗传承人的技艺展示．该地市场开发与发展机构统计了非遗传承人的技艺展示量与市场消费收入的6组数据如下表：技艺展示量x（单位：个）212324272932市场消费收入y（单位：万元）61120275777（1）若用线性回归理论进行统计分析，求市场消费收入y关于技艺展示量x的回归方程（精确到0.1）；（2）若用非线性回归模型求得市场消费收入y关于技艺展示量x的回归方程为，且决定系数，与（1）中的线性回归模型相比，应用决定系数说明哪种模型的拟合效果更好．附：一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计为，；决定系数参考数据：，，，线性回归模型的残差平方和为（其中，分别为非遗传承人的技艺展示量和市场消费收入，）．16.如图，在长方体中，，点E是棱的中点．（1）求证：平面BDE；（2）求直线与平面BDE所成角的正弦值．17.已知函数，．（1）若函数在上单调递增，求实数a的取值范围；（2）若为函数的极值点，求a的值；（3）设函数，当时，若对于任意，总存在，使得，求实数b的取值范围．18.已知非零等差数列的前n项和为，且，．（1）求的通项公式；（2）已知正项数列满足：，且是和的等差中项，求数列的前n项和；（3）在条件（2）下，记正项数列的前n项和为．求证：．19.已知双曲线的左、右顶点分别是，，点在双曲线上，且直线，的斜率之积为1．（1）求双曲线的标准方程；（2）已知，分别是双曲线的左、右焦点，点G是圆上的动点，若K是双曲线左支上一动点，求的最小值；（3）已知两平行直线和，直线过点交双曲线的右支于A，B两点，直线过点交双曲线的右支于C，D两点，记AB，CD的中点分别为P，Q，过点Q作双曲线的两条渐近线的垂线，垂足分别为M，N．求四边形PMQN面积的取值范围．

参考答案一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1.【答案】C【分析】由交集的概念即可得解.【详解】因为，所以．故选：C．2.【答案】A【分析】先根据复数的乘法计算结合复数相等得出参数即可求解.【详解】因为，所以，所以，，得，，所以．故选：A．3.【答案】D【分析】由诱导公式、二倍角公式即可求解.【详解】因为．故选：D．4.【答案】D【分析】由向量的线性运算得，结合平面向量基本定理即可得解.【详解】因为，所以，因为，所以．故选：D．5.【答案】B【分析】利用线性回归方程计算判断ABD；求出第60百分位数判断C.【详解】对于A，由，得与成正相关，样本相关系数，A错误；对于B，，，则，B正确；对于C，，因此第60百分位数为，C错误；对于D，由选项B知，，当时，，则当年所需要支出的维修费用约为12.38万元，D错误.故选：B6.【答案】A【分析】首先得到曲线C是焦点在x轴上的椭圆的充要条件是，再进一步判断即可.【详解】曲线C是焦点在x轴上的椭圆的充要条件是，即．所以当时，成立，所以p是q的充分条件，反之当时，不一定成立．所以p是q的充分不必要条件．故选：A．7.【答案】C【分析】由三角形面积公式求得，再结合余弦定理求得即可.【详解】因为，又，所以，由余弦定理得，，所以．故选：C．8.【答案】A【分析】设函数，的切点坐标分别为，，根据导数几何意义可得，结合题意可知方程有两个不同的实根，则设，求导确定其单调性与最值情况，即可得实数的取值范围.【详解】由题意可知：，设函数上的切点坐标为，函数上的切点坐标为，且，，则公切线的斜率，可得，则公切线方程为，代入得，代入可得，整理得，令，则，若总存在两条不同的直线与函数，图象均相切，则方程有两个不同的实根，设，则，令，解得；令，解得；则在内单调递增，在单调递减，可得，且当x趋近于时，趋近于；当x趋近于时，趋近于，可得，解得，故实数的取值范围为.故选：A.【点睛】关键点睛：涉及公切线问题一般先设切点坐标，根据切线相同得到方程组，将双变量方程转化为单变量方程，再参变分离，转化为函数的交点问题，即可求出参数的取值范围.二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分）9.【答案】ACD【分析】由展开式有7项，可知，再由二项式定理的应用依次求解即可.【详解】由展开式有7项，可知，则所有项的二项式系数和为，故A项正确；令，则所有项的系数和为，故B项错误；二项式系数最大为，所以二项式系数最大的项为第4项，故C正确；展开式第项为，所以当时的项为有理项，所以有理项共4项，故D项正确.故选：ACD10.【答案】ABD【分析】直接求动点P的轨迹方程判断A；整理或，利用方程和图象可判断BC；由曲线上的点处的切线方程与直线平行找到距离最大的点，再由点到直线的距离公式可判断D.【详解】对于A：因为曲线C上的点到定点的距离与到定直线的距离之和为4，则，即，故A正确；对于B：整理得或，所以可作出曲线C的图象如图所示：所以曲线C的图象关于y轴对称，故B正确；对于C：当时，由，得，当时，由，得，所以当点在曲线C上时，，故C错误；对于D：因为函数过点，且，所以，所以函数在点处的切线方程为即，所以该切线与直线即平行，所以曲线C上的点到直线距离最大为，故D正确．故选：ABD．11.【答案】ACD【分析】根据给定条件，赋值推理判断AB；利用函数单调性定义推理判断C；将不等式等价转化，再利用单调性求解.【详解】对于A，令，则，而，解得，A正确；对于B，令，则，，假设存在使得，对任意实数x，有，此时为常数函数，与矛盾，即不存在使得，则，B错误；对于C，由，得，，且，则，又当时，，则，又恒成立，因此，即，因此为R上的增函数，C正确；对于D，，则，，不等式，令，由，即，解得或，即或，而为R上的增函数，，于是或，不等式的解集为，D正确.故选：ACD三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12.【答案】##0.95【分析】方法一：设出事件，根据进行求解；方法二：先求出目标没有被击中的概率，利用对立事件的概率公式求解即可.【详解】方法一：设“甲命中目标”为事件A，“乙命中目标”为事件B，则，，所以目标至少被击中1次的概率；方法二：设“甲命中目标”为事件A，“乙命中目标”为事件B，则，，，，所以目标没有被击中的概率为，目标至少被击中1次的概率为故答案为：.13.【答案】【分析】根据函数性质将问题转换为，代入求值即可.【详解】因为，所以，又，所以．故答案为：.14.【答案】25π【分析】根据平面平面，及，作出三棱锥的外接球球心，构造出一个含有外接球半径的直角三角形，求得各边长，从而求得外接球半径，进而得到外接球表面积.【详解】取的外接圆圆心为F，并过圆心作面的垂线，由题易知，平面，取BC的中点为E，即为的外接圆圆心，过圆心作面的垂线，如图所示，两垂线交点为O，即为三棱锥的外接球球心，作，则四边形为矩形，，在中由正弦定理知，则，则在中，外接球半径，三棱锥外接球表面积为故答案为：【点睛】方法点睛：求一般几何体的外接球半径时，一般需作出外接球球心.对于三棱锥来说，需要找到两个面中三角形的外接圆圆心，分别作对应面的垂线，垂线的交点即为外接球球心，然后在直角三角形中解出半径即可.四、解答题（本大题共5小题，共77分）15.【答案】（1）（2）用非线性回归模型拟合效果更好【分析】（1）首先算出，，然后算出即可；（2）算出线性回归模型的决定系数，然后与非线性回归模型的决定系数比较即可作出判断.【小问1详解】由题意，则，，，，y关于x的线性回归方程为．【小问2详解】对于线性回归模型，，，决定系数为，因为，所以用非线性回归模型拟合效果更好．16.【答案】（1）证明见解析（2）【分析】（1）连接AC与BD交于点O，连接OE，由证明出线面平行；（2）解法一：建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，得到线面角的正弦值；解法二：几何法，过C作于点H证平面BDE，在中计算所求.【小问1详解】证明：连接AC与BD交于点O，连接OE．则O为AC的中点，又点E是棱的中点，所以，又平面BDE，平面BDE，所以平面BDE．【小问2详解】解法一：以DA，DC，所在的直线分别为x，y，z轴建立如下图所示的空间直角坐标系，设，则，则点，，，，则，，，设平面BDE的法向量为，则得，令，得平面BDE的一个法向量为，设直线与平面BDE所成角的大小为，则，故直线与平面BDE所成角的正弦值是．解法二：（几何法）设直线与平面BDE所成角为，则，其中d为点到平面BDE的距离，即点C到平面BDE的距离．设，过C作于点H，则平面BDE，所以．在中，易求得，又，∴．17.【答案】（1）（2）（3）【分析】（1）求导得函数的单调递增区间，由此即可列出不等式求解；（2）求导得函数单调性，进一步得极值点，由此即可列方程求解；（3）首先求得，从而问题可以转换为存在，使得，故只需，对分类讨论即可求解.【小问1详解】的定义域为，，令，得，故函数在上单调递增，因为函数在上单调递增，所以，解得，故实数a的取值范围是．【小问2详解】令，得；令，得；令，得，故函数在上单调递减，在上单调递增，故函数在处取得极小值，也是唯一的极值点，所以，解得．【小问3详解】由（1）知：当时，函数有最小值，若，则，又因为对任意总存在，使得，则当时，的最小值不大于，函数的图象开口向上，对称轴为，当，即时，则在上单调递增，故的最小值为，解得，故；当，即时，则在上单调递减，故的最小值为，解得，故；当时，即时，则在上单调递减，在上单调递增，故的最小值为，解得或．故或，综上所述，实数b的取值范围是．18.【答案】（1）（2）（3）证明见解析【分析】（1）由的关系、等差数列的定义即可求解；（2）通过构造等比数列的方法求得，进一步得，结合等比数列求和公式、错位相见法即可求解；（3）由于，，通过放缩求和即可得证.【小问1详解】设等差数列的公差为d，因为，由，得，当时，由，得，得，得．所以，所以．【小问2详解】因为是和的等差中项，所以，又，所以，得，又，所以数列是首项为2，公比为2的等比数列，所以，即；令，可知，因为，所以，两式相减得，所以．【小问3详解】由（2）可得，由于，所以．因为，所以，当时，，综上，成立．19.【答案】（1）（2）（3）【分析】（1）由求得，把点代入双曲线方程求得即可；（2）结合双曲线定义、圆的性质以及三角形两边之和大于第三边即可求解；（3）求得面积表达式，结合，即可求解.【小问1详解】由题意可得，，则直线的斜率，直线的斜率．因为直线，的斜率之积为1，所以，解得．因为点在双曲线上，所以，解得．故双曲线的标准方