2025北京二中高三10月月考数学试题及答案

高中2025北京二中高三10月月考数学审核人：葛华得分：______一、单选题1．已知集合，则（

）A． B． C． D．2．已知复数（为虚数单位），则（

）A．5 B．3 C． D．3．若，且，则下列不等式一定成立的是（

）A． B．C． D．4．在中，“”是“为锐角三角形”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件5．已知，则A． B．C． D．6．在中，，，点在线段上.当取得最小值时，（

）A． B． C． D．7．如图所示的“月牙形”阴影部分的边缘是两条不同曲线构成，其中一个是的外接圆的圆弧，另一个是以AB为直径的圆的一部分圆弧，已知，，则该月牙形即阴影部分面积为（

）A． B． C． D．8．已知函数是定义在上的奇函数，当时，，若实数满足，则的取值范围是（

）A． B． C． D．9．如图，在ΔABC中，∠BAC=，，P为CD上一点，且满足，若△ABC的面积为，则的最小值为（

）A．3 B． C． D．610．已知函数恰有两个零点，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．二、填空题11．已知向量，满足，，且，则；向量与的夹角的余弦值为12．已知角的终边经过点（）且，则.13．已知内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，的面积为，则的取值范围是__________．14．已知直线与函数的图象相交，若自左至右的三个相邻交点，，满足，则实数.15.在平面直角坐标系中，是一个平面点集，如果存在非零向量，对于任意，均有，使得，则称为平面点集的一个向量周期.现在有以下四个命题：①若平面点集存在向量周期，则也是的向量周期；②若平面点集形成的平面图形的面积是一个非零常数，则不存在向量周期；③若平面点集{}，则为的一个向量周期；④若平面点集{}，则为的一个向量周期.其中错误的命题是___________.16．在中，.(1)求；(2)若，并在条件①，条件②，条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在且唯一确定，求的面积.条件①：；条件②：；条件③：设CD为AB边上的高，.注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.17．2025年冰雪节来临之际，搭建冰雕主题乐园需要大量的冰块，A，B，C三个工程队负责从冰冻的江中采出尺寸相同的冰块.在雕刻的过程中，有时会导致冰块碎裂，且一旦有裂痕冰块就不能使用了.A，B，C三个工程队所采冰块总数之比为6：7：5，冰块利用率即所使用冰块数占所采冰块总数的比例分别为0.8，0.6，0.6.在计算以上数值的过程中忽略了少量冰块对计算结果的影响，这种思路可用于整个问题求解的过程中.现在从三个工程队采出的所有冰块中随机抽取冰块，用频率估计概率.(1)若只取1块，求它是由B队所采的概率；(2)若抽取2块，其中由A队采出的冰块数记为，求的分布列和数学期望；(3)假设每年使用的冰块数一样多，已知往年任意一块冰被利用的概率为0.65，那么能否判断今年冰块的利用率有显著提升？你有什么好的建议？18．如图，梯形，所在的平面互相垂直，，，，，，点为棱的中点．(1)求证：平面；(2)求二面角的余弦值；(3)判断直线与平面是否相交，如果相交，求出到交点的距离；如果不相交，求直线到平面的距离．19．已知椭圆的一个焦点为，离心率为，为椭圆的左顶点，，为椭圆上异于的两个动点，直线，与直线分别交于，两点.（1）求椭圆的方程；（2）若与的面积之比为，求的坐标；（3）设直线与轴交于点，若，，三点共线，判断与的大小关系，并说明理由.20．已知函数，曲线在处的切线方程为.(1)求a，b的值；(2)①求证：只有一个零点；②记的零点为，曲线在处的切线l与x轴的交点横坐标为，若，求u的取值范围.21．设和M均为正整数，是两两不同的M元集合组成的集合序列，若存在，使得，就称Q中存在“三叶草”，并称为Q中的一片三叶草．(1)若，分别直接判断以下集合序列中是否存在三叶草，存在的请写出一片相应的三叶草：，；(2)若满足，其中，，证明：Q中不存在三叶草；(3)若，其中，证明：Q中一定存在三叶草．

参考答案一、单选题12345678910BDCBABAABC二、填空题11．【答案】由，得，即.因为，，所以，所以.故答案为：2，.12．【答案】由余弦函数的定义可得，解得（舍去），或（舍去），或，.故答案为：.13．【答案】的面积为，由正弦定理性质及余弦定理得．因为，所以.因为，所以可得，由，所以，所以的取值范围是.14．【答案】解：由题知，直线与与函数的图象相交等价于直线与函数的图象相交设，，所以，又由得：即化简得：①由题知点和点的中点坐标为：当直线与函数的交点在轴上方，则即，化简得：②由①②联立得：，所以即解得：当直线与函数的交点在轴下方，则即，化简得：③由①③联立得：，所以即解得：所以或故答案为：或.15.【答案】对于①{}，，取，当，得到的；对于②由题意可知该点集为无穷点集，其不可能组成一个面积为非零常数的图形；对于③若,，则；对于④设存在点，若存在，由点集的定义，，不满足题意.故答案为：①③④16．【答案】（1）在中，由及正弦定理，得，而，则，解得，又，所以.（2）选择条件①：，而，余弦函数在上单调递减，则，，与矛盾，因此不存在.选择条件②：，由（1）及余弦定理，，得，解得，，经检验存在且唯一确定，所以的面积.选择条件③：CD为AB边上的高，且，则，由（1）及余弦定理，，得，解得，，经检验存在且唯一确定，所以的面积.17．【答案】（1）由题意知，冰块之间是没有差异的，所以，从三个工程队采出的所有冰块中随机抽取一块抽到每一块冰的可能性可以看作是相等的.因为A，B，C三个工程队所采冰块总量之比为6：7：5，所以若只取1块，它是B队所采的概率为.（2）据题意知在计算过程中可以忽略少量冰块对计算结果的影响，即可以将“从三个工程队采出的所有冰块中随机抽取”看作是有放回的抽取.设事件A，B，C分别表示随机抽取的一块冰是由A，B，C二个队分別采回的，与（1）同理可求得若只取1块，则，由B，C两队所采的概率为.依题意可知的取值为0，1，2，且.所以，，，所以的分布列为：012P数学期望.（3）设事件表示冰块被利用，由（2）知，.所以，，.又，即今年冰块的利用率约为0.67.可见，今年冰块的利用率比往年提升了约.但依据该数据还不能判断今年冰块的利用率有显著提升.若要判断提升是否显著，可以进一步查阅数据，构造相关统计量再进行判断.18．【答案】（1）因为平面平面，平面平面，平面,又因为，所以，所以平面．（2）因为，所以，再由（1）知、、两两垂直，建系如图，,0,,,0,,,0,,,4,,,2,，,0,,,4,,,2,，设是平面的法向量，由，可得，取，则,1,，设是平面的法向量，由，可得，取，则,0,，因为二面角为锐角，所以二面角的余弦值为．（3）由,0,,,,,得,,，因为，所以直线与平面不平行，所以直线与平面相交，在四边形中延长、交于点，因为平面，所以平面，点是直线与平面的交点，因为，是中点，所以，所以，所以．19．【答案】解：（1）由题意得，又，解得，．，．椭圆的方程为；（2）解：与的面积之比为，，则，设，，则，解得，．将其代入，解得．的坐标为或；（3），证明如下.证明：设，，，若，则为椭圆的右顶点，由，，三点共线知，为椭圆的左顶点，不符合题意．．同理．设直线的方程为．由消去，整理得．恒成立．由韦达定理得到：，解得．．得．当时，，，即直线轴．由椭圆的对称性可得．又，．当时，，直线的斜率，同理．，，三点共线，，得．在和中，，，．，均为锐角，．综上，若，，三点共线，则．20．【答案】（1）由题意知，，所以曲线在处的切线的斜率为，又曲线在处的切线方程为，所以，解得；（2）①：由（1）知，，令，所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以，且当时，，当时，，所以函数在上存在唯一，使得，即函数在上存在唯一零点.②：由①知，切线的斜率为，又，所以，令，得，设，则，令或，或，所以函数在和上单调递减，在和上单调递增，当时，，即，由①知，故不符合题意；当时，由，得，即，符合题意，故实数的取值范围为.21．【答案】（1）对于，检查是否存在三个集合使得两两交集相等；选取三个集合，，，发现交集分别为，，，不满足.再尝试其他组合，第1，2，5个集合，，，它们的交集均为，因此存在三叶草.对于，由于每个元素仅出现在两个集合中，无法找到三个集合共享同一元素，故不存在三叶草.（2）给定，其中：，，，；每个可以看作一个四维向量，每个维度有固定的取值.我们需要证明不存在三个集合使得它们两两的交集相同，假设存在三叶草，则需要满足意味着：和在相同维度上取值相同;和在相同维度上取值相同;和在相同维度上取值相同;这意味着在所有维度上的相同性必须一致,换句话说，对于每个维度，要么三个集合在该维度的取值都相同，要么两两不同;由于每个维度只有2种取值，三个集合在某个维度上的取值只能是：全部相同（如）;或者两两不同（如），但这是不可能的，因为每个维度只有2种取值;因此，三个集合在每个维度上的取值必须相同,这意味着，但题目要求集合两两不同，矛盾.因此，不存在三叶草.（3）固定一个集合，考虑其他集合与的交集，的子集有种可能，因此有种可能；对于每个，定义，下面介绍一下鸽巢原理，又叫抽屉原理，它指的是一个简单事实，如果鸽子的数量比巢穴的数量多，那么至少要有1个鸽巢被两只或多只鸽子占据，即若有个鸽巢，个鸽子，则至少有1个巢内有至少2个鸽子，