2025北京广渠门中学高三（上）开学考数学试题及答案

高中2025北京广渠门中学高三（上）开学考数学2025.8时间：120分钟满分：150分一、选择题1.设集合，集合，则（）A. B. C. D.2.下列函数中，图像关于轴对称的是（）A. B.C. D.3.已知椭圆（a＞b＞0）的离心率为，则A.a2=2b2 B.3a2=4b2 C.a=2b D.3a=4b4.将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数A.在区间上单调递增 B.在区间上单调递减C.在区间上单调递增 D.在区间上单调递减5.已知四个数，，，，其中最小的是（）A. B.C. D.6.海上某货轮在A处看灯塔B，在货轮北偏东75°，距离为海里处；在A处看灯塔C，在货轮的北偏西30°，距离为海里处，货轮由A处向正北航行到D处时看灯塔B在东偏南30°，则灯塔C与D处之间的距离为（）A.海里 B.海里 C.海里 D.海里7.已知，函数的零点个数为，过点与曲线相切的直线的条数为，则的值分别为（）A. B. C. D.8.已知，则“”是“存在，使得”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件9.记地球与太阳的平均距离为R，地球公转周期为T，万有引力常量为G，根据万有引力定律和牛顿运动定律知：太阳的质量.已知，由上面的数据可以计算出太阳的质量约为（）A. B. C. D.10.设集合，，那么集合中满足的元素的个数为（）A.144 B.184 C.232 D.252二、填空题11.函数的定义域为______．12.若，则____________，____________；（用数字作答）13.在中，，则的取值范围是______．14.若函数的最小值为，则常数的一个取值为______．15.已知函数，给出下列结论，其中所有正确结论的序号是______．①在区间上单调递增；②函数的极大值点是1；③当时，方程有两个不相等的实根；④在上没有零点．三、解答题16.已知函数的图象过原点.（1）求的值及的最小正周期；（2）若函数在区间上单调递增，求正数的最大值.17.在中，．（1）若，求；（2）若，从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，使存在.求的面积条件①：；条件②：18.某校为了解该校学生对篮球及羽毛球的喜爱情况，对学生进行简单随机抽样；获得的数据如下表：（单位：人）球类男生女生喜欢不喜欢喜欢不喜欢篮球400100200100羽毛球35015025050假设所有学生对篮球及羽毛球是否喜爱相互独立，用频率估计概率．（1）分别估计该校男生喜欢篮球的概率、该校女生喜欢篮球的概率；（2）从该校全体男生和女生中各随机抽取1名，设为这2名学生中喜欢篮球的人数，估计的数学期望；（3）将该校学生喜欢羽毛球的概率估计值记为，假设该校高一年级有500名男生和400名女生，除高一年级外其他年级学生喜欢羽毛球的概率估计值记为，试比较与的大小．（结论不要求证明）19.已知椭圆，其中，点在椭圆上．（1）求椭圆的方程及上顶点的坐标；（2）过点的直线交椭圆于两点，直线与轴的交点分别为，，证明：线段的中点为定点．20.已知函数，．（1）求在点处的切线方程；（2）求证：当时，；（3）求的零点个数．21.已知为给定的正整数，．数列，，若对于任意的，，都有，则称互为逆序数列．（1）已知，分别判断下面数列是否为的逆序数列，并说明理由．①；②．（2）若，数列为等差数列，其前项和为，，．数列与数列互为逆序数列，求数列的公差的取值范围；（3）对于固定的正整数，，总有，，且数列互为逆序数列，求的最大值．

参考答案一、选择题1.【答案】D【分析】分别求出集合，再利用交集的定义求解即可.【详解】由，，则.故选：D.2.【答案】C【分析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性，综合可得答案.【详解】A选项，由二次函数图像及性质可知，对称轴为，A选项错误；B选项，由指数函数图像及性质可知，函数没有对称轴，B选项错误；C选项，因为，所以函数为偶函数，图像关于轴对称，C选项正确；D选项，函数定义域为，不是偶函数，D选项错误.故选：C.3.【答案】B【分析】由题意利用离心率的定义和的关系可得满足题意的等式.【详解】椭圆的离心率,化简得,故选B.【点睛】本题考查椭圆的标准方程与几何性质,属于容易题,注重基础知识､基本运算能力的考查.4.【答案】A【分析】由题意首先求得平移之后的函数解析式，然后确定函数的单调区间即可.【详解】由函数图象平移变换的性质可知：将的图象向右平移个单位长度之后的解析式为：.则函数的单调递增区间满足：，即，令可得一个单调递增区间为：.函数的单调递减区间满足：，即，令可得一个单调递减区间为：，本题选择A选项.【点睛】本题主要考查三角函数的平移变换，三角函数的单调区间的判断等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.5.【答案】C【分析】利用对数函数单调性可求得，再由基本不等式以及不等式性质比较得出四个数的大小，即可得出结论.【详解】易知，所以可得，即；再由基本不等式可得，即；显然，即；因此可得，即最小的是.故选：C6.【答案】B【分析】在中，由正弦定理求出，在中，由余弦定理求出，得到答案.【详解】在中，，，，则，由正弦定理得，即，故，解得.在中，，，，则由余弦定理得，所以，即灯塔C与D处之间的距离为海里.故选：B.7.【答案】B【分析】借助分段函数性质计算可得，借助导数的几何意义及零点的存在性定理可得.【详解】令，即时，，解得，时，，无解，故，设过点与曲线相切的直线的切点为，当时，，则有，有，整理可得，即，即当时，有一条切线，当时，，则有，有，整理可得，令，则，令，可得，故当时，，即在上单调递增，当时，，即在上单调递减，由，，故在上没有零点，又，故在上必有唯一零点，即当时，亦可有一条切线符合要求，故.故选：B.8.【答案】D【分析】通过举反例、判断即可.【详解】若，此时满足，但不存在，使得α+β=−1kπ，充分性不成立；若时，此时为偶数，满足，但无意义，必要性不成立；故“”是“存在，使得α+β=−1kπ故选：D9.【答案】A【分析】利用对数运算性质计算即可.【详解】因为，所以由得：，即，又，所以.故选：A.10.【答案】C【分析】分的值为1,2,3进行讨论，结合组合数的性质计算即可得.【详解】若，则中有5个为0，1个为1或，此时共有种不同元素；若，则中有4个为0，2个为1或，此时共有种不同元素；若，则中有3个为0，3个为1或，此时共有种；即共有种不同元素，即集合中满足的元素的个数为232.故选：C.二、填空题11.【答案】【分析】根据解析式得到关于自变量的不等式组，其解为函数的定义域.【详解】由题设有，故，故答案为：.12.【答案】①.②.【分析】利用赋值法求得，由二项式展开式的通项公式求得.【详解】由，令得，令得.，所以.故答案为：；13.【答案】【分析】根据余弦定理结合角的范围得出范围即可.【详解】由余弦定理得，又，所以，则的范围是.故答案为：.14.【答案】（答案不唯一）【分析】由三角函数的有界性得到同时成立，不妨令，求出即可.【详解】因为，要想的最小值为，需要同时成立，由得到，，不妨取，则，即，解得，取，得.故答案为：（答案不唯一）15.【答案】①③④【分析】求导，确定函数的单调区间可判断①②，再结合函数的单调性画出图像可判断③，由函数和在上的交点个数可判断④.【详解】f'由exx−1x2>0可得，由ex所以在区间上单调递增；在区间单调递减；所以函数的极小值点是1；故①对，②错，又当且时，，当时，，当且时，，当时，且，，所以函数如图所示，又，由图像可知当时，结合图像可知：方程有两个不相等的实根，③对；gx=fx−2sinx在的零点可转换成函数和因为在区间上单调递增；在区间单调递减，最小值为，在上的最大值为2<e，所以函数和在上图像没有交点，即gx=fx故选：①③④三、解答题16.【答案】（1），（2）【分析】（1）利用函数图象过原点求得，然后利用三角恒等变换化简函数，利用周期公式求解周期；（2）先利用换元法求解函数的单调递增区间，利用子集关系建立不等式求解即可.【小问1详解】由得.所以.所以的最小正周期为.【小问2详解】由（），得（）.所以的单调递增区间为（）.因为在区间上单调递增，且，此时，所以，故的最大值为.17.【答案】（1）；（2）【分析】（1）直接由正弦定理边化角，结合倍角公式即可求解；（2）若选①：由正弦定理及倍角公式得，不存在；若选②：先判断，再由求出，由及余弦定理求得，再计算面积即可.【小问1详解】由正弦定理得：，又，故，又，故，；【小问2详解】若选①：由正弦定理得：，又，故，此时不存在；若选②：由，又，则，，由余弦定理得，即，解得或（舍去），故的面积为.18.【答案】（1）该校男生喜欢篮球的概率约为，女生喜欢篮球的概率约为.（2）（3），理由见解析【分析】（1）根据古典概型的概率公式直接求解即可；（2）结合（1）及相互独立事件同时发生的概率直接求解即可；（3）求解，，即可利用放缩以及不等式的性质求解．【小问1详解】该校男生喜欢篮球的概率约为，该校女生喜欢篮球的概率约为.【小问2详解】由题意可知：,PX=0PX=1PX=2故E【小问3详解】．理由如下：，设该校总人数为，，则该校喜欢羽毛球的人数约为，由表可知，男生喜欢羽毛球的概率为，女生喜欢羽毛球的概率为，所以高一年级喜欢羽毛球的人数约为，故除高一年级外其他年级喜欢羽毛球的概率为p1故19.【答案】（1），；（2）证明见解析.【分析】（1）根据题意列方程组式求解，进而可得结果；（2）设直线的方程，进而可求点的坐标，结合韦达定理验证为定值即可.【小问1详解】由题意可得a2+b所以椭圆方程为.上顶点的坐标为；【小问2详解】由题意可知：直线的斜率存在且不为0，设PQ:x−2=my−1联立方程x=my−1+2x2m2m则Δ=4m−2m可得，因为，则直线，令，解得，即,同理可得，x===所以线段的中点是定点.20.【答案】（1）（2）见详细解析（3）2【分析】（1）根据导数求出切线的斜率，结合点斜式方程即可求解；（2）令gx=f'x（3）令，求导研究的零点及正负分布，得到的单调性，同时结合即可求解出的零点个数．【小问1详解】将代入可得，又f'x=2a+1，所以切线方程为，即．【小问2详解】当时，，即证明当时，2a+1x−ex令gx=2a+1x−e因为，有，所以当时，在上单调递减，所以当时，，也即．【小问3详解】f'x=2a+1x−因为，有2a+1<0，且，故，即在上单调递减，又因为时，f'x→∞，，且单调递减，可知在上有且仅有一个零点，其中，时，，单调递增，时，，单调递减，又因为，则ft>0，且时，，时，，所以有2个零点，综上，的零点个数为2．21.【答案】（1）数列不是的逆序数列，数列是的逆序数列.（2）.（3）【分析】（1）根据逆序数列的定义可得；（2）根据题意写出数列的通项公式及前项和的表达式，根据他们时逆序数列得到任意的，，据此分别分析当时与时的情况可得；（3）根据逆序数列的定义可得故当时，，当时，，其中，再就的不同范围分类计算后可得最大值.【小问1详解】因为数列，由，但，不满足条件；